1.5 全称量词与存在量词-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版2019）

翻重难点手册高中数学必修第一肿RJA, 1.5全称量词与存在量词 A基础过关练 6.[题型3]若命题p:3x∈R,x2+2a.x+3a<0, 测试时间：15分钟 是假命题：命题q:Hx≥0，x十a≥2，是真命题， 1.[题型1、2]下列命题的否定是真命题的是( 求实数a的取值范围. A.有些实数的绝对值是正数 B.所有的平行四边形都不是菱形 C.任意两个等边三角形都是相似的 D.3是方程x2一9=0的一个根 2.[题型1们（经典·安徽卷）命题“所有能被2整除 的整数都是偶数”的否定是( A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B.所有能被2整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的整数是偶数 D.存在一个能被2整除的整数不是偶数 3.[题型1](2025·广东珠海高一检测)已知a,b, c∈R,则下列语句能成为“a,b,c都不小于1”的 B综合提能练 。别试时间：30分钟 否定形式的是( 1.[题型1、2](2025·山东济宁一中高一月考)下列 A.a,b,c中至少有1个大于1 命题中，既是真命题又是全称量词命题的是(. B.a,b,c都小于1 A至少有一个x∈Z,使得x2<3成立 C.a,b,c都不大于1 B.对任意a,b∈R,都有a2+b2≥2(a+b-1) D.a<1或b<1或c<1 C.3x∈R,Wx2=x 4.[题型2](2025·辽宁朝阳高一检测)（多选）下 D.菱形的两条对角线长度相等 列四个命题中，其中为真命题的是( 2.[题型2]下列命题正确的是( A.Hx∈R,lx+lx-1>0 A.3x∈R,x2+2x+3=0 B.Hx∈N,(x-1)>0 B.x>1是x>1的充分不必要条件 C3x∈Rx+是-1<0 C.Hx∈N,x3>x D.若a>b,则a>b D.3EN 3.[题型2](2024·辽宁抚顺六校协作体高一期末改 5.[知识点1门根据下述事实，写出一个含有量词的 编)（多选）若“x∈M,lx|>x”为真命题，“3x∈ 命题是 M,x>3”为假命题，则集合M可以是(). 13=12, A.(rlx<-5) B.{x|-3<x≤-1 13+23=(1+2)2, C.{xx>3} D.{x|0≤x≤3 13+23+33=(1+2+3)2, 4.[题型3](2025·江西吉安高一月考)命题“3x 1+2+32+4=(1+2十3+4)2， ∈(x1<x<3},使得x2-u.x十1≥0”是假命 +40+ 题，则实数a的取值范围是 10 第一章集合与常用逻辑用语用 5.[题型3](2025·安微师大附中测试)已知使不 C培优突破练 ●测试时间：10分钟 等式x2+(a+1)x+a≤0成立的任意一个x, 都满足不等式3.x一1≤0，则实数a的取值范围 1.(2024·浙江温州一模)已知集合A={1,2,3,…, 为 2,2n+1}(n∈N). 6.[重难点1，题型3]已知命题p:3x∈[0,3]， (1)集合B二A,且B中的任意三个不 a=-x2+2x:命题q:x∈{x|-1≤x≤2}， 同的元素x,y,x都有x十y≠. x2+ax一8≤0.若p为假命题，g为真命题，求 (1)当n=3时，写出一个满足条件的恰有 实数a的取值范围. 四个元素的集合B: (ii)对于任意给定的n(n∈N”,n≥2)，求集 合B中的元素个数的最大值， (2)已知集合P=(C|C三A},Q={C1,Cg,…, C二P,且同时满足以下条件： ①VC,C,∈Q,都有C,∩C,≠（其中i,j ∈{1,2，…，k},i≠j): ②VD∈CQ,3C,∈Q,使得D∩C,= (其中s∈{1,2，…，k}).求集合Q中的元素 个数k 7.[题型3]已知y1=m(x-2n)(x十m十2)，y:= x一1，若它们同时满足： ①Vx∈R,y1<0或y2<0: ②3x∈{xx<-3y1y2<0. 求m的取值范围。 11所以n是3的倍数时，U一定不是可分集合. 因此，当命题p和命题q中至少有一个为真命题时，m<0 方法二注意到所有元素和为十”，又S。中元素是偶 或-2<m<2,即m<2.中求上面两个笼喝多合的卡第 2 |m0, 数，所以41十D=3S。=6mm为正整数)， 方法二若命题p,9均为假命题，则m需满足 2 △=m2-4≥0， 所以n(1十n)=12m,即n(n+1)是12的倍数 解得m≥2.则当命题p和命题g中至少有一个为真命题 容易验证，当n=2025时，n(n十1)不是12的倍数，矛盾. 时，m<2.] 所以当n=2025时，U,不是可分集合. [变式2])p:3z∈R2-x+<0,假命题 (3)因为所有元素和为1”，又S。中元素是偶数。 2 (2)一q:至少存在一个正方形不是矩形.假命题。 所以n1十m=3S。=6m(m为正整数)， (3)r:Vx,y∈N,2x+y≠10.假命题 2 (4)一s:Vx∈R,x3+1≠0.假命题 所以n(1十n)一12m,因为n,n十1为连续整数， [变式3]方法-由题设知x2-4x一2-a>0, 故这两个数一个为奇数，另一个为偶数， 在x∈{x|1<x<4}上有解. 由(2)可知，n不是3的倍数，所以一定有n十1是3的倍数 由x2-4x-2-a>0得2+a<x2-4x. 当n为偶数时，n十1为奇数，而n(1十n)=12m, ∴，2十a<x2-4x在x∈(x1<x<4)上有解， 所以一定有n+1是3的倍数，m是4的倍数， .2+a<(x2-4x)mx, 所以n十4既是3的倍数又是4的倍数， 又x2-4x=(x-2)2-4,x∈{x|1<x<4. 从而U。可分的一个必要条件是“n十4是12的倍数” ∴.当x=4时，(x2-4x)=0, 从而“古是整数"是U,为可分集合的必要条件。 .2+a<0,.a<-2. 方法二p:Vx∈{x1<x<4,x-4x-2-a≤0. 月-方面，当1=0时。不是可分案合，从面吉是整 设y=x2-4x-2-a. 数”不是“U。为可分集合”的充分条件 ,抛物线y=x2-4x一2-a的开口向上， (可4除模：当-0,56,92时儿，不可分，其参荡更告老三参数 当7p为真命题时，则有x=1时，y≤0，x=4时，y≤0， 1-4-2-a≤0， 的情形，U,都可分】 即 16-4X4-2-a≤0， 综上可知，“吉古是整数是U为可分案合”的必要不充分 .a≥-2 条件。 .当p为假命题，即p为真命题时，有a<-2. 思维过程 基甜过关练 (1)取n=8,按照定义列举即可. 1.B[A的否定：所有实数的绝对值不是正数，假命题： (2)方法一：用反证法即可得出结论. B的否定：有些平行四边形是菱形，真命题： 方法二：由题意可得，所有元素和为十卫，S中元 C的否定：有些等边三角形不相似，假命题： 2 D的否定：3不是方程x-9=0的一个根，假命题.] 素是偶数，从而得n(n十1)是12的倍数，又因为n=2025 2.D[原命题是全称量词命题，其否定是“存在一个能被2整 时，n(n十1)不是12的倍数，即得矛盾. 除的整数不是偶数”.] (3)按照必要不充分条件的定义证明即可. 3.D[由a,b,c都不小于1，即a≥1，b≥1，c≥1，即a,b,c都 1.5全称量词与存在量词 创译成符号语言 一三者同时清是，它的香发 是重少有一个不成点 变式孙练 大于或等于1，所以其否定是a,b,c不都大于或等于1，即 [变式1门{加m<2,[(从王面分桥，命趋p和命超g中至少有一 a,b,c中至少有一个小于1，故a<1或b<1或c<1.] 个为真命超等价于p真g但或p很g真或P,g物为真：从反面分斯， 4AC[A(W),因为lx≥0，lx-1≥0，所以x+|x-1|≥ 命通P,命超日至少有一个为真伞想时加的取值痘圆与◆想♪：日均 0,由于x=0,x=1不能同时取得，所以Vx∈R,x|+|x一 为假命数时m的取值龙期亚外) 1>0为真命题： 方法一当p是真命题时，m<0:当g是真命题时，方程 B(×),当x=1时，(x-1)2=0,所以Vx∈N,(x-1)2>0 x2十mx十1=0的判别试△=m2-4<0,解得-2<m<2.: 为假命题； 10 CW),当工=-1时，x+子-1K0成立，放3x∈R,x+日 综上可得>号】 一1<0为真命题： 5.fala-3h. [由3x-1长0得x<号 D×),因为2-+日-(-》-日x∈N.所以x 设集合A={女≤}， 0或x=1时，有最小值号，放3xEN2-x+号<0为假 由不等式x2+(a+1)x+a≤0得(x+1)(x十a)≤0. 命题.] 设集合B={x|(x+1)(x+a)≤0， 5.n∈N,13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2. 且由题意知B二A. [由题可知，一个含有量词的命题是Hn∈N°，13+23十…+十 ①当a=1时，B={xx=-1},满足B二A. n5=(1+2+…+n)2.] ②当a>1时，B={x|一a≤x≤-1}，满足B二A 6.因为命题p:3x∈R,x2+2ax十3a<0是假命题， ③当a<1时，B={x|一1≤x≤-a},要使B二A, 生转化为全称量湖命魅，部门P为真 那么它的否定p:Vx∈R,x2+2ax+3a0是真命题. -a<>，<a<1 对于二次函数y=x2+2ax十3a, 综上可得a>-子] 其判别式△=(2a)2一4×3a≤0. 展开得到4a2-12a≤0，解得4a(a-3)≤0，即0≤a≤3. 6命题p:3x∈[0,3]，a=-x2+2x为假命题， 命题q:Hx≥0，x十a≥2是真命题，即x≥2-a对Hx≥0 a=-x2+2x在x∈[0,3]上无解， 恒成立 即y=a与y=-x2+2x,x∈[0,3]函数图象没有交点， 所以2-a≤0，解得a≥2. 综上所述，取交集可得a的取值范围是{a2≤a≤3. 综合提能练 1.B[对于A,02<3,0∈Z, ,∴，A为真命题，但不是全称量词命题 y=-x+2 对于B,:a2+b2-2(a+b-1)=(a-1)2+(b-1)2≥0， B为真命题，也是全称量词命题. 由图可知a>1或a<一3， 对于C,可知它为真命题，但不是全称量词命题. 命题q:Vx∈[-1,2]，x2+a.x-8≤0为真命题， 对于D,它是全称量词命题，但为假命题.] 1-a-8≤0， 则 解得一7≤a≤2， 2.B[A(×),x2+2x+3=0的△=一8<0，故方程无实根， 4+2a-8≤0， 即3x∈R,x2十2x十3=0错误： 综上所述，实数a的取值范围为{a-7≤a<-3或1<a≤2. B(/),x2>1曰x<-1或x>1,故“x>1”是“x2>1"的充 思雏过程 分不必要条件： 由命题p:3x∈[0,3]，a=-x2+2x为假命题，则 C(X),当x≤1时，x3≤x2,故Vx∈N,x>x2错误： a=-x2十2x在x∈[0,3]上无解，即y=a与y=-x十 D(×),若a=1,b=-1,则a>b,但a2=b2.] 2江，x∈[0,3]函数图象没有交点，画出图求出参数，命题 3.AB[:3x∈M,x>3为假命题， 1-a-80, q:Vx∈[-1,2]，x2+ax-8≤0为真命题，则 .x∈M,x≤3为真命题，MC{xx≤3. 4+2a-8≤0， 又：|x>x,即x<0,且Hx∈M,x>x为真命题， 求出参数求交集即可， ∴.M仁{xx<O.综上可得M仁{xx<0.] 7.由y<0,得x-1<0,即x<1, 4{aa>},[原命题的香定为yx∈x1<x<3,2 Hx∈R,y1<0或y2<0,则当x≥1时，y1<0恒成立，于是 一ax十1<0”，此命题为真命题. m<0, 破题点 令y三x2一ax十1.产由它的周象知 此时m(x-2m)(x十m十2)=0的根为x1=2m,xa=一m 当x=1时，y=1-a+1≤0，解得a≥2. 一2， |2m<1, 当x=3时y=9-2a+1<0,解得a≥号 于是 一m-2<1, 3<m< 2,又m<0,解得-3<m<0; 11 又3x∈{xx<-3},y1y:<0,显然y2<0, 证明如下： 则3x∈{xx<-3}y1>0,而m<0, 先证明：k≤2，假设k>22,则3C4,C,∈Q={C1,C2,…, 即3x∈{xx<-3},(x-2m)(x+m十2)<0， C:},使得C:∩C,=⑦，与条件矛盾，所以假设不真，即 显然2m≠一m-2,否则Vx∈{xx<-3},y1<0,不符合 k≤22； 题意， 再证明：k≥2，假设k<22,则CQ中的元素个数大于22， 当2m<-m-2,即m< 号时，2m<-3 所以3D,E∈CQ,D∩E=⑦，DUE=A. 根据条件“VDECQ,3C,∈Q,使得D∩C,=g”, 解得m<一子，此时-m一2>一3，符合题意， 所以3两个不同的集合C,C,∈Q={C,C2,…,C}, 因此-3Km<-受 使得C,∩D=d,C,∩E=0. 又因为D∩E=d,DUE=A,C,二E,C,二D, 当-m-2m,即m>号时，-m-2K-3, 所以C,∩C,二D∩E=必， 解得m>1,与-3<m<0矛盾， 与C,∩C,≠0矛盾，所以假设不真，k≥22. 综上所述，k=2 所以m的取值范图是m一3<m<一引 思维过程 培优突破练 (1)(1)由n=3,所以B二A=1,2,3,4,5,6,7},再列 1.(1)(1)由n=3,所以B二A={1,2,3,4,5,6,7},可得：四元 出满足题意的集合B即可： 素的集合B可以是B={1,2,4,7}或B=(1,3,5,7}或B= (i)记集合M={1,3,5,…,2n+1},N={2,4,…, (2,3,6,7}或B={3,4,5,6}或B={3,5,6,7}或B=(4,5, 2n},设满足条件的集合B={m1,m2,…,m,n,n2,, 6,7%. n:},其中m1,m2,…,m,∈M,n,n2,…,∈N,且m1< (I)对于任意给定的n(n∈N”,n≥2)，集合B中的元素个 m2<<m,n1<n2<…<n,则集合B中的元素个数等 数的最大值为n十1， 于s十t,证明s十t≤n十1即可得答案； 其证明过程如下： (2)本题第(2)问的关健是充分理解①②两条性质，然 记集合M={1,3,5,…,2m+1},N={2,4,…,2n}, 后利用反证法，分k≤2m和≥22两种情况进行讨论，以 设满足条件的集合B={m1,m2,,m,n1,n2,…,n,}, 上不等式同时满足时，可直接得到结论k=2. 其中m1,m2,,m,∈M,m1,n2,…,n,∈N,且m<mg<…< 第一章单元学能测评 m,t1<n2<<n, 1.D[因为a+2∈{1,3，a2},所以a+2=1或3或a,当a+ 则集合B中的元素个数等于s十， 2=1时，即a=一1，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合 根据条件对任意的1≤i≤s一1,1≤≤t,都有m,一m,≠n1· 中元素的互异性，舍去；当a十2=3时，即a=1,此时集合中 （否别，就有m,十韩，=州，不符合避意) 又因为m,一m:∈N,n,∈N,其中1≤i≤s-1,1≤写≤t, 元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去：当a十2= 即m,一m1m,一mg,…,m,一m,-1,21,n2,…,是N中的 a2时，解得a=2或a=-1(舍去)，此时集合中元素为1,3， 不同的元素， 4,符合题意.] 所以(s一1)十t≤n,即集合B中的元素个数s十≤n十1， 2.C[由一元二次方程(x一a)(x一a-1)=0的两个根为a, 取B=(n十1，n十2，…，2m+1}满足条件，且元素个数等于 a十1，又方程有一个正实数根和一个负实数根， #十1，所以集合B中的元素的最大值等于n十1， a0, .一1<a<0,即“一元二次方程(x一a)(x- (2)以A=(1,2,3}为例：（多取不精合系件①，少数不特合备件②） a+1>0, 这时P={0,1},{2},{3},{1,2},1,3},{2,3,1,2,3}, a一1)=0有一个正实数根和一个负实数根”的充要条件为 因为1}∩{2,3}=0：{1)U{2,3}=A,取Q={1,{1,2}, a∈（一1,0），则其充分不必要条件a的范围应为(-1,0)的 (1,3},{1,2,3})即可 真子集，结合选项可得选项C符合题意.] (1,2)∩{3}=0：1,2)U(3}=A,则 3A[若△ABC的周长为16，则Px+1, 解得 x=5, VD∈CnQ={2,3},{3},(21,0, 2x+y=16, y=6, (1,3}∩{2}=0：{1,3)U(2}=A, 所以△ABC其中一条边长为6.若△ABC其中一条边长为 若取Q={1},1,2,{1,3},{1,2,3)∩0=0： 6,如x=6,则y=6+1=7,此时△ABC的周长为6+6+7 (1,2,31U0=A,则CpQ={2,3},{3),{2,0,{1,2,3), =19,即无法得出△ABC的周长为16， 12