3.4 函数的应用（一）-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

重难点手册高中数学必修第一册RJA 3.4函数的应用（一） 重点和难点 课标要求 1.掌握常见的几种函数模型 重难点：将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并 2.用函数模型解决实际问题. 找到变量之间的关系 3.能依据条件选择合适的西数模型 目a目目H 〔食必备知识梳理 i目HiH目目onnntnlnmnin目 基础梳理 知识点① 解答函数应用题的基本思想 构建数学模型，即将实际应用问题抽象为数学问题（如图所示）. 记方法回 明磷题意找出题设与结论的数学关 建摸时确定函数解析式的 实际应 系一数量关系或空间位置关系 分析、联想、 基本方法 用时题 转化、抽象 方法一（待定系数法）：已知 在分析和联热的基础 再转译成具体应 上.转化为数学问题相 条件中给出了含参数的函敏解 用问随的结论 象构建一个或儿个故 析式或根据已知条件可确定西 学模型来求解 解答数 给出数学问题的解答 数模型，此种情形下应用特定系 学问题 建立数学模型 ◆[记方法国 数法求出函数解析式中的相关 知识点（②解答函数应用题的一般步骤 参数（未知系数）的值就可以确 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选 定函数的解析式。 方法二（归纳法）：先让自变 择数学模型： 量x取一些特殊值，计算出对 (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符 应的函数值，从中发现规律，再 号语言，利用数学知识建立相应的数学模型： 推广到一般情彩，从而得到函数 (3)求模：求解数学模型，得出数学结论： 的解析式 (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义， 重难拓展 重难点①函数模型的实际应用 例I[回归教材P49T8]设矩形ABCD(AB>AD)的周长为 24cm,把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点 P.设AB=xcm,求△ADP的最大面积及相应x的值， 思维过程 如图，要求△ADP的最大面积，需求出AD与DP的长，根据图中的 全等关系将AD与DP用含x的表达式表示出来，建立面积的函数关系 后求解。 122 第三章函数的概念与性质 解析：AB=x,∴.AD=12-x, 设PC=a,则DP=x一a, 易证△ADP≌△CB'P,∴.AP=PC=a. 在Rt△ADP中，由勾股定理将(12-x)2+(x一a)2=a2, a=x-12x+72 72 2 .DP=x-a=12 B 3 Sauw-号a2-z)(12-7）-108-6(+7）<108-12,. =108-722 当且仅当工-72，即x=62时等号成立，即△ADP的最大面积为(1O8- 72√2)cm2. 保把教材 常见函数模型拓展 一般来说，常见的函数模型有以下几种： (1)一次函数模型：f(x)=x十b(k,b为常数，k≠0) [注意]正比例西数模型：f(x)=kx(k为常数，k≠0)是一次函数的 特殊特况. (2)反比例函数模型：f(x)=(k为常教，k≠0). (3)二次函数摸型：f(x)=a.x2十br十c(a.b,c为常数，a≠0). (4)暴函数模型：f(x)=a.x"十b(a,b,n为常数，a≠0，n≠1) (5)分段函数模型：这个模型实质是以上两种或多种模型的综合，因 此应用也十分广泛 变式①[教材P102T13改编]如图.，四边形 A OABC为直角梯形，AB∥OC,BC⊥OC,AB=1, OC=BC=2,记梯形OABC位于直线l:x= t(t>0)左侧的图形的面积为f(t),则函数y=O f(t)的图象大致为(). 12112O12 123 重难点手册高中数学必修第一册RJA 关键能力提升 题型① 图表型函数模型 当x>96号时<使用知意卡”便宜。 例巴(2025·安徽部分学校联考)为了发 变式2如图是某地区一种产品30天的 展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话 销售图象，图1是产品日销售量y(单位：件)与 采取不同的收费方式，其中所使用的“如意卡” 时间1（单位：天）之间的函数关系；图2是一件 与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话 产品的销售利润之（单位：元）与时间1（单位： 时间x(单位：分钟)与通话费用y(单位：元)的 天)之间的函数关系.已知日销售利润=日销 关系如图所示 售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的 ↑y元 元 是( ). 40 B(30,35 40 卡y件 ↑z元 30 0 20 40,29 0 25 200 10 10 C(30,15) 150 O10203040x分钟 O10203040x分钟 100 如意卡 便民卡 2130天 20301天 (1)分别求出通话费用y1,y2与通话时间 图1 图2 x之间的函数解析式： A.第24天的销售量为200件 (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种 B.第10天销售一件产品的利润是15元 卡便宜. C.第12天与第30天这两天的日销售利 思维过程 润相等 由题图可获取以下信息：(1)通过图象得出函 D.第30天的日销售利润是750元 数关系：(2)西数模型为一次函数模型：(3)可比较 题型②二次函数与幂函数模型 两个函数的增长差异.解答本题可先用待定系数法 例图(2025·湖北宜昌模拟)美国对中国 求出函数解析式，然后进行函数值大小的比较 芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热 解析(1)由图象可设y1=k1x十29，y2=kx,把 潮，某公司研发的A,B两种芯片都已经获得 点B(30,35).C(30,15)分别代入y1=k1x+29,y:= 成功，该公司研发芯片已经耗费资金2亿元， 1 现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预 测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比， ∴w-吉+29u≥0 2x(r≥0) 已知每投人1亿元，公司获得毛收入0.25亿元： (2)令y1=2,即 x+29=1 , 生产B芯片的毛收入y(亿元)与投入的资金 x(亿元)的函数关系为y=kx“(x>0),其图象 则x=96 3 如图所示。 当=96后时气两特卡发变一样 3少亿 当x<96 时，>y,使用“便民卡”便宜： 亿元 124 ,第三章函数的概念与性质通 (1)试分别求出生产A,B两种芯片的毛收 令t=元，则x=t, 入y(亿元)与投人资金x(亿元)的函数关系式 则)=子++8=- 41-2)2+9. (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产 哪种芯片毛收入更大？ 由0<x<40可得0<1<210，所以当t=2时， (3)现在公司准备投入40亿元资金同时 f(x)取得最大值9，此时x=t2=4, 故当x=4时，可以获得最大净利润9亿元 生产A,B两种芯片，设投入x亿元生产B芯 例④（经典·江苏卷）如图，建立平面直 片，用f(x)表示公司所获净利润，当x为多少 时，可以获得最大净利润？并求出最大净利 角坐标系Oxy,x轴在地平面上，y轴垂直于 润.（净利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入 地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原 一研发耗费资金) 点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx一 解析(1)由题意，可设投入x亿元生产A芯片 六1+产)(>0)表示的线上，其中及与 时，毛收入为y=m.x(m>0), 发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横 由题意，每授入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元 所以m=0.25-},故y=6x>0: 坐标 (1)求炮的最大射程. 投入x亿元生产B芯片时，其毛收入y=是x,且 (2)设在第一象限有一飞行物（忽略其大 由所给图象可知，(1,1)和(4,2)两点在该图象上， 小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标 =6上解得6=1a- 所以 a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明 2=k·4“, 理由 故y=x=E(x>0). yT米 (2)(问超即为比较丁与G谁大，观容发现二者的大小 与x的范国有笑，故讨论) 下米 令>匠可得>4，所以x>16: 解析(1)冷y=0,得kx一201+k)x=0, 同理，令x=反可得x=16: 由实际意义和题设条件知x>0,k>0, 故x= 20k20 令<丘可得0<16. 1+k2 所以当x>16时，生产A芯片毛收入更大，当 x=16时，生产A,B两种芯片毛收入一样大，当0 由长十≥2，当且仅当长=1时等号成立可知 x<16时，生产B芯片毛收入更大。 0x10 (3)由题意，A,B两种芯片的投入分别为(40一 所以地的最大射程为10千米. x)化元正亿元，所以毛放入之和为，反+子（40-x) (2)因为a>0,所以若地弹可击中目标， 故1)=反+40-)-2=-7+匠+ 则存在k>0,使3.2=b如一201+k)2成立， 即关于k的方程a2k2-20k十a2十64=0有正根 8,0<x<40. 设f(k)=ak2-20ak+a2+64, (愿样求「(x)的最大值？观家发现T与厅为平方关乘， 则此函数图象的对称轴为直线k= -20a_10 放只需将换元成1，就能化成二次函数求最大值) 2u-a 125 重难点手册高中数学必修第一册RJA, 因为a>0,所以k=100. 获利润最大？最大利润是多少？ 解析(1)由题意，W(.x)=200x一400-G(x), 故只需判别式△=（一20u)2一4a(a2+64)≥0. 当0<x≤40时，G(x)=2x十80x, 结合a>0得0<a≤6. 所以W(.x)=200x-400-(2x°+80x)=-2x 所以当a不超过6时可击中目标. +120.x-400: 变式③(2024·湖北鄂州二中期末)某家 庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测， 当40<x≤100时，G(x)=201x+3600 投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正 2100, 比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的 所以W(.x)=200x-400一 201x+3600 算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产 品的收益分别为0.125万元和0.5万元. 2100=1700-(x+3600) (1)分别写出两类产品的收益与投资额x 综上所述， (单位：万元)的函数关系式 -2x2+120x-400.0<x≤40. (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理 W(x)= 1700-(+3609）,40<r≤10. 财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大 收益，最大收益是多少万元？ (2)(求分餐函数的最值，可先求各段上的最值，再比轮) 当0<x≤40时，W(x)=-2x”+120x一400 题型3对勾函数y=a.x十”模型与分 -2(x-30)+1400≤1400，取等条件是x=30, 所以W(x)在(0,40]上的最大值为1400： 段函数模型的应用 例固(2024·江西上饶期中)随着我国经 当40<r≤10时，w)=170-(+3）≤ 济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变 1700-2 3600 =1580, 以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗 器械市场近年来一直保持着持续高增长的趋 取等条件是x3600 ,即x=60, 势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场 所以W(x)在(40,100]上的最大值是1580. 竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产 固为1580>1400，所以当该产品的年产量为60 品的年周定成本为400万元，最大产能为100台. 台时，公司所获利润最大，最大利润是1580万元 每生产x台，还需另外投入成本G(x)万元，且 变念④某商品在最近100天内的单价 2x2+80x,0x≤40， f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)= G(x)= 201x+3600 由 -2100,40<x≤100， t +22,0≤t<40,t∈N, 4 市场调研可知，该产品每台的售价为200万 日销售量g(t) 元，且全年内生产的该产品当年能全部销 +52,40≤1≤100，t∈N. 售完 (1)写出年利润W(x)万元关于年产量x 与时间1的函数关系是g)=一之 台的函数解析式（利润=销售收入一成本）. t≤100，t∈N).求该商品的日销售额S(t)的最 (2)当该产品的年产量为多少时，公司所：大值（日销售额=日销售量×单价） 126 第三章函数的概念与性质 核心素养聚焦 考向①图表型实际应用问题 缓”，说明污水治理能力最差，①错误 答案①②③. 例（经典·北京卷）为满足人民对美好 生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水 考查内容 核心素养 高考难度 考查学生在实际应用中的 数据分析 治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业 ★★☆白向 识图能力和阅读理解能力 数学建模 的污水排放量W与时间t的关系为W=f(:), 用-fb）二fa的大小评价在[a,b]这段时 考向21 函数模型的实际应用 b-a 例7（经典·北京卷）李明自主创业，在 间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期： 网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京 内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、 如图所示 80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四 W牛甲企业 种水果进行促销：一次性购买水果的总价达到 120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支 乙企业 乙企业 付成功后，李明会得到支付款的80%. 污水达标排放量 州企业 (1)当x=10时，顾客一次性购买草莓和 0 西瓜各1盒，需要支付 元： 给出下列四个结论： (2)在促销活动时，为保证李明每笔订单 ①在[t1,:]这段时间内，甲企业的污水治 得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 理能力比乙企业强： 的最大值为 ②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙 解析(1)根据题意知，】盒苹莓的价格为60元， 企业强； 1盒西瓜的价格为80元，共60十80=140（元）> ③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量 120(元)，即少付x=10元，故顾客需要支付140一10 都已达标： =130(元). ④甲企业在[0,11]，[t1,t2],[tg,t4]这三 (2)设李明每笔订单的原价为1元，则促销后每笔 段时间中，在[0，t1门的污水治理能力最强。 订单得到的金额为(1一x)×80%元 其中所有正确结论的序号是 由题意得(1-x)×80%>≥0.7t。 ,.(t-x)×0.8≥0.71. 解析在[11，t:]这段时间内，甲企业的污水排放 量的图象下降得比乙企业快，所以在这段时间内，甲 0.8r<0,,即x< 企业的污水治理能力比乙企业强，①正确：在1：时刻， 虽然两个图象相交，但是甲的图象在这，点的斜率的绝 要达到促销条件≥120，且x≤名总成立，故当 对值大于乙的图象在这点斜率的绝对值，所以在1妇时 刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，②正确：在： 1=120时x取得最大值，最大值为日×120=15。 时刻，两家企业的污水排放量都小于污水达标排放 答案(1)130. (2)15. 量，所以在1时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达 考查内容 核心素养 高考难度 标，③正确：在[0,11]，[11tg],[t,13]这三段时间中， 用所学数学知识解决实际 数学建模 ★★☆行古 甲企业污水排放量的图象在[0，门这段时间内最“平 应用问题 数据分析 127满足f(x)在（一∞，0）上单调递减，所以「(.x)=x. 令1=x2,则h()=-g2+(2g-1)1+1(1≥0). (2)方法一由(1)可得f(x)=x,所以f(x)为偶函数， :1=x2在（一6∞，0）上是减函数， 且f(x)在（一∞，0）上单调递减，在[0，十∞)上单周递增， ..当x∈（一∞，-4]时，t∈[16，+0∞）： (函数「(x)在定义域上不单调，不能直楼用单澳性求解司标不等 当x∈(-4,0)时，1∈(0,16). 式，但注意到f(x)为偶函数，放可给拾号内加绝对值，化到「0，+多) 当h(t)在[16，十6∞)上是增函数，在(0,16)上是减函数时， 这个单调区间上来 g(x)在（一∞，一4门上是减函数，在（一4,0）上是增函数， 所以f(1-2x)<f(x+2)=f(|1-2x1)<f(1x+2|)台 此时二次函数h(1)的对称轴方程是1=16， |1-2x<x+2,两端平方得1一4x十4x<x+4x十4， -(2g-1) 即t= 2(-9) =1- 化简得8r-8一30，解得-<3， 之16，解得)=动 2 所以x的取值范围是（号）。 故存在实数=一 0,使得gx)在(-o○，4]上是减函数，且 在（一4,0）上是增函数 方法二（本好由于(x)的解析式非等简单，敬也可直接代解桥 增优突破编 式求解目标不等式) : 由(1)可得fx)=x,所以f(1-2x)<f(x+2)即为(1- 1.1.[在同一平面直角坐标系中作出函数y=x:与y=x 2x)2<(x+2)2,即1-4x+4x2<x2+4x+4. 的图象，如图所示。 x2x≤-1， 化简得3x2-8-3<0,解得-号<<3， x,-1<x<0, 则f(r)= 所以：的取值范街是（弓） x,0x≤1， x2,x>1. -2-1012 (3)(涉发双变量不等式，且变量上和过已轻位于不等号两渊，可分 .f(x)在x=一1与x=1处均取得最小值1，即f(x)m=1.] 别考北.由于左边f(r)不金参，放先考唐下) 由题意，对Vx∈[1,2]，f(x)≤at-t+a+1, 3.4函数的应用（一） 所以f(x)≤at-t十a+1. ① 变武训综 因为f(x)=x2在[1,2]上单调递增 [变式1门C[(观擦图形可发现当！在点A左附、东附时，阴彩部分 所以f(x)=f(2)=4, 面拟的计算方法不同，所析以y=(:)为分段函数，要进图意，老分民 代人①得4≤at2-t+a+1,即al2-t十a-3≥0， ② 求其解析式)。 (再考睿变量，观管发现郁是一次的，数可将金a的项拿到一超， 提”回式“，他为是于的一次高数来分析 当0<1时，如图1，曲△0DE△0AF哈器-。 不等式②等价于(12+1)a-1-3>0, 所以DE=OE·AF_:2=2. OF 1 i记h(a)=(2+1)a-1-3(1≤a≤2)， 则3a∈[1,2]，使h(a)≥0，所以h(a)m≥0， 国 放f)=Sam=0E·DE=·2=, 因为t+1>0,所以h(a)在[1,2]上单调递增， 当1<1≤2时，如图2,1G=2,O1=t, 放h(a).=h(2)=(12+1)·2-1-3=2-1-1, AG=O1-1=1-L,所以f)=Sma=2(AG+O1)· 代人③得2-1-1≥0，解得≤-2或≥ 1G=24-1+02=20-1. 所以实数t的取值范围是（一©，一 2,0<11, 8.(1),f(x)在(0，十∞)上是增函数，由幂函数的图象和性质 所以f(1) 其图象与C项吻合.] 2t-1,11≤2， 知-p+p+2>0,解得-1<p<3, 'p∈N..p=2.1,0 当p=0或2时，f(x)=x,不是偶函数： 当p=1时，f(x)=x2,是偶函数. (01 故p=1,f(x)=x. 图1 图2 (2)g(x）=-gr'十(2g-1)x十1， [变式2]C[在题图1中，1=24时，y一200，故A选项结论正确： 43 根据题图2，点(0,25)，(20,5)连线的中点坐标为(10.15)，： 基础过关练 故B选项结论正确： 1.C[无折扣的售价为200×125%=250（元），打折后的售价 由题图1知(0,100)，(24,200)的中点坐标为(12,150)，即第 为250×0.9=225（元），所以按9折出售，每件还可获利25元.] 12天和第30天的日销售量相同，根据题图2，第12天的一 件产品的利润高于第30天的一件产品的利润，即第12天与 2C[一边长为x,则另一边长为三，所以周长L=2r+2S, 第30天这两天的日销售利润不相等，故C选项结论错误： x>0, 由题图1知第30天销售150件，由题图2知第30天一件产 又 570 x>0,故1=2z+2空(r>0.J 品的利润为5元，故第30天日销售利润为150×5-750元， 3.C[设矩形模型的长为cm,宽为ycm,则x>0,y>0,由 故D选项结论正确.] 题意可得2(x十y)=8,所以x十y=4,所以矩形的面积S= [变式3](1)设两类产品的收益与投资额x的函数关系式分别 为f(x)=k1x(x≥0)，g(.x)=kE(x≥0)， y≤+y)生 4 =4当且仅当x=y=2时取等号，所以 1 结合已知得f1)=8=k1g1)=2=k, 当矩形的长和宽都为2cm时，面积最大，为4cm.] 4.B[,出相车起步价为5元（起步价内行驶的里程是3km), 所以fr)=8rr>0)gr)= 2F(r≥0. .(0,3]对应的值都是5. (2)设投资稳健型产品为x万元，则投资风险型产品为(20一 ,以后每1km价格为1.8元，不足1km按1km计价， x)万元，依题意知获得收益为y=f(x)十g(20一x)=8 .3<x≤4时，y=5+l.8=6.8:4<x≤5时，y=5+1.8+ 1.8=8.6,故选B.] 2√/20—x(0≤x≤202 1000u 1000 5.149,L由题意可得V= 7m+030+d07+0.3知+30 令1=√20-x(0≤1≤2/5)，则x=20-1, 1 1000 -81-2)+3. 0.7+2V0.3×30 149,当且仅当03和-2，即=10时 所以当t=2,即x=16时，y取得最大值，ym=3. 取等号，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.] 故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投6.(1)设每件削笔器的零售价为x元，由题意可得 资获得最大收益，最大收益是3万元 [18-0.2x-15)]x≥15×18，即x2-105.x+15×90≤0， [变式41由已知单价 (x一15)(x一90)≤0.解得15≤x≤90. 故要使年销售总收入不低于原收人，该削笔器每件售价最多 +22(0≤t<40,1∈N), f(1)= 为90元. 2 +52(40t100,1∈N). (2)当x>15时，≥15×18+30+号r有解， 日销售量g(1)= 1,112 3 0≤1≤100,1∈N), 即≥0+青有解， ∴.日销售额为S(1)=f(1)g(1). 即当0≤1<40时，S(t)= (仔+2（子+盟） “9+号≥2网=0，当且仅当-号即=0时等 x 号成立， 己+2+2，此时函数的对称轴为1一12，最大值为 3 ∴.1≥20，因此该削笔器的年销售量1至少达到20万个时， S(12)=2500 才能使革新后的年销售收人不低于原收入与总投入之和，此 3 时每个削笔器售价为30元. 当40≤1≤100时.5)=(-2+52(-子1+1） 综合提能绵 青-30+52，此时函数的对称轴为1=108>10，最大 1.D[设一月份产量为a,月平均增长率为x,则ma=a(1+ 3 x)Ⅱ，解得x=m-1.] 值为S(40)=768. 2.A[由题图甲、乙可知进水速度为1，出水速度为2，结合题 由768<250可得这种商品日销售额S(1)的最大值为 图丙中直线的斜常，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2， 3 故①正确：不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②②不正确： 2500 3 两个进水一个出水时，蓄水量减少速度是0，故③不正确.] 44 3.16.[设BC=x,连接(OC,得(OB=√/16一x, 水的重心位置为于，所以装入半杯水后的水杯的重心位置 所以AB=2/16一x2, 1 所以矩形ABCD的面积S=2x√/16-x,x∈(0,4)， 2×2+31 7 2+3 =20 S=2xV16-x=2Vx(16-x)≤x2+16-x2=16. (2)当装人水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上， 即x2=16一x,故x=2反时取等号，此时S.=16.] 设装人x克水，这时杯子的质量：水的质量=a:x,杯子的 重心位置为7，水的重心位置为六，水面的位置为方，于是 1 A a2+x·2% 4.148.4,[高峰时间段的电费为50×0.568+150×0.598= a+r =方，解得x=a2+a6-a. r 118.1(元)， 方法二不妨设水杯的高为1个单位， 低谷时间段的电费为50×0.288+50×0.318=30.3（元）， (1)由题意可知，当装了半杯水后，杯子的质量：水的质量= 所以该家庭木月应付的电费为118.1+30.3=148.4（元）.] a 因为6=3a,所以杯子的质量：水的质量=2：3，即 b 5.(1)因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润 为1196万元， 杯子古总质量的号，水古总质量的子又因为杯子的重心位 所以(a-4×8)×8-20-8×16=1196,解得a=200. 当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完 置（这里的重心位登指重心到水杯底面的距离）为号，水的 时，年利润为2960万元， 重心位置为子，所以装人半杯水后的水杯的重心位置为2× 1×20-20一20×16=2960，解得b=40000. 号+宁×号一品：故装人半杯水后的水杯的重心到水杯所 当0<x≤10时， 7 W=xR(.x)-(16x+20)=x(200-4x)-(16x+20)= 面的距离与水杯高度的比值为品1一易 -4x2+184x-20: (2)设装人x克水后的水杯的重心位置为y,将间题转化为 当x>10时 求当x为何值时，y最小 /530040000 当装入x克水后，杯子的质量t水的质量=a·x,即杯子占 W=xR(x)-(16.x+20)=x -(16x+20) =-40000 总质量的，千水占总质量的，千杯子的重心位置为号 -16.x+5280: 因为装人b克水，水的高度为1，所以装人x克水，水的高度 一4x2+184x-20,0<x≤10. 综上，W= 40000 为亏，水的重心位置为苏，所以装入x克水后水杯的重心位 -16.x+5280,x>10. 置为y=)-号X+十家X千流o>0, 1 xtab (2)①当0<x≤10时，W=-4(x-23)2+2096单调递增， 所以W=W(10)=1420. b>0.x>0) ②当x>10时，W=- 40000 -16.x+5280, 当r1>x1>Wa+ab-a>0时，x1x2>(√a+ab-a)月 =2a+ab-2ava+ab.r+x:>2vaFab-2a, 由于40000+16x≥2， 4000×16x=1600: .:-ab +a (x+:)>(atab -a)-ab+ 当且仅当0000 16x,即x=50>10时取等号 a(2/a+ab-2a)=0, 无 ritab xitab 所以此时W的最大值为3680， ∴.f(x1)-f(xg) 2bhr1+2ab2hr:十2ab 综合①②知，当x=0时，W取得最大值3680万元. (xi+ab)(z:+a)-(xi+ab)(xi+a) 优突破练 2h(r1十a)(x1+a) 1.方法一不妨设水杯的高为1个单位 (r1-r:)[xir:-ab+a(r+x:)] 2h(r1+a)(x:+a) (1)装入半杯水后，杯子的质量水的质量=2：3，杯子的重 >0, 心位置（这里的重心位置指重心到水杯底面的距离）为豆， ∴f(x)在（√a2+ab一a,十o)上单调递增. 45 同理，f(x)在(0，√a+ab一a)上单周递减， 则一2x十10，解得一3<x<一1. 故当x=√a+ab-一a时，即装人（√a十ab-a)克水后使 当x=一1时，(x十1)f(x十1)=04. 综上，原不等式的解集为（一3，一1）U(一1,1).] 装入水后的水杯的重心最低. 思维过程 第三章单元学能测评 化简条件中的不等式得到1f(1)<f(x:),构造 1.A[:幂函数f(x）=(m2一m-1)x2+m-1在区间 函数g(x)=xf(x),得到函数g(x)在(0，+∞)上的单调 m2一m一1=1， (0,+∞)上单调递增，∴. 解得m=2, 性，得到关于g(x)的不等式，转换为自变量不等式，求得在 m2+2m-3>0, (0,十©)上不等式解集.再由f(x)是奇函数以及奇偶性的 .fx)=x,∴f(x)在R上为奇函数 定义得到函数g(x)为偶函数，同理可求得在（一6©，0）上不 由a十b>0.得a>-b, 等式的解集，然后求并集即可得到不等式的解集 ,f(x)在R上为增函数， ∴.f(a)>f(-b)=-f(b),即f(a)+f(b)>0恒成立.] 5C[(物凌高数h)-g)-2-16r士，粮据奇%性的度又 x十16 2.C[前k次共倒出了纯酒精x升， 可知(r)为寺函数，从而代人有()十h(r)m=0运幕即可) .第k次倒出后容器中含纯酒精(10一x)升，第(k十1)次倒 f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(一x)=一f(x), 出的纯酒精是9。·2升。 g(x=2+4)+x)_2x2+16x+32+f x2+16 x+16 二倒出第（质+1）次时，共倒出了纯酒精f(x)=x+10。. =2+16.x+f(r) 10 x2+16 2-言+2. 设h(x)=gr)-2=16x十fD,函数的定义域为R. x2+16 思维过程 a(-)=16-r)+f-2--16r-f)-16r+f 求出第k次例出酒精后容器中含纯酒精的质量，然后 (-x)+16 x2+16 x°+16 可得第(k十1)次倒出的纯酒精的质量，然后可得到第（十 =一h(x),h(x)为奇函数 1)次共例出的纯酒精的质量， 则有h(.x)十h(x)m=0,即M-2十m-2=0, 所以M十m=4.] 3.B[,函数f(x)在R上是单调函数，且f(f(.x)-2x)=3, 6.B[(由=(：一于)十r1并结合想意，利用单渊性的定义利断 .f(x)-2x为定值，设f(x)-2x=t,则f(x)=2x十1， f(x)在R上是增画数，利用就值法得f(3)=10,从而原不等式等价 ∴.f(t)=2t+t=3t,∴.3t=3,.t=1,.f(x)=2x+ 千f(x一-工+1)>f八3)，利用单调选增化为x2-x+1>3,解一元 1,∴f(3)=7.] 三次不等式而可得解) 思维过程 任取x1x:∈R,且I<x 根据函数f(x)在R上是单调函数，且f(f(x)-2x) 因为f(x+y)=f(x)十f(y)+2, =3,易知f(x)一2x为定值，然后设f(x)一2x=t,得到 所以f(x:)=f(x:-x1)+x)=f(x2x)+f(x1)+2. f(x)=2.x十1，由f(1)=3求解 因为x>0时，f(x)>-2,所以f(x一x1)+2>0, 4B[由(x1-x:) 「f(x)_fx 所以f(.x1）-f(x)=-(f(.x:-x1)+2)<0, <0 L x:Ti 即f(x)<f(x). 得(x一x) [fx)-xfx2门<0， 所以f(x)在R上是增函数. 令x=y=1,所以f(2)=f1)+f1)+2=6, 因为x1一x:>0x1x>0, 令x=2,y=1,所以f(3)=f(2)+f(1)+2=10, 所以x1f(x1)-x:f(x:)<0,即x1f(x1)<x2f(xa). 不等式f(x2+x)+f(1-2x)>8等价于f(.x2+x)+f(1 设g(x)=xf(x),则g(x)在(0，十∞)上单调递减. -2x)+2>10=f(3), 而g(x+1)=(x+1)f(x+1)>4=2f(2)=g(2), 所以f(x2+x+1-2x)>f(3). 则0<x十1<2，解得一1<x<1. 即f(x2-x+1)>f(3). 因为f(x)为R上的奇函数， 因为f(x)在R上是增函数， 所以g(-x)=一xf(-x)=xf(x)=g(x), 所以x2-x十1>3台x2一x-2>0,解得x<-1或x>2.] 则g(x)为R上的偶函数，故g(x)在（一o○，0）上单调递增，：7.C[襟据飞知不等式，结合岳数单裤性的定义T以利断出通数 g(x+1)=(x+1)f(x+1)>4=g(-2), (x)的单调性，再银据函数平移的性质，结合飞知定义可利所孟 46