3.1.1 函数的概念-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版2019）

第三章 函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 A基础过关练 5.[题型4]若√为实数，则函数y=x2十3x一5 ●测试时间：20分钟 的值域为( 1.[知识点2](2025·重庆模拟)已知函数y= A.(-∞，十00) B.[0,+oo) g(x)的对应关系如下表所示，函数y=f(x)的 C.[-7,+∞) D.[-5,+o∞) 图象如下图所示，则g(f(2)的值为( 1 2 3 6[重难点2]1)求函数y=2的值城： g(x) 4 3 -1 (2)求函数y=++的值域： (3)求函数y-1+x+√/1一2.x的值域， A.-1 B.0 C.3 D.4 2.[知识点1]数学文化(2024·河北名校强基联 盟期中)（多选）中文“函数”一词，最早是由近代 数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出 的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之 函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化 而变化.下列选项中是同一个函数的是(). A.y=x°+1与y=2 B.y=√元·x+I与y=√x2+x B综合提能练 。测试时间：30分钟 C.y=x|与y=√x Dy=x(x≠0)与y=x 1.[题型1们(2024·福建莆田五校联盟期中)下列 x 图象可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域， 3.[题型3](2024·河北石家庄期末)函数f(x)= 以N={y0≤y≤1}为值域的函数的是(). √一x一3x十4的定义域为( x一x A.(-∞，0) B.(0,1] C.[-4,0) D.(-o∞，-4]U[0,1] 4.[题型2](2025·海南模拟预测)已知函数f(2x+1) =1,则f(5)的值为( A司 B.2 c号 D.3 24 第三章函数的概念与性质甜用 2.[重难点2]新定义(2024·河北石家庄国杰学 8.[题型4]若函数f(x)=ar+ x2+1 的值域为[一1.4)， 校月考)（多选）已知定义域为D的函数f(x), 若对任意x∈D,存在正数M,都有|f(.x)≤M 求实数a,b的值 成立，则称函数f(x)是定义域D上的“有界函 数”.则下列函数中是“有界函数”的是( A.f(x)=-2024 B.f(x)=W2024-x Cfx)=2024 x2+2 D.f(x)=2024x3-1 3.[突破点1们设函数f(x)的定义域是[0,1]，则函 数f(x十a)十f(2x十a)(0<a<1)的定义域为 (). [2 B[21-a C.[-a,l-a] D.[. 4.[题型1、2](2025·江西赣州第三中学模拟预测) 如果函数f(x)对任意a,b满足f(a十b)= fa)fh),且f1)=2,则f2+f4+6 f(1)f(3)f(5) +.+f(2026) /(2025)的值为( A.2026B.2025C.2024D.2023 5.[题型3]（多选）已知定义域为D的函数f(x)= x2一4x+3的值域为[一1,3]，则D可能是 (). A.(1,4]B.(0,2]C.[1.3D.[0,3] C培优突破练 6.[题型3]已知函数f(.x)=√a.x2一x+a的定义 测试时间：5分钟 域是R,则实数a的取值范围是 1.设定义在R上的函数∫(x)的值域为 7.[题型3、4](2025·江苏扬州高邮调研)已知 A,若集合A为有限集，且对任意x1, g(x)=f(2.x-1)+1,且g(x)的定义域为 x2∈R,存在x:∈R使得f(x1)f(x2) (1,4,值域为[3，十∞).设函数f(x)的定义域 =f(x),则满足条件的集合A有( 为A,值域为B,则A∩B= A.3个B.5个C.7个D.无穷个 25又因为p1=x十y十1一y=x十1， 因为函数f(2x一1)的定义域是[-3,1]， 1-2=2 所以p号·p= 所以这里的x满足一3≤x≤1，故-7≤2x-1≤1，即括号整 y 体的范围是[一7,1门， 所以△AMG的周长为定值，且定值为2. 所以在f(3一4x)中，应有一7≤3一4x≤1， ②设△RM的面积为S则学-器_与学 解得<名 ① 因为5-号，所以s=1s,-1= y 2y (还有分朵的√金丁没考常，故义考虚选都分) 1-x产x=1-x)江=-(x+1)- x-1≥0， 1-x 1十x x+1+3≤ 要使y=3一4四有意义，还应有 Vr-1 x-1≠0， -2+D·石+3=3-2，当且仅当1+ 解得x>1,与0取交集可得1<受， 子2，即x厅-1时等号成立，放S的最大值为3-2厄。 所以函数y=3号的定义减是1，引，门 19.(1)由题意可得(x-2-1)2>(2x-1D2,即(3x-4)(x十2)< Vr-1 [变式2]A[A(/),f(x)可化为f(x)=x,x∈R与g(x)= 0,解得-2<号 x是同一函数 所以实数x的取值范围为女-2<x<号}. B(X),g(x)=√=x与f(x)=x对应法则不一样 (2)“x<y<m”是“x比y更远离m”的充分不必要条件，证 C(×),g(x)=x°=1(x≠0)与f(x)=1的定义域不一样. 明如下： DXX),g)=工=x红≠0)与f)=x的定义域不-一样.] x ①已知x<y≤m,则m一x>my之0， 由不等式得一>一y>一m,再同加上m得到 可得(mx)>之(my),即(x-m)>(y-m)', 生由不等式性猫7得到 1+(日) 所以x<y<m是x比y更远离m的充分条件 ②已知x比y更远离m,则(x一m)>(y一m),举例x= 1十a所以fa)+f(日）-1 3,y=2,m=0,满足(x一m)>(y一m)2,但不满足x< y<m,所以x<y<m不是x比y更远离m的必要条件. (2)由(1)知fa)+f(日)=1， 综上，x<y<m是x比y更远离m的充分不必要条件 从而f2+(侵)=f3)+(号)=f0+()=1, ab+2b ab+2b (3)因为a>0,b>0,p a2+b2+1 。2+6+号8+1 故[r2+/(侵】+[3)+/传】+[+/(] ab+2b 5 2 =3,而f1)=2,所以f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+ 1 1 fg)+④+)- a=5b,a=2 当且仅当 即 时等号成立 [变式4]A[由-x2+2x+30,解得-1≤x≤3，即函数f(x) b= 的定义城为[-1.31由一1长3虹-23，解得号<x<号， 因为<号<反<厅，由②可知p比反更远高5，即得证 则函数x一2)的定义城为[号，号].门 第三章 函数的概念与性质 [变式50<a<子 [要使函数有意义，必须使ax2+4ax十 3.1函数的概念及其表示 3≠0.要使函数的定义域为R,必须使方程ax2+4a.z十3=0 3.1.1函数的概念 无解（无实根）.当a=0时，方程ax2+4ax十3=0无解，当 变式如练 a≠0时，若方程ax3十4ax十3=0无解，则有判别式△<0， [变式门，引，【0去于a-)的发义该，了以件克c) 即(4a)-12a<0,解得0<a<.综上可得，当0<a<号 指号内整体的笼因，用于分新目标高数中f(3一4缸)这部分) 时，函数的定义域为R.] 26 [变式6]由题意知a.x十1≥0，a<0, “函数的值线为≠一号引。 ≤-是，即函数的定义城为(-60，-] (2)判别式法+逆求法由y=+工+中出得y=x2十x十1 ,函数在区间（一∞，1]上有意义， (x≠0)， (-(-0,]: 即关于x的方程x2+(1一y)x十1=0有实根(x=0不满足 又：a<0,∴.一1≤a<0,即a的取值范围是[-l,0). 方程)， [变式7刀已知函数式可变形为yx2+2yz十3y=2x十4x-7, .4=(1-y)2-40,∴y2-2y-320, 即(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0, .(y-3)(y+1)≥0，y≥3或y≤-1， 当y≠2时，将上式视为关于x的一元二次方程。 .函数值域为{yy≥3或y≤-1. :x∈R,∴.△≥0，即[2(y-2)]2-4(y-2)(3y+7)≥0， 整理得2+5y-18<0,解得-昌<<2 (3)换元法令t=1-2z,1>0,则x=1 2， (也可以依据二次善数y=2x2十5r一18在x仙下方的周象求解) 有y-1+号+4=号-+2>02. 当y=2时，3×2+7≠0，不符合题意，应去 1 由二次函数y=-21-1)2+2的图象知，当1=1时，y的 故函数的值城为[号，2)， 最大值为2. 基猫过关练 .函数值域为(-∞，2]. 1.D[由图中点B(2,1)可知f(2)=1,所以g(f(2)=: 综合提能练 g(1),由表可知g(1)=4,所以g(f(2)=g(1)=4.] 1.C[选项A中的值域不满足条件：选项B中的定义域不满 2.CD[A(×),y=x°+1=2的定义域为(xx≠0}，y=2的 足条件：选项D不是函数图象（存在一个x对应的两个 定义域为R,两函数的定义域不同，不是同一个函数： y值).] B(X),y=√E·√x+T的定义域为{x|x≥0}，y= 2BC[A(X),由f(x)=-2024图象知不存在符合题意 x √十x的定义域为{xx≤-1或x≥0，两函数的定义城 不同，不是同一个函数； 的M: B(/),令t=2024-x2≤2024，又t≥0，∴.f(x)= C(/),y=x|的定义域为R,y=√x=|x|的定义域为 R,两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数； √2024-x∈[0，√2024]，.存在正整数M(M≥ D√)y=x(x≠0)与y= √2024)符合题意： =x(x≠0)两函数的定义域相 x CW),令1=x2+2≥2，：2024e0,1012],f0x) 同，对应系也相同，是同一个函数.] x”前系数先变正 -x2-3x十4>0，z2+3z-4≤0， 3.C[由已知得 22∈(0,1012]，∴存在正数M(M≥1012)符 x引-x≠0 lx|≠x. 题意； (x+4)(x-1)≤0， -4≤x≤1， D(X),x∈R, x<0(x>≥0时，lx|=x)x<0. 2024x3-1可以取很大的值，不存在符合题意的正数] .一4≤x<0,解集为[-4,0).] 0≤x十a≤1， f-a≤x≤1-a, 4A[令2z+1=5,得z=2,故f5)=22+1D=分] 3.A[由0≤2x+a≤1，→ << 5D[:E有意义，·x≥0.又y=x2+3x-5= 0a<1 0<a<1. (+名)》'-号-5，由y=2+3-5图象可知y的最小 解得-一<x<2】 值为-5.∴值域为[-5，+∞).] 4A[(所求的代数式的结构特点是相邻两个警数所对的盖数值心 2x一51二x)42 5 比，而给出的抽象品数满足fa十b)=f(a)f(6)的美系，所以可以 6.1)分离常数法“y=一5z 1-5x +号-号 用联a◆6-1，别灯系去洁分 ,f(x)对任意a,b满足f(a十b)=f(a)f(b)且f(1)=2, 27 :.fat1=fa)=2, 当y=0时，方程①有解，∴y可以取0. f(a) 当y≠0时，方程①要有解，则需△=a2-4y(y一b)≥0， 瑞+得+得+…+ f(2025) =1013×2= .4y2-4by-a2≤0. 2026.] )-者的值城-1，， 5.AD[(逐个检验选项当然可行，但较麻狮，涉度二次岳数的B同值 .4y2一4by-a2≤0的解集为[-1,4]， 域，画周分折比较方使，由于值域是[一1,3]，所以我们先我到品数值 即4y2-4hy-a2=0的解为y=-1或y=4, 为1和3的位置) b=-1+4=3, 令f(x)=-1可得x2-4x+3=-1,化简得(x-2)2=0, 解得x=2, =-1×4=-4, b=3b=3, 4 令f(x)=3可得x2-4x+3=3,化简得x(x一4)=0，解得 a=4,.a=-4, .实数a,b的值为 x=0或4. =3或6=a. 如图，要使f(x)在区间D上的值域为[一1,3]，则D应 培优突破练 满足 1.B[对任意x1x∈R,存在x∈R使得f(x1)f(x:)= ①D∈[0,4]（香刚值城中有大于3的数）： f(x),且集合A为有限集，∴从集合A中取两个不同的 ②2∈D(香刚值城中漫有-1)： 数或同一个数取两次的积等于第三个数，这第三个数也在集 ③0和4至少有一个在D中（香削值城中液有3. 合A中. 例如图中P,Q之间的那段，选项中满足上述三点的只有 ①集合A中只有一个元素，则A={0),A={1): AD两项.] ②集合A中有多个元素，则A={一1,1}，{0,1}，{一1,0,1}. 综上所述，满足条件的集合A有5个.] 3.1.2函数的表示法 变式仙练 [变式1门(1)1. (22红x1.3x 1-x 6[合，+∞).x)=Va-x+a的定义城为R, [(I)(已经说了f(x)是一次品数，可用待定系数法处理，故直接误 其解析式) 即a.x2一x十a≥0的解集为R. 由题意，可设f(x)=kx十b(k≠0)， ①当a=0时，一x≥0，x≤0，不符合题意. 则f(f(x)=kf(x)+b=k(kx+b)十b=k2x十b+b, ②当a>0时，有△=1-4a2≤0， 又由题意知，f(f(x)=4x-3, a>或a<-，>2 1k2=4, 所以k”x十b+b=4x-3,故 ③当a<0时，由y=ax2-x十a的图象知不符合题意. kb+b=一3， 解得k=2,b=-1或k=-2,b=3, 综上可知a>2] 所以f(x)=2x-1或f(x)=-2x十3， 7.[2,7].[:g(x)的定义域为(1,4幻， 若f(x)=2x-1,则f(1)=2×1-1=1: .f(2x-1)中的x满足1<x≤4， 若f(x)=-2x十3，则f(1)=-2X1十3=1. ,1<2x一1≤7，(2x一1的范周是f(x)的定义拔) 综上所述，f(1)=1. ∴.f(x)的定义域为(x|1<x≤7}=A. (2)选里的（与）=一1中，者边的工一1不直接海成司 又g(x)的值域为[3，+∞)， 遮种结构，怎么办呢？淮是到线们的目的是要把∫祛号内的郁分 ∴.f(2x-1)的取值范围为[2，+∞)， 化爵，于是奇成直接将其换元) 即f(x)的值域为[2，十∞)=B, ∴.A∩B=[2,7].] 设=希则x=亡所以f(年)=x-1即为公 8设y=ax+b x2+1 ÷1气-故fe)-*D. 1-t 去分母得关于x的方程yx一ax十y一b=0, (3)(所始关系式中酰有x,又有y,考建藏值，怎么眠？经尝试，希令 28