3.1.2 函数的表示法-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版2019）

翻重难点手册高中数学必修第一肿RJA, 3.1.2函数的表示法 A基础过关练 位长度 。测试时间：20分钟 5.[题型1]已知函数F(x)=f(x)十g(.x),其中 1.[题型1门(2024·陕西西安期未)设函数f(x)= f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函 E,.x≥7 则f(4)=( ) 数，且F() =16,F(1)=8,则F(x)的解析式 2f(x+2),x<7, A.22 B.4② C.82 D.162 为 2.[题型1门下图所表示的函数的解析式为( 6.[题型1门(2025·江苏无锡模拟)已知函数f(x) Ay=多x-10≤<2) 满足f2）=x,函数g(x)清足g()十 2g(-x)=3-x. (1)求函数f(x)和g(x)的解析式： C.y=3 lx-1(0≤r≤2) (2)求函数y=g(x)一√f(x)的值域. D.y=1-|x-1|(0≤x≤2) x十1，x≥0， 3.[题型2]已知函数f(x)= 则函数 -x,x<0, f(1+2x)的图象是( B综合提能练 。测试时间：30分钟 x+2,x≤-1， 1.[题型1]（多选）已知函数f(x) x2,-1<z<2, 下列关于函数f(x)的结论，正确的是(). A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为（一∞，4） 4.[题型2]要得到函数y一的图象，只需将函 C.若f(x)=3,则x的值是3 D.f(x)<的解集是（一1,1） 数y=上的图象( 2.[题型2](2025·山东枣庄高一阶段练习)若函 A.向右平移1个单位长度，再向上平移1个单 数f(x)= ax2+bx+ 一的部分图象如图所示，则 位长度 f(5)=( B.向右平移1个单位长度，再向下平移1个单 位长度 C.向左平移1个单位长度，再向上平移1个单 位长度 D.向左平移1个单位长度，再向下平移1个单 26 第三章函数的概念与性质用 A吉B-号C-6n 8.[题型1门（经典·山东卷）已知函数∫(x) x,x≤m, 3.[题型1](2025·湖南高一阶段练习)定义在(0， 其中m>0.若存在实数 x2-2mx+4m,x>m; 十∞)上的函数f(x)满足条件： b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的 ①Hx∈(0，十o∞).f(.x)≠0： 根，求m的取值范围. ②xy∈0，+∞)，fy)=zfx)fy,fx +y)= f()f(y) f(x)+f(y)' 则f()的值为( A号 B c n号 4.[题型1](2025·河南郑州模拟)（多选）设函数 2 一1，.x≥0， f(x） 若f(f(a)= 1 2则实 x<0, 数a的取值可以为(). A.4 B.-2 C.1 n是 5.[题型1](2025·广西桂梧高中高一月考)设函 C培优突破练 。测试时间：15分钟 数f(x)的定义域为R+,对任意的x,y∈R+, L.(经典·北京大学强基计划)已知f(x) 有f(xy)=f(x)+f(y.已知f(2)=a, 是二次函数，f(-2)=0,且2x≤f(x) f(5)=b,则f(200)的值为 6.[题型2](2024·江苏宿迁高一期中)设函数 2.则f10)=● x-1|+1,x≤1， 2.(经典·北京大学自主招生)已知f(x)=x2 f(.x)= 则满足f(x+1)< 1,x>1, 53.x+196+|x2-53.x+196|,求f(1)+f(2) f(2.x)的x的取值范围是 +…+f(50). 7.[突破点1门如图所示，在直角梯形ABCD中，动 点P从B点出发，由B·C→D→A沿梯形各 边运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面 积为f(x),如果AB=8,BC=4,CD=5,DA= 5,求函数f(x)的解析式. 27:a+1D=f0)=2. 当y=0时，方程①有解，.y可以取0. f(a) 当y≠0时，方程①要有解，则需△=a2一4y(y一b)≥0， 瑞+得+得+…+侣 f(2025) =1013×2= ∴.4y2-4by-a2≤0. 2026.J fx)=a士的值城为[-1，， x+1 5.AD[(逐个松验选请当然可行，但胶麻填，涉爱二次涵数的区间值 ∴.4y2-4by-a2≤0的解集为[-1,4幻， 城，画周分折比较方便，由于值城是[一1,3]，所我们先提到盖数值 即4y2-4hy-a=0的解为y=-1或y=4, 为1和3的位置) b=-1十4=3 令f(x)=-1可得x2-4r+3=-1,化简得(x-2)产=0， 解得x=2, =-1×4=一4， b=3b=3, 令f(x)=3可得x-4x+3=3,化简得x(x一4)=0，解得 x=0或4. 2实数a6的值为a=4或a=一4 如图.要使f(x)在区间D上的值域为[一1,3]，则D应 绝优突破练 满足： 1.B[,对任意xx∈R,存在x∈R使得f(x1)f(r:)= ①D∈[0,4]（香刚值减中有大于3的数： f(x),且集合A为有限集，，从集合A中取两个不同的 ②2∈D(香剂值城中设有-1： 数或同一个数取两次的积等于第三个数，这第三个数也在集 ③0和4至少有一个在D中（否则a减中漫有3）. 合A中 例如图中P,Q之问的那段，选项中满足上述三点的只有 ①集合A中只有一个元素，则A={0),A=1}: AD两项.] ②集合A中有多个元素，则A={一1,1}，{0,1}，{一1,0,1. 综上所述，满足条件的集合A有5个.] 3.1.2函数的表示法 变武训综 [变式1门(1)1. （22二r1.(3r. 1-x 6[日+).[fx)=Vam-+a的定义城为R。 [(1)(己经搅于八x)使一次画数，可用待定泰数法处理，数直接设 其解析式) 即a.r一x十a≥0的解集为R 由题意，可设f(x)=kx十b(k≠0)， ①当a=0时，一x≥0，x≤0.不符合题意 则f(f(x)=kf(x)十b=k(k.x十b)+b=kx十kb+b, ②当a>0时，有△=1一4a2≤0， 又由题意知，f(f(x)=4x一3， k2=4, 所以k2x十b+b=4x-3,故 kb+b=-3. ③当a<0时，由y=a.x一x十a的图象知不符合题意. 解得k=2,b=一1或k=-2,b=3, 综上可知a>J 所以f(x=2x-1或f(x)=-2x+3, 7.[2.7].[g(x)的定义域为(1,4]， 若f(x)=2x-1,则f(1)=2×1-1=1: .f(2x一1)中的x满足1x≤4， 若f(x)=-2x十3，则f(1)=-2×1十3=1 .1<2x一1≤7，(2r一1的道围是f(x)的定义城) 综上所述，f(1)=1 .f(x)的定义城为{x1<x≤7}=A. (2)达里的（号）厂一1中，省边的上一1不多鱼海浅司 又g(x)的值域为[3，十)， 这种结钩，怎会办呢？注意到粮们的目的是患起「指号内的谢分 .f(2x一1)的取值范围为[2，十0©)， 化简，于是考虎直接样其换元) 即f(x)的值域为[2，十o∞)=B. ∴.A∩B=[2,7].] 设1=帝则x=亡所以（有）=1一1即为) 8设y=ax十6 x2+11 六12-号故)》 去分母得关于x的方程x一ax十y一b=0, ① (3)(斯给美系式中陆有，又有y,考意城值，息么额？经会试，希今 28 x=0或y一0.结果郁不理想，怎4办呢？规家发现，若今y=,刚： 基础过关练 可约造关于f)和了(0)的方程，而f0)容易术出，故糕养得(r) 1.C[因为4<7，所以f(4)=2f(4+2)=2f(6). 在原式中令y=x得f(0)=f(x)+f(x)-2.z. 所以2f(x)-2x2=f(0), ① 又因为6<7，所以f(6)=2f(6+2)=2f(8), 在原式中令x=y=0得f(0)=f(0)+f(0) 代入①得f(4)=4f(8)=4w8=8v2.] 所以f(0)=0,代入①得2f(.x)一2.x2=0, 2.B[当0≤x<1时，设f(x)=kx,由图象过点(1，)得 所以f(x)=x,] [变武2日，）.，∈A,即0<<分 受六此时fx)=是当1≤≤2时，设/) 3 u)-+日长+号. 3 mx+,由图象过点(1，三)，(2,0)得 3 2 =m十1， 解得 即2≤fx)1,即fx)∈B, 0=2m+n. .f(f(x。)=2[1-f(x。)]=1-2xm∈A, 3 2 ,此时「(x)= 即01-2<号解得，≤ 之x十3.函数的解析式可转 n=3, 0<，< 33 化为y=22 x-11(0≤x≤2).] [变式3]-2-1.[令f(a)=t,则f(t)-1+2=0. 1+2x+1,1+2x>0, 当1≤0时，f1)=t产+2t, 3.B[f1+2x)= 一(1+2x),1+2x<0,产这个客多漏换 .2十21=1一2，则2+1+2=0，此方程无解 当>0时，f(t)=-t2,.-2=1-2. 化简得f(1+2x) .1产十t-2=0,.t=1或t=-2(舍去). ∴.f(a)=1,可得a0且a2+2a=1,解得a=-2-1.] 2· [变式4](1){yly≤2.(2)B 可知上=一号是/1+2x)图象的分段点.] [(1)当x≥1时，y=2(x-1)-3.x=-x-2: 当0≤r<1时，y=-2(x-1)-3r=-5x+2: 4A[由题应知片斗1十马将y上向 当x<0时，y=-2(x-1)+3x=x十2. -x-2,x≥1， 右平移1个单位长度，得到y=二再向上平移1个单位 故y= -5x+2,0≤x<1, 长度，得到y=1十x门 r十2，x<0 根据函数解析式作出函数图象，如图所示 5.F(x)=3x+5 [设f)=kx使≠0，ga)=盟(m≠ 0.23 0.则F(x)=c+华由F(侵）=16，F1)=8,得 3k+3m=16, k=3, 解得 A1.-3》 所以F)=3x+J m=5 k十m=8 由图象可以看出，函数的值域为yy≤2. 60令号=a,则x=1-2a, (2)画出函数y=x一4x十3的图象，如图所示，由图象即 先画工≥0时的通数图款，再画出关 所以f（2）=x即为fa)=1-2af)12x 干y釉补称的周袁那可 可得出一1<m3.] 因为g(x)+2g(-x)=3-x,所以g(-x)+2g(.x)=3十x, 两式联立解得g(x)=1十x. (2)由(1D可得y=g(x)-√f(x)=1十x-√/1-2x,① (上式中r与2正可看成平方是系，故零虚将一2换元，化 4-80845。 为二次画数分析) 令1=一石，则≥0且x=1与 2 29 所以式①即为y=1+号-4= 22-t+ 3 2 4.AD[方法一（香到条件中的f(f(a)= 受，想列特内层的 -1十号在1=0时取得最大值号 f(4)换元，化整为零考席) 由函数图象知y=一 设f(a)=t,则f(f(a)= 所以y=g(x)-了的值域为（一∞，之] 3 号即为0=-之 接下来代入解析式解方程①，不确定：与0的大小，故讨论： 综合提能练 1.BC[(这个合线函数的两联周象解可作出，所以优老法因象法) 当>0时，式①脚为号一1=一号，解得1=1，满足>0： 作出y=f(x)图象如下： 当1<0时，式①即为-子，解得1=一2.满足1<0： 所以方程①有且仅有1=1和一2两个解， 又f(a)=t,所以f(a)=1或f(a)=-2. 要解上述两个方程，要将f(a)代人解析式，故又讨论a与0 的大小： 由图象知f(x)的值域为（一6,4），定义域为（一∞，2）， 当a≥0时，fa)=号-1，所以2-1=1或号-1=-2， A错误，B正确， 解得a=4或一2（不满足a≥0，會去）： 由x2=3,∴.x=士√5，又一1<x<2. 当a<0时，u)=,所以-1或=-2. x=,.C正确。 在图上作出直线y=1, 解得Q=1或-令，其中a=1不满足a<0,含去 它与y=f(x)的交点分别为(-1,1)，(1,1) 综上所述，满足f(f(a)=- f(x)<1的解集为(-©，-1)U(-1.1),.D错误.] 2的实数a=4或-2 2.A[由图象可知，f(x)= r2+r十的定义域为(-∞，2U 2 方法二换元的过程同方法一，而求解方程f(4)= 2,可 (2.4)U(4,+∞)，故a.x2+br十=0的两根为2,4. 考虑画图来看。 由韦达定理得2十4=一么，2X4=二 4 函数y=∫)的大致图象如图1，由图可知∫(0=一2有两 2 1 又f(3)=9a十3b+。-1,联立上式，解得 个解，分别令 吃-1=一可得1=一2或1 a=-2.b=12,c=-16,则fx)=-2x2+12x-16 2 放/5)=-2x25+72X5-16号] 2 3.日[要长（号），考通过骏值长出能求的禹数值，然后的号近)： 图1 Vz.yE.+))-)(y) 所以f(a)=-2或f(a)=I, 于是又画y=f(a)的图象来求解这两个方程，y=f(a)的图 令x=y=1,得)=产，又f0≠0，∴f1)=2 象与y=f(1)相同，只是横轴改为a即可， ∴f(2)=f1+1)= f(1)f(1) f(D+=1. 如图2，方程f(a)=一2和f(a)=1各自都只有1个解， r(3)(2) 令1=一2可得方程fa)=-2的解为a=一2： 再令x=y=2f1) )+(2】 》 令受-1=1可得方程了a)=1的解为a=4 f(2)=2f1)=4 综上所述，满足fa)=一之的实数口=4或-子] 5.34十2b.[(旧为已知是f(2)与f(5)的值，而需求f(200)的值， )-+) f2r() 而00轮大，可2通过多次重点破值得到，似次数有些多，桥以可以 号寻他法，可以求出)解析式的一般粉点y 30 由f(x·y)=f(x)+f(y)知f(x)=f(x·x)=2f(x), 当x≥>m时，f(x》=x2一2mx十4m=(x一m)P十4m-m2, 同理f(x3)=f(x)十f(x)=3f(x), 其顶点为(m,4m一m2): 故f(200)=f(8×25)=f(8)+f(25)=f(22)+f(5)= 当x≤m时，函数f(x)的图象与直线x=m的交点为 3f(2)+2f(5)=3a+2h.] (,n）, 6女女<》。[头超带接容规期法：多银福十1,2江的取位件 m>0, ①当 即0m≤3时，函数f(x)的图象如图1 4m一m≥m, 泥分要进行时论，天（上）中两现盖数的图象可以作出，所以优先画 所示，易得直线y=b与函数∫(x)的图象有一个或两个不同 国，从周中找出德薰信息来解染同趋】 的交点，不符合题意： 4m一m2<m, ②当 即m>3时，函数∫(x)的图象如图2所 m>0. 示，则存在实数b满足4m一m2<b≤，使得直线y=b与 012 函数∫(x)的图象有三个不同的交点，符合题意 2一x,x1, f(x)= 如图，因为f(x十1)<f(2x),分类讨 综上所述，m的取值范围为(3，十©0). 1.x>1. 论如下： 当x+1≤1且2x≤1时， 有2-x-1≤2-2.xx≤0： 当x+1≤1且2x>1时无解： 当x+1>1且2x>1时无解： 当x+1>1且2x<1时， 图1 图2 有1<2-2x,0K<分 喷优突破练 所以x(-o,号） 1.36.[由f(-2)=0可设f(x)=(.x+2)(ar+b)=ax2+ (2a+b)x+2b(a≠0). 7.当点P在线段BC上，即0≤x≤4时， 则由f(x)≥2xr得a.x2+(2a十b-2).x+2b≥0. fx)=24AB·Bp=号X8·r=: 所以a>0且(2a+b-2)2-8ab≤0， 当点P在线段CD上，即4<x≤9时 整理后即为4a2十b≤4ab十8十4b-4. ① fc)AB.-7×8X4=16: 由了e生得2a-1r+(a+2z+h-40, 当点P在线段DA上，即9<<14时， 若2a一1=0即a=2,则必有4a+2h=0且仙-4长0， 过点D作DH⊥AB于点H,在AD上任取一点P,作PE⊥ 即b≤1，此时与(2a十b-2)-8ab≤0矛盾. AB于点E, 所以2a-1<0且(4a+2b)2-4(2a-1)(4b-4)≤0， △MP△MHD,孺 整理后为4a2+b2≤4ab-8a一4b十4. ② 即P距_14-工，PE=4X4-2, 由①②相加即得4a3十b2≤4ab, 5 6 即(2a-b)≤0.所以2a=b, f)=号AB:PE=号×8x4xa卫 1 所以f(x)=(x+2)(ax+2a)=a(x+2), =-16,1224 又在原不等式中令x=2可得4≤f(2)≤4，所以f(2)=4, 5r+6 由此解特a=子，所以)=子（红+2,10）=36.] 4r,0≤x≤4， 16.4<x9, 2.f(.x)=x”-53.x+196+x2-53.x+196 综上所述，f(x) 16,224 =(x-4)(x-49)+1(.r-4)(.x-49)l. 5x+,9r≤14. 当4≤x≤49时，(.x-4)(x-49)≤0，此时f(.x)=0, rl.xsm. 因此f(1)+∫(2)+…+f(50)=∫(1)+f(2)+f(3)+ B.f(r)= x2-2m.x十40，x, f(50)=2×(144十94+46+46)=660. 31