2025年中考数学真题完全解读（山西卷）

2025年中考数学真题完全解读（山西卷） 本套试卷分为第I卷（选择题部分，共30分）和第II卷（非选择题部分，共90分），总分120分，整体题型结构延续了山西省近几年中考的基本模式。第I卷包括10道单项选择题，每小题3分，题目覆盖了初中阶段核心知识的多个领域；第II卷包含5道填空题（共15分）和8道解答题（共75分），综合考查学生对几何、代数、函数、统计与概率等内容的掌握及应用能力，题量适中。 结合《义务教育数学课程标准（2022版）》对初中毕业生的要求来看，本套试卷在选材与设置上较好地体现了“三维目标”和核心素养的要求，兼顾了地区学情、教情和校情。在知识覆盖面方面，试题涉及有理数比较、不等式组、因式分解、函数模型、三角形、平行四边形、圆、概率与统计等内容。值得注意的是，试卷多次强调实际情境的运用，如在函数和统计题中融入“电解水制氢”“农户电商”“交通工具出行统计”等真实情境。通过此类情境题，学生既能运用数学思维解决生活中的实际问题，也能充分体会到数学与现实的紧密关联。 在难易度分配方面，整卷由易到难层次分明：第I卷多为基础概念与基本运算，难度相对较低；第II卷前半部分填空题侧重运算与概念考查，中后部分解答题的几何综合与函数综合题难度逐步上升。试卷后段存在一定的综合性、灵活性考查，如对相似三角形、直角三角形中的三角函数、折叠几何的考查，均涵盖了空间想象、推理论证、计算能力的多重要求。一些题目还蕴含线段关系、角度关系的设计，需要学生熟练掌握或等全等、相似判定，以及运用等勾股定理知识，体现出稳中有变的考测特点。 从计算量来看，本卷并未出现大规模繁琐运算，大多在合理的范围内，需要学生具备基本的代数操作和几何推理能力，稍有不慎则会出现运算失误。统计与概率模块搭配近年热点，如扇形统计图与条形统计图、抽样估计与方差概念等，进一步突显对数据分析与整理能力的考核。函数部分既包含正比例函数和一次函数，也出现了正反比例叠加分析，对学生理解函数图象变换和代数表达式推导的能力有较高要求。 整体而言，该试卷紧扣课程标准要求，注重基础知识与核心素养的融合，难度梯度合理，覆盖面广。从试题设计可见，它力求兼顾不同层次学生的学习情况，既不会一味追求偏难怪题，也能够通过最后几题对学生在几何推理、函数应用、运算能力方面进行有效区分，体现了中考选拔和育人功能的统一。对教师教学而言，试卷呈现出对数学思想方法（如数形结合、方程模型、分类讨论、数理统计）的综合检验；对学生而言，需要通过扎实的基础与熟练的思维应用来应对各类实际场景与综合题型，能够全面考查学生的思维深度与实践能力。总体来看，该试卷契合当前教学改革方向，可有效衡量学生达成课程目标的程度与关键素养的发展水平。 本套 2025 年山西省中考数学试卷仍然保持与 2024 年相同的整体题型构成： ❆选择题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 ❆填空题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分 ❆解答题共 8 小题，共 75 分 全卷满分 120 分，与上一年相比，题型（选择、填空、解答）的个数与分值安排并未发生变化。 1.情境设置更具综合性 从题目情境上看，较 2024 年更加注重社会热点与日常生活情境相融合，例如公共交通、电商销售、科技创新场景、环保与绿色能源等，突出数学应用价值。 2.考查深度与知识融合度提升 虽然题型数量未变，但多道题目在单一知识点的基础上，融合了函数、几何、统计与概率等多领域知识，增加了运算与推理的综合难度。 3.思维与探究能力要求提高 解答题尤其关注考生的探究过程和逻辑说明，例如相似三角形、旋转问题、折叠与作图，要求在几何作图结合代数运算中体现数形结合思维。 4.命题方向更贴近实践 试卷从实际测量、项目学习、数据统计、仿生机械等社会真实项目情境出发，引导学生将数学方法与实际问题相结合，更注重学生创新思考与建模能力。 1.重视多学科思维融合 在复习中需要进一步巩固代数、几何、统计、概率等多知识点的衔接与统筹，以应对综合性情境题。 2.加强探索型题目的练习 尤其对折叠与几何作图、函数建模与数据分析等，需要在理解基本定理的同时，注重探究与逻辑阐述能力。 3.关注社会与生活背景 适当了解热点话题、实际生产生活场景，并将其与数学知识相结合，提高运用数学思维解决实际问题的能力。 下面从整体结构、各题考查内容及难易程度来分析本套试卷。 ❆第I卷：选择题，共10小题，每小题3分，共30分。 ❆第II卷： ★填空题，共5小题，每小题3分，共15分。 ★解答题，共8小题，共75分。 全卷共23道大题，满分120分，题型包括选择题、填空题和解答题，既考查基础知识与基本技能，也注重综合运用与能力提升。 以下表格按照题目顺序，列出了各题号的分值、题型、考查内容以及难易分析，便于对知识点分布与考核情况进行整体把握。 题号 分值 题型 考查内容 难易分析 1 3 选择题 有理数的大小比较 易 2 3 选择题 中心对称图形 易 3 3 选择题 整式的运算（同底数幂、合并同类项等） 易 4 3 选择题 全等三角形的判定（SAS、ASA等） 中 5 3 选择题 不等式组的解集 中 6 3 选择题 平行四边形的性质、三角形中位线 中 7 3 选择题 统计与概率：方差比较与极差 中 8 3 选择题 圆周角定理、直径所对圆周角 中 9 3 选择题 反比例函数及其应用（正比例关系判断） 中 10 3 选择题 扇形面积与等腰直角三角形性质 中 11 3 填空题 因式分解（平方差公式） 易 12 3 填空题 列代数式（利润增加量的计算） 易 13 3 填空题 平面直角坐标系中的旋转变换 中 14 3 填空题 概率基础（树状图或列表法求概率） 中 15 3 填空题 相似三角形、几何综合计算 难 16 10 解答题 含乘方有理数运算与二元一次方程组 易 17 7 解答题 一次函数与反比例函数的交点与综合应用 中 18 8 解答题 统计图（条形、扇形统计图）及用样本估计总体 中 19 7 解答题 分式方程的应用（更换钢轨时间问题） 中 20 8 解答题 解直角三角形应用（仰角、俯角实际测量问题） 中 21 9 解答题 几何概念“双关联线段”、矩形与等边三角形综合 中 22 13 解答题 二次函数(抛物线)建模、平移及综合应用 难 23 13 解答题 纸面折叠与菱形、相似三角形等综合几何问题 难 ❆易：第1、2、3、11、12、16（共6题） ❆中：第4、5、6、7、8、9、10、13、14、17、18、19、20、21（共14题） ❆难：第15、22、23（共3题） 易：约6题，占比约26%；中：14题，占比约61%；难：3题，占比约13%。 从整体来看，本套试卷呈现出“基础知识掌握+综合能力提升”的结构特点。大部分考查点涉及初中数学主干知识，如代数运算、函数、几何性质、统计运用等，且覆盖面广，注重对数学思维与方法的综合应用。 1.易（基础题） ❆特点：直接考查概念或基本运算，解题步骤简明，运用课本典型结论即可作答。 ❆例：第1题“有理数的大小比较”，只需掌握正负数判断和绝对值比较即可快速选出正确选项。 2.中（中等题） ❆特点：综合度较高，往往结合几何定理、函数性质或数据统计分析，要求对各章节的知识点进行初步融合。 ❆例：第9题“反比例函数及其应用”，需要先判断正比例或反比例，再结合给定数据求出函数解析式。 3.难（综合题） ❆特点：强调多知识点交叉、综合，高度考验解题思路、模型构建以及几何推理或方程求解的灵活性。 ❆例：第22题“二次函数运动路线建模、平移与障碍物安全通过分析”，既要利用抛物线性质，又要结合平移、坐标计算等综合解决实际问题。 总体而言，本套试卷注重对基础知识的全面考查，并提供了适度的中高难度题进行区分与拔高，有利于检测考生的综合运用与创新思维能力。祝各位同学在复习备考过程中，抓牢基础、适当提高，取得理想成绩！ 在本套试卷（尤其是第Ⅰ卷选择题）中，涉及到的知识模块主要包含：有理数的大小比较、图形的中心对称与全等判定、整式运算（如合并同类项、因式分解等）、不等式组解法、函数与图象、圆的基础几何性质以及数据统计与概率等。以下从重点知识、题型技巧、心理调适以及命题趋势等几个方面，为同学们提供复习备考建议。 1.有理数比较与运算： ❆学生易错点在于负数之间的大小比较。复习时要牢记“同为负数，绝对值大的更小”。例如比较与时，要注意比更小。 ❆在混合运算中，需严格按照“括号—乘方—乘除—加减”的顺序，尤其对带有负号的绝对值、平方等要稳扎稳打地计算，避免粗心。 2.几何图形的对称与全等： ❆对于中心对称图形的判断：如果一个图形能绕某点旋转与自身重合，则它是中心对称图形。常见易错点在于把某些只有轴对称的图案误判为中心对称。 ❆全等三角形的判定常用、、、等，同学们在判断时需严格对照已知边角信息。 3.整式运算（合并同类项、因式分解等）： ❆合并同类项时，必须保证字母的种类和指数相同，否则不能直接相加。 ❆因式分解部分，尤其是“平方差公式”的运用，常被部分同学忽略或搞混。 ❆对于的展开，应注意是，漏项或符号出错很常见。 4.不等式与不等式组： ❆解不等式组时，一定要分别求各不等式的解集，再找公共部分。易错环节在于求解后未在数轴上进行检查或合并，若解集不交则答案可能为“无解”。 5.数据统计与概率： ❆涉及波动大小的比较时，若题目给出样本量不大，可采用方差或极差来判断。容易忽略的是：计算方差时，要先求平均数，再计算各差的平方，然后取平均。 ❆概率常用列表法或树状图法。关键在于完整、准确地罗列所有等可能结果数与感兴趣事件的结果数，避免“漏情况”或“重复情况”。 6.几何与圆： ❆圆中的直径、圆心角与圆周角的关系是重中之重，常见定理“直径所对的圆周角是直角”、“同弧所对的圆心角是圆周角的两倍”。要多画图、多记忆关键结论。 1.选择题解题技巧： ❆充分利用“排除法”与“特值法”。在遇到函数、几何或代数题目时，可结合已知条件设计简便数值或特殊图形，有时能迅速判断正确选项。 ❆若无法直接排除，可先做简化运算并观察选项的大小或符号，再配合题意进行验证。 2.填空题与解答题的思路： ❆填空题要求直接写结果或简要过程，常常考察基础运算或简单的几何结论。复习时可加强“秘籍”记忆：常用定理、公式、几何性质都要脱口而出。 ❆解答题一定要书写步骤明确： ①列表达式或方程：准确提炼题意中的数量关系，写清每一步的推导依据。 ②演算简洁：使用尽可能少但关键的辅助线或运算步骤，以免在繁琐运算中出错。 ③几何证明：多用“已知—求证—证明过程—结论”的结构，引用定理时标明名称或简要理由。 3.错题回顾与反思： ❆将易错知识点或计算错误集中在错题本中反复翻看，时常提问自己“错在何处”“我是否理解了正确做法”。 ❆特别注意文字陷阱和单位转换等小细节，避免在考场上重蹈覆辙。 1.适当放松，规律作息： ❆中考临近，既不能过度焦虑，也不可过于放松。每天保持正常作息和适度运动，保证精力充沛。 ❆面对相对困难的试题时，应先保持镇静，从基础入手逐步打开思路。 2.合理分配考试时间： ❆先快速确定简单题的答案，保证能拿到基础分，再投入更多时间在压轴或稍难的题目上。 ❆选择题一般答题速度应适度控制，避免过久纠结；若确实没有头绪，可标记后跳过，待做完其他题后再回头思考。 3.提高自信，化压力为动力： ❆平常模拟中若遇到失败或波动，要以错题分析为中心，通过纠正错误不断进步。 ❆相信“当下努力必有收获”，以饱满的状态投入复习，能够有效缓解压力。 1.运算与应用结合： 命题更加重视将基础运算放到实际生活情景中考查，同学们需提高对现实情境下的方程或不等式的建模能力，灵活使用一次函数、反比例函数解决简单应用问题。 2.几何综合类探究题或动点问题： 近年来几何题常与折叠、旋转、平移等变换相融合，并结合相似三角形、圆周角等核心定理。复习时要多演练几何探究题，注重画辅助线、抓住相似或全等的关键步骤。 3.数据统计和概率： 越来越多的真题关注社会、科技发展的主题情景，比如电商销售、环境监测等，同时结合统计图表、概率等知识点。要熟悉统计图的绘制原理（条形图、扇形图、折线图等）以及波动大小、方差与极差的运用。 4.开放性、探究性题目： 不少中考题会在求解最后一问时设置适度的开放探究，比如“在此基础上请进一步思考某量如何变化”。同学们可在复习后期，针对“专题探究”进行适当训练，提升创新解题意识。 综上所述，在备考过程中要强化基本概念与公式记忆，对易错环节展开重点训练；通过阶段性模拟题及时查漏补缺，不断完善解题方法。通过稳固的知识基础、清晰的思维和良好的考试心态，相信同学们必能在中考取得理想成绩！祝大家复习顺利、金榜题名！ 2025年山西省中考数学 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数中比小数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可判断求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵正数大于负数， ∴比小的数在，，中， ∵两个负数，绝对值大的数反而更小， 又∵， ∴， ∴比小的数是， 故选：． 2. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方等运算法则，根据相应法则，逐一进行计算判断即可． 【详解】A． 中的和不是同类项，无法合并，故错误． B．，正确． C． 应展开为 ，选项漏掉，故错误． D．，选项中结果为，计算错误． 故选：B． 4. 如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 【详解】在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出两个不等式的解集，再确定它们解集的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：解不等式 ，得：； 解不等式 ，得：， ∴不等式组的解集为：； 故选C． 6. 如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是边的中点，连接．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，由三角形中位线的性质得，进而由平行四边形的性质得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点是对角线的中点，点是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：． 7. 下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（ ） 日期 气温 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日 最高 12 6 10 9 8 最低 1 0 2 A. 日最高气温的波动大 B. 日最低气温的波动大 C. 一样大 D. 无法比较 【答案】A 【分析】本题考查的是方差的计算与含义，比较两组数据的波动情况，需计算它们的方差或极差，根据方差越大，波动越大判断即可. 【详解】解：最高气温数据：12，6，10， 9， 8 ∴平均数： 各数据与平均数的差的平方：，， ， ， ， ∴方差： ∵最低气温数据：1，，， 0，2 ∴平均数： 各数据与平均数的差的平方：， ， ， ， ， ∴方差：， ∴最高气温方差为4，最低气温方差为2，因此日最高气温的波动更大，选项A正确； 故选：A 8. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 9. 氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 水的质量 氢气的质量 A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：． 10. 如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解： ________． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特点是解题的关键；由平方差公式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了________元（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是关键；求出售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎增加的利润． 【详解】解：售出一个布老虎增加利润为（元）， 则售出a个布老虎增加的利润为． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则，，，然后通过，，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则， ∵点的坐标为， ∴， 由题意得，，， ∴，， ∴点对应点的坐标为， 故答案为：． 14. 如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是________． 【答案】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率；根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数及事件发生的可能结果数，利用概率公式即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2， 则回到格子A的概率为； 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，延长交延长线于点，过作于点，则，由三线合一性质可得，然后证明四边形是矩形，所以，，又，则可证，所以，求出，然后通过平行线的性质和等角对等边可得，设，则，，最后通过勾股定理求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交延长线于点，过作于点，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ∴，解得：， 即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解二元一次方程组等知识，正确进行运算是解题的关键； （1）依次计算绝对值、乘方与括号，最后计算加减即可； （2）利用加减消元法，两式相加消去未知数y，求得未知数x的值，再求出y的值即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）解：①+②，得， ． 将代入②，得， ． 所以原方程组的解是． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）， （2）10 【解析】 【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标； （2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解． 【小问1详解】 解：∵点C的坐标为，且在反比例函数的图像上， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； 设直线的解析式为，把A、C两点坐标分别代入得： ，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2， ∴， 解得：； 由题意知，， ∴ ． 18. 近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如图），所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为_________；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有__________人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 【答案】（1）36；135；见解析 （2）450人 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体等等，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用360度乘以“公共交通”的人数占比可求出对应的圆心角度数；用300乘以“骑电动自行车”的人数占比可求出对应的人数，再求出时间段骑电动车的人数并补全统计图即可； （2）用1500乘以样本中用私家车接送孩子的家长人数占比即可得到答案； （3）电动车和私家车接送孩子的人数占比多，容易造成拥堵；时间段电动车和私家车接送孩子的人数比较多，容易造成拥堵；建议可从换接送方式和换接送时间段两个方面阐述． 【小问1详解】 解：， ∴扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为； 人， ∴本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有135人； ∴时间段骑电动车的人数为人， 补全统计图如下所示： 【小问2详解】 解；人， 答：估计用私家车接送孩子的家长人数为450人； 【小问3详解】 解：由扇形统计图可知用电动车和私家车接送孩子的人数占比为，容易造成放学后校门口交通拥挤；由条形统计图可知，在时间段内，接送孩子的电动车和私家车比较多，容易造成放学后校门口交通拥挤； 建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动车或私家车接送孩子时避开时间段． 19. 我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注意要检验；设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里；根据等量关系：快速换轨车更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里． 根据题意得：． 解得：． 经检验，是原方程的根，且符合题意． 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里． 20. 项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 【答案】内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得，四边形为矩形，则，，所以，，设米，则米，米，然后通过， ， 列出方程， 解出方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，四边形为矩形， ∴，， ∴，， 设米，则米，米， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，解得， ∴（米）， 答：内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 21. 阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】 问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________． 问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接． 求证：线段是线段的双关联线段． 证明：延长交于点F． 是等边三角形， ． ， （依据）． ， ， ； … 任务： （1）问题1中的________，问题2中的依据是________________； （2）补全问题2的证明过程； （3）如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段． （要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 【答案】（1），等角的补角相等； （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）设的交点为O，利用矩形的性质及已知可证明是等边三角形，由等边三角形的性质及矩形性质即可求解．利用等角的补角相等即可完成问题2的依据． （2）利用三角形外角的性质及等边三角形的性质即可，从而问题完成； （3）作一个等边三角形即可完成． 【小问1详解】 解：设的交点为O，如图； ∵四边形是矩形， ∴； ∵对角线与互为双关联线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 故答案为：； 问题2中的依据是：等角的补角相等； 故答案为：等角的补角相等； 【小问2详解】 解：是的外角， ． 是的外角， ． ， ． 即线段与线段所在直线形成的夹角中有一个角是． ， 线段与线段是双关联线段． 【小问3详解】 解：答案不唯一，例如： 作法一： 作法二： 如图，线段即为所求． 22. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 23. 综合与探究 问题情境：如图，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平． 猜想证明：（1）判断四边的形状，并说明理由 拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接． ①若，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）①．理由见解析；②5或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，再根据平行线的性质可得，进而得到，由等角对等边推出，从而证明，即可四边形是菱形； （2）①由（1）推出，由折叠的性质得到，结合已知可得，进而推出，得到，再根据三角形内角和定理即可求出，即可得到与的位置关系；②分是以为腰为底的等腰三角形和是以为腰为底的等腰三角形两种情况讨论，如图，延长交于点H，设交点为，利用三角形相似的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：①，理由如下： 由（1）知四边形是菱形， ∴， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解：②∵，，， ∴， 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，延长交于点H，设交点为，则， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，则， 同理得，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵是以为腰为底的等腰三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$