3.3 幂函数-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版2019）

4.(1)函数f(x)为奇函数，证明如下： 所以g(x)∈[-1-2a,2a], (证明分我西数的奇偶性，可用定义分联计论) 因为对任意x1∈[0,1]，总存在x1∈[0,1门，使得g(x2)= 当-2≤x<0时，0<-x≤2，所以f(x)=x2-x,f(-x) f(x1)成立， =-(-x)-(-x)=一x2+x,满足f(-x)=一f(x): 所以[-4，-3]二[-1-2a,-2a], 当0<x≤2时，-2≤-x<0,所以f(x)=-x2-x,f(-x)= -1-2a≤-4 所以 (一x)2-(-x)=x2+x,满足f(-x)=一f(x): -2a≥-3. 解得a=是 当x=0时，f(x)=f(0)=0,f(-x)=f(0)=0,也满足 3.3幂函数 f(-x)=-f(x); 变式圳练 综上所述，当x∈[-2,2]时，恒有f(-x)=一f(x), 所以f(x)为奇函数. [变式1门(1)y=x在[0，+o∞)上为增函数，且2.3<2.4， (2)(不等式f(x)≥m2一2am一9中，变量x和a被隔房在了不等 2.3<2.4 号两闲，故分到专是它们，左边不舍来，更家易考是，于是先有左边) (2):y=x号在(0，+)上为减丽数，且2<3， 由题意，对任意的x∈[-2,2]，都有f(x)≥m2一2am-9, 所以f(x)m≥m2-2am-9, ① ∴(2)>3) (3)y=x手在R上为偶函数，(-0.31)-0.31 又：函数y=x在[0，十o∞)上为增函数，且0.31<0.35， 0.31<0.35,即(-0.31)<0.35 [变式2](1)由f(x)为幂函数知-2m2+m+2=1,解得m=1 函数f(x)的大致图象如图，由图可知f(x)=f(2)= 或m=一当m=1时，f(x)=x,符合题意： -22-2=-6, 代人①化简得m2-2am-3≤0， ② 当m=一 时，x)=,不符合器意，合去 (再考虎变量a,可以把左边看成美于a的一次函数y=一2ma十m .函数f(x)的解析式为f(x)=x2. 一3，要使不等式②对V位E[一1,1门都成立，只多在两个绵点处成立 (2)由(1)得f(x)=x2, 御可) .y=x2-2(a-1)x+1, m2-2X(-1)·m-3≤0， 所以 解得-1≤m≤1， 即函数图象的对称轴为直线x=a一l. m2-2X1·m-3≤0， ,y=x2-2(a-1)x+1在(2,3)上为单调函数， 故实数m的取值范围是[一1,1]. ∴.a-1≤2或a-1≥3，解得a≤3或a≥4. 5(1)冷m=2z+1∈[1,3]，x=m21, 2 ∴.实数a的取值范围是（一∞，3]U[4,十∞）. 4(m2)‘-12(m2）-3 基础过关练 h(m) m2-8m十4=m十 m 1.c[①y=x-},®y=x=沉，0y=-次， ①y==汉，⊙y=:=后由以上解折式可知定 所以h(m)=m十4-一8在[1,2]上单调递减，在(2,3]上单 义域为R的只有②④.] 调递增， 2c[a∈{1,12,3e)=x的图象经过(- 令m=2x十1=2，解得x=之》 -1, a=一1,1,3，此时f(x)=x”是奇函数，反之也成立.] 所以函数：)的单调递减区间为[0，号】，单调递增区间为 3.ACD[对于A和B项中，若函数g(x)=x正确，可得出 (分]且fo=-3(侵)-4,1)=-号 a<0,此时二次函数图象开口向下，对称轴x=一上>0，所 a 所以f(x)的值域为一4，一3]. 给图象符合这一特征，故可能是A,不可能是B: (2)因为g(x)=一x一2a在[0,1]上单周递减， 对于C中，若函数g(x)=x"正确，可得出a>0,此时二次 41 函数图象开口向上，对称轴x=一】<0，所给图象符合这一 3.D[因为f(x)为幂函数，故可设f(x)=x”,又它的图象经 a 特征，故可能是C: 过点（层，》，可由导-（传）广得出。-之所以）= 对于D中，若函数g(x)=x“正确，可得出a>0,此时二次 丘.设g(x)=xf(x)=xE=x,它在[0，+o)上为递增 函数图象开口向上，对称轴工=一】<0，所给图象符合这一 函数，若0≤x1<x2,则有g(x1)<g(x),故①②中只能选 特征，故可能是D.] 择②.设h(r)=fx2-丘=1 ,它在(0，十∞)上为递减 4.D[由y=-ax°+b一1是幂函数知a=一1，b=1.又点 xx (a,b)在mx-y+2=0上，∴.m+n=2,即n=2-m> 函数，若0<x1<x:则有h(x1)>h(x:),故③④中只能选 0,则出-3二m。4 1==立一1且0m之2，·m子方∈ 择③.因此最终正确答案为D] 4D[由题图可知，C1,C2在第一象限单调递增，它们对应 (号3 y=x中a>0的情形，且C:的增长趋于陡峭，对应a>1, 5.f(x)=x2.(答案不唯一)[（我们知遭(r1)°=士”x,所以 C:的增长趋于平缓，对应0<a<1的情形， 家善数y=x“满足性质①，数在此基础上離结考在性质②③) 所以Cy=,C=y=, 设f(x)一x·,要使f(x)在(0，十)上单调递增，应有a> (怎样B分C,C4?不特取工=2，看看谁的函数值更大》 0:要使f(x)为偶函数，可取α为偶数，所以满足要求的 f(x)可以为f(x)=x2.] 设f)=,gx)=x,则f2)=2=号g(2) 6.(1)因为f(x)是幂函数，所以m2-2m一2=1， 2黄-12 故m2-2m-3=(m十1)(m-3)=0,解得m=一1或3， 2 =之，所以f(2)<g(2,这就说明在工=2处，上 当m=一1时，∫(x)=x,其图象过原点，与坐标轴有交点， 面的是gx),下面的是f(x),结合图象可知Cy=x堂， 不合题意： C4:y=x,故选D.] 当m=3时，f(x)=x4,其定义域是（一0∞，0）U(0,十o∞)， 图象与坐标轴没有交点，满足题意，所以f(x)=x, 5A[由题意，可设f(x)=x,则f(2)=”-吾=1 22 (2)由(1)可知f(x)=x+,定义域为{xx≠0}， 所以f(x)为偶函数， v>0， 2,所以。=-2故fx)=x寺= 且f(x)在(0，十o∞)上单调递减，故f(x十1)>f(x一2)台 在y=f(x2+2x)中，x2+2x>0,解得x<-2或x>0, 1x+1<x-21, (y=f(x2+2x)可者成南y=f(w)和u=x+2x夏合而成，故用间 f(x+1|)>f(x-2)|x+1|≠0， 增并减准时分折单满性) |x一2引≠0，产法意定义城 当x∈(-o∞，-2)时，u=x2+2x单调递减，y=f(u)也单 由z+1<x一2得+2红+1-4红+4，解得x<, 调递减， 内外层单调性相同， 由|x十1川≠0可得x≠一1，由x一2引≠0得x≠2， 所以y=f(x2+2x)在（一∞，-2）上单调递增， 所以不等式f(x十1)>f(x一2)的解集为（一∞，一1）U 当x∈(0，十∞)时，u=x2+2x单调递增，y=f(u)单调递减， (1,》 内外层单调性不同， 综合提能练 所以y=f(x2+2x)在(0，十∞)上单调递减， 1.D[因为函数图象关于y轴对称，故函数为偶函数，所以p 所以y=f(x2+2.x)的单调递增区间是（一∞，一2）.] 为偶数，q为奇数.由函数图象在第一象限内缓慢递增知0< 6.②③④.[对于A,f1(x)=3x一1∈（一1,2），对于B, 11 fx)=2(x+x)+1∈(0,1D,对于CD,显然函数值域 都为(0,1).] 2B[函数y=(mx2+4红x十m+2)有意义的条件是mx 7.(1)因为f(x)为幂函数，所以m2一4m十4=1， +4x十m+2>0,要使函数y=(mx2+4x+m+2)的定 故m2-4m十3=(m-1)(m-3)=0,解得m=1或3， 义域为全体实数，需满足mx2十4x十m十2>0对一切实数 当m=1时，f(x)=x2, m>0, 此时f(x)在（一∞，0）上单调递增，不合题意： 都成立，即 解得m>5-1.] 42-4m(m十2)<0， 当m=3时，f(x)=x2, 42 满足f(x)在（一∞，0）上单调递减，所以f(x)=x2. 令t=x2,则h(u)=-gt2+(2g-1)+1(≥0). (2)方法一由(1)可得f(x)=x2,所以f(x)为偶函数， t=x2在（一∞，0）上是减函数， 且f(x)在（一o∞，0）上单调递减，在[0，十∞)上单调递增， .当x∈(-o∞，-4幻时，t∈[16，+o∞)： (函数「(x)在定义城上不单湖，不能五接用单调性求翩日标不等 当x∈(-4,0)时，t∈(0,16). 式，仅注意到f(x)为偶函数，数可给枯号内加绝时值，化列[0，十0) 当h(t)在[16，十o∞)上是增函数，在(0,16)上是减函数时， 这个单调区间上朵) g(x)在（一∞，一4]上是减函数，在（一4,0）上是增函数， 所以f(1一2x)<f(x+2)=f(|1一2x|)<f(x+2引)台 此时二次函数h(t)的对称轴方程是t=16, |1-2x<|x+2|,两端平方得1一4x+4x2<x2+4x十4， 即t= 9D16,解得g-0 化简得3x2-8x-3<0,解得-号<<3， 2(-g) 所以x的取值范围是(-弓，)。 故存在实数g=一 0,使得gx)在(-©，4上是减函数，且 在（一4,0）上是增函数. 方法二（本避由于了）的解新式非需简单，故也可直接代麻新 培优突破练 式求解目标不等式) 由(1)可得f(x)=x2,所以f(1-2x)<f(x+2)即为(1一 1,1,[在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2与y=x 2x)2<(x+2)2,即1-4x+4x8<x2+4x+4, 的图象，如图所示。 x2,x≤-1， 化简得3x2-8z-3<0,解得-号<<3， x2,-1<x<0, 则f(x)= 所以x的取值范隅是（弓）。 x2,0<x≤1， x2,x>1. -2-1012 (3)(涉爱双变量不等式，且变量士和a已经位于不等号两佣，可分 ∴.f(x)在x=一1与x=1处均取得最小值1，即f(x)=1.] 别青患.由于左迪∫(x)不会参，旅先考虑x) 由题意，对Vx∈[1,2]，f(x)≤a2-t+a十1， 3.4函数的应用（一） 所以f(x)a≤at2-t十a十l, ① 变式孤练 因为f(x)=x2在[1,2]上单调递增， [变式门C[(观察围形可发见步1在在A左附、右侧时，朋影部分 所以f(x)=f(2)=4, 面机的计幕方法不同，所以y=()为分线品数，妻这图象，先分 代入①得4≤at2-t+a+1,即at2-t+a-3>≥0， ② 求具解析式)， (再专虚变量，观家发现a都是一次的，散可将金4的项拿到一起， 提”旧式a,化为芙于a的一次画数来分析】 当0<1时如图1.由△0DE0△0AF器-得。 不等式②等价于(t2+1)a-t一3≥0， 所以DE=OE:A_:2=2, OF 1 记h(a)=(2+1)a-t-3(1≤a≤2)， 则3a∈[1,2]，使h(a)≥0，所以h(a)mx≥0， ③ 故f)=Same=20EDE=2·2= 因为t8十1>0，所以h(a)在[1,2]上单调递增， 当1<t≤2时，如图2,1G=2,O1=t, 故h(a)x=h(2)=(2+1)·2-t-3=2t2-t-1, 1 AG=OI-1=1-1,所以f)=Sm边0a=2(AG+O)· 代人③得2r-t-1≥0，解得≤-2或≥1， 1G=2-1+）2=24-1 所以实数：的取值范围是(-，一号]U,+∞)。 t2,0<t≤1， 8.(1),(x)在(0，十∞)上是增函数，由幂函数的图象和性质 所以ft) 其图象与C项吻合.] 21-1,1<1≤2， 知-22+p+名>0，解得-1<p<3。 y p∈N,p=2,1,0. 当力=0或2时，fx)=x,不是偶函数； 当p=1时，f(x)=x2,是偶函数 故p=1,f(zx)=x2 图1 图2 (2)g(x)=-qx+(2g-1)x2+1, [变式2]C[在题图1中，t=2A时，y=200,故A选项结论正确； 43翻重难点手册高中数学必修第一册RJA, 3.3 幂函数 A基础过关练 ①f(x1x2)=f(x1)f(x2): 测试时间：15分钟 ②当x∈(0，十o∞)时，f(x)为增函数； 1.[题型3]有如下5个幂函数：①y=x-2;②y ③f(x)为R上的偶函数 x:③y=x;④y=x,⑤y=xt.其中定义 6.[题型3](2025·辽宁模拟)已知幂函数f(x)= 域为R的是( (m2-2m一2)x5-m2的图象与坐标轴无交点. A.只有①② B.只有②③ (1)求f(x)的解析式： C.只有②④ D.只有④⑤ (2)解不等式：f(x+1)>f(x-2) 2.[知识点2](2025·北京人大附中高一模拟)设 e∈{1,21,23，则fa)-的图象经过 (-1,一1)”是“f(x)=x为奇函数”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.[重难点1门(2024·湖北武汉高一期中)（多选） 函数f(x)=a.x2十2x十1与g(x)=x在同 坐标系中的图象可能为( B综合提能练 ●测试时间：30分钟 1.[重难点1]已知幂函数y=x(p,q∈N”,q>1 且p,q互质)的图象如图所示，则(). A.pq均为奇数，且卫>】 9 4.[知识点1]已知函数y=-ax十b一1是幂函 Bq为偶数，p为奇数，且卫>1 数，直线mx一y十2=0(m>0,n>0)过点(a,b), 0 则大1 m十的取值范围是( C.9为奇数，p为偶数，且卫>1 A(-o,3)U(33) B.(1,3) D.g为奇数，p为偶数，且0<<1 c n(传) 2.[题型3]函数y=(mx2+4x十m+2)的定义 域是全体实数，则实数m的取值范围是(). 5.[题型3](2025·山东烟台模拟)写出一个同时 A.(W5-1,2) B.(W5-1,+o∞) 具有下列性质①②③的函数f(x): C.(-2,2) D.(-1-√5，-1+5) 34 第三章函数的概念与性质通 3.[题型3](2024·广东湛江高一期末)已知幂函数 (3)若对Vx∈[1,2]，都a∈[1,2]，使得f(x)≤ fx)的图象经过点（仁，巨 at2一t十a+1成立，求实数t的取值范围. 84/ ,P(x1y1),Q(x2 y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点，给 出以下结论： ①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2): offx),④fa)fzl T? 其中正确结论的序号是(). A.①②B.①③C.②④ D.②③ 4.[重难点1](2025·海南模拟)幂函数y=x2, y=x1y=x,y=x在第一象限内的图象 依次是图中的曲线( ) 8.[题型3]已知幂函数f(x)=x++片(p∈N) 在(0，十∞)上是增函数，且在定义域上是偶 函数 (1)求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式. A.C1,C2,C3,C4 B.C1,C4,C3,C2 (2)对于(1)中求得的函数f(x),设函数g(x) C.Ca,C2C1C D.C1CC2C3 =一gf(f(x))+(2g-1)f(x)+1,问：是否 5.[题型2](2024·江苏南京期末)已知幂函数 存在实数q(q<0),使得g(x)在区间（一∞， 4幻上是减函数，且在区间（一4,0）上是增函 fe)的图象过点2.号》，则函数y=fx十 数？若存在，请求出q的值：若不存在，请说 2x)的单调递增区间为( 明理由。 A.(-∞，-2) B.(-∞，-1) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 6.[题型3]给出封闭函数的定义：若对于定义域D 内的任意一个自变量x0,都有函数值f(xo)∈ D,则称函数y=f(x)在D上封闭.若定义域D =(0,1),则函数①f1(x)=3.x-1:②f2(x) -女-+1，③f,x)=1-x@f) 1 x.其中在D上封闭的是 (填序号) 7.[题型3](2025·河北石家庄开学考试)已知幂 函数f(x)=(m2-4m十4)x2m-4在(-o∞，0)上 C培优突破练 测试时间：5分钟 单调递减。 1.定义函数f(x)=max{x2,x,x∈ (1)求函数f(x)的解析式： (-∞，0)U(0,十∞)，则f(x)的最小 (2)若f(1-2x)<f(x十2)，求x的取值范围； 值为 35