专题06 表面涂色的正方体-2025年新六年级数学暑假自学课（苏教版）

编者的话 随着暑假的到来，我们为大家精心准备了这份预习衔接的学习资料。希望通过这份资料，你们能够为新学期做好充分的准备。 在本套资料之前，还有一套查缺补漏、专项提升部分，我们着重强化了对上学期内容的巩固与提升。相信通过上一阶段的复习与练习，你们不仅对之前学过的知识点有了更深入的认识和领会，而且已经能够熟练地将所学知识应用于实际问题中，真正做到了学以致用。 接下来，新课衔接部分将带领大家进入新的学期。在这里，我们精选了1-2个单元的重点内容，供你们提前预习。通过这一阶段的预习，你们将能够初步感受新知识的魅力与趣味，体验到自己在学习能力上的进一步提升和跨越所带来的成就感。 新学期即将开始，我们期待你们能够继续保持积极进取的学习态度，不断突破自我，勇于探索和创新。相信在新的学期里，你们会展现出更加出色的学习状态，取得更加优异的成绩，实现自己的梦想！ 最后，祝愿大家暑假愉快，学业进步！ 2025年新六年级数学暑假自学课 专题06 表面涂色的正方体 1、掌握正方体切开后涂色面个数与位置的关系。 2、通过观察、想象、抽象等活动，进一步认识正方体。 1、把棱长为几厘米的大正方体涂色后切成棱长为1厘米的小正方体，涂色面的规律： （1）3面涂色的小正方体个数=大正方体的顶点个数=8个； （2）2面涂色的小正方体个数=大正方体棱的条数乘棱长减2的差=12×（n－2）； （3）1面涂色的小正方体个数=大正方体的面数乘棱长减2的差的平方=6×（n－2）²。 一、选择题 1．一个表面涂色的正方体木块，每条棱被平均分成5份，切成若干个小正方体，其中两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．12 B．24 C．36 D．54 2．一个四阶魔方（为4×4×4的立方体结构），两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．6 B．8 C．12 D．24 3．如果给（如图）小正方体拼成的几何体表面分别图上颜色（底面也涂色），4个面涂色的小正方体有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，用棱长为1厘米的小正方体摆成的物体，如果给这个物体的表面涂上红色，那么涂色面积是（    ）平方厘米。 A．3 B．6 C．9 D．18 5．从由8个小正方体拼成的大正方体中拿走一个小正方体（如图），这时它的表面积（    ）。 A．比原来小 B．比原来大 C．和原来一样 二、填空题 6．一个正方体木块，6个面都涂上红色，然后把它切成大小相等的64个小正方体，其中有两面涂红色的小正方体有( )个。 7．把一个正方体木块表面涂满红色，平均切成27个大小相等的小正方体。切成的小正方体中，3个面涂红色的小正方体有( )个，1个面涂红色的小正方体有( )个。 8．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智类玩具。通常意义下的魔方是指狭义的三阶魔方（即6个面，每个面三行三列），形状通常是正方体，后来又发展出了更多类型的魔方，如有一个正方体魔方，表面涂有颜色，如果其中两面涂色的小方块有36个，则这个正方体魔方是( )阶魔方，这个魔方一面涂色的有( )个。 9．一个棱长为4厘米且表面涂色的正方体，如果把它切成两个相同的小长方体，表面积比原来增加( )平方厘米；如果把它切成棱长为1厘米的小正方体，则两面涂色的小正方体有( )个。 10．一个梭长是4分米的正方体木块，表面涂满了红色。把它切成棱长是1分米的小正方体，在这些小正方体中，三个面涂红色的有( )个，一个面涂红色的有( )个。 三、解答题 11．1000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有二面被油漆涂过的数目是多少个？ 12．一个正方体，将它的表面涂成蓝色，然后切成棱长1厘米的小正方体。已知两面涂色的有24块，这个大正方体的体积是多少立方厘米？ 13．把一个正方体木块的表面全涂上红色，然后切成27个相同的小正方体（如下图）。 （1）三个面涂红色的有多少个？ （2）两个面涂红色的有多少个？ （3）一个面涂红色的有多少个？ （4）六个面都没有涂色的有多少个？ 14．如图，将棱长为2分米的若干小正方体堆放在墙角。 （1）一共堆放了（    ）个小正方体，体积一共是（    ）立方分米。 （2）至少再添（    ）个这样的小正方体才能堆成一个大正方体。 （3）这堆小正方体露在外面的总面积是多少平方分米？ 15．健身房有一排长方体的储物柜，长3.5米，宽1.2米。 （1）这排储物柜的占地面积是多少平方米？ （2）给这排储物柜的前面、左面和右面涂上油漆，涂油漆的面积是多少平方米？ （3）如果涂油漆的费用是60元/平方米，那么涂油漆一共需要多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编者的话 随着暑假的到来，我们为大家精心准备了这份预习衔接的学习资料。希望通过这份资料，你们能够为新学期做好充分的准备。 在本套资料之前，还有一套查缺补漏、专项提升部分，我们着重强化了对上学期内容的巩固与提升。相信通过上一阶段的复习与练习，你们不仅对之前学过的知识点有了更深入的认识和领会，而且已经能够熟练地将所学知识应用于实际问题中，真正做到了学以致用。 接下来，新课衔接部分将带领大家进入新的学期。在这里，我们精选了1-2个单元的重点内容，供你们提前预习。通过这一阶段的预习，你们将能够初步感受新知识的魅力与趣味，体验到自己在学习能力上的进一步提升和跨越所带来的成就感。 新学期即将开始，我们期待你们能够继续保持积极进取的学习态度，不断突破自我，勇于探索和创新。相信在新的学期里，你们会展现出更加出色的学习状态，取得更加优异的成绩，实现自己的梦想！ 最后，祝愿大家暑假愉快，学业进步！ 2025年新六年级数学暑假自学课 专题06 表面涂色的正方体 1、掌握正方体切开后涂色面个数与位置的关系。 2、通过观察、想象、抽象等活动，进一步认识正方体。 1、把棱长为几厘米的大正方体涂色后切成棱长为1厘米的小正方体，涂色面的规律： （1）3面涂色的小正方体个数=大正方体的顶点个数=8个； （2）2面涂色的小正方体个数=大正方体棱的条数乘棱长减2的差=12×（n－2）； （3）1面涂色的小正方体个数=大正方体的面数乘棱长减2的差的平方=6×（n－2）²。 一、选择题 1．一个表面涂色的正方体木块，每条棱被平均分成5份，切成若干个小正方体，其中两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．12 B．24 C．36 D．54 【答案】C 【分析】 如图，两面涂色的小正方体在大正方体每条棱的中间，每条棱有3个小正方体两面涂色，正方体有12条棱，每条棱两面涂色小正方体的个数×12＝两面涂色的小正方体总个数。 【解答】3×12＝36（个） 两面涂色的小正方体有36个。 故答案为：C 2．一个四阶魔方（为4×4×4的立方体结构），两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【分析】两面涂色的小正方体位于大正方体每条棱上（除去2个顶点）的中间位置，根据题意，每条棱上有4－2＝2个，正方体共有12条棱，用每条棱上两面涂色的小正方体的个数乘棱数即可。 【解答】（4－2）×12 ＝2×12 ＝24（个） 则两面涂色的小正方体有24个。 故答案为：D 3．如果给（如图）小正方体拼成的几何体表面分别图上颜色（底面也涂色），4个面涂色的小正方体有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】正方体有6个面，把正方体拼在一起，每个正方体除去相拼的面其它面可以图色。由于要4个面涂色，只需要找出一个正方体有2个面和其它正方体拼接，据此观察解答。 【解答】如果给（如图）小正方体拼成的几何体表面分别图上颜色（底面也涂色），4个面涂色的小正方体有3个。 故答案为：B 4．如图，用棱长为1厘米的小正方体摆成的物体，如果给这个物体的表面涂上红色，那么涂色面积是（    ）平方厘米。 A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】D 【分析】共有4个小正方体组成，正方体上每个面的面积是1×1=1平方厘米，表面涂色的正方体的面就是小正方体露在外部的面的个数，则从6个方向：前、后、左、右、上、下看这个组合图形，再把这些面的个数相加，再乘每个面的面积就能求出涂色面积。 【解答】1×1＝1（平方厘米） （6×3）×1 ＝18×1 ＝18（平方厘米） 则涂色面积是18平方厘米。 故答案为：D。 5．从由8个小正方体拼成的大正方体中拿走一个小正方体（如图），这时它的表面积（    ）。 A．比原来小 B．比原来大 C．和原来一样 【答案】C 【分析】由题意可知，拿走一个小正方体减少了3个面，又增加了3个面，现在图形的表面积就等于原来大正方体的表面积，依此即可作出选择。 【解答】观察图形可知，拿走一个小正方体减少了3个面，又增加了3个面，则表面积不变。 故答案为：C 【点评】解答此题的关键是明白，拿走一个小正方体减少了3个面，又增加了3个面，则表面积不变。 二、填空题 6．一个正方体木块，6个面都涂上红色，然后把它切成大小相等的64个小正方体，其中有两面涂红色的小正方体有( )个。 【答案】24 【分析】已知正方体木块被切成64块小正方体，根据64＝4×4×4可得大正方体每条棱长上面都有4个小正方体；由正方体的认识可知，在各棱处，除去顶点外其他小正方体都是两面涂色，据此求出一条棱上的两面涂色的小正方体的个数，再乘棱的条数12即可解答。 【解答】64＝4×4×4 （4－2）×12 ＝2×12 ＝24（个） 一个正方体木块，6个面都涂上红色，然后把它切成大小相等的64个小正方体，其中有两面涂红色的小正方体有24个。 7．把一个正方体木块表面涂满红色，平均切成27个大小相等的小正方体。切成的小正方体中，3个面涂红色的小正方体有( )个，1个面涂红色的小正方体有( )个。 【答案】8 6 【分析】依据题意可知，大正方体被分成（3×3×3）个小正方体，3个面涂红色的小正方体在大正方体的顶点位置处，1个面涂红色的小正方体在大正方体的6个面上（除去棱上的小正方体），由此解答本题。 【解答】由分析可知： 3个面涂红色的小正方体有8个，1个面涂红色的小正方体有6个。 8．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智类玩具。通常意义下的魔方是指狭义的三阶魔方（即6个面，每个面三行三列），形状通常是正方体，后来又发展出了更多类型的魔方，如有一个正方体魔方，表面涂有颜色，如果其中两面涂色的小方块有36个，则这个正方体魔方是( )阶魔方，这个魔方一面涂色的有( )个。 【答案】5 54 【分析】根据正方体的特征，两面涂色的小方块在大正方体棱长的中间，正方体有12条棱，两面涂色的小方块数量÷12＝每条棱上两面涂色的小方块数量，每条棱上两面涂色的小方块数量＋2＝每条棱上小方块的数量，即魔方的阶数；一面涂色的小方块在大正方体每个面的中间，一面涂色的小方块数量＝（魔方的阶数－2）×（魔方的阶数－2）×6。 【解答】 如图 36÷12＋2 ＝3＋2 ＝5（阶） （5－2）×（5－2）×6 ＝3×3×6 ＝54（个） 这个正方体魔方是5阶魔方，这个魔方一面涂色的有54个。 9．一个棱长为4厘米且表面涂色的正方体，如果把它切成两个相同的小长方体，表面积比原来增加( )平方厘米；如果把它切成棱长为1厘米的小正方体，则两面涂色的小正方体有( )个。 【答案】32 24 【分析】根据题意，把一个正方体切成两个相同的小长方体，表面积会增加两个截面的面积；由正方体的特征可知，每个截面是边长为4厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘2，即是增加的表面积。 如果把棱长为4厘米的正方体切成棱长为1厘米的小正方体，则每条棱长有4个小正方体；根据正方体表面涂色的特点：两面涂色的小正方体在每条棱上；每条棱上有（4－2）个小正方体两面涂色，共有12条棱，据此求出两面涂色的小正方体个数。 【解答】表面积增加： 4×4×2 ＝16×2 ＝32（平方厘米） 每条棱上有小正方体：4÷1＝4（个） 两面涂色的有： （4－2）×12 ＝2×12 ＝24（个） 填空如下： 一个棱长为4厘米且表面涂色的正方体，如果把它切成两个相同的小长方体，表面积比原来增加（32）平方厘米；如果把它切成棱长为1厘米的小正方体，则两面涂色的小正方体有（24）个。 10．一个梭长是4分米的正方体木块，表面涂满了红色。把它切成棱长是1分米的小正方体，在这些小正方体中，三个面涂红色的有( )个，一个面涂红色的有( )个。 【答案】8 24 【分析】因为4÷1＝4，所以大正方体每条棱上都有4个小正方体。三面涂有红色的是各个顶点上的小正方体。正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个。一个面涂色的是大正方体每个面上除去棱上的小正方体，有（4－2）×（4－2）×6＝24（个）。 【解答】（4－2）×（4－2）×6 ＝2×2×6 ＝24（个） 所以在这些小正方体中，三个面涂红色的有8个，一个面涂红色的有24个。 三、解答题 11．1000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有二面被油漆涂过的数目是多少个？ 【答案】104个 【分析】因为10×10×10＝1000，所以大正方体的每条棱上有10个小正方体，三面涂色的小正方体在大正方体的8个顶点处，有8个；二面涂色的小正方体在大正方体的12条棱上除了顶点处，有（10－2）×12个；其他的小正方体是没有涂色的和一面涂色的；所以这些小正方体至少有二面被油漆涂过的数目是三面涂色的加上二面涂色的；据此解答。 【解答】10×10×10 ＝100×10 ＝1000（个） （10－2）×12 ＝8×12 ＝96（个） 8＋96＝104（个） 答：这些小正方体至少有二面被油漆涂过的数目是104个。 12．一个正方体，将它的表面涂成蓝色，然后切成棱长1厘米的小正方体。已知两面涂色的有24块，这个大正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】64立方厘米 【分析】由于两面涂色的小正方体处在12条棱的中间，所以用24除以12求出每条棱的中间小正方体的个数，然后再加上2求出每条棱上小正方体的个数，进而求出大正方体的棱长，然后根据正方体的体积公式解答即可。 【解答】每条棱上有小正方体： 24÷12＋2 ＝2＋2 ＝4（个） 1×4＝4（厘米） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 答：这个大正方体的体积是64立方厘米。 【点评】本题关键是理解两面涂色的小正方体所处的位置。 13．把一个正方体木块的表面全涂上红色，然后切成27个相同的小正方体（如下图）。 （1）三个面涂红色的有多少个？ （2）两个面涂红色的有多少个？ （3）一个面涂红色的有多少个？ （4）六个面都没有涂色的有多少个？ 【答案】（1）8个 （2）12个 （3）6个 （4）1个 【分析】（1）这个正方体每个顶点处的小正方体块三面积涂色，一个正方体有8个顶点，因此，三面涂色的小正方体有8个； （2）每条棱上非顶点处的小正方体两面涂色，一个正方体有12条棱，每条棱上只有1个小正方体，因此，两面涂色的有12个； （3）根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体，在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色，因此，一面涂红色的有6个； （4）大正方体内的小正方体六个面都没有涂色，这个样的小正方体只有1个。 【解答】如图所示： 一个表面涂满了红色的正方体，在它的每个面上都等距离地切两刀，切成了27个小正方体。 （1）三个面涂有红色的小正方体有 8个； （2）两个面涂有红色的小正方体有 12个； （3）一个面涂红色的小正方体有有6个； （4）六个面都没有涂红色的小正方体有 1个。 【点评】解答此题的关键是明白居中大正方体什么位置的三涂色，什么位置的两面涂色，什么位置的一面涂色，什么位置的没有涂色。 14．如图，将棱长为2分米的若干小正方体堆放在墙角。 （1）一共堆放了（    ）个小正方体，体积一共是（    ）立方分米。 （2）至少再添（    ）个这样的小正方体才能堆成一个大正方体。 （3）这堆小正方体露在外面的总面积是多少平方分米？ 【答案】（1）14；112； （2）13； （3）84平方分米 【分析】（1）一层一层的从下往上数，第一层有8个小正方体，第二层有5个小正方体；三层有1个小正方体，所以一共有8＋5＋1＝14个小正方体；将棱长带入正方体体积公式求出一个小正方体的体积，再乘14即可求出体积一共是多少； （2）以棱长上小正方体最多的棱为大正方体棱上小正方体的个数，求出大正方体中有多少个小正方体，再减去已有的个数即可； （3）从上面看有8个小正方形面；从前面看有7个小正方形面；从右面看有6个小正方形面，共8＋7＋6＝21个小正方形面，求出一个面的面积再乘21即可。 【解答】（1）一共堆放了8＋5＋1＝14个小正方体，体积一共是2×2×2×14＝112立方分米。 （2）3×3×3－14 ＝27－14 ＝13 至少再添13个这样的小正方体才能堆成一个大正方体。 （3）2×2×（8＋7＋6） ＝4×21 ＝84（平方分米） 答：这堆小正方体露在外面的总面积是84平方分米。 【点评】本题主要考查正方体的特征、体积公式。 15．健身房有一排长方体的储物柜，长3.5米，宽1.2米。 （1）这排储物柜的占地面积是多少平方米？ （2）给这排储物柜的前面、左面和右面涂上油漆，涂油漆的面积是多少平方米？ （3）如果涂油漆的费用是60元/平方米，那么涂油漆一共需要多少元？ 【答案】（1）4.2平方米；（2）4.72平方米；（3）283.2元 【分析】（1）这排储物柜的占地面积就是指这排储物柜的底面积，利用长方形的面积公式即可解答； （2）求出这排储物柜的前面、左面和右面的面积，三者相加即为涂油漆的面积； （3）涂油漆的面积×每平方米的价格即为涂油漆一共需要的钱数。 【解答】（1）3.5× 1.2＝4.2（平方米） 答：这排储物柜的占地面积是4.2平方米。 （2）3.5×0.8＋1.2×0.8×2 ＝2.8＋1.92 ＝4.72（平方米） 答：涂油漆的面积是4.72平方米。 （3）4.72×60＝283.2（元） 答：涂油漆一共需要283.2元。 【点评】解答此题的关键掌握长方体表面积公式的灵活应用，计算时要认真。 学科网（北京）股份有限公司 $$