3.1.1函数的概念【6个题型】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【3.1.1函数的概念】 总览 题型梳理 【知识点总览】 1．区间 【知识点的认识】 设a＜b，①开区间：{x|a＜x＜b}＝（a，b） 　　 ②闭区间：{x|a≤x≤b}＝[a，b] ③半开半闭区间：{x|a＜x≤b}＝（a，b]{x|a≤x＜b}＝[a，b） 　　 正无穷：在实数范围内，表示某一大于零的有理数或无理数数值无限大的一种方式，没有具体数字，但是正无穷表示比任何一个数字都大的数值． 符号为+∞． 数轴上可表示为向右箭头无限远的点． 负无穷：某一负数值表示无限小的一种方式，没有具体数字，但是负无穷表示比任何一个数字都小的数值． 符号为﹣∞． { x|a≤x }＝[a，+∞） { x|a＜x }＝（ a，+∞） 　　 { x|x≤a }＝（﹣∞，a] { x|x＜a }＝（﹣∞，a ） 　　 { x|x∈R }＝（﹣∞，+∞） 2．函数的概念及其构成要素 【知识点的认识】 初中函数的定义： 设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于每一个x值，y都有唯一的值和它对应，那么就说y是x的函数， x叫自变量，y叫因变量． 高中函数的定义： 一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A任意一个数x，在集合中B 都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为A→B从集合A到集合B的一个函数，记作 y＝f（x），x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 {f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集． 函数的构成要素：定义域、对应关系、值域． 注意：①值域由定义域和对应关系唯一确定； ②f（x）是函数符号，f表示对应关系，f（x）表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同， 由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f（x）表示外，还可用g（x），F（x）等表示． 3．判断两个函数是否为同一函数 【知识点的认识】函数的构成要素：定义域、对应关系、值域． 所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样． 【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同． 【命题方向】高考中以小题出现，选择题与填空题的形式，由于函数涉及知识面广，所以函数是否为相同函数命题比较少． 4．简单函数的定义域 【知识点的认识】 函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围． 求解函数定义域的常规方法： ①分母不等于零； ②根式（开偶次方）被开方式≥0； ③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1； ④指数为零时，底数不为零． ⑤实际问题中函数的定义域； 5．抽象函数的定义域 【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围． 求解函数定义域的常规方法： ①分母不等于零； ②根式（开偶次方）被开方式≥0； ③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1； ④指数为零时，底数不为零． ⑤实际问题中函数的定义域； 【解题方法点拨】 求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组． （1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． （2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）． （3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在． （4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围． 6．由定义域求解函数或参数 【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围． 求解函数定义域的常规方法： ①分母不等于零； ②根式（开偶次方）被开方式≥0； ③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1； ④指数为零时，底数不为零． ⑤实际问题中函数的定义域； 【解题方法点拨】 求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组． （1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． （2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）． （3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在． （4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围． 7．函数的表示方法 【知识点的认识】1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法． 2、图象法：在坐标平面中用曲线的表示出函数关系．即图象上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图象上．这种由图形表示函数的方法叫作图象法． 3、解析法：用解析式把把x与y的对应关系表述出来，y＝f（x）；这种方法叫做解析法． 图象法，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质． 【解题方法点拨】函数的三种表示方法间具有互补性，因此在实际研究问题时，通常是三种方法交替使用，例如在研究用解析式表示的某一函数的性质时，可以根据解析式画出函数图象，数形结合更清晰、直观，如何画函数图象？列表法，通常取其自变量的部分值，根据解析式算出相应的函数值，列表显示其数值的对应关系，再根据表格，在平面直角坐标系中描点，形成该函数的图象． 【命题方向】函数的表示方法的选择，与集合以及映射，函数的定义域与值域，考题一般是基础题． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：区间的定义及其表示】 【例题1】下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【分析】根据区间的概念逐项判断即可． 【详解】对于选项A，用区间可表示为，故A错误； 对于选项B，用区间可表示为，故B错误； 对于选项C，用集合可表示为，故C错误； 对于选项D，用集合可表示为，故D正确． 故选：D． 【例题2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解. 【详解】集合，，所以. 故选：C 【例题3】已知全集，集合，，则=（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集和交集的定义求解即可. 【详解】由，，则， 又，所以. 故选：B. 相似练习 【相似题1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合，结合交集的定义求结论. 【详解】集合， 故. 故选：C. 【相似题2】已知集合，，则 【答案】 【分析】根据交集的定义直接可得解. 【详解】由已知集合，， 则， 故答案为：. 【相似题3】已知全集，集合，，求，，． 【答案】；； 【分析】根据集合的交、并、补的运算，直接求解即可. 【详解】因为全集，集合，， 则，， 所以；；． 【题型2：函数的概念及构成要素】 【例题1】下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项D中，对于集合中的元素1，在集合中有两个元素4和5与之对应，不符合函数的定义． 【例题2】下列图象中，可以表示函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义判断. 【详解】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确. 故选：B. 【例题3】已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】由函数的定义一一判断即可. 【详解】对于①，当时，，故①不正确； 对于②，当时，，故②不正确； 对于③，当时，，当时，，故③正确； 对于④，当时，，当时，，故④正确. 故选：. 相似练习 【相似题1】多选题下列说法正确的是（   ） A．函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应 B．函数的定义域和值域一定是无限集合 C．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素 D．对于任何一个函数，如果x的值不同，那么y的值也不同 【答案】AC 【详解】A正确，函数值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与之对应，但不一定只有一个数与之对应；B错误，函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数的定义域为，值域为；C正确，根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找到唯一元素与之对应；D错误，当x的值不同时，y的值可能相同，如函数，当或时，． 【相似题2】多选题下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【详解】选项A，B，D中，对集合中任意实数，按给定的对应关系，在集合中都有唯一实数与之对应，故选项A，B，D符合函数的定义．选项C中，对于集合中元素1，按对应法则，在中有元素和1与之对应，不符合函数的定义． 【相似题3】多选题已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】依次判断选项中函数图像对应的定义域是否为且，且每一个自变量是否都有唯一确定的值在集合且中与之对应，或者根据已知判断图象与轴的相对位置关系、图象是否连续得出结论即可. 【详解】解法一：图A中函数是集合且到且的函数，故A错误； 图B中函数是集合且到且的函数，故B错误； 图C中函数是集合且到且的函数，故C正确； 图D中函数是集合且到且的函数，故D正确； 故选：CD． 解法二：图A中函数图象与轴有交点，设交点为，当时按照图中对应关系对应函数值0，而，故选项A错误； 图B中函数图象在区间上是连续的，所以函数在处有意义，即在定义域内，而，故选项B错误；而CD中的函数的定义域和值域均符合题设要求， 故选：CD． 【题型3：判断两个函数是否为同一函数】 【例题1】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断. 【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，的定义域均为R，且，B是； 对于C，的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B 【例题2】下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可. 【详解】对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 其定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于②，函数，两个函数定义域都是， 对应法则也一样，是同一函数，故正确； 对于③，函数， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确； 对于④，函数的定义域为，函数定义域为， 两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误. 故选：B. 【例题3】下列四组函数中，与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项中，的定义域为的定义域为，所以二者不是同一函数，所以A错误；B选项中，与的定义域相同，都是，对应法则也相同，所以二者是同一函数，所以B正确；C选项中，的定义域为的定义域为，所以二者不是同一函数，所以C错误；D选项中，的定义域为的定义域为，所以二者不是同一函数，所以D错误． 相似练习 【相似题1】下列选项中表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】通过定义域和解析式都相同来判断是否是同一函数即可. 【详解】对于A．的定义域为，而定义域为R．故二者不是同一函数； 对于B．的定义域为R，的定义域为，故二者不是同一函数； 对于C．,的定义域以及对应关系、值域都相同，故二者为同一函数； 对于D．的值域为，的值域为R．故二者不是同一函数． 故选:C． 【相似题2】多选题下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据同一函数的定义分别判断即可. 【详解】两个函数在定义域及对应关系相同时是同一个函数， 对于A，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即A选项两函数不同； 对于B，显然与的定义域相同，对应关系也相同，即B选项两函数相同； 对于C，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即C选项两函数不同； 对于D，显然，即的定义域为， 而，即或，即的定义域为，两函数的定义域不同，即D选项两函数不同； 故选：ACD. 【相似题3】与表示同一函数.( ) 【答案】错误 【分析】根据函数的定义域和对应关系判断. 【详解】的定义域为，的定义域为R，所以两个函数不是同一个函数. 故答案为：错误. 【题型4：函数的定义域】 【例题1】（24-25高一上·全国·课前预习）函数的定义域是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】由函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得且，即， 等价于，解得或， 故定义域为或. 故选：C 【例题2】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的定义域以及分式中分母不为0和平方根式下大于0即可直接计算出结果. 【详解】因为函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 故选：D. 【例题3】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得. 【详解】由函数的定义域为，得，则， 即的定义域为，在函数中，由，解得， 所以所求函数的定义域为. 故选：A 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·河北保定·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式、根式有意义的基本要求可构造不等式组求得结果. 【详解】由得：且，的定义域为. 故选：D. 【相似题2】（24-25高二下·天津河东·阶段练习）已知函数的定义域为，函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数的定义域求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，所以， 对于函数，有， 即函数的定义域为. 故答案为： 【相似题3】（2024高三·全国·专题练习）（1）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （2）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）法一：根据复合函数成立的条件即可求出函数的定义域．法二：利用平移变换可求函数的定义域. （2）利用抽象函数的定义域求解. 【详解】（1）法一：设中，，则， 由函数的定义域是，得函数的定义域是． 即，故，，于是函数的定义域是． 法二：函数的图像可由函数的图像向右平移一个单位而得到， 故函数的定义域可由函数的定义域向右平移一个单位，得到． 即函数的定义域是． （2）由题意，，，所以的定义域为． 【题型5：求函数的值】 【例题1】已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，所以． 【例题2】已知，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】B 【分析】将看成一个整体，利用求解即可. 【详解】， 故， 所以， 故，解得. 故选：B. 【例题3】已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 相似练习 【相似题1】已知函数，且，则（    ） A．3 B． C．17 D． 【答案】A 【分析】代入即可求解. 【详解】在中取可得，所以， 故选：A 【相似题2】设函数在上有定义，且满足以下性质：①，②．则 ． 【答案】 【分析】应用赋值法及已知等式计算求解函数值. 【详解】令，因为，所以，所以， 令，因为，所以，所以, 令，因为，所以，所以, 令，因为，所以，所以, 令，因为，所以，所以, 令，因为，所以，所以. 故答案为：. 【相似题3】如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为 ． 【答案】1或2 【分析】根据图中所给对应关系，直接判断即可. 【详解】由图可知，，，，， 若，则或. 故答案为：或. 【题型6：由函数的定义域求参数】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【答案】A 【分析】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解. 【详解】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 故选：A． 【例题2】多选题（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）使函数的定义域是的一个充分不必要条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】转化为不等式恒成立问题，根据一元二次不等式的解法可得. 【详解】若函数的定义域是，则恒成立， 当时，恒成立； 当时，则，解得. 综上，函数的定义域是的充要条件为， 所以函数的定义域是的充分不必要条件为的真子集. 结合选项可知，选项AB符合题意. 故选：AB 【例题3】（24-25高一上·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分式不等式及偶次根式有意义，再结合函数定义域即可转化 为不等式恒成立问题，利用一元二次不等式的性质即可求解. 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 所以不等式在上恒成立. 当时， 在上恒成立， 当时，则满足，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（2024·河南信阳·一模）已知不等式的解集为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到和是方程的两个根，列出方程组，求得的值，得出函数，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由不等式的解集为， 可得和是方程的两个根，且， 则，解得，所以函数， 要使得函数有意义，则满足， 即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【相似题2】（1）已知函数． ①若的定义域为，求实数m的值； ②若的定义域为，求实数m的取值范围． （2）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （3）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【答案】（1）①②；（2）；（3）． 【详解】解：（1）①由题意得不等式的解集为，所以化简得解得．故实数m的值为． ②由题意得不等式在上恒成立．当时，或，若，则，符合题意；若，则，其定义域不是，不符合题意．当，即且时，则解得或．综上所述，m的取值范围是． （2）因为函数的定义域是，所以，解得，故函数的定义域是． （3）因为函数的定义域为），即，所以，即的定义域为． 【相似题3】（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数的定义域为 (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，再结合判别式，可求得的取值集合； （2）由题意得到是的真子集，分类讨论和两种情况得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【详解】（1）由题意得不等式的解集为： 当时，恒成立，满足题意； 当时，则由解集为可得，解得：， 综上可得：； （2）由是的必要不充分条件可得：是的真子集， 当时，满足题意，此时有，解得：； 当时，则，解得， 综上，的取值范围是. 【课后强化提升】 一、单选题 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 5．下列说法正确的是（   ） A．任给，对应关系f使方程的解v与u对应，则是函数的一个充分条件是 B．函数与函数是同一个函数 C．满足值域相同，对应关系相同，但定义域不同的函数不存在 D．函数的定义域为，则的定义域为 6．设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．已知集合，，则 . 8．函数的定义域是 . 9．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 10．若函数的定义域为，则函数的定义域是 11．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 12．已知函数，则函数的定义域为 ． 四、解答题 13．求下列函数的定义域： (1)； (2)已知函数的定义域为，则函数的定义域. 14．（1）求函数的定义域； （2）若函数的定义域是函数定义域的子集，求的取值范围 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C D A ABD AD 1．A 【分析】首先求解不等式，再用区间表示. 【详解】方程的两根分别为和， 所以不等式，得， 解集用区间表示为. 故选：A 2．C 【分析】根据函数的定义对图象一一判断即可. 【详解】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应， 所以选项ABD均不符合. 故选：C. 3．D 【分析】利用换元法求出函数的解析式，即可得解. 【详解】令，则， 则， 所以， 所以. 故选：D. 4．A 【分析】对于选项B，C，D中两个函数的定义域相同，对应法则相同，故均为同一函数，而对于A选项，两个函数对应法则不同，故两个函数不是同一函数. 【详解】对于A选项，两个函数的定义域相同， ，两者的函数解析式不相同，故两者不是同一函数； 对于B，，两个函数的定义域和对应法则相同， 故得到两个函数是同一函数； 对于C，两个函数的定义域相同为， 且对应法则相同，故得到两个函数是同一函数； 对于D，两个函数定义域相同，， 对应法则相同，故两个函数是同一函数. 故选：A. 5．ABD 【详解】对于A，根据函数的定义，对任意，由得，由函数的定义知在v的范围中必有唯一的值与之对应，，则，则v的范围要包含，故A正确；对于B，，两函数的定义域和对应关系都相同，故为同一函数，故B正确；对于C，如，两函数的值域均为，对应关系相同，但定义域不同，故C错误；对于D，因为函数的定义域为，所以，在中，令，所以，即，得，故的定义域为，故D正确． 6．AD 【分析】从函数的定义出发，得到BC错误，AD正确. 【详解】对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应， 则满足从集合A到集合B的函数关系， 其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误； C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误. 故选：AD 7． 【分析】根据函数的定义域和值域，分别求解两个集合，再求并集. 【详解】， ，解得：， 即，， 所以. 故答案为： 8． 【分析】由题意，解不等式即可得解. 【详解】要使得函数有意义，需满足， 解得且，所以函数的定义域是. 故答案为：. 9． 【详解】由函数的定义域为得，解得． 10． 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以定义域是， 故答案为： 11． 【分析】根据给定条件，结合复合函数的定义域列式求解即得． 【详解】若函数的定义域是，则函数需要满足： 则，解得， 所以的定义域是． 故答案为： 12． 【分析】根据被开方数非负，列出不等式求得的定义域，进而可求的定义域. 【详解】要使函数，有意义，必须，解得， 函数的定义域为； 由函数，令，解得， 函数的定义域是． 故答案为：. 13．(1)且或 (2) 【分析】（1）根据二次根式的被开方数是非负数以及分母非零即得不等式组，解出即得； （2）正确理解函数的定义域的含义以及抽象函数中的变量范围的整体替换，即可求得. 【详解】（1）要使函数有意义，只需，解得：或且 所以函数定义域为且或. （2）由题意知，所以，即的定义域为， 所以，解得. 故函数的定义域是. 14．（1）；（2） 【分析】（1）根据函数解析式求出定义域；（2）求出的定义域，再根据子集关系运算得解. 【详解】（1）由得，故函数的定义域为. （2）由得，， 因此的定义域为. 由于函数的定义域是函数定义域的子集，且， 由（1）可知满足， 所以的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【3.1.1函数的概念】 总览 题型梳理 【知识点总览】 1．区间 【知识点的认识】 设a＜b，①开区间：{x|a＜x＜b}＝（a，b） 　　 ②闭区间：{x|a≤x≤b}＝[a，b] ③半开半闭区间：{x|a＜x≤b}＝（a，b]{x|a≤x＜b}＝[a，b） 　　 正无穷：在实数范围内，表示某一大于零的有理数或无理数数值无限大的一种方式，没有具体数字，但是正无穷表示比任何一个数字都大的数值． 符号为+∞． 数轴上可表示为向右箭头无限远的点． 负无穷：某一负数值表示无限小的一种方式，没有具体数字，但是负无穷表示比任何一个数字都小的数值． 符号为﹣∞． { x|a≤x }＝[a，+∞） { x|a＜x }＝（ a，+∞） 　　 { x|x≤a }＝（﹣∞，a] { x|x＜a }＝（﹣∞，a ） 　　 { x|x∈R }＝（﹣∞，+∞） 2．函数的概念及其构成要素 【知识点的认识】 初中函数的定义： 设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于每一个x值，y都有唯一的值和它对应，那么就说y是x的函数， x叫自变量，y叫因变量． 高中函数的定义： 一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A任意一个数x，在集合中B 都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为A→B从集合A到集合B的一个函数，记作 y＝f（x），x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 {f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集． 函数的构成要素：定义域、对应关系、值域． 注意：①值域由定义域和对应关系唯一确定； ②f（x）是函数符号，f表示对应关系，f（x）表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同， 由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f（x）表示外，还可用g（x），F（x）等表示． 3．判断两个函数是否为同一函数 【知识点的认识】函数的构成要素：定义域、对应关系、值域． 所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样． 【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同． 【命题方向】高考中以小题出现，选择题与填空题的形式，由于函数涉及知识面广，所以函数是否为相同函数命题比较少． 4．简单函数的定义域 【知识点的认识】 函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围． 求解函数定义域的常规方法： ①分母不等于零； ②根式（开偶次方）被开方式≥0； ③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1； ④指数为零时，底数不为零． ⑤实际问题中函数的定义域； 5．抽象函数的定义域 【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围． 求解函数定义域的常规方法： ①分母不等于零； ②根式（开偶次方）被开方式≥0； ③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1； ④指数为零时，底数不为零． ⑤实际问题中函数的定义域； 【解题方法点拨】 求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组． （1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． （2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）． （3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在． （4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围． 6．由定义域求解函数或参数 【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围． 求解函数定义域的常规方法： ①分母不等于零； ②根式（开偶次方）被开方式≥0； ③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1； ④指数为零时，底数不为零． ⑤实际问题中函数的定义域； 【解题方法点拨】 求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组． （1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． （2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）． （3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在． （4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围． 7．函数的表示方法 【知识点的认识】1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法． 2、图象法：在坐标平面中用曲线的表示出函数关系．即图象上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图象上．这种由图形表示函数的方法叫作图象法． 3、解析法：用解析式把把x与y的对应关系表述出来，y＝f（x）；这种方法叫做解析法． 图象法，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质． 【解题方法点拨】函数的三种表示方法间具有互补性，因此在实际研究问题时，通常是三种方法交替使用，例如在研究用解析式表示的某一函数的性质时，可以根据解析式画出函数图象，数形结合更清晰、直观，如何画函数图象？列表法，通常取其自变量的部分值，根据解析式算出相应的函数值，列表显示其数值的对应关系，再根据表格，在平面直角坐标系中描点，形成该函数的图象． 【命题方向】函数的表示方法的选择，与集合以及映射，函数的定义域与值域，考题一般是基础题． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：区间的定义及其表示】 【例题1】下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【例题2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】已知全集，集合，，则=（    ）． A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】已知集合，，则 【相似题3】已知全集，集合，，求，，． 【题型2：函数的概念及构成要素】 【例题1】下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】下列图象中，可以表示函数的为（    ） A． B． C． D． 【例题3】已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 相似练习 【相似题1】多选题下列说法正确的是（   ） A．函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应 B．函数的定义域和值域一定是无限集合 C．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素 D．对于任何一个函数，如果x的值不同，那么y的值也不同 【相似题2】多选题下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【相似题3】多选题已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型3：判断两个函数是否为同一函数】 【例题1】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【例题3】下列四组函数中，与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】下列选项中表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【相似题2】多选题下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【相似题3】与表示同一函数.( ) 【题型4：函数的定义域】 【例题1】（24-25高一上·全国·课前预习）函数的定义域是（    ） A． B．或 C．或 D． 【例题2】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·河北保定·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二下·天津河东·阶段练习）已知函数的定义域为，函数的定义域是 ． 【相似题3】（2024高三·全国·专题练习）（1）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （2）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【题型5：求函数的值】 【例题1】已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【例题3】已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 相似练习 【相似题1】已知函数，且，则（    ） A．3 B． C．17 D． 【相似题2】设函数在上有定义，且满足以下性质：①，②．则 ． 【相似题3】如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为 ． 【题型6：由函数的定义域求参数】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【例题2】多选题（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）使函数的定义域是的一个充分不必要条件的是（   ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一上·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 相似练习 【相似题1】（2024·河南信阳·一模）已知不等式的解集为，则函数的定义域为 . 【相似题2】（1）已知函数． ①若的定义域为，求实数m的值； ②若的定义域为，求实数m的取值范围． （2）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （3）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【相似题3】（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数的定义域为 (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【课后强化提升】 一、单选题 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 5．下列说法正确的是（   ） A．任给，对应关系f使方程的解v与u对应，则是函数的一个充分条件是 B．函数与函数是同一个函数 C．满足值域相同，对应关系相同，但定义域不同的函数不存在 D．函数的定义域为，则的定义域为 6．设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．已知集合，，则 . 8．函数的定义域是 . 9．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 10．若函数的定义域为，则函数的定义域是 11．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 12．已知函数，则函数的定义域为 ． 四、解答题 13．求下列函数的定义域： (1)； (2)已知函数的定义域为，则函数的定义域. 14．（1）求函数的定义域； （2）若函数的定义域是函数定义域的子集，求的取值范围 1 学科网（北京）股份有限公司 $$