3.1.1 函数的概念-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

第三章 函数的慨念与性质 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 重点和难点 课标要求 重点：建立“对应关系说”观，点下用集合语言表述的函 1.理解函数的概念. 效概念，在此过程中培养学生的数学抽象素养 2.会求简单函数的定义城和值域 难点：从不同的问题桥境中提炼出函数要素，并由此 3.了解区间的概念 抽象出函数概念：理解函数的对应关系f, HHHH目H鞋H 必备知识梳理 中中H 基础梳理 知识点① 函数的概念 明概念淘 设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数 函数的本质含义 定义域内任意一个x值， x,按照某种确定的对应关系∫，在集合B中都有唯一确定的数y 必须有且仅有唯一的y值与之 (东合B中可以存在多食“元素") 和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数， 对应 (1)特珠性：定义中的集合 记作 y=f(x),x∈A. A,B必须是两个非空的数集. (f(x)表示“x对应的函数值”，而不是“∫来x”) (2)任意性：A中任意一个 其中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域：与 数都要考虑到。 x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)x∈A}叫 (3)唯一性：每一个自变量 作函数的值域.（值域是亲令B的子集）◆丽率 都在B中有唯一的值与之对应 知识点②函数的三要素 (4)方向性：A→B」 从函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关 敲黑板) 系、值域。 “f"的含义 定义域 函数的定义域是自变量的取值范围 对应关系∫是函数的本质 对应关系∫是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的 特征，它好比是计算机中的某个 对应 “程序”或者“方法”.按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x, “程序”.当在“∫()”的括号内 关系 可得到值域{y|y=f(x),x∈A}中唯一的y与之对应.同一“f” 输入一个值时，在此“程序”作用 可以“操作”不同形式的变量 下便可输出某个数据，即函数 值.如∫(x)=3x十5，f表示 函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系 值域 “自变量的3倍加上5”.如∫(4) 确定后，它的值域也就随之确定了 =3×4+5=17.需要注意的是： 卡动理板 这里的“工”既可以是一个数，也 71 重难点手册高中数学必修第一册RJA 知识点3同一个函数 可以是一个代数式，还可以是某 个函数记号，如f(x)=3x十5， 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，就称这 则f(2x-1)=3(2x-1)十5中 两个函数为同一函数 的f表示“(2x一1)的3倍加上 因为定义域和对应关系相同决定了这两个函数的值域也相 5”,f(p(x)=3p(x)+5中的 同，所以判断两个函数是否为同一个函数，只需判断定义域和对应 ∫表示“(x)的3倍加上5”对 应关系“∫”除了用解析式表示， 关系是否相同即可.◆阳方 还可以用图象、表格或其他表示 知识点④区间 方法表示 设a,b∈R,且a<b. 记方法间 定义 名称 符号 数轴表示 判断两个函数为同一个函 数的步骤： {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] 。b 一看 定义城不间，则两面 定义城厂 数不是同一个函数 (xla<x<b) 开区间 (a,b) a62 对应关系不网，别两 函数不是网一个函数 {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) 。6 只有定义域和对应关 结论 系都相同，两品数才 是同一个函数 {xla<x≤b】 半开半闭区间 (a,b] ab {xlx≥a} 无穷区间 [a,+oo) 敲黑板问 区间的含义及表示 (xlx>al 无穷区间 (a,+c∞) 区间是数轴上某一段的所 有，点所对应的实数组成的实数 {xlx≤b} 无穷区间 (-o∞，b] 6 集的另一种表示形式.对于区间 的理解应注意： (I|x<b) 无穷区间 (-0∞，b) (1)区间的左端点必须小于 右端点，有时我们将b一a称为 ◆服惠板 区间长度，对于只有一个元素的 重难拓展 集合，我们仍然用集合来表示， 如{a. 重难点① 函数定义域的求法 (2)由于区间是特珠的数 当函数∫(x)仅以解析式的形式给出时，函数的定义域就是 集，因此区间之间可以进行交、 使这个解析式有意义的自变量的取值范围.具体来说，常有以下几 并、补运算。 (3)用数轴来表示区间时， 种情况： 要特别注意实心点与空心图的 1.f(x)为整式型函数时，定义域为R 区别. 2.由于分式的分母不为0，则当f(x)为分式型函数时，定义 (4)对于一个不等式的解 域为使分母不为0的实数的集合. 集，我们既可以用集合形式来表 3.由于偶次根式的被开方数非负，则当f(x)为偶次根式型 示，也可以用区间形式来表示， 函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合. (5)要注意区间表示实数集 72 第三章函数的概念与性质销锥 4.函数f(x)=x°中的x不为0. 的几条原则：数集是连续的，左 5.如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么 小右大，开或闭不能混淆。用 它的定义域是各个简单函数定义域的交集， “。∞”作为区间端点时，需用开区 间将号， [注意]定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示，不能用 “或”连接，而应用并集符号“U”连接 例日求函数)-干的定义效 解析要使函数有意义，需满足 x+5≥0，即 ≥-5， lx|-2≠0，x≠±2， 即-5≤x<-2或-2<x<2或x>2. t画数fe)-的定义线为[-5，-2U(-2.2U2,十m. 例2已知函数f(x)=3x-m √x-1 (1)若m=10,求f(x)的定义域： (2)若f(x)的定义域是(1，+十∞)，求实数m的取值范围， 解析()若m=10,则fx)=23江-10 /x一1 要使∫(x)的解析式有意义， x2-3x-10>0(分号有意义)， x≤-2，或x≥5， 应有 所以 x一1>0（分母的根式有意义且不为0）， >1, 从而x≥5， 故f(x)的定义域为[5，十∞) x2-3x-m≥0， ① (2)要使f(x)的解析式有意义，应有 x-1>0, @ 由②可得x>1, (题千说f(x)的定义城是(1，十)，刚好就是上述由②求得的范围，这就说明用(1， 十西)与①的解素取交素的结黑仍是(1，十)，即(1，十四)是不等式①的解条的子素.换 言之，不等式①在(1，十)上恒成立，要由此求m的范围，可考定把m分离出来) 因为f(x)的定义域是(1，十∞)，所以不等式①在(1， 十∞)上恒成立，不等式①等价于m≤x2一3x, 生分鼻永数法 3 如图，当x>1时，函教y-x2-3证在x-2处取得最 小值，所以2-3-（侵°-3x号是 9 因为m<2-3x在1，十o四)上板成立，所以m<-是 故实数m的取值范围是(-0，一引 73 重难点手册高中数学必修第一册RJA 重难点②求函数值域的常用方法 求函数的值域是一个较为复杂的问题，也是较为重要的问题， 方法较多，目前阶段常见的方法有以下几种： 1.直接法（分析观察法） 通过基本函数（目前主要指一次函数、二次函数和反比例函 拓视野⊙ 数)的值域及图象、性质，简单计算、推理或凭观察能直接得到一些 (1)分离常数法求值城 形如y= cx+d 简单的复合函数的值域.如求函数f(x)=1十中（x≥2)的值 ax+b(a≠0， ad≠bc)的函数，经常采用分 域，可由反比例函数y=士的性质观察出，c)的值城为，。 离常数法，将红十d ax+6变形为 2.配方法 (ax+b)+d-bc a a 配方法是求二次函数类型函数值域的最基本的方法.一般地， = ax+b a 像求函数f(x)=a(g(x)2+bg(x)十c(a≠0)的值域问题，均可 利用配方法.如求函数y=x一2√元十3的值域，因为y=(√无一 ax十6，再结合x的取值范国确 1)2+2>≥2，故所求函数的值域为[2，十∞). d-be a 3.换元法 ax十石的取值范国，从而确定 通过换元法将其转化为我们所熟悉的函数求值域.如求函数 函数的值城」 y=x+√x一1的值域，令t=√x-1,则t≥0且x=t2+1,所以 中妹数)y骨的值域时。 y=+4+1=(+}°+≥0)，而+分>2所以)≥1，故所 因为y=2且 3 求函数的值域为[1，十∞). ≠0， 4.图象法 所以y≠2，所以函数的值 城为{yy∈R,且y≠2).所以 所谓图象法，就是利用我们已研究过的函数图象或由这些图 象经过变换得到的函数图象的直观性求函数值域的方法， 形知y-r十d a十6的画数的值城 5.逆求法（反求法】 为yek,且y≠台}但求 所谓逆求法，就是用y来表示x,再由x在某个范围内有解得 到关于y的不等式，通过解不等式，得出y的范围.如求函数f(x)= 画数)1<：<2)值 x-1 r-,所以x=y+3 2红十3(x≥2)的值城，可令y-2红十 2x-1 y-2,由x≥2得 域时，y= x+1 -2 1x2,所以2≤x十13，所 2>≥2，解得2<y≤7，所以f(x)的值域为(2,7].腾野 以133 号所以≤ 例B求下列函数的值域， 故所条西数的值线为[合] (1)y=√x-2: x2-x (2)y= x2-x+1 (2)判别式法求值域 (3)y=x-/1-2x; (4)y x2-4x+3 形知y=ar+bx+c 2x2-x-1 aix+biz+er (a1,a2不同时为0)的函数的值 解析(1)直接法因为√x≥0，所以√：一2≥一2， 74 第三章函数的概念与性质锥 所以y=√元-2的值域为[一2，+o∞). 拔的求法是，先把函数转化为关 (2)方法-（配方法）固为y=1一-x+ 于x的二次方程F(x,y)=0, 通过方程有实根、判别式△>0， 且-x+1-(》°+>是， 得出原函数的值城 知求画数y=十红中出的 1 x2-x十1 值城， 即画款的值城为[言小。 由y=+x+1 x+得(0 方法二（道求法+判式法）由y得g一x--1江 1)x2-(y+1)x+y-1=0. 当y≠1时，因为x∈R, +y=0(x∈R). 所以△=(y+1)2-4(y 当y=1时，x无解： 10≥0， 当1时，甲一写六<1，即函数的值城为[了小 中≤<3，且y1当y 1-t2 (3)换元法令1-2z=t,则>0，且x=2, =1时，x=0. 故所求函数的值城为 所以y=-+10+1号≥0》. [g 所以西数份佳线为-一，引 (④分离常数法y=二4红+3-红-1Dx-3》=王-3 2x2-x-1(x-1)(2x+1)2x+1' 写 7 2x+1 22(2x+1)' 当1时品品景 2 2 又因为22x+D0,所以y= 所以画数的值城为(-©，-)U(子，U(侵，+∞) 培优突破 突破点①抽象函数与复合函数的定义域 1.抽象函数与复合函数的概念 (1)没有给出具体解析式的函数称为抽象函数 敲黑板。 (2)若函数y=f(t)的定义域为A,函数t=g(x)的定义域为 由复合函数的定义可知，内 D,值域为C,则当C二A时，称函数y=f(g(x)为ft)与g(x) 层函敏的值城是外层函数的定 在D上的复合函数，其中t叫作中间变量，t=g(x)叫作内层函 义城或定义城的非空子集，外层 数，y=f(t)叫作外层函数.◆顺 函数的定义城和内层函数的值 2.抽象函数和复合函数的定义域 城共同确定了复合函数的定 义城」 (1)函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合； 75 重难点手册高中数学必修第一册RJA (2)函数f(g(x))的定义域是指x的取值范围，而不是g(x) 的取值范围： (3)f(t),f(g(x),f(h(x)三个函数中的t,g(x),h(x)在 对应关系∫下的取值范围相同； (4)已知f(x)的定义域为A,求f(g(x))的定义域，其实质 是已知g(x)的取值范围为A,求x的取值范围； (5)已知f(g(x))的定义域为B,求f(x)的定义域，其实质是 明概念海 已知f(g(x)中x的取值范围为B,求g(x)的取值范围.◆明圆多 函数f(x)与f(g(x)中 例④已知函数y=f(x)的定义域是[一3,2]，则函数y= 的“x”的含义是否相同？ f(2x一1)的定义域是 不同.它们是用同一个字母 来表示两个不同的函数自变量， 思维过程 因此，它们的取值范围不一定 定义域指自变量x的范围.故问题可理解成已知y=f(x)中x的范 相同. 围是[-3,2]，让求y=f(2x一1)中x的范围，怎么求呢？由于两个函数 的对应关系都是f,而∫作用的对象是后面括号内的整体，即括号内的范 国求远不变，所以y=f(x)和y=f(2x一1)括号内整体的范围应该是一 致的，由此可建立不等式求x的范围。 解析由y=f(x)的定义战是[一3,2]可知自变量x的范国是[一3， 2],即括号内整体的范围是[一3,2]， 所以在y-f2x-1D中，应有-3<2x-1<2,解得-1Kx<号， 敲黑板) 故函数y=f(2x一1)的定义城是 涉及抽象函数的定义城问 答案1，引 题，抓住两，点即可： (1)无论哪个函数，定义城 例已知函数y=f(x十2)的定义域是[一3,2]，则函数y= 永运指自变量x的范围： f(2x一1)的定义域是 (2)对于同一个对应关系 解析因为y=f(x十2)的定义城是[一3,2]， ,f(…)的括号内整体的范围 所以可知y=∫(x十2)中x的范围是[-3,2]. 始终一致 故括号内的整体x十2的范国是[一1,4]. 所以函数y=f(2x一1)括号内整体的范围也是[一1,4]， 所以-1K2红-1<4，解得0<≤名， 故y-f2r-D的定又域是0，引 答秦[0，引 变式0若函数f(2x-1)的定义域为[-3,1]，则函数y= f3-一4x)的定义域为 √x-I 76 ,第三章函数的概念与性质推 关键能力提升 题型①对函数概念的理解 题型2 求函数值或函数的解析式 例(2025·长沙雅礼中学月考)（多选） 例0已知f)=3x2-1,g)=2 下列说法中正确的是(). (1)求f(g(0),g(f(0)的值； A.式子y=√x-1十√一x-1可表示 变量为x,因变量为y的函数 2求fx-D,8层-小： B.函数y=f(x)的图象与直线x=1的 (3)已知g(f(x)=1,求x的值. 图象的交点最多有1个 解析(1)（对于f(g(0),作用的对象是g(0),于是我 C若fx)=1x-1-lx,则ff2)》 们先把g(0)算出来) 由题意知g(0)=0十2一2' 1 1 =1 D.f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同 所以fg0)=f号)=3x()-1=-是， 一个函数 (再求g(f(0),兵似处理即可) 解析A(X),由y=√x一I十√一x一I,有 因为f(0)=3×02-1=-1, 工一120此时工无解，即解集为②，根据函数的定 所以g(f0)=g(-1)=-1+21 -x-1≥0， (2)因为f(x)=3x2-1, 义可知，该式子不能表示自变量为x,因变量为y的 所以f(x-1)=3(x-1)2-1= 函数. 3(x2-2x+1)-1=3x2-6x+2. B(/),函数y=f(x)的图象与直线x=1的图 (再求g(任-1小，原理与求f(x-1)相同，持g(x)解析 象的交点最多有1个。 式中所有的无换咸上一1即可) C(W),f(x)=|x-1-x,则f(2)=0, 因为g)- x+2 f(2)》=fo)=1-0=1. D(√)，f(x)=x2-2x与g(t)=2-2两个函 数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数 答案BCD (除了g(行-1)本身要求x≠0外，在gx)中，显然x 变式②下列各组函数中，表示同一函数 一2，根据括号内参体的范踢柏件一款，在g(侵-1)中，也应有 的是( 一1≠一2，所以需补充这两点) Af(x)=x(x2+1) x2+1g(x)=x 在g(是-)=千中江0， B.f(x)=x,g(x)=√x 另一方面， C.f(x)=1,g(x)=x 由上-1≠-2可得x≠-1， D.f(r)=t,g(z)-2 所以g经一-小-千z江0且x≠-1 77 重难点手册高中数学必修第一册RJA 1 (3)因为g(x)= 在f(x-a)中，0≤x一a≤1，解得a≤x≤1十a, x十2' (怎样能使f(x十a)十f(x一a)有定义？必须满足f(x 所以g(fx)=了x)+2 1 a)和f(x一a)都有定义，所r以两部分的定义城交集非空，正面 分析文素非堂，可能的情形较多，不坊从及面青虑，求出a的范 将f(x)=3x2-1代入可得g(f(x) 围，再取补集) 1 1 3x2-1+23x2+1' 记A=[一a,1-a],B=[a,1十a],则题设条件 等价于A∩B≠必， 因为在g(x)中，x≠一2， 假设A∩B=0,则如图1或图2，有1十a<-a 所以在g(f(x)中，应有∫(x)≠一2，即3x2-1 ≠一2，此不等式对任意x∈R都成立， 或1-a<a,解得a<-a> 2 所以g(f(x) 3x+x∈R,从而g(f(x) 所以当AnB≠时，有-名a<, =1即为3x中1=1，也即3z2+1=1,解得x=0 故a的取值范国是一22] 11 BA■ A■B 变式3已知f(x)= 1+2x∈R I a 1+a -a I-a -a 1-a a Ita 图1 图2 (1)计算fa)+f日)的值： 方法二（将通设条件等价精化为A门B≠⑦的过程同 方法一，换下来能正面专虑A门B≠吗？我们套试分新a变 (2)计算f1)+f(2)+f(号》+f(3)+ 化时国形的运动过程，有能香找到临界状态) 注意到两个区间的左端点分别为一a和a,它们 ()+f4+f)的值 关于原点对称，且两个区间的长度都是1， 所以当|a接近0时，如图3，满足A∩B≠☑；让 题型③求函数的定义域 |a增大，则A和B的左端，点一a和a都会远离原，点， 求函数的定义域常见的类型有：已知函数 可以想象，两个区间就一左一右反向移动，满足 的解析式求函数的定义域（见重难点1）：求抽： A∩B≠的临界状态如图4： 象函数或复合函数的定义域（见突破点1）；函 若让|a继续增大，则A∩B=必，如图5. 数定义域的逆向问题 (满足A门B≠☑的临界状态分析清是于，下面我们来求解 此时的l,可抓住区问长度为1来建立方程) 例8若f(x)在[0,1]上有定义，要使函 数f(x十a)十f(x一a)有定义，则a的取值范 在图4中，a-(-a)川=1，所以a=2 围是( 当且仅当1a<2即名a<号时AnB≠o, A(-,-》 B. 11 22 口的取位花周关[引 c.(2.+) D.R -a0a1-a1+a -a 0 a 1+d 解析方法一（新高数由f(x十a)和f(x一a)两部分 1-d 图3 图4 构成，我们光来看看它们各自的定又城) 由f(x)在[0,1]有定义可知括号内整体的范围 A□B -a01-aa1+a 是[0,1]，所以在f(x十a)中，0≤x十a≤1，解得-a≤ 图5 x≤1-a, 答案B 78 ,第三章函数的概念与性质通 变式④(2024·天津部分区期未)已知函 当a-1时，(1-a2)x2十3(1-a)x+6≥0，即为 6>0,恒成立； 数f(x)=√一x2十2x十3，则函数f(3x一2) 当a=-1时，(1一a2)x2+3(1-a)x十6≥0，即 的定义域为( 为6x十6>0， AB引 B1 51 该不等式在x<一1时不成立，不合题意； 当a≠士1时，要使(1-a2)x+3(1-a)x十6≥ C.[-3,1] nG, 0恒成立，函效y=(1一a2)x2+3(1-a)x十6的草图 例9f(x)=√/(1-a2)x2+3(1-a)x+6. 应如图2， 1-a2>0, (1)当a=0时，求f(x)的值域， 所以 4=[3(1-a)]2-4(1-a2)·60, (2)若f(x)的定义域为[-2,1]，求实数a 的值； 解得-品a<1 (3)若f(x)的定义域为R,求实数a的取 蛛上所选，实数a的取值范围是品 值范围， 解析(1)当a=0时，f(x)=√x2+3x十6， 周为+3x+6=女+》+识当且仅当 图1 图2 t=- 号时取学号，所以W十3x十6≥ 变式5(2025·江苏河北保定一中段考) 2 悟+小 已知函数y= ax一1 的定义域为R, 故f(x)的值战是 Vax2+4ax+3 (2)因为f(x)的定义域是[-2,1]，所以[-2,1] 则实数a的取值范围是 是不等式(1-a2)x2+3(1一a)x十6≥0的解集， 变式6(2025·江苏南京模块测试)已知 (读不等式的平方系数舍东，其是否为0时不等式的要型 函数y=√a.x+1(a<0且a为常数)在区间 有影响，分析方法不同，故讨论) (一∞，1]上有意义，求实数a的取值范围. 当1一a2=0时，a=士1，经检验，不满足(1一a2)· 例10如图所示，半径为R的圆的内接等 x2+3(1一a)x十60的解集是[-2,1]，不合题意： 当1一a2≠0时，要使不等式(1一a2)x2+3(1一 腰梯形ABCD,它的下底AB是⊙O的直径， a)x十6>≥0的解集是[-2,1门，如图1，应有1-a2< 上底CD的端点在圆上.写出这个梯形的周 0,且-2和1是y=(1-a2)x2+3(1-a)x十6的两 长y与腰长x之间的函数关系式，并求出其定 个零点， 义域。 -2+1=-31-a) 1-a2 由韦达定理得 解得a=2. 6 2×1=1-a2 满足1-a2<0. 综上所述，实数4的值为2. 解析设AD=BC=x,作DE⊥AB于点E,连 (3)因为f(x)的定义域为R,所以(1一a2)x2+ 接BD 3(1一a)x十6≥0对任意的x∈R恒成立， 因为AB是⊙O的直径，点C,D在圆上， (这还是(2)中的不等式，故仍然接1一a2是否为0讨论) 所以∠ADB=90°， 79 重难点手册高中数学必修第一册RJA。 因为△EDAC∽△DBA, 故函数的值域为(2,9). 所以AD2=AE·AB,即AE=石， (3)令t=x2-4x,∴.t=(x-2)2-4-4, .y=(t+5)(t-1)十6=t2+4t+1=(t+2)2-3. 所以CD=AB-2AE=2R-发 当t=一2时，y有最小值，最小值为一3. 所以周长y与腰长x之间的函数关系式为y 由y=t2十4t十1的图象知y无最大值，故值战 2R+2红+(2R发)=食+2x+4R 为[-3，十o∞) (4)换元法+不等式法令x一2=t(t>0),则 因为四边形ABCD的各边长都为正数， 所以AD>0,AE>0,CD>0, x=1+2,故y=+2)2-2+2)+4_+2+4 x>0, 所以 -. 解得0<x<2R, +1+2≥2+2=6，当且仅1=4 1=2, 即x=4时取等号 所以所求函数的定义域为{x|0x<√2R》. 故函数的值域为[6，十∞). 题型（④函数的值域 (5)换元法十配方法（所给函数形式较夏杂，怎么求 例1求下列函数的值域， 其位孩？观你发现帝与保像，未际上克以道过拆 (1)y=√-2x-x2+3; 项化为关于中的式子，从雨统一特物，换元处理) (②y-2ze>40: x一3 1 (3)y=(x2-4x+5)(x2-4x-1)+6; x+1x十1 ④y=t-2+4x>2: y=+动-》+h x-2 1 (6)y=z+1D+x+x>0. 解析(1)：-2x-x2十3≥0， ◆17则y=-+1. .-3≤x≤1. 当>0时x+1>1,所以1=∈01》 又y=√-2x-x+3=√-(x+1)+4, .0≤-(x+1)2+4≤4， 函数y=t一t十1的草图如图，由图可知，该函数 ∴.0≤y≤2， 在=处取得最小值，故ym=(侣)”-名十1=是， 故所求函数的值城为[0,2]. (2)方法-（分离常数法）y-2红_2-3)+7 又当1=0或1时，y=1, x-3 x-3 ∴通数的维域是[良，小 2+7 -3' y=t'-t+l 周为>4，所以03<7，所以2<y<0, 故函数的值域为(2,9). 方法三（逆求法）易得x一y—2,且y≠2， 变式⑦(2025·江西六校高一联考)求函 南释警>4：号0,2a 数y= 2x2+4x-7 x2+2x+3 的值域。 80又因为p1=x十y十1一y=x十1， 因为函数f(2x一1)的定义域是[-3,1]， 1-2=2 所以p号·p= 所以这里的x满足一3≤x≤1，故-7≤2x-1≤1，即括号整 y 体的范围是[一7,1门， 所以△AMG的周长为定值，且定值为2. 所以在f(3一4x)中，应有一7≤3一4x≤1， ②设△RM的面积为S则学-器_与学 解得<名 ① 因为5-号，所以s=1s,-1= y 2y (还有分朵的√金丁没考常，故义考虚选都分) 1-x产x=1-x)江=-(x+1)- x-1≥0， 1-x 1十x x+1+3≤ 要使y=3一4四有意义，还应有 Vr-1 x-1≠0， -2+D·石+3=3-2，当且仅当1+ 解得x>1,与0取交集可得1<受， 子2，即x厅-1时等号成立，放S的最大值为3-2厄。 所以函数y=3号的定义减是1，引，门 19.(1)由题意可得(x-2-1)2>(2x-1D2,即(3x-4)(x十2)< Vr-1 [变式2]A[A(/),f(x)可化为f(x)=x,x∈R与g(x)= 0,解得-2<号 x是同一函数 所以实数x的取值范围为女-2<x<号}. B(X),g(x)=√=x与f(x)=x对应法则不一样 (2)“x<y<m”是“x比y更远离m”的充分不必要条件，证 C(×),g(x)=x°=1(x≠0)与f(x)=1的定义域不一样. 明如下： DXX),g)=工=x红≠0)与f)=x的定义域不-一样.] x ①已知x<y≤m,则m一x>my之0， 由不等式得一>一y>一m,再同加上m得到 可得(mx)>之(my),即(x-m)>(y-m)', 生由不等式性猫7得到 1+(日) 所以x<y<m是x比y更远离m的充分条件 ②已知x比y更远离m,则(x一m)>(y一m),举例x= 1十a所以fa)+f(日）-1 3,y=2,m=0,满足(x一m)>(y一m)2,但不满足x< y<m,所以x<y<m不是x比y更远离m的必要条件. (2)由(1)知fa)+f(日)=1， 综上，x<y<m是x比y更远离m的充分不必要条件 从而f2+(侵)=f3)+(号)=f0+()=1, ab+2b ab+2b (3)因为a>0,b>0,p a2+b2+1 。2+6+号8+1 故[r2+/(侵】+[3)+/传】+[+/(] ab+2b 5 2 =3,而f1)=2,所以f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+ 1 1 fg)+④+)- a=5b,a=2 当且仅当 即 时等号成立 [变式4]A[由-x2+2x+30,解得-1≤x≤3，即函数f(x) b= 的定义城为[-1.31由一1长3虹-23，解得号<x<号， 因为<号<反<厅，由②可知p比反更远高5，即得证 则函数x一2)的定义城为[号，号].门 第三章 函数的概念与性质 [变式50<a<子 [要使函数有意义，必须使ax2+4ax十 3.1函数的概念及其表示 3≠0.要使函数的定义域为R,必须使方程ax2+4a.z十3=0 3.1.1函数的概念 无解（无实根）.当a=0时，方程ax2+4ax十3=0无解，当 变式如练 a≠0时，若方程ax3十4ax十3=0无解，则有判别式△<0， [变式门，引，【0去于a-)的发义该，了以件克c) 即(4a)-12a<0,解得0<a<.综上可得，当0<a<号 指号内整体的笼因，用于分新目标高数中f(3一4缸)这部分) 时，函数的定义域为R.] 26 [变式6]由题意知a.x十1≥0，a<0, “函数的值线为≠一号引。 ≤-是，即函数的定义城为(-60，-] (2)判别式法+逆求法由y=+工+中出得y=x2十x十1 ,函数在区间（一∞，1]上有意义， (x≠0)， (-(-0,]: 即关于x的方程x2+(1一y)x十1=0有实根(x=0不满足 又：a<0,∴.一1≤a<0,即a的取值范围是[-l,0). 方程)， [变式7刀已知函数式可变形为yx2+2yz十3y=2x十4x-7, .4=(1-y)2-40,∴y2-2y-320, 即(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0, .(y-3)(y+1)≥0，y≥3或y≤-1， 当y≠2时，将上式视为关于x的一元二次方程。 .函数值域为{yy≥3或y≤-1. :x∈R,∴.△≥0，即[2(y-2)]2-4(y-2)(3y+7)≥0， 整理得2+5y-18<0,解得-昌<<2 (3)换元法令t=1-2z,1>0,则x=1 2， (也可以依据二次善数y=2x2十5r一18在x仙下方的周象求解) 有y-1+号+4=号-+2>02. 当y=2时，3×2+7≠0，不符合题意，应去 1 由二次函数y=-21-1)2+2的图象知，当1=1时，y的 故函数的值城为[号，2)， 最大值为2. 基猫过关练 .函数值域为(-∞，2]. 1.D[由图中点B(2,1)可知f(2)=1,所以g(f(2)=: 综合提能练 g(1),由表可知g(1)=4,所以g(f(2)=g(1)=4.] 1.C[选项A中的值域不满足条件：选项B中的定义域不满 2.CD[A(×),y=x°+1=2的定义域为(xx≠0}，y=2的 足条件：选项D不是函数图象（存在一个x对应的两个 定义域为R,两函数的定义域不同，不是同一个函数： y值).] B(X),y=√E·√x+T的定义域为{x|x≥0}，y= 2BC[A(X),由f(x)=-2024图象知不存在符合题意 x √十x的定义域为{xx≤-1或x≥0，两函数的定义城 不同，不是同一个函数； 的M: B(/),令t=2024-x2≤2024，又t≥0，∴.f(x)= C(/),y=x|的定义域为R,y=√x=|x|的定义域为 R,两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数； √2024-x∈[0，√2024]，.存在正整数M(M≥ D√)y=x(x≠0)与y= √2024)符合题意： =x(x≠0)两函数的定义域相 x CW),令1=x2+2≥2，：2024e0,1012],f0x) 同，对应系也相同，是同一个函数.] x”前系数先变正 -x2-3x十4>0，z2+3z-4≤0， 3.C[由已知得 22∈(0,1012]，∴存在正数M(M≥1012)符 x引-x≠0 lx|≠x. 题意； (x+4)(x-1)≤0， -4≤x≤1， D(X),x∈R, x<0(x>≥0时，lx|=x)x<0. 2024x3-1可以取很大的值，不存在符合题意的正数] .一4≤x<0,解集为[-4,0).] 0≤x十a≤1， f-a≤x≤1-a, 4A[令2z+1=5,得z=2,故f5)=22+1D=分] 3.A[由0≤2x+a≤1，→ << 5D[:E有意义，·x≥0.又y=x2+3x-5= 0a<1 0<a<1. (+名)》'-号-5，由y=2+3-5图象可知y的最小 解得-一<x<2】 值为-5.∴值域为[-5，+∞).] 4A[(所求的代数式的结构特点是相邻两个警数所对的盖数值心 2x一51二x)42 5 比，而给出的抽象品数满足fa十b)=f(a)f(6)的美系，所以可以 6.1)分离常数法“y=一5z 1-5x +号-号 用联a◆6-1，别灯系去洁分 ,f(x)对任意a,b满足f(a十b)=f(a)f(b)且f(1)=2, 27 :.fat1=fa)=2, 当y=0时，方程①有解，∴y可以取0. f(a) 当y≠0时，方程①要有解，则需△=a2-4y(y一b)≥0， 瑞+得+得+…+ f(2025) =1013×2= .4y2-4by-a2≤0. 2026.] )-者的值城-1，， 5.AD[(逐个检验选项当然可行，但较麻狮，涉度二次岳数的B同值 .4y2一4by-a2≤0的解集为[-1,4]， 域，画周分折比较方使，由于值域是[一1,3]，所以我们先我到品数值 即4y2-4hy-a2=0的解为y=-1或y=4, 为1和3的位置) b=-1+4=3, 令f(x)=-1可得x2-4x+3=-1,化简得(x-2)2=0, 解得x=2, =-1×4=-4, b=3b=3, 4 令f(x)=3可得x2-4x+3=3,化简得x(x一4)=0，解得 a=4,.a=-4, .实数a,b的值为 x=0或4. =3或6=a. 如图，要使f(x)在区间D上的值域为[一1,3]，则D应 培优突破练 满足 1.B[对任意x1x∈R,存在x∈R使得f(x1)f(x:)= ①D∈[0,4]（香刚值城中有大于3的数）： f(x),且集合A为有限集，∴从集合A中取两个不同的 ②2∈D(香刚值城中漫有-1)： 数或同一个数取两次的积等于第三个数，这第三个数也在集 ③0和4至少有一个在D中（香削值城中液有3. 合A中. 例如图中P,Q之间的那段，选项中满足上述三点的只有 ①集合A中只有一个元素，则A={0),A={1): AD两项.] ②集合A中有多个元素，则A={一1,1}，{0,1}，{一1,0,1}. 综上所述，满足条件的集合A有5个.] 3.1.2函数的表示法 变式仙练 [变式1门(1)1. (22红x1.3x 1-x 6[合，+∞).x)=Va-x+a的定义城为R, [(I)(已经说了f(x)是一次品数，可用待定系数法处理，故直接误 其解析式) 即a.x2一x十a≥0的解集为R. 由题意，可设f(x)=kx十b(k≠0)， ①当a=0时，一x≥0，x≤0，不符合题意. 则f(f(x)=kf(x)+b=k(kx+b)十b=k2x十b+b, ②当a>0时，有△=1-4a2≤0， 又由题意知，f(f(x)=4x-3, a>或a<-，>2 1k2=4, 所以k”x十b+b=4x-3,故 ③当a<0时，由y=ax2-x十a的图象知不符合题意. kb+b=一3， 解得k=2,b=-1或k=-2,b=3, 综上可知a>2] 所以f(x)=2x-1或f(x)=-2x十3， 7.[2,7].[:g(x)的定义域为(1,4幻， 若f(x)=2x-1,则f(1)=2×1-1=1: .f(2x-1)中的x满足1<x≤4， 若f(x)=-2x十3，则f(1)=-2X1十3=1. ,1<2x一1≤7，(2x一1的范周是f(x)的定义拔) 综上所述，f(1)=1. ∴.f(x)的定义域为(x|1<x≤7}=A. (2)选里的（与）=一1中，者边的工一1不直接海成司 又g(x)的值域为[3，+∞)， 遮种结构，怎么办呢？淮是到线们的目的是要把∫祛号内的郁分 ∴.f(2x-1)的取值范围为[2，+∞)， 化爵，于是奇成直接将其换元) 即f(x)的值域为[2，十∞)=B, ∴.A∩B=[2,7].] 设=希则x=亡所以f(年)=x-1即为公 8设y=ax+b x2+1 ÷1气-故fe)-*D. 1-t 去分母得关于x的方程yx一ax十y一b=0, (3)(所始关系式中酰有x,又有y,考建藏值，怎么眠？经尝试，希令 28