2024-2025学年高一下学期期末数学模拟试卷

2024-2025学年度高一下学期期末模拟卷（解析版） （满分150 时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 答案：，解得， ．又， ． 故选:B． 2. 正三角形中是线段上的点，，则（    ） A． B．6 C． D．12 答案：由题意， . 故选：C 3．演讲比赛共有 8 位评委分别给出某选手的原始评分, 评定该选手的成绩时, 从 原始评分中去掉 1 个最高分和 1 个最低分, 得到的分数与之前相比,一定不变的数字特征是 A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 答案：中位数 4. 已知，比较a，b，c的大小为（   ） A． B． C． D． 答案：因为函数在上单调递增， 所以， 又，所以，又因为函数在上单调递减， 所以，因为， 所以，综上，. 故选：C. 5.有甲、乙两个袋子，甲袋子中有3个白球，2个黑球；乙袋子中有4个白球，4个黑球．现从甲袋子中任取2个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为（    ） A． B． C． D． 答：若从甲袋子取2个白球放入乙，再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为； 若从甲袋子取出2个黑球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为； 若从甲袋子取出1个白球和1个黑球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为． 从甲袋子中任取2个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为． 故选：B. 6. 在A处向正东方向走3km后到达B处，再沿南偏西30°方向走a km到达C处，这时离出发点A的距离为km，那么的值可以是（    ）    A．3 B． C． D．2 答案：如图，       由条件可知 根据余弦定理可知，， 所以，解得或. 故选：D. 7. 已知四棱锥的所有顶点都在半径为（为常数）的一个球面上，底面是正方形且球心到平面的距离为1，若此四棱锥体积的最大值为6，则球的体积等于（    ） A． B． C． D． 答案：求出，根据，求出，根据球的体积公式可得解. 【详解】因为，所以， 得，得， 有，有， 得，所以球的体积为. 故选：A 【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，考查了球的体积公式，属于基础题. 8. 在如图所示的几何体中， 底面ABCD 是边长为2的正方形，，，，均与底面ABCD 垂直， 且. 点 E、F分别为线段BC、的中点，记该几何体的体积为V，平面AFE将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（    ） A． B． C． D． 答案：由题意可知该几何体是长方体截去一个三棱锥，如图所示， 有，，四边形为平行四边形，有， 点 E、F分别为线段、的中点，则， 所以平面即为平面AFE截几何体的截面. 因为，， 所以几何体的体积， 被截棱台的体积， 较大部分体积为，且， 所以较小部分的体积为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数，则（    ） A．函数的图象关于点对称 B．的最小值为-2 C．直线是函数的一条对称轴 D函数步骤正确 答案：对于选项D，正确 对于选项B，，B正确； 对于选项A和C，将代入函数的解析式，得，函数的图象不关于点对称，A错误，同理C正确； 故选：ACD. 10. 下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 答案：对于A，在上单调递增，又，，A正确； 对于B，在上单调递减，又，，B错误； 对于C，，又，，C正确； 对于D，，， 又，，D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足，下列结论正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积为定值 C． D．与所成的角为 答案： 对于A，在正方体中，连接，交于点，连接，则， 又平面，平面，所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为为的中点，所以在的中垂线上， 所以，故A正确； 对于B，在正方体中，平面，为棱上的动点， 所以点到平面的距离即为到平面的距离， 即为正方体的棱长，为定值，的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，又， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，连接，则， 又在正方体中，平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以，故C正确； 对于D，连接， 在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以即为与所成的角， 又是正三角形，所以与所成的角为，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为．则谜题被破解的概率为______． 答案： 13. 已知函数，若对上的任意实数，（），恒有成立，那么实数的取值范围是 答案： 因为函数满足对上的任意实数，（）， 恒有成立，所以函数在上递减， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 14. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若的面积为，则角C等于 ，的最小值为 . 答案：第一空：因为， 所以由正弦定理得，，即， 所以由余弦定理得，， 因为，所以； 第二空：因为的面积为，所以，所以， 由余弦定理得，， 当且仅当时等号成立， 所以，即的最小值为6. 故答案为：；6.. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1）已知复数满足，求； （2）设，复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围. 答案：（1）因为，可设，则，所以. 所以. （2）由题意：. 所以所求的取值范围为：. 16. 已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 答案：（1）对先平方可得： 展开得： 因为，为单位向量，所以，则，. 又因为与的夹角为，可得： 将，，代入可得： 所以. （2）因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向共线. 可得： 将，，代入上式可得： 整理得：，即，得：，解得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以可得，将代入得，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数，中位数； (2)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 答案：（1）因为每组小矩形的面积之和为1， 所以， 解得. 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第75百分位数为m，则， 由，得，所以样本成绩的第75百分位数为84. 成绩落在[40,70)内的频率为， 成绩落在内的频率为， 故中位数在[70,80)内，由，所以样本成绩的中位数为75. （2）由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为： . 18. 记的内角的对边分别为，已知向量，，且. (1)求；(2)若的面积为，且，求. 答案：（1）由题意知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 则，即， 又，所以. （2）因为的面积为，解得， 所以， 由余弦定理得，所以. 19. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面分别为的中点，二面角的正切值为2． （1）求四棱锥的体积； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 答案：（1）解：是边长为2的正三角形，为中点， 又平面平面，平面平面 平面 又平面 为二面角的平面角， 又底面为正方形． 四棱的体积． （2）证明：由（1）知，平面平面， 在正方形中，易知 而， 平面 平面， ． （3）设，连接． 平面． 为直线与平面所成的角 又 直线与平面所成角的正弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高一下学期期末模拟卷 （满分150 时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2. 正三角形中是线段上的点，，则（    ） A． B．6 C． D．12 3．演讲比赛共有 8 位评委分别给出某选手的原始评分, 评定该选手的成绩时, 从 原始评分中去掉 1 个最高分和 1 个最低分, 得到的分数与之前相比,一定不变的数字特征是 A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 4. 已知，比较a，b，c的大小为（   ） A． B． C． D． 5.有甲、乙两个袋子，甲袋子中有3个白球，2个黑球；乙袋子中有4个白球，4个黑球．现从甲袋子中任取2个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为（    ） A． B． C． D． 6. 在A处向正东方向走3km后到达B处，再沿南偏西30°方向走a km到达C处，这时离出发点A的距离为km，那么的值可以是（    ）    A．3 B． C． D．2 7. 已知四棱锥的所有顶点都在半径为（为常数）的一个球面上，底面是正方形且球心到平面的距离为1，若此四棱锥体积的最大值为6，则球的体积等于（    ） A． B． C． D． 8. 在如图所示的几何体中， 底面ABCD 是边长为2的正方形，，，，均与底面ABCD 垂直， 且. 点 E、F分别为线段BC、的中点，记该几何体的体积为V，平面AFE将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数，则（    ） A．函数的图象关于点对称 B．的最小值为-2 C．直线是函数的一条对称轴 D函数步骤正确 10. 下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 11. 如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足，下列结论正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积为定值 C． D．与所成的角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为．则谜题被破解的概率为______． 13. 已知函数，若对上的任意实数，（），恒有成立，那么实数的取值范围是 14. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若的面积为，则角C等于 ，的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1）已知复数满足，求； （2）设，复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围. 16. 已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数，中位数； (2)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 18. 记的内角的对边分别为，已知向量，，且. (1)求；(2)若的面积为，且，求. 19. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面分别为的中点，二面角的正切值为2． （1）求四棱锥的体积； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $$