3.1.2 函数的表示法-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

:a+1D=f0)=2. 当y=0时，方程①有解，.y可以取0. f(a) 当y≠0时，方程①要有解，则需△=a2一4y(y一b)≥0， 瑞+得+得+…+侣 f(2025) =1013×2= ∴.4y2-4by-a2≤0. 2026.J fx)=a士的值城为[-1，， x+1 5.AD[(逐个松验选请当然可行，但胶麻填，涉爱二次涵数的区间值 ∴.4y2-4by-a2≤0的解集为[-1,4幻， 城，画周分折比较方便，由于值城是[一1,3]，所我们先提到盖数值 即4y2-4hy-a=0的解为y=-1或y=4, 为1和3的位置) b=-1十4=3 令f(x)=-1可得x2-4r+3=-1,化简得(x-2)产=0， 解得x=2, =-1×4=一4， b=3b=3, 令f(x)=3可得x-4x+3=3,化简得x(x一4)=0，解得 x=0或4. 2实数a6的值为a=4或a=一4 如图.要使f(x)在区间D上的值域为[一1,3]，则D应 绝优突破练 满足： 1.B[,对任意xx∈R,存在x∈R使得f(x1)f(r:)= ①D∈[0,4]（香刚值减中有大于3的数： f(x),且集合A为有限集，，从集合A中取两个不同的 ②2∈D(香剂值城中设有-1： 数或同一个数取两次的积等于第三个数，这第三个数也在集 ③0和4至少有一个在D中（否则a减中漫有3）. 合A中 例如图中P,Q之问的那段，选项中满足上述三点的只有 ①集合A中只有一个元素，则A={0),A=1}: AD两项.] ②集合A中有多个元素，则A={一1,1}，{0,1}，{一1,0,1. 综上所述，满足条件的集合A有5个.] 3.1.2函数的表示法 变武训综 [变式1门(1)1. （22二r1.(3r. 1-x 6[日+).[fx)=Vam-+a的定义城为R。 [(1)(己经搅于八x)使一次画数，可用待定泰数法处理，数直接设 其解析式) 即a.r一x十a≥0的解集为R 由题意，可设f(x)=kx十b(k≠0)， ①当a=0时，一x≥0，x≤0.不符合题意 则f(f(x)=kf(x)十b=k(k.x十b)+b=kx十kb+b, ②当a>0时，有△=1一4a2≤0， 又由题意知，f(f(x)=4x一3， k2=4, 所以k2x十b+b=4x-3,故 kb+b=-3. ③当a<0时，由y=a.x一x十a的图象知不符合题意. 解得k=2,b=一1或k=-2,b=3, 综上可知a>J 所以f(x=2x-1或f(x)=-2x+3, 7.[2.7].[g(x)的定义域为(1,4]， 若f(x)=2x-1,则f(1)=2×1-1=1: .f(2x一1)中的x满足1x≤4， 若f(x)=-2x十3，则f(1)=-2×1十3=1 .1<2x一1≤7，(2r一1的道围是f(x)的定义城) 综上所述，f(1)=1 .f(x)的定义城为{x1<x≤7}=A. (2)达里的（号）厂一1中，省边的上一1不多鱼海浅司 又g(x)的值域为[3，十)， 这种结钩，怎会办呢？注意到粮们的目的是患起「指号内的谢分 .f(2x一1)的取值范围为[2，十0©)， 化简，于是考虎直接样其换元) 即f(x)的值域为[2，十o∞)=B. ∴.A∩B=[2,7].] 设1=帝则x=亡所以（有）=1一1即为) 8设y=ax十6 x2+11 六12-号故)》 去分母得关于x的方程x一ax十y一b=0, ① (3)(斯给美系式中陆有，又有y,考意城值，息么额？经会试，希今 28 x=0或y一0.结果郁不理想，怎4办呢？规家发现，若今y=,刚： 基础过关练 可约造关于f)和了(0)的方程，而f0)容易术出，故糕养得(r) 1.C[因为4<7，所以f(4)=2f(4+2)=2f(6). 在原式中令y=x得f(0)=f(x)+f(x)-2.z. 所以2f(x)-2x2=f(0), ① 又因为6<7，所以f(6)=2f(6+2)=2f(8), 在原式中令x=y=0得f(0)=f(0)+f(0) 代入①得f(4)=4f(8)=4w8=8v2.] 所以f(0)=0,代入①得2f(.x)一2.x2=0, 2.B[当0≤x<1时，设f(x)=kx,由图象过点(1，)得 所以f(x)=x,] [变武2日，）.，∈A,即0<<分 受六此时fx)=是当1≤≤2时，设/) 3 u)-+日长+号. 3 mx+,由图象过点(1，三)，(2,0)得 3 2 =m十1， 解得 即2≤fx)1,即fx)∈B, 0=2m+n. .f(f(x。)=2[1-f(x。)]=1-2xm∈A, 3 2 ,此时「(x)= 即01-2<号解得，≤ 之x十3.函数的解析式可转 n=3, 0<，< 33 化为y=22 x-11(0≤x≤2).] [变式3]-2-1.[令f(a)=t,则f(t)-1+2=0. 1+2x+1,1+2x>0, 当1≤0时，f1)=t产+2t, 3.B[f1+2x)= 一(1+2x),1+2x<0,产这个客多漏换 .2十21=1一2，则2+1+2=0，此方程无解 当>0时，f(t)=-t2,.-2=1-2. 化简得f(1+2x) .1产十t-2=0,.t=1或t=-2(舍去). ∴.f(a)=1,可得a0且a2+2a=1,解得a=-2-1.] 2· [变式4](1){yly≤2.(2)B 可知上=一号是/1+2x)图象的分段点.] [(1)当x≥1时，y=2(x-1)-3.x=-x-2: 当0≤r<1时，y=-2(x-1)-3r=-5x+2: 4A[由题应知片斗1十马将y上向 当x<0时，y=-2(x-1)+3x=x十2. -x-2,x≥1， 右平移1个单位长度，得到y=二再向上平移1个单位 故y= -5x+2,0≤x<1, 长度，得到y=1十x门 r十2，x<0 根据函数解析式作出函数图象，如图所示 5.F(x)=3x+5 [设f)=kx使≠0，ga)=盟(m≠ 0.23 0.则F(x)=c+华由F(侵）=16，F1)=8,得 3k+3m=16, k=3, 解得 A1.-3》 所以F)=3x+J m=5 k十m=8 由图象可以看出，函数的值域为yy≤2. 60令号=a,则x=1-2a, (2)画出函数y=x一4x十3的图象，如图所示，由图象即 先画工≥0时的通数图款，再画出关 所以f（2）=x即为fa)=1-2af)12x 干y釉补称的周袁那可 可得出一1<m3.] 因为g(x)+2g(-x)=3-x,所以g(-x)+2g(.x)=3十x, 两式联立解得g(x)=1十x. (2)由(1D可得y=g(x)-√f(x)=1十x-√/1-2x,① (上式中r与2正可看成平方是系，故零虚将一2换元，化 4-80845。 为二次画数分析) 令1=一石，则≥0且x=1与 2 29 所以式①即为y=1+号-4= 22-t+ 3 2 4.AD[方法一（香到条件中的f(f(a)= 受，想列特内层的 -1十号在1=0时取得最大值号 f(4)换元，化整为零考席) 由函数图象知y=一 设f(a)=t,则f(f(a)= 所以y=g(x)-了的值域为（一∞，之] 3 号即为0=-之 接下来代入解析式解方程①，不确定：与0的大小，故讨论： 综合提能练 1.BC[(这个合线函数的两联周象解可作出，所以优老法因象法) 当>0时，式①脚为号一1=一号，解得1=1，满足>0： 作出y=f(x)图象如下： 当1<0时，式①即为-子，解得1=一2.满足1<0： 所以方程①有且仅有1=1和一2两个解， 又f(a)=t,所以f(a)=1或f(a)=-2. 要解上述两个方程，要将f(a)代人解析式，故又讨论a与0 的大小： 由图象知f(x)的值域为（一6,4），定义域为（一∞，2）， 当a≥0时，fa)=号-1，所以2-1=1或号-1=-2， A错误，B正确， 解得a=4或一2（不满足a≥0，會去）： 由x2=3,∴.x=士√5，又一1<x<2. 当a<0时，u)=,所以-1或=-2. x=,.C正确。 在图上作出直线y=1, 解得Q=1或-令，其中a=1不满足a<0,含去 它与y=f(x)的交点分别为(-1,1)，(1,1) 综上所述，满足f(f(a)=- f(x)<1的解集为(-©，-1)U(-1.1),.D错误.] 2的实数a=4或-2 2.A[由图象可知，f(x)= r2+r十的定义域为(-∞，2U 2 方法二换元的过程同方法一，而求解方程f(4)= 2,可 (2.4)U(4,+∞)，故a.x2+br十=0的两根为2,4. 考虑画图来看。 由韦达定理得2十4=一么，2X4=二 4 函数y=∫)的大致图象如图1，由图可知∫(0=一2有两 2 1 又f(3)=9a十3b+。-1,联立上式，解得 个解，分别令 吃-1=一可得1=一2或1 a=-2.b=12,c=-16,则fx)=-2x2+12x-16 2 放/5)=-2x25+72X5-16号] 2 3.日[要长（号），考通过骏值长出能求的禹数值，然后的号近)： 图1 Vz.yE.+))-)(y) 所以f(a)=-2或f(a)=I, 于是又画y=f(a)的图象来求解这两个方程，y=f(a)的图 令x=y=1,得)=产，又f0≠0，∴f1)=2 象与y=f(1)相同，只是横轴改为a即可， ∴f(2)=f1+1)= f(1)f(1) f(D+=1. 如图2，方程f(a)=一2和f(a)=1各自都只有1个解， r(3)(2) 令1=一2可得方程fa)=-2的解为a=一2： 再令x=y=2f1) )+(2】 》 令受-1=1可得方程了a)=1的解为a=4 f(2)=2f1)=4 综上所述，满足fa)=一之的实数口=4或-子] 5.34十2b.[(旧为已知是f(2)与f(5)的值，而需求f(200)的值， )-+) f2r() 而00轮大，可2通过多次重点破值得到，似次数有些多，桥以可以 号寻他法，可以求出)解析式的一般粉点y 30 由f(x·y)=f(x)+f(y)知f(x)=f(x·x)=2f(x), 当x≥>m时，f(x》=x2一2mx十4m=(x一m)P十4m-m2, 同理f(x3)=f(x)十f(x)=3f(x), 其顶点为(m,4m一m2): 故f(200)=f(8×25)=f(8)+f(25)=f(22)+f(5)= 当x≤m时，函数f(x)的图象与直线x=m的交点为 3f(2)+2f(5)=3a+2h.] (,n）, 6女女<》。[头超带接容规期法：多银福十1,2江的取位件 m>0, ①当 即0m≤3时，函数f(x)的图象如图1 4m一m≥m, 泥分要进行时论，天（上）中两现盖数的图象可以作出，所以优先画 所示，易得直线y=b与函数∫(x)的图象有一个或两个不同 国，从周中找出德薰信息来解染同趋】 的交点，不符合题意： 4m一m2<m, ②当 即m>3时，函数∫(x)的图象如图2所 m>0. 示，则存在实数b满足4m一m2<b≤，使得直线y=b与 012 函数∫(x)的图象有三个不同的交点，符合题意 2一x,x1, f(x)= 如图，因为f(x十1)<f(2x),分类讨 综上所述，m的取值范围为(3，十©0). 1.x>1. 论如下： 当x+1≤1且2x≤1时， 有2-x-1≤2-2.xx≤0： 当x+1≤1且2x>1时无解： 当x+1>1且2x>1时无解： 当x+1>1且2x<1时， 图1 图2 有1<2-2x,0K<分 喷优突破练 所以x(-o,号） 1.36.[由f(-2)=0可设f(x)=(.x+2)(ar+b)=ax2+ (2a+b)x+2b(a≠0). 7.当点P在线段BC上，即0≤x≤4时， 则由f(x)≥2xr得a.x2+(2a十b-2).x+2b≥0. fx)=24AB·Bp=号X8·r=: 所以a>0且(2a+b-2)2-8ab≤0， 当点P在线段CD上，即4<x≤9时 整理后即为4a2十b≤4ab十8十4b-4. ① fc)AB.-7×8X4=16: 由了e生得2a-1r+(a+2z+h-40, 当点P在线段DA上，即9<<14时， 若2a一1=0即a=2,则必有4a+2h=0且仙-4长0， 过点D作DH⊥AB于点H,在AD上任取一点P,作PE⊥ 即b≤1，此时与(2a十b-2)-8ab≤0矛盾. AB于点E, 所以2a-1<0且(4a+2b)2-4(2a-1)(4b-4)≤0， △MP△MHD,孺 整理后为4a2+b2≤4ab-8a一4b十4. ② 即P距_14-工，PE=4X4-2, 由①②相加即得4a3十b2≤4ab, 5 6 即(2a-b)≤0.所以2a=b, f)=号AB:PE=号×8x4xa卫 1 所以f(x)=(x+2)(ax+2a)=a(x+2), =-16,1224 又在原不等式中令x=2可得4≤f(2)≤4，所以f(2)=4, 5r+6 由此解特a=子，所以)=子（红+2,10）=36.] 4r,0≤x≤4， 16.4<x9, 2.f(.x)=x”-53.x+196+x2-53.x+196 综上所述，f(x) 16,224 =(x-4)(x-49)+1(.r-4)(.x-49)l. 5x+,9r≤14. 当4≤x≤49时，(.x-4)(x-49)≤0，此时f(.x)=0, rl.xsm. 因此f(1)+∫(2)+…+f(50)=∫(1)+f(2)+f(3)+ B.f(r)= x2-2m.x十40，x, f(50)=2×(144十94+46+46)=660. 31重难点手册高中数学必修第一册RJA 3.1.2 函数的表示法 重点和难点 课标要求 重点：掌握函数的解析式与图象表示方法及数形结 1,掌握函数的三种表示方法：解析法、列表 合的思想 法、图象法 难点：分段函数的概念及应用 2.理解分段函数的概念及应用. H1Hia目目H 食必备知识梳理 目HiH目HHH 基础梳理 知识点( 函数的三种表示方法 函数常用的三种表示方法为解析法、图象法、列表法 表示法 含义 优点 缺点 记方法回 是能够简明、全面地 判断图象是否为函数的图象 不够形象、直观、具 用数学表达式表示 概括变量之间的关系： 根据函数的定义，若Q在函 体.而且并不是所有 解析法 两个变量之间的对 二是可以通过解析式求 数的定义城中，则有唯一的 的函数都能用解析 应关系 出任意一个自变量的值 f(a)与之对应，即直线x=a与 式表示出来 所对应的函数值 f(x)的图象有唯一交点，如图 只能近似地求出自 1:若a不在函数的定义域内，则 用图象表示两个变能形象、直观地表示出变量的值所对应的 没有交点，如图2 图象法 量之间的对应关系 函数的变化情况 函数值，而且有时误 差较大 列出表格来表示两不需要计算就可以直接当自变量的取值较 列表法 个变量之间的对应 看出与自变量的值相对多甚至无限时，则无 2 关系 应的函数值 法表示 [注意]并不是所有函数都可以用解析式表示，图象法也不适 1,x∈Q, 用于所有函数，如D(x)= 列表法虽在理论上适用于 -I0 0,x∈CRQ. 图3 图4 所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函 如图3，图4，不是函数的图 数的一个概况或片段.◆他方法。 象，因为它们不特合函数的定 知识点2分段函数 义，直线x=a与f(x)的图等 不可以有多个交点，这不符合函 1.分段函数的定义 数的定义 一般地，在定义域不同的部分上，有不同的解析式，像这样的 函数通常叫作分段函数， 2.对分段函数的理解 (1)分段函数是一个函数，而不是几个函数： 82 第三章函数的概念与性质 (2)用解析式法表示分段函数时，注意要用一个大括号把各段 合并，写成一个函数的形式 1,-2x0, 例如y= 其“段”是不等长的 x,0x≤3， (3)写分段函数的定义域时，区间端点位置要不重不漏， (4)处理分段函数的问题时，要先确定自变量的取值属于哪一 段，然后选取相应的对应关系。 (5)分段函数的定义域是各段定义域的并集：分段函数的值域 是分别求出各段上的值域后取并集：分段函数的最大（小）值是分 别在每段求出最大（小）值，然后在各段的最大（小）值中取最大 (小)值 重难拓展 重难点①函数图象的变换 1.平移变换 拓视野。 y=/a)+的象 形知y=十 ar+b (a≠0，ad日 沿射向上平移 个单位长度 x)的图象的特征： y=f(x+a) 沿x轴向左平 =f(x 沿r瓠向h平 y=「(x-a) 由y=cx+d = 的图象 移r个单位长度 的图象 移个单位长度 的图象 4.x+b 沿y向下平移 d 6个单位长度 a aar+6可 ar+b可知，y=二国 y=f(x)-6的倒象 (其中a>0,b>0)简记为“左加右减，上加下减”.◆拓樱避 由反比例西数y= a的图 ar 2.对称变换 y 象先的（合刘或向（台可 ∫(-x的图象 关于轴对称 y y(x的图象 个单位长度，再向上 关丁x轴对称 关于点 (后>0)或向下（后<0年移 y=-∫(-x的倒象 y=-.x的图象 个单位长度得到 3.翻折变换 y=f(x)去掉y铺左捌图象，将右y=∫（工）将x轴下方的图象沿y=f(,x) 所以y=口十 图象的两 ax+b 的图象 侧图象沿y轴舞折到左侧的图象上轴翻折到：轴上方 的图象 条渐近线为x= b 和y= a 例①定义在[一2,2]上的函数f(x)的图象如图所示. 因象的时格中心为（台》 简记为：“两线一点法” 两条新近线 。变区城 83 重难点手册高中数学必修第一册RJA 请分别画出下列函数的图象： (1)y=f(x+1): (2)y=f(x)+1: (3)y=f(-x): (4)y=-f(x): (5)y=f(x)I: (6)y=f(x). 解析(1)将f(x)的图象向左平移1个单位长度，即得y=f(x+1)的 图象，如图1. (2)将f(r)的图象向上平移1个单位长度，即得y=f(x)+1的图象， 如图2. (3)将∫(x)的图象沿y轴对称即得y=f(一x)的图象，如图3. (4)将f(x)的图象沿x轴对称即得y=一f(x)的图象，如图4， (5)将f(x)在x轴下方的图象对称翻折到x轴上方，即得y=|f(x)川 的图象，如图5. (6)去掉f(x)在y轴左侧的图象，再把f(x)在y轴右侧的图象对称 翻折到y物左侧，得到y=f(x)的图象，如图6. 图2 图3 -2-1012x -2-1012z 图 倒5 图6 培优突破 突破点①求函数解析式的几种方法 例巴根据给定的条件，求下列函数的解析式.◆殿思源 敲黑板。 (1)二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1, (1)代入法 求f(x): 已知∫(x)的解析式，求 (2)已知f(元+1)=2x+1,求f(x): f(u(x)的解析式，常用代入 8已知/-）=2+是求f: 法.如已知f(x)=x2-1.求 fx十x)时，有f(x+x) (4)若函数fx)满足2fx)-f）=2x-1(x≠0)，求f: (x+x)2-1 (2)配凑法 (5)已知定义域为R的函数f(.x)满足3f(x一1)+2f(1 已知f(g(x)的解析式， x)=2x,求f(x): 要求「(x)的解析式时，可从 (6)对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=2f(y)+x2+2.xy f(g(x)的解析式中配凑出g(x), y2+3.x-3y,求f(x). 即用g(x)来表示f(g(x),再 84 第三章函数的概念与性质 解析(1)待定系数法设f(x)=a.x2十bx十c(a≠0)，则f(x十1)= 将解析式两边的g(x)用x代 a(.x+1)2+b(.x+1)+c=a.x+(2a+b).x+a+b+c, 替即可.如f(W元-1)=x一2反， f(x+1)-f(r)=ax*+(2a+b)x+a+b+c-ax*-bx-c= 可以将右边凑成（不一1）一1 2ax+a+b, 的形式后再求解。 又由题意知f(x十1)一f(x)=2x, (3)换元法 所以2a.r十a+b=2x,故2a=2且a十b=0,解得a=1,b=-1, 已知f(g(r)的解析式， 又因为f(0)=c=1,所以f(x)=x2-x十1. 要求f(x)的解析式时，也可令 (2)方法一（配凑法）(x与厅的梨系北较明是，可金试直森将右侧配添成左附 tg(x)(注意新元t的取值范 括号内的形式，再整体代换】 国).再求出∫(1)的解析式，然 由题意知f(x+1)=2x+1=2(x+2√x+1)-4x一1=2(Vx+ 后用x代替∫(：)的解析式中所 有的1即可.如f(反一1)=x 1)2-4(元+1)+3， 2元，我们可以设反-1=1(1≥ 将十1整体换成x可得f(x)=2x-4.x十3， 一1)，解出x后代入求解 因为元十1≥1，所以在f(厘十1)中，括号内整体的范国是[1，十∞)， (4)待定系数法 (易错点：售忘记求宽文域) 如果已知离数类型，可设出 故在f(x)=2x2-4x+3中，x∈[1，+∞). 函数解析式，再代入条件解方程 方法二（换元法）（若没有想到上适海形的方法，也可青混将不十1换元成1） (组)，求出参数，即可确定函数 令t=x+1,则t≥1，且x=(t-1)2. 解析式 所以f(x+1)=2.x+1即为f(t)=2(t-1)2+1=212-4t+3,t∈ (5)方程组法 [1.+o∞)，故f(x)=2x2-4x十3，x∈[1，十o©). 已知f(x)与f(g(r)满 (3)配凑法《供超能用换无法场？越卫若令=一子，刚会发现解共的上有两 足的关系式，在求f(x)时，可用 g(x)代替两边所有的工，得到 个，且结狗复杀，代入原式右比较难算，故不用这种方法，其实这题条件的形式有特林 关于f(x)与f(g(x)的方程 之花，相心观多不球发现有（一》=+一2，行以原式的布道客易体名一达 组，消去f(g(x)解出f(x)即 种结构.故可采用配海法.) 可，如美系式中含有「(x)与 由题意知）=r+=(+2所以fx)=+2 f(-xfx)与f(）时，将 在女-）=r+中，括号内的整体x-上可以取任意实数，所以 原式中的工月一，子代替，从 而得到另一个同时含有f(x)与 在f(x)=x十2中，x也能取任意实数 (4)方程组法（观察发现，带在超千所拾关系式中特x换咸】，刚f(x)与 f八-f)与/得）的关系 式，将这两个关系式联立，列方 （二）刚好交换，由共能得到一个新的方程) 程组解出f(x). (6)赋值法 因为2fx)-f(）=2x-1,所以将x换成，可得2f(）-f(x) 所给函数方程含有两个变 是-1，所以）-2+x 量时，可对这两个变量交替用特 殊值代入，成使这两个变量相等 代入2r)-f但）-2x-1可得2r)-2z+号1u)-2x-1.解 代入，再利用已知条件，可求出 未知的函数，至于取什么特殊 得f)=13+2.x≠0. 值，应根据题目特征而定 85 重难点手册高中数学必修第一册RJA, (5)换元法十方程组法（观察发现x一1与1一x互为相反数.可令1=x一1 刚转化为f(:)与f(一1)的关系，再用方程法求聊) 令t=x一1，则x=1十1， 所以原式可化为3f(t)十2f(一1)=2(1十1)， ① 用-1代替1得3f(-1)十2f(1)=2(1-1), ② 联立0@可得了0)=2+号故1x)=2r+号 (6)赋值法令y=0可得f(x)=2f(0)十x2+3.x, ① 再令x=y=0可得f(0)=2f(0), 所以f(0)=0,代入①得f(x)=x2+3x (也可令x=0T得f(y)=2f(y)-y一3y,化得f(y)=y+3y,所4(x)= x+3x) 归纳总结 遇到含∫(x),f(y)等这类双变量的关系式，常通过赋值法来求 ∫(x)的解析式，最常见的赋值法有x=0,r=士1，x=士y等，根据具体 题目的形式进行尝试，往往就可以找到思路」 变式0(1)已知一次函数f(x)满足f(f(x)=4x一3，则 f(1)= (2)已知f(千=x-1.则f) (3)若函数f(x)满足对任意x,y∈R,都有f(x一y)=f(x)十 f(y)-2.xy,则f(x) 关键能力提升 题型①分段函数的应用 当x2-1>0,即x>1或x<-1时，f(x)>0, ∴g(f(x)=2-f(r)=3-x2 1.分段函数的求值问题 3-x2,r>1或x<-1, 例B(2024·江西南昌二中模拟)已知 故g(f(x)= x2-2,-1<x<1. f(x)=x2-1,g(x)= x-1x0. 求g(g(3) 2.分段函数的值域问题 2-x,x>0, 1x2-4x+3,0≤x≤3， 与g(f(x). 例④函数f(x)= x+3,-3≤x<0 解析①（沙及复合孟数的计算网题，了先求内层通数值 的值域为( ）. g(3),再根据g(3)的范周，代入相应的解析式中求善数最后 的值) A.[-1,+oo) B.[3,+oo) :g(3)=2-3=-1, C.[-1.0] D.[-1,3] *g(g(3))=g(-1)=-1-1=-2. 解析(fx)为分段西数，可先求每一积的值枫，再取并集) ②当x2-1<0,即-1<x<1时，f(x)<0, 当0≤x≤3时，f(x)=x2-4x+3,如图，f(2) 持f八)代入gx)中，酬需满足gx)的定义城 2-4×2+3=-1,f(0)=0-4×0+3=3, .g(f(x)=f(x)-1=x2-2: 所以这段函数f(x)的值战为[一1,3]； 86 第三章函数的概念与性质崩 当-3x<0时，f(x)=x+3,此时0≤x十33， 若f(a)<-3,则a的取值范围是 ,这段函数f(x)的值域为[0,3). (2)已知实数a≠0，函数f(x)= 综上所迷，函数f(x)的值域为[-1,3]U[0,3) 2x+a,.x<1, =[-1.3]. -x-2a,x≥1 若f1-a)=f(1+a),则a y-,x-4x+3 的值为 解析(1)当a≤-2时，f(a)=a<-3, 此时不等式的解集是（一∞，一3）： 答案D 当-2<a<4时，f(a)=a+1<-3, x2-2,x≤1， 例固已知函数f(x)= 解得a<一4，矛盾，此时不等式无解： a.x2-x+2,x>1 当a4时，f(a)=3a<-3, 的值域为[一2，十∞)，则实数a的取值范围是 解得a<一1，矛盾，此时不等式无解. ∴.a的取值范围是（一∞，一3）. A.（-,i6 (2)(因为f(x)两段表达式中上的分界点为1，所以分 4>0和a<0两种情况》 c品+ n层+ 当a<0时，1-a>1,1十a<1, ∴.f(1-a)=-(1-a)-2u=-1-a,f(1十a)= 解析（观客发现韩一我盖匙不舍术，故先分桥f(工）在达 2(1+a)+a=3a+2. 投上的值域) ,f(1-a)=f(1+a), 当x≤1时，f(x)=x2-2>一2，当且仅当x=0 时取等号， -1-a=3a+2,a=-3 所以f(x)在(-∞，1门上的值战是[-2，+)， 当a>0时，1-a<1,1十a>1, 要使f(x)在R上的值域为[一2，十∞)，只需 f(.x)在(1，十co)上的值城包含于[-2，十o), ∴.f(1-a)=2(1-a)+a=2-&, 即a.z2-x十2≥一2在x∈(1，十o∞)时恒成立， f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1. (此不等式中东数口只出现一次，容易分高出桑，放先分务) :f(1-a)=f(1+a). 当x∈(1，十o∞)时，ax2-x十2≥-2曰a.x2≥x 2-a=-3a1,解得a=-2(舍去】 ① 综上所述，a=一 3 因为-+品取件是=8 答案(1)(-6∞，-3). 所以-（侵）'+6的最大值是品 @0设集合A=0,2》B=侵： 又由①可知a≥ 所以u≥6 函数f(x) x+2x∈A, 若x。∈A,且 答案C 21-x),x∈B 3.已知分段函数求参数的值（或取值范围）】 f(f(xo))∈A,则x。的取值范围是 x,x≤-2 变式3(2025·江苏泰州一中模拟)设函 例0(1)函数f(x)=x+1,一2<x<4, x2+2r,.x0, 数f(x)= 若f(f(a)-f(a)+ 3.x,x≥4， -x2,x>0, 87 重难点手册高中数学必修第一册RJA 2=0,则实数a的值为 再设抛物线对应的二次函数的解析式为y=a(x一 题型②函数图象的识别及其应用 2)2+2(1<x≤3，a<0). 点(3,1)在抛物线上， 例☑[教材P68例6改编]定义运算a①b ∴.a十2=1，即a=-1, a,a≥b, 则函数f(x)=x⊕x的图象是 ∴当1<x≤3时，函数的解析式为y=一x2十4x b,a<b, 2(1x≤3). 综上所迷，所求函数的解析式为 -x十2，x≤1， -x2+4r-2,1<x≤3， -1O1x -1O1 x-2,x>3. B C D 例⑨已知a∈R,若函数f(x)= aa≥b, 解析根据题意，运算a①b一 其计算结 x+1,x>1, b,a<b. 的值域为R,则实数a的取值 a.x2-2x,x≤1 果为实数a,b中的最大值， 范围是 若x≥x,解得x≤一1或x≥1， 解析当x>1时，f(x)=x十1>2， 若x2<x,解得-1<x<1, 所以f(x)在x∈(1，十o)时的值域是(2，十○)， x2,x≤-1或x≥1， 故f(x)= 要使了(x)在整个定义域上的值域是R,则在xE lx1,-1<x<1. (一a,1]时，f(x)的值城要包含（一∞，2]， 则f(x)的图象与B选项对应，故选B. (注意到当xE(一g,1门时，f(x)=ax2一2x是二次孟数. 答案B 但a=0时除外，放握此讨论) 例⑧(2024·浙江杭州六校高一联考)已 当a=0时，在(-，1]上，f(x)=-2x, 知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和 所以f(x)≥-2.故f(x)在x∈（一o,1]时的 抛物线的一部分组成，求函数的解析式 值域为[一2，十∞)，不合题意. 当a≠0时，（此时f(x)的值城与二次函数y=ar2 2x的开口方向有关，故要讨论。的正黄) 若a>0,如图1，可以想象，无论x=1在对称轴 的左边还是右边， 0123 f(.x)=a.x2-2x在x∈(-oo,1]时的值城都取 思维过程 不到一∞，所以不可能包含（一6,2]，不合题意： 图中给出的实际上是一个分段函数的图象，对 各段对应的函数解析式进行求解时，一定要注意其 若a<0,如图2，对称轴x=】<0<1, 区间的端点 所以在(-o,上.fx)s=(日）=a(月） 解析设左侧的射线对应的解析式为y=kx十b 1 (x≤1). 2 点(1,1)，(0,2)在射线上， k+b=1, k=一1， 故f八x)的值城为(-0，一，此时要使(-0， 解得 b=2, b=2. 2(,引图3，应有≥2. ∴左侧射线对应的函数的解析式为y=一x十2 两端乘以a可得-1≤2a, (x1) 同理，当x>3时，函数的解析式为y=x一2(x>3). 所以a≥结合a<0可得-<a<0, 88 ,第三章函数的概念与性质铺通 综上新速，实数a的取值范周是[0小】 答案[o 变式④(1)设x∈R,则函数y=2x-1 一3x的值域为 (2)(2024·陕西西安期中)若方程x2 图 图2 4x|十3=m有四个互不相等的实数根，则m 的取值范围是( ). A.(-o∞，-1) B.(-1,3) 图3 C.(3,+∞) D.(-1,+∞) 核心素养聚焦 考向①分段函数的求值 f(x)≥ 乞十a在R上恒成立，则a的取值范 例10（经典·山东卷）设∫(x) 围是( ). 元，0<x<1, 2(x-1),x≥1. 若fa)=fa+1D.则/（月 A.[-2,2] B.[-23,2 =(). C.[-2,23] D.[-23,23] A.2 B.4 C.6 D.8 解析作出f(x)的图象如图所示。 解析当0<4<1时，4+1>1，f(a)=a, f(a+1)=2(a+1-1)=2a, :fa)=fa+1),∴va=2a,解得a= f(日）=f(4)=2x4-10=6. -4-3-2-101231 当a>1时，a+1>2,.f(a)=2(a-1) f(a+1)=2(a+1-1)=2a, 当y一臣十a的图象经过点(0,2)时，可知a= ∴.2(a-1)=2a,无解. ±2. 当a=1时，a十1=2，f(1)=0,f(2)=2,不符合 题意 当y=查十口的因象与y=+是的图象相物时， 棕上可知，f日）= 由5+a=r+是得r-2ur+4=0. x 答案C 由△=0，并结合图象可得a=2. 考查内容 核心素养 高考难度 要使≥5+a恒成立， 本题考查分段函数的 逻辑推理 当a≤0时，需满足一a≤2，即-2≤a≤0， ★★☆☆ 求值 数学运算 当a>0时，需满足a≤2，即0<a≤2. 考向② 综上可知，-2≤a≤2. 函数图象及其应用 答案A 例1☐（经典·天津卷）已知函数f(.x) 考查内容 核心素养 fx+2,x<1, 高考难度 大2 设a∈R,若关于x的不等式 逻辑推理 x≥1 考查分段函数的应用 ★★☆☆☆ 直观想象 89