3.4 函数的应用（一）-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版2019）

翻重难点手册高中数学必修第一册RJA, 3.4 函数的应用（一） A基础过关练 0.7m+0.302+d,其中d,为安全距离，0为车 1000v 测试时间：20分钟 1.[题型2]某种商品进货价为每件200元，售价为 速（单位：m/s).当安全距离d。取30m时，该道 进货价的125%，因库存积压，若按9折出售，每 路一小时“道路容量”的最大值约为 件还可获利( (结果保留整数)。 A.45元B.35元 C.25元 D.15元 6.[题型2、3](2025·浙江杭州二中模拟)某公司 2.[重难点1门面积为S的长方形的某边长为x,则 销售一批新型削笔器，该削笔器原来每个售价为 该长方形的周长L与x的函数关系为(). 15元，年销售18万个. A.L-x+S(x>0) (1)据市场调查，若一个削笔器的售价每提高 1元，年销售量将相应减少2000个，要使年 B.L=x+S(0<x<S) 销售总收人不低于原收入，该削笔器每件售 C.L=2z+2S6x>0) 价最多为多少元？ (2)为了提高年销售量，公司立即对该削笔器进 D.L=2x+2s(0<<S 行技术革新和销售策略改革，并提高售价到 3.[重难点1门用一段长为8cm的铁丝围成一个矩 x元公司计划投入x万元作为技改费 形模型，则这个模型的最大面积为( 用，投人30万元作为固定宜传费用.试问：技 A.9 cm2 B.16 cm2 术革新后，该削笔器的年销售量t至少达到 C.4 cm2 D.5 cm2 多少万个时，才能使革新后的年销售收入不 4.[题型1]某市出租车起步价为5元（起步价内行 低于原收入与总投入之和？并求此时每个 驶里程为3km),以后每1km价格为1.8元（不 削笔器售价？ 足1km按1km计价)，则乘坐出租车的费用y (单位：元)与行驶的里程x(单位：km)之间的函 数图象大致为( ō123 O1234 43y 5.[题型3]单位时间内通过道路上指定断面的车 辆数被称为“道路容量”，其值与道路设施、交通 服务、环境、气候等诸多条件相关假设某条道路 一小时内通过的车辆数N满足关系式N= 36 第三章函数的概念与性质通 B综合提能练 低谷时间段用电价格表 测试时间：30分钟 低谷月用电量/千瓦时 低谷电价/八元/千瓦时) 1.[题型2]某工厂一年中十二月份的产量是一月 50及以下的部分 0.288 份产量的m倍，那么该工厂这一年中的月平均 超过50至200的部分 0.318 增长率是(). 超过200的部分 0.388 A器 B号 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千 瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这 C.m-1 D.m-1 种计费方式，该家庭本月应付的电费为 2.[题型1](2025·山东菏泽一中练习)一水池有 元（用数字作答） 两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速 5.[题型2、3]新情境学习机是一种电子教学类产 度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示. 品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器 某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示. 材.学习机较其他移动终端更注重学习资源和教 进水量 出水量 蓄水量 学策略的应用，课堂同步辅导、全科辅学功能、多 国语言学习、标准专业词典以及内存自由扩充等 功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学 1时间可1时间可123456时间 习机产品全面兼容网络学习、情境学习、随身学 习机外教、单词联想记忆、同步教材讲解、互动全 给出以下结论：①0点到3点只进水不出水；②3点 真题库、权威词典、在线图书馆等多种模式，以及 到4点不进水只出水：③4点到6点不进水也不 大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能.根据 出水，其中一定正确的是() 市场调查，某公司生产学习机的年固定成本为 A.① B.①② 20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设 C.①③ D.①②③ 该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部 3.[重难点1]如图，在半径为4cm的半圆形(O为 销售完，每万部的销售收入为R(x)万元，且 圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD,其顶点 a-4x,0<x≤10， A,B在直径上，顶点C,D在圆周上，则矩形 R(z)= 5300b 2x>10, 当该公司一年内共 ABCD面积的最大值为 cm2. 生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润 为1196万元：当该公司一年内共生产该款学习 机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. (1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的 4.[题型1、2]某地区居民生活用电分为高峰和低 函数解析式 谷两个时间段分时计价，该地区的电网销售电价 (2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的 表如下 生产中所获得的利润最大？求出最大利润。 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量/千瓦时 高峰电价/（元/千瓦时） 50及以下的部分 0.568 超过50至200的部分 0.598 超过200的部分 0.668 37 翻重难点手册高中数学必修第一册RJA C培优突破练 。测试时间：10分钟 1.(经典·清华大学等七校联考)已知圆柱形水杯 的质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底 厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置).质量为 b克的水恰好装满水杯，装满水后，水杯的重心 还在圆柱轴的中点处 (1)若b=3a,求装入半杯水后的水杯的重心到 水杯底面的距离与水杯高的比值 (2)水杯内装多少克水可以使装人水后的水杯的 重心最低？为什么？ 38满足f(x)在（一∞，0）上单调递减，所以「(.x)=x. 令1=x2,则h()=-g2+(2g-1)1+1(1≥0). (2)方法一由(1)可得f(x)=x,所以f(x)为偶函数， :1=x2在（一6∞，0）上是减函数， 且f(x)在（一∞，0）上单调递减，在[0，十∞)上单周递增， ..当x∈（一∞，-4]时，t∈[16，+0∞）： (函数「(x)在定义域上不单调，不能直楼用单澳性求解司标不等 当x∈(-4,0)时，1∈(0,16). 式，但注意到f(x)为偶函数，放可给拾号内加绝对值，化到「0，+多) 当h(t)在[16，十6∞)上是增函数，在(0,16)上是减函数时， 这个单调区间上来 g(x)在（一∞，一4门上是减函数，在（一4,0）上是增函数， 所以f(1-2x)<f(x+2)=f(|1-2x1)<f(1x+2|)台 此时二次函数h(1)的对称轴方程是1=16， |1-2x<x+2,两端平方得1一4x十4x<x+4x十4， -(2g-1) 即t= 2(-9) =1- 化简得8r-8一30，解得-<3， 之16，解得)=动 2 所以x的取值范围是（号）。 故存在实数=一 0,使得gx)在(-o○，4]上是减函数，且 在（一4,0）上是增函数 方法二（本好由于(x)的解析式非等简单，敬也可直接代解桥 增优突破编 式求解目标不等式) : 由(1)可得fx)=x,所以f(1-2x)<f(x+2)即为(1- 1.1.[在同一平面直角坐标系中作出函数y=x:与y=x 2x)2<(x+2)2,即1-4x+4x2<x2+4x+4. 的图象，如图所示。 x2x≤-1， 化简得3x2-8-3<0,解得-号<<3， x,-1<x<0, 则f(r)= 所以：的取值范街是（弓） x,0x≤1， x2,x>1. -2-1012 (3)(涉发双变量不等式，且变量上和过已轻位于不等号两渊，可分 .f(x)在x=一1与x=1处均取得最小值1，即f(x)m=1.] 别考北.由于左边f(r)不金参，放先考唐下) 由题意，对Vx∈[1,2]，f(x)≤at-t+a+1, 3.4函数的应用（一） 所以f(x)≤at-t十a+1. ① 变武训综 因为f(x)=x2在[1,2]上单调递增 [变式1门C[(观擦图形可发现当！在点A左附、东附时，阴彩部分 所以f(x)=f(2)=4, 面拟的计算方法不同，所析以y=(:)为分段函数，要进图意，老分民 代人①得4≤at2-t+a+1,即al2-t十a-3≥0， ② 求其解析式)。 (再考睿变量，观管发现郁是一次的，数可将金a的项拿到一超， 提”回式“，他为是于的一次高数来分析 当0<1时，如图1，曲△0DE△0AF哈器-。 不等式②等价于(12+1)a-1-3>0, 所以DE=OE·AF_:2=2. OF 1 i记h(a)=(2+1)a-1-3(1≤a≤2)， 则3a∈[1,2]，使h(a)≥0，所以h(a)m≥0， 国 放f)=Sam=0E·DE=·2=, 因为t+1>0,所以h(a)在[1,2]上单调递增， 当1<1≤2时，如图2,1G=2,O1=t, 放h(a).=h(2)=(12+1)·2-1-3=2-1-1, AG=O1-1=1-L,所以f)=Sma=2(AG+O1)· 代人③得2-1-1≥0，解得≤-2或≥ 1G=24-1+02=20-1. 所以实数t的取值范围是（一©，一 2,0<11, 8.(1),f(x)在(0，十∞)上是增函数，由幂函数的图象和性质 所以f(1) 其图象与C项吻合.] 2t-1,11≤2， 知-p+p+2>0,解得-1<p<3, 'p∈N..p=2.1,0 当p=0或2时，f(x)=x,不是偶函数： 当p=1时，f(x)=x2,是偶函数. (01 故p=1,f(x)=x. 图1 图2 (2)g(x）=-gr'十(2g-1)x十1， [变式2]C[在题图1中，1=24时，y一200，故A选项结论正确： 43 根据题图2，点(0,25)，(20,5)连线的中点坐标为(10.15)，： 基础过关练 故B选项结论正确： 1.C[无折扣的售价为200×125%=250（元），打折后的售价 由题图1知(0,100)，(24,200)的中点坐标为(12,150)，即第 为250×0.9=225（元），所以按9折出售，每件还可获利25元.] 12天和第30天的日销售量相同，根据题图2，第12天的一 件产品的利润高于第30天的一件产品的利润，即第12天与 2C[一边长为x,则另一边长为三，所以周长L=2r+2S, 第30天这两天的日销售利润不相等，故C选项结论错误： x>0, 由题图1知第30天销售150件，由题图2知第30天一件产 又 570 x>0,故1=2z+2空(r>0.J 品的利润为5元，故第30天日销售利润为150×5-750元， 3.C[设矩形模型的长为cm,宽为ycm,则x>0,y>0,由 故D选项结论正确.] 题意可得2(x十y)=8,所以x十y=4,所以矩形的面积S= [变式3](1)设两类产品的收益与投资额x的函数关系式分别 为f(x)=k1x(x≥0)，g(.x)=kE(x≥0)， y≤+y)生 4 =4当且仅当x=y=2时取等号，所以 1 结合已知得f1)=8=k1g1)=2=k, 当矩形的长和宽都为2cm时，面积最大，为4cm.] 4.B[,出相车起步价为5元（起步价内行驶的里程是3km), 所以fr)=8rr>0)gr)= 2F(r≥0. .(0,3]对应的值都是5. (2)设投资稳健型产品为x万元，则投资风险型产品为(20一 ,以后每1km价格为1.8元，不足1km按1km计价， x)万元，依题意知获得收益为y=f(x)十g(20一x)=8 .3<x≤4时，y=5+l.8=6.8:4<x≤5时，y=5+1.8+ 1.8=8.6,故选B.] 2√/20—x(0≤x≤202 1000u 1000 5.149,L由题意可得V= 7m+030+d07+0.3知+30 令1=√20-x(0≤1≤2/5)，则x=20-1, 1 1000 -81-2)+3. 0.7+2V0.3×30 149,当且仅当03和-2，即=10时 所以当t=2,即x=16时，y取得最大值，ym=3. 取等号，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.] 故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投6.(1)设每件削笔器的零售价为x元，由题意可得 资获得最大收益，最大收益是3万元 [18-0.2x-15)]x≥15×18，即x2-105.x+15×90≤0， [变式41由已知单价 (x一15)(x一90)≤0.解得15≤x≤90. 故要使年销售总收入不低于原收人，该削笔器每件售价最多 +22(0≤t<40,1∈N), f(1)= 为90元. 2 +52(40t100,1∈N). (2)当x>15时，≥15×18+30+号r有解， 日销售量g(1)= 1,112 3 0≤1≤100,1∈N), 即≥0+青有解， ∴.日销售额为S(1)=f(1)g(1). 即当0≤1<40时，S(t)= (仔+2（子+盟） “9+号≥2网=0，当且仅当-号即=0时等 x 号成立， 己+2+2，此时函数的对称轴为1一12，最大值为 3 ∴.1≥20，因此该削笔器的年销售量1至少达到20万个时， S(12)=2500 才能使革新后的年销售收人不低于原收入与总投入之和，此 3 时每个削笔器售价为30元. 当40≤1≤100时.5)=(-2+52(-子1+1） 综合提能绵 青-30+52，此时函数的对称轴为1=108>10，最大 1.D[设一月份产量为a,月平均增长率为x,则ma=a(1+ 3 x)Ⅱ，解得x=m-1.] 值为S(40)=768. 2.A[由题图甲、乙可知进水速度为1，出水速度为2，结合题 由768<250可得这种商品日销售额S(1)的最大值为 图丙中直线的斜常，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2， 3 故①正确：不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②②不正确： 2500 3 两个进水一个出水时，蓄水量减少速度是0，故③不正确.] 44 3.16.[设BC=x,连接(OC,得(OB=√/16一x, 水的重心位置为于，所以装入半杯水后的水杯的重心位置 所以AB=2/16一x2, 1 所以矩形ABCD的面积S=2x√/16-x,x∈(0,4)， 2×2+31 7 2+3 =20 S=2xV16-x=2Vx(16-x)≤x2+16-x2=16. (2)当装人水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上， 即x2=16一x,故x=2反时取等号，此时S.=16.] 设装人x克水，这时杯子的质量：水的质量=a:x,杯子的 重心位置为7，水的重心位置为六，水面的位置为方，于是 1 A a2+x·2% 4.148.4,[高峰时间段的电费为50×0.568+150×0.598= a+r =方，解得x=a2+a6-a. r 118.1(元)， 方法二不妨设水杯的高为1个单位， 低谷时间段的电费为50×0.288+50×0.318=30.3（元）， (1)由题意可知，当装了半杯水后，杯子的质量：水的质量= 所以该家庭木月应付的电费为118.1+30.3=148.4（元）.] a 因为6=3a,所以杯子的质量：水的质量=2：3，即 b 5.(1)因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润 为1196万元， 杯子古总质量的号，水古总质量的子又因为杯子的重心位 所以(a-4×8)×8-20-8×16=1196,解得a=200. 当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完 置（这里的重心位登指重心到水杯底面的距离）为号，水的 时，年利润为2960万元， 重心位置为子，所以装人半杯水后的水杯的重心位置为2× 1×20-20一20×16=2960，解得b=40000. 号+宁×号一品：故装人半杯水后的水杯的重心到水杯所 当0<x≤10时， 7 W=xR(.x)-(16x+20)=x(200-4x)-(16x+20)= 面的距离与水杯高度的比值为品1一易 -4x2+184x-20: (2)设装人x克水后的水杯的重心位置为y,将间题转化为 当x>10时 求当x为何值时，y最小 /530040000 当装入x克水后，杯子的质量t水的质量=a·x,即杯子占 W=xR(x)-(16.x+20)=x -(16x+20) =-40000 总质量的，千水占总质量的，千杯子的重心位置为号 -16.x+5280: 因为装人b克水，水的高度为1，所以装人x克水，水的高度 一4x2+184x-20,0<x≤10. 综上，W= 40000 为亏，水的重心位置为苏，所以装入x克水后水杯的重心位 -16.x+5280,x>10. 置为y=)-号X+十家X千流o>0, 1 xtab (2)①当0<x≤10时，W=-4(x-23)2+2096单调递增， 所以W=W(10)=1420. b>0.x>0) ②当x>10时，W=- 40000 -16.x+5280, 当r1>x1>Wa+ab-a>0时，x1x2>(√a+ab-a)月 =2a+ab-2ava+ab.r+x:>2vaFab-2a, 由于40000+16x≥2， 4000×16x=1600: .:-ab +a (x+:)>(atab -a)-ab+ 当且仅当0000 16x,即x=50>10时取等号 a(2/a+ab-2a)=0, 无 ritab xitab 所以此时W的最大值为3680， ∴.f(x1)-f(xg) 2bhr1+2ab2hr:十2ab 综合①②知，当x=0时，W取得最大值3680万元. (xi+ab)(z:+a)-(xi+ab)(xi+a) 优突破练 2h(r1十a)(x1+a) 1.方法一不妨设水杯的高为1个单位 (r1-r:)[xir:-ab+a(r+x:)] 2h(r1+a)(x:+a) (1)装入半杯水后，杯子的质量水的质量=2：3，杯子的重 >0, 心位置（这里的重心位置指重心到水杯底面的距离）为豆， ∴f(x)在（√a2+ab一a,十o)上单调递增. 45 同理，f(x)在(0，√a+ab一a)上单周递减， 则一2x十10，解得一3<x<一1. 故当x=√a+ab-一a时，即装人（√a十ab-a)克水后使 当x=一1时，(x十1)f(x十1)=04. 综上，原不等式的解集为（一3，一1）U(一1,1).] 装入水后的水杯的重心最低. 思维过程 第三章单元学能测评 化简条件中的不等式得到1f(1)<f(x:),构造 1.A[:幂函数f(x）=(m2一m-1)x2+m-1在区间 函数g(x)=xf(x),得到函数g(x)在(0，+∞)上的单调 m2一m一1=1， (0,+∞)上单调递增，∴. 解得m=2, 性，得到关于g(x)的不等式，转换为自变量不等式，求得在 m2+2m-3>0, (0,十©)上不等式解集.再由f(x)是奇函数以及奇偶性的 .fx)=x,∴f(x)在R上为奇函数 定义得到函数g(x)为偶函数，同理可求得在（一6©，0）上不 由a十b>0.得a>-b, 等式的解集，然后求并集即可得到不等式的解集 ,f(x)在R上为增函数， ∴.f(a)>f(-b)=-f(b),即f(a)+f(b)>0恒成立.] 5C[(物凌高数h)-g)-2-16r士，粮据奇%性的度又 x十16 2.C[前k次共倒出了纯酒精x升， 可知(r)为寺函数，从而代人有()十h(r)m=0运幕即可) .第k次倒出后容器中含纯酒精(10一x)升，第(k十1)次倒 f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(一x)=一f(x), 出的纯酒精是9。·2升。 g(x=2+4)+x)_2x2+16x+32+f x2+16 x+16 二倒出第（质+1）次时，共倒出了纯酒精f(x)=x+10。. =2+16.x+f(r) 10 x2+16 2-言+2. 设h(x)=gr)-2=16x十fD,函数的定义域为R. x2+16 思维过程 a(-)=16-r)+f-2--16r-f)-16r+f 求出第k次例出酒精后容器中含纯酒精的质量，然后 (-x)+16 x2+16 x°+16 可得第(k十1)次倒出的纯酒精的质量，然后可得到第（十 =一h(x),h(x)为奇函数 1)次共例出的纯酒精的质量， 则有h(.x)十h(x)m=0,即M-2十m-2=0, 所以M十m=4.] 3.B[,函数f(x)在R上是单调函数，且f(f(.x)-2x)=3, 6.B[(由=(：一于)十r1并结合想意，利用单渊性的定义利断 .f(x)-2x为定值，设f(x)-2x=t,则f(x)=2x十1， f(x)在R上是增画数，利用就值法得f(3)=10,从而原不等式等价 ∴.f(t)=2t+t=3t,∴.3t=3,.t=1,.f(x)=2x+ 千f(x一-工+1)>f八3)，利用单调选增化为x2-x+1>3,解一元 1,∴f(3)=7.] 三次不等式而可得解) 思维过程 任取x1x:∈R,且I<x 根据函数f(x)在R上是单调函数，且f(f(x)-2x) 因为f(x+y)=f(x)十f(y)+2, =3,易知f(x)一2x为定值，然后设f(x)一2x=t,得到 所以f(x:)=f(x:-x1)+x)=f(x2x)+f(x1)+2. f(x)=2.x十1，由f(1)=3求解 因为x>0时，f(x)>-2,所以f(x一x1)+2>0, 4B[由(x1-x:) 「f(x)_fx 所以f(.x1）-f(x)=-(f(.x:-x1)+2)<0, <0 L x:Ti 即f(x)<f(x). 得(x一x) [fx)-xfx2门<0， 所以f(x)在R上是增函数. 令x=y=1,所以f(2)=f1)+f1)+2=6, 因为x1一x:>0x1x>0, 令x=2,y=1,所以f(3)=f(2)+f(1)+2=10, 所以x1f(x1)-x:f(x:)<0,即x1f(x1)<x2f(xa). 不等式f(x2+x)+f(1-2x)>8等价于f(.x2+x)+f(1 设g(x)=xf(x),则g(x)在(0，十∞)上单调递减. -2x)+2>10=f(3), 而g(x+1)=(x+1)f(x+1)>4=2f(2)=g(2), 所以f(x2+x+1-2x)>f(3). 则0<x十1<2，解得一1<x<1. 即f(x2-x+1)>f(3). 因为f(x)为R上的奇函数， 因为f(x)在R上是增函数， 所以g(-x)=一xf(-x)=xf(x)=g(x), 所以x2-x十1>3台x2一x-2>0,解得x<-1或x>2.] 则g(x)为R上的偶函数，故g(x)在（一o○，0）上单调递增，：7.C[襟据飞知不等式，结合岳数单裤性的定义T以利断出通数 g(x+1)=(x+1)f(x+1)>4=g(-2), (x)的单调性，再银据函数平移的性质，结合飞知定义可利所孟 46