第12讲 圆锥曲线综合应用问题（4个知识点7大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第12讲 圆锥曲线综合应用问题 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 圆锥曲线综合应用需掌握以下核心方法： 1、定义法：利用椭圆、双曲线、抛物线的定义直接求解，如焦点三角形、离心率问题。 2、韦达定理法：通过联立直线与曲线方程，结合判别式及根与系数关系，简化弦长、中点等计算。 3、点差法：针对中点弦问题，设而不求，快速建立斜率与中点坐标的关系。 4、弦长公式法：利用弦长公式直接计算交点距离，结合判别式优化运算。 5、数形结合法：通过图形几何性质（如对称性、垂直关系）简化代数推导。 6、参数法：引入点参数、斜率参数或角参数，将几何问题转化为代数方程。 7、曲线系方程法：利用曲线系方程快速求解共焦点、共渐近线等问题。 8、代入法：合理选择变量顺序，避免复杂运算。 题型一：弦长问题 【例1】（2025·高二·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（    ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-2】（2025·高三·河南·开学考试）已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点（点在的同一支上），且，则（    ） A．6 B．8 C． D． 【变式1-3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知抛物线的焦点是圆的圆心，过点的直线与相交，交点自上而下分别为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 题型二：直径问题 【例2】已知曲线C上任一点到两点、的距离之和为 . (1)求曲线C的方程； (2)若过点N作垂直于x轴的直线交曲线C于A，B两点. ①若，求动点Q的轨迹方程； ②以曲线C上D、E两点为直径端点作圆P，点P恰好在直线AB上，再过点P作DE的垂线l，则直线l 是否经过某定点，若经过，试求此定点，如不存在，请说明理由. 【变式2-1】（2025·高二·河南驻马店·期末）已知双曲线：，若与双曲线有相同的渐近线，且的焦点与虚轴的端点为顶点的四边形的面积为. (1)求的方程； (2)设过右焦点的直线与交于，两点，以为直径圆恰好过原点，求直线的方程. 【变式2-2】（2025·高二·山东菏泽·期末）如图，已知圆O：与抛物线交于，AB为圆O的直径，抛物线的弦，且直线CD与圆O相切． (1)求直线CD的方程； (2)求的面积． 题型三：数量积问题 【例3】（2025·高二·浙江绍兴·期中）已知点在椭圆上，过点作斜率为1的直线与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆C的方程; (2)求的值. 【变式3-1】（2025·高三·上海浦东新·期中）已知和为椭圆上两点． (1)求的离心率； (2)若过P的直线交于另一点，且的面积为9，求的方程； (3)过OA中点的动直线与椭圆有两个交点，，试判断在y轴上是否存在点T使得，若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明利用． 【变式3-2】（2025·高二·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，圆的方程为，点的坐标为，点为圆上的动点，线段的中垂线与直线相交于点. (1)求交点的轨迹的方程； (2)若过点的直线与轨迹相交于、两点，求的取值范围； 题型四：定点问题 【例4】（2025·高三·江苏·期末）已知双曲线C：（）的离心率为2，点是双曲线C上的点，A，B是双曲线C的左、右顶点，点P（不同于点A，B）是双曲线C上的一个动点，直线分别交直线于点M，N． (1)求双曲线C的方程； (2)求证：以线段为直径的圆被x轴截得的弦长为定值； (3)当点P在右支上时，直线交双曲线C的右支于点Q，证明：直线过定点． 【变式4-1】已知过点的椭圆的离心率为. (1)求的方程； (2)已知是的左顶点，直线与相交于，两点，且两点均不与点重合. （i）若直线与圆相切，证明：以为直径的圆经过坐标原点； （ii）若直线的斜率之积为，证明直线过定点，并求出定点的坐标. 题型五：定值问题 【例5】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知双曲线过点分别为圆：的两条切线，且分别交双曲线于点． (1)求双曲线的离心率； (2)证明：直线的斜率为定值． 【变式5-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 题型六：三角形、四边形面积问题 【例6】（2025·高二·新疆乌鲁木齐·期末）已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程与离心率； (2)当直线l的倾斜角是时，求的面积． 【变式6-1】（2025·高二·湖南益阳·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作斜率为1的直线交椭圆于两点，为的右焦点，求的面积. 【变式6-2】（2025·高三·全国·专题练习）已知椭圆． (1)求该椭圆的离心率； (2)若点为直线上的动点，过点作该椭圆的切线切点分别为，求的面积的最小值． 【变式6-3】（2025·高二·江西·阶段练习）已知双曲线的焦距为，右顶点为，点在双曲线的渐近线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与双曲线交于M，N两点，若的面积为，求实数的值． 题型七：点差法解决中点弦问题 【例7】（2025·高二·四川绵阳·期中）已知椭圆C与双曲线有相同的焦点，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C相交于，且的中点为，求直线l的方程. 【变式7-1】已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； 【变式7-2】（2025·湖南娄底·二模）已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求C的离心率； (2)若，求直线的一般式方程． 【变式7-3】已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于两点.若线段的中点坐标为，求直线的方程. 1．已知直线l：，曲线C：，则直线l与曲线C的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（2025·高二·江苏南通·期末）下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·湖北武汉·期中）过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．（2025·山东·模拟预测）过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．（2025·高二·内蒙古呼和浩特·期中）过点与抛物线只有一个交点的直线有（　　）条. A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025·全国·模拟预测）已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，两个切点分别为，若，则的值为（    ） A．2或 B．1或 C．2或 D．1或 7．（2025·山东泰安·模拟预测）已知是椭圆的右焦点，点在上，轴，直线与轴不重合，与交于、两点，. (1)求的方程； (2)证明：过定点. 8．（2025·四川成都·模拟预测）已知点在抛物线的准线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线与抛物线交于、两点，过作斜率为2的直线交抛物线于． （i）求证：直线过定点； （ii）直线与抛物线交于另外一点，求证：． 9．（2025·海南·模拟预测）在直角坐标系中，已知点，，动点满足，记动点的轨迹为． (1)求的标准方程； (2)设直线与的另一个交点为，证明：为定值． 10．已知双曲线的渐近线与圆相切． (1)求双曲线的方程． (2)已知双曲线，（在轴上方，在轴下方）是右支上两个不同的点，直线与的一个交点为，，连接（为坐标原点）分别交于点． ①判断四边形的形状； ②证明的面积为定值，并求出这个定值． 11．（2025·福建福州·模拟预测）已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A.B两点，点在第一象限，过点作直线AB的垂线，交轴正半轴于点，直线BC交直线AM于点．记的面积分别为． (1)求的准线方程； (2)证明：； (3)求的最小值及此时点的坐标． 12．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，已知抛物线的焦点为为坐标原点．过作两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点．当垂直于轴时，． (1)求抛物线的方程； (2)若，求四边形面积的取值范围； (3)将绕轴旋转一周得到一个旋转体，求该旋转体体积的最小值． 13．（2025·湖北黄石·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，且经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的左、右顶点分别为，，动直线与交于不同的两点，，直线，交于点，证明：点恒在椭圆上，并求出椭圆的方程． (3)已知，是双曲线上关于原点对称的两点，垂直于的直线与双曲线相切于点，当点位于第一象限，且被轴分割为面积比为的两部分时，求直线的方程． 14．已知双曲线 ，过点 作直线 ，若 是 与 交点的中点，求 的方程，并判断是否存在这样的直线. 15．（2025·高二·甘肃临夏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 16．（2025·湖北武汉·三模）已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线；将曲线上每一点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变），得到曲线． (1)求曲线的方程； (2)若为曲线上一动点且在第一象限内，直线分别交曲线与两点，连接交轴与点． （ⅰ）若，求直线的方程； （ⅱ）曲线上是否存在定点使得三点的横坐标按一定顺序成等比数列？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2025·高二·贵州黔西·期中）已知中心为坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，且椭圆M过点． (1)求椭圆M的方程； (2)若过点的直线l与椭圆M交于A，B两点，，求直线l的方程． 18．（2025·云南昆明·二模）已知，，动点满足直线与直线斜率之积为．记的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与相交于，两点，与轴交于点，若，求直线的方程． 19．（2025·山东聊城·三模）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． (1)求的方程； (2)若，分别是的左、右顶点，不与轴垂直的动直线与交于，两点（不同于，），且直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求证：直线经过定点． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 圆锥曲线综合应用问题 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 圆锥曲线综合应用需掌握以下核心方法： 1、定义法：利用椭圆、双曲线、抛物线的定义直接求解，如焦点三角形、离心率问题。 2、韦达定理法：通过联立直线与曲线方程，结合判别式及根与系数关系，简化弦长、中点等计算。 3、点差法：针对中点弦问题，设而不求，快速建立斜率与中点坐标的关系。 4、弦长公式法：利用弦长公式直接计算交点距离，结合判别式优化运算。 5、数形结合法：通过图形几何性质（如对称性、垂直关系）简化代数推导。 6、参数法：引入点参数、斜率参数或角参数，将几何问题转化为代数方程。 7、曲线系方程法：利用曲线系方程快速求解共焦点、共渐近线等问题。 8、代入法：合理选择变量顺序，避免复杂运算。 题型一：弦长问题 【例1】（2025·高二·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，线段为椭圆的通径， 所以. 故选：D 【变式1-1】过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（    ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由题意知，，则. 若直线轴时，，代入方程， 解得，所以，此时直线不满足题意； 当直线不垂直轴时，若直线与双曲线的两个顶点相交时， 设，， ，消去得， 则， 所以 ， 又，所以，整理得， 得或，解得（舍去）或， 所以，此时直线与双曲线的右支相交且交点为，使得有2条. 综上，满足题意的直线有2条. 故选：C 【变式1-2】（2025·高三·河南·开学考试）已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点（点在的同一支上），且，则（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【解析】 由可得.根据对称性，不妨设过点的直线为， 联立可得. 设，则.① 由，则，又所以.② 由①②可得，所以， 解得或（舍），， 所以. 故选：D. 【变式1-3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知抛物线的焦点是圆的圆心，过点的直线与相交，交点自上而下分别为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心为半径为， 所以，抛物线方程为， 设直线的方程为， 由，消去并化简得， 所以，所以 所以 所以的取值范围为 故选：C 【变式1-4】设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】方法一：由已知得，直线的斜率不为0， 如图，设，， 设直线的方程为， 联立方程组，得到，且易得， 则由韦达定理得，， 由弦长公式得， 故当时，取最小值，且该值为2，故C正确. 故选：C． 方法二：由二级结论得，易得， 而 ，当且仅当时等号成立，故C正确. 故选：C． 方法三：易得抛物线的焦点弦最短时为通径，从而，故C正确. 故选：C． 题型二：直径问题 【例2】已知曲线C上任一点到两点、的距离之和为 . (1)求曲线C的方程； (2)若过点N作垂直于x轴的直线交曲线C于A，B两点. ①若，求动点Q的轨迹方程； ②以曲线C上D、E两点为直径端点作圆P，点P恰好在直线AB上，再过点P作DE的垂线l，则直线l 是否经过某定点，若经过，试求此定点，如不存在，请说明理由. 【解析】（1）依题意，曲线C是以点、为左右焦点，长轴长为的椭圆， 所以曲线C的方方程为. （2）①直线方程为，由，得， 由，得点的轨迹是以线段为直径的圆，而为线段的中点， 所以动点Q的轨迹方程为. ②依题意，直线斜率存在且不为，设直线，， 由消去得， 则，， 由两点为直径端点作圆，圆心恰好在直线上，得中点在直线上， 则，整理得，直线方程为， 令，则，即，因此直线，即， 所以直线恒过定点. 【变式2-1】（2025·高二·河南驻马店·期末）已知双曲线：，若与双曲线有相同的渐近线，且的焦点与虚轴的端点为顶点的四边形的面积为. (1)求的方程； (2)设过右焦点的直线与交于，两点，以为直径圆恰好过原点，求直线的方程. 【解析】（1）设双曲线的方程为，， 因为的焦点与虚轴的端点为顶点的四边形的面积为，， 所以，即双曲线的方程为 （2）由（1）可知双曲线的方程为，右焦点 设直线的方程为，， 联立方程，得， 所以，， 因为直线与双曲线交于，两点，得， 因为以为直径的圆过原点，所以 所以，即， 所以， 整理得，所以直线的方程，即. 【变式2-2】（2025·高二·山东菏泽·期末）如图，已知圆O：与抛物线交于，AB为圆O的直径，抛物线的弦，且直线CD与圆O相切． (1)求直线CD的方程； (2)求的面积． 【解析】（1）∵圆与抛物线交于点                     ∴，解得： ∴抛物线方程为： ∵，∴   ∴直线的斜率， 设直线的方程为：  ∵直线与圆相切 ∴，解得：（舍）或 ∴直线的方程为： （2）由得： 设，    ， ∵，∴点到直线的距离为点到直线的距离， 则距离 ∴的面积 题型三：数量积问题 【例3】（2025·高二·浙江绍兴·期中）已知点在椭圆上，过点作斜率为1的直线与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆C的方程; (2)求的值. 【解析】（1）由题意，故椭圆方程为； （2）由题意，联立椭圆方程得， 整理得，显然，则，， 所以， 由. 【变式3-1】（2025·高三·上海浦东新·期中）已知和为椭圆上两点． (1)求的离心率； (2)若过P的直线交于另一点，且的面积为9，求的方程； (3)过OA中点的动直线与椭圆有两个交点，，试判断在y轴上是否存在点T使得，若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明利用． 【解析】（1）依题意，，解得， 则离心率； （2） 由（1）可知，椭圆C的方程为， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，易知此时 点到直线的距离为，则，与已知矛盾； 当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即， 设， 联立， 消去整理可得， 则， 由弦长公式可得，， 整理得：， 点A到直线l的距离为， 则 解得或， 则直线l的方程为或； （3）若过中点的动直线的斜率存在， 则可设该直线方程为 设，，， 由，可得， 故， 且，， 而，， 故 因为恒成立， 故，即， 解得， 若过点的动直线的斜率不存在，则，， 此时需，两者结合可得 故这个点纵坐标的取值范围为. 【变式3-2】（2025·高二·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，圆的方程为，点的坐标为，点为圆上的动点，线段的中垂线与直线相交于点. (1)求交点的轨迹的方程； (2)若过点的直线与轨迹相交于、两点，求的取值范围； 【解析】（1） 依题可得：， 而，因此动点的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线， 从而，，进而，于是得到轨迹的方程：. （2） 由题意易知直线斜率存在，设，，， 联立方程，消元得：， 因为有两个交点，需 于是得到：，，由韦达定理，得：，， ， 令，，， 于是， 因此. 题型四：定点问题 【例4】（2025·高三·江苏·期末）已知双曲线C：（）的离心率为2，点是双曲线C上的点，A，B是双曲线C的左、右顶点，点P（不同于点A，B）是双曲线C上的一个动点，直线分别交直线于点M，N． (1)求双曲线C的方程； (2)求证：以线段为直径的圆被x轴截得的弦长为定值； (3)当点P在右支上时，直线交双曲线C的右支于点Q，证明：直线过定点． 【解析】（1）因为双曲线C的离心率为2，所以，即， 又，所以，化简得， 因为点（2，3）在双曲线C上，所以代入得， 结合，解得，， 故双曲线C的方程； （2）由（1）可知，，设， 点P是双曲线C上的一个点，所以. 直线PA的方程为，令，得， 直线PB的方程为，令，得， 设以线段MN为直径的圆的圆心为C′，半径，故圆C′的方程：，， 设圆C′与x轴的两个交点坐标分别为，，把代入圆C′中得， 结合得，故， 解得，，故， 所以以线段MN为直径的圆C′被x轴截得的弦长是3，是定值； （3）直线PQ过定点，理由如下： 设直线PQ的斜率方程为， 联立， 整理得， 则，由（1）可知，， 直线， 因为直线上有动点，点直线上，所以， 又M，B，Q三点共线， 所以，即， 又M，A，P三点共线， 所以，即 联立得：， 整理得， 即． 化简得， 因为， 所以，故， 代入得 得， 即， 所以时．直线PQ的方程为， 所以PQ过定点. 【变式4-1】已知过点的椭圆的离心率为. (1)求的方程； (2)已知是的左顶点，直线与相交于，两点，且两点均不与点重合. （i）若直线与圆相切，证明：以为直径的圆经过坐标原点； （ii）若直线的斜率之积为，证明直线过定点，并求出定点的坐标. 【解析】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆方程为； （2）由，消去整理得， 则， 设，，则，， 所以 ； （i）因为直线与圆相切，所以，即， 所以， 所以，即， 所以以为直径的圆经过坐标原点； （ii）因为椭圆的左顶点为， 所以 ， 所以，即， 所以或； 当时，直线的方程为，即， 令，得， 则直线恒过点，不符合题意； 当时，直线的方程为，即， 令，得， 则直线恒过点，此时，符合题意； 故直线恒过定点，定点坐标为. 题型五：定值问题 【例5】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知双曲线过点分别为圆：的两条切线，且分别交双曲线于点． (1)求双曲线的离心率； (2)证明：直线的斜率为定值． 【解析】（1）将的坐标代入，得， 所以双曲线的离心率． （2）证明：由题意知，直线的斜率都存在且不为0， 设直线的方程为，直线的方程为． 由消去，整理得． 由，得， 由，得． 由题意，解得，所以， 所以，同理． 由题意，，得． 因为，所以，故， 所以直线的斜率，即直线的斜率为定值． 【变式5-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 【解析】（1）由抛物线的定义可知， 又，则. 即.所以. 又在抛物线上. 所以.且. 解得.则C的方程为. （2）设直线l的斜率为k，则. 联立， 可得， 当时，，符合题意； 当时，则有，解得. 综上，直线l的斜率为0或. （3）由题得l的斜率存在且不为零. 设l的方程为.，， 联立，可得， .即. 可得，. 故，. 则， 所以为定值. 题型六：三角形、四边形面积问题 【例6】（2025·高二·新疆乌鲁木齐·期末）已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程与离心率； (2)当直线l的倾斜角是时，求的面积． 【解析】（1）设椭圆的标准方程为：， 依题意，，解得， 所以椭圆的标准方程为：，离心率. （2）依题意，直线的方程为，设， 由消去得，，， 所以的面积. 【变式6-1】（2025·高二·湖南益阳·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作斜率为1的直线交椭圆于两点，为的右焦点，求的面积. 【解析】（1）由题意可得：，，又， 解得，． 故椭圆的方程为； （2）左焦点，右焦点，设，， 因直线的方程为：， 联立，消去整理得，解得或， 时，；当时，， 所以的面积. 【变式6-2】（2025·高三·全国·专题练习）已知椭圆． (1)求该椭圆的离心率； (2)若点为直线上的动点，过点作该椭圆的切线切点分别为，求的面积的最小值． 【解析】（1）椭圆中，，则， 则，则椭圆的离心率为 （2）设，， 设过点的切线方程为， 由， 则， 此时方程的根为： ， 则切线方程为：， 当切线斜率不存在时，其切点为或，切线方程为：，满足， 所以过点的椭圆的切线方程为：， 同理过点的切线方程为， 又在两条切线上，则，， 则直线AB的方程为，即 由整理得，， 则， 则 ， 又点M到直线AB的距离， 则的面积为 令，则，， 则， 令，， 则恒成立， 则在上单调递增，则 当且仅当即点M坐标为时等号成立， 则的面积的最小值为. 【变式6-3】（2025·高二·江西·阶段练习）已知双曲线的焦距为，右顶点为，点在双曲线的渐近线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与双曲线交于M，N两点，若的面积为，求实数的值． 【解析】（1）设双曲线的半焦距为， 由题意可知，① 又因为在双曲线的渐近线上，所以，② 由方程①和②解得， 所以双曲线的方程为． （2）由题意可设直线的方程为， 联立方程可得①， 所以， 且方程①的判别式， 得且． 设直线与双曲线交于两点，有 则 ， 所以，即， 解得或或， 所以实数或或． 题型七：点差法解决中点弦问题 【例7】（2025·高二·四川绵阳·期中）已知椭圆C与双曲线有相同的焦点，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C相交于，且的中点为，求直线l的方程. 【解析】（1）由题意可设椭圆方程，焦距为， 易知双曲线焦点坐标为，则椭圆C的焦点坐标为，即， 又椭圆C经过点， 根据椭圆的定义可知：， 所以， 所以， 所以椭圆C的标准方程为； （2）易知点在椭圆内部，设，则 ，作差得， 则， 所以，则直线l的斜率为， 由点斜式可知直线l的方程为 所以直线l的方程为：. 【变式7-1】已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； 【解析】（1）由题可得：，解得：， 所以椭圆的标准方程为：； （2）因为直线的斜率为1，所以可设直线的方程为，， 联立 ，化简得， 则， 解得：， 所以，设弦中点， 则， 消去，得，而， 所以点的轨迹方程为. 【变式7-2】（2025·湖南娄底·二模）已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求C的离心率； (2)若，求直线的一般式方程． 【解析】（1）设双曲线的半焦距为，则， 当时，点的横坐标为， 代入C的方程，得，故，即 因，所以，故，解得， 故C的离心率为． （2）由（1）知，设，， 因为P，Q是C上的两点，故， 两式相减得：， 若，则直线的斜率不存在， 由双曲线的对称性可知，此时线段的中点位于轴，故不符合题意； 若，则， 因为是线段的中点，所以，， 则， 所以直线的方程为，即， 经检验此时该直线与双曲线有两个交点，满足题意， 则直线的一般式方程为， 【变式7-3】已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于两点.若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【解析】设，则，直线的斜率， 因为在椭圆上，则，两式相减得， 整理可得，即， 可得直线的方程为，即，经检验符合题意， 所以直线的方程为，即. 1．已知直线l：，曲线C：，则直线l与曲线C的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】由直线l：，得直线l过定点， 因为，所以该点在曲线C：内部. 所以直线l与曲线C相交. 故选：C. 2．（2025·高二·江苏南通·期末）下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知椭圆关于x轴、y轴、原点对称， 直线与直线关于x轴对称， 直线与直线关于原点对称， 所以椭圆被直线、、所截得的弦长相等，故排除B、C； 根据椭圆的对称性可知原点到直线的距离越远，直线被椭圆截得的弦长越小， 过原点比到原点的距离远， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要短，故排除D， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要长， 故选： 3．（2025·高二·湖北武汉·期中）过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】当时，，所以，故点在双曲线上， 因此过点且与双曲线的两条渐近线平行的直线，只与双曲线有一个交点， 设（且） 将其代入双曲线方程可得，化简得， 令，化简得， 解得， 故过点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 或者由得， 当时，，故，故处的切线斜率为， 故过点经过点的直线方程为，即， 联立与可得，解得， 因此在点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 综上可知：过点的直线有3条与双曲线有一个交点， 故选：C 4．（2025·山东·模拟预测）过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【解析】由题意得双曲线左焦点，当直线垂直于横轴时，不符合题意，双曲线渐近线方程为； 故可设， 与双曲线联立可得， ， 由弦长公式知， 则或. 故存在四条直线满足条件. 故选：D 5．（2025·高二·内蒙古呼和浩特·期中）过点与抛物线只有一个交点的直线有（　　）条. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题意可知点在抛物线外 故过点且与抛物线只有一个公共点时只能是： ①过点且与抛物线相切，此时有两条直线； ②过点且平行对称轴轴，此时有一条直线； 则过点与抛物线只有一个交点的直线有3条. 故选：C． 6．（2025·全国·模拟预测）已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，两个切点分别为，若，则的值为（    ） A．2或 B．1或 C．2或 D．1或 【答案】C 【解析】由题抛物线，则， 设，则， 所以抛物线在、B点处的切线斜率分别为， ， 整理得，， 所以直线的方程为， 与联立并消去得， 所以，， 从而 ， 解得， 故选：C. 7．（2025·山东泰安·模拟预测）已知是椭圆的右焦点，点在上，轴，直线与轴不重合，与交于、两点，. (1)求的方程； (2)证明：过定点. 【解析】（1）依题意，，解得，， 所以的方程为. （2）点，显然的斜率存在，设的方程为，， 由消去整理，得 由直线与椭圆交于、两点，得 ， 则，由，得直线的斜率互为相反数， 即， 因此，整理得， 则，化简得， 所以直线的方程为 ，即过定点. 8．（2025·四川成都·模拟预测）已知点在抛物线的准线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线与抛物线交于、两点，过作斜率为2的直线交抛物线于． （i）求证：直线过定点； （ii）直线与抛物线交于另外一点，求证：． 【解析】（1）抛物线的准线为，则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）（i）设点，由点在抛物线上， 得直线的斜率， 则直线的方程为：，即， 由直线过点，得，设， 则直线斜率，即，， 于是，即，， 又直线的方程为：，即， 所以直线恒过定点． （ii）由直线过点，得，则， 而，于是，化简得， 则直线的斜率，所以. 9．（2025·海南·模拟预测）在直角坐标系中，已知点，，动点满足，记动点的轨迹为． (1)求的标准方程； (2)设直线与的另一个交点为，证明：为定值． 【解析】（1）由，得，， 由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支， 且，则，，所以， 所以C的方程为； （2）设方程为，， ，消去x得， 则，，， 又， 由两点距离公式得， ， 所以 ，即证. 10．已知双曲线的渐近线与圆相切． (1)求双曲线的方程． (2)已知双曲线，（在轴上方，在轴下方）是右支上两个不同的点，直线与的一个交点为，，连接（为坐标原点）分别交于点． ①判断四边形的形状； ②证明的面积为定值，并求出这个定值． 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，即， 圆的圆心为，半径为，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）①由（1）知双曲线的方程为， 设，，， 则直线的方程为，与联立，得，， 则，同理得，分别为的中点， 则，， 又，因此，， 所以四边形为平行四边形． ②方法一  显然直线的斜率不为0，设直线， 由得， ，， 设，则，， 由，得， 则，， 两式分别平方后作差得， 即，得， 因此，即， ，解得， ， 到直线的距离， ． 所以的面积为定值，此定值为. 方法二  由①知，设点， 则， 得，，即， 由点在上，则，即， 整理得，因此，即， 设，则 ， 则， 所以的面积为定值，此定值为. 11．（2025·福建福州·模拟预测）已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A.B两点，点在第一象限，过点作直线AB的垂线，交轴正半轴于点，直线BC交直线AM于点．记的面积分别为． (1)求的准线方程； (2)证明：； (3)求的最小值及此时点的坐标． 【解析】（1）点满足，则，解得． 故，准线方程：． （2）如下图所示： 设直线，否则直线轴，不合题意)， 联立消元得， 设，则， 由抛物线定义有， 则，问题得证． （3）易知直线的斜率一定存在，如下图： 不妨令，则，代入抛物线方程可得，即， 由于，且直线AB的斜率， 故直线，即， 令，则得点的横坐标为， 由可得直线， 联立，解得点纵坐标， 因此， ， 记， 则 . 因为当时，， 所以时，时，， 故在区间上单调递减，在上单调递增， 因此当时，取到最小值，此时． 12．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，已知抛物线的焦点为为坐标原点．过作两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点．当垂直于轴时，． (1)求抛物线的方程； (2)若，求四边形面积的取值范围； (3)将绕轴旋转一周得到一个旋转体，求该旋转体体积的最小值． 【解析】（1）当轴时， 由得， 抛物线C方程为 （2）设， 依题意，直线的斜率均存在且不为0，设， 将其与联立消元得： 则， 于是，， 因， 则 因，则，同理可得： 则 ，当且仅当时取等号， 即四边形面积的取值范围为 （3） 设A、B关于y轴的对称点分别为，记以等腰梯形绕y轴旋转一周得到圆台体积为， 以为底面直径，O为顶点的圆锥体积为，以为底面直径，O为顶点的圆锥体积为， 则所求旋转体体积为： 当且仅当，即时等号成立， 此时所求旋转体体积的最小值为． 13．（2025·湖北黄石·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，且经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的左、右顶点分别为，，动直线与交于不同的两点，，直线，交于点，证明：点恒在椭圆上，并求出椭圆的方程． (3)已知，是双曲线上关于原点对称的两点，垂直于的直线与双曲线相切于点，当点位于第一象限，且被轴分割为面积比为的两部分时，求直线的方程． 【解析】（1）设双曲线的半焦距为，则，，， 解得，， 故双曲线的标准方程. （2）由（1）知， 设，则，且， 直线的方程分别为， 两式相乘得，即， 因为点E既在直线上，又在直线上，所以点E的坐标满足， 所以点E恒在椭圆上． （3）由题意可知，直线的斜率存在且不为，故设直线， 则切线， 设切点， 联立，得， 则，，， 则，， 则， 得，，即或（舍，此时直线与双曲线无交点）， 如图，设直线与轴的交点为，在第二象限，在第四象限， 设，， 因被轴分割为面积比为的两部分， 则，则， 联立，得，则，则， 则， 故，即， 与联立得，， 故直线的方程为. 14．已知双曲线 ，过点 作直线 ，若 是 与 交点的中点，求 的方程，并判断是否存在这样的直线. 【解析】设直线与双曲线交于， 中点，则， 将代入双曲线方程有， 两式相减得：， 代入中点坐标：，即斜率. 得. 将直线方程代入双曲线方程得， 整理得， ， 方程有两个不同的实根，所以直线与双曲线有两个不同的交点， 故存在符合条件的直线. 15．（2025·高二·甘肃临夏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 【解析】（1）由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. （2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 16．（2025·湖北武汉·三模）已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线；将曲线上每一点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变），得到曲线． (1)求曲线的方程； (2)若为曲线上一动点且在第一象限内，直线分别交曲线与两点，连接交轴与点． （ⅰ）若，求直线的方程； （ⅱ）曲线上是否存在定点使得三点的横坐标按一定顺序成等比数列？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设圆的半径为，点 由于，从而圆与圆内切 又圆与圆外切，与圆内切，则有， 当时，，，从而，矛盾，故不符合题意； 当时，，，从而， 则点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆（除去点） 设，则半焦距为，即，从而， 故 设为曲线上任意一点，则点在曲线上，即，即 故； （2）由题意知直线的斜率存在，从而记直线的斜率分别为 设为上一点，则有，即， 从而 设直线 设 联立，得 有，得，即 同理可得 联立，得，从而，有 （ⅰ）由，即有， 解得，又，则 从而直线的方程：即 （ⅱ）由直线的斜率 则直线的方程： 令，则 又，从而，故存在使得， 即三点的横坐标成等比数列． 17．（2025·高二·贵州黔西·期中）已知中心为坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，且椭圆M过点． (1)求椭圆M的方程； (2)若过点的直线l与椭圆M交于A，B两点，，求直线l的方程． 【解析】（1）设椭圆M的方程为半焦距为c， 由题意知，解得，， 故椭圆M的方程为． （2）设，， ∵，∴，． 又，∴，． ∴，． 又， ∴． 又， ∴，，解得． 当时，；当时，． ∴直线l的方程为． 18．（2025·云南昆明·二模）已知，，动点满足直线与直线斜率之积为．记的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与相交于，两点，与轴交于点，若，求直线的方程． 【解析】（1）设，据题意知， 化简得， 所以的方程为． （2）设，，， 联立消得， 故，， 据题意知且，所以，， 由得， 所以，解得， 所以直线的方程为． 19．（2025·山东聊城·三模）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． (1)求的方程； (2)若，分别是的左、右顶点，不与轴垂直的动直线与交于，两点（不同于，），且直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求证：直线经过定点． 【解析】（1）由题意得：， ，所以解得， 即椭圆方程； （2） 设直线方程为，与椭圆联立，消得： ， 其中， 设，则， 由已知得：， 再化简得：， 代入得：， 整理得：， 因为直线不经过点，所以， 即， 所以直线的方程为， 因此直线经过定点. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$