期中考试测控卷-【三清必刷】2025-2026学年高二数学选择性必修1+2（人教A版2019）

—56 — 知|AB|最小值为4,故B正确; 准线l的方程为x=-1,故C正确; 当直线AB 的斜率存在时,可设直线AB 的方程为y=k(x-1), A(x1,y1),B(x2,y2),联立 y=k(x-1) y2=4x, 可得ky2-4y-4k=0,y1+y2= 4 k ,y1y2=-4,直线AO 的方程 为y=y1x1 x=4y1 x,同理直线BO 的方程为y=4y2 x,令x=-1,可 得 M -1,-4y1 ,N -1,-4y2 ,则以 MN 为直径的圆的方程 为(x+1)(x+1)+ y+4y1 y+4y2 =0,整理可得(x+1)2+ y2-4ky-4=0 ,令y=0,可得x=1或x=-3,故圆过定点(1,0), (-3,0).当直线AB 的斜率不存在时,将直线AB 的方程x=1代 入抛物线方程可得A(1,2),B(1,-2),可得N(-1,2),M(-1, -2),以点 MN 为直径的圆方程(x+1)2+y2=4,显然过两定点 (1,0),(-3,0),选项D正确,故选BCD.] 12.(2,7) [由x2+y2+2x-4y+k-2=0表示圆可得:4+16-4(k- 2)>0,解得:k<7; ∵过P 可作圆的两条切线,∴P 在圆外,∴12+12+2-4+k- 2>0,解得:k>2; 综上所述:k的范围为(2,7).] 13.x 2 9-y 2=1 [由题意得,双曲线的渐近线方程为y=±13x ,设所 求的双曲线的方程为x2-9y2=λ(λ≠0). ∵点(6,3)为该双曲线上的点,∴λ=36-27=9. ∴该双曲线的方程为:x2-9y2=9,即x 2 9-y 2=1.] 14.x2+3y 2 2 =1 [设F1(-c,0),F2(c,0),因为 AF2⊥x 轴,所以 xA=c,代入 椭 圆 方 程 得 A(c,b2),设 B(x,y),因 为|AF1|= 3|F1B|,得AF1 →=3F1B→,所以(-c-c,-b2)=3(x+c,y), 解得 x=-53c y=-13b 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,即B -53c,-13b2 , 又B在椭圆上,将B -53c,-13b2 代入椭圆方程得: -53c 2 + -13b2 2 b2 =1, 又b2+c2=1,解得b2=23 ,c2=13 ,所以椭圆方程为:x2+3y 2 2 = 1.] 15.解 (1)圆C:(x-1)2+y2=1的圆心坐标为C(1,0),半径为1, 则PC的中点坐标为N 2,12 , |PC|= (3-1)2+(1-0)2= 5, ∴以 N 为圆心,PC为直径的圆的方程为(x-2)2+ y-12 2 = 5 4 , 由(x-1)2+y2=1,得x2+y2-2x=0 ①, 由(x-2)2+ y-12 2 =54 , 得x2+y2-4x-y+3=0 ②, ①-②得:2x+y-3=0. ∴直线AB 的方程为2x+y-3=0; (2)圆心C(1,0)到直线2x+y-3=0的距离为d=|2-3| 5 = 55 故圆上的点 M 到直线2x+y-3=0的距离的最大值为1+ 55 , 而|AB|=2 1- 55 2 =4 55 ,故△MAB 面积的最大值为12× 4 5 5 × 1+ 55 =25(1+ 5). 16.解 (1)因为|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|,所以点P 的轨迹是以 F1,F2 为焦点的椭圆, 其设其方程为x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0), 则2a=4,c=1,则a=2,b= 22-12= 3,点 P 的轨迹方程为 x2 4+ y2 3=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 x2 4+ y2 3=1 y=x-1 得7x2-8x-8= 0. 则有 x1 +x2 = 8 7 ,x1x2 = - 8 7. 所 以|AB|= 1+1· 87 2 +327= 24 7. 17.解 (1)∵点P(2,4)在抛物线C 上,∴16=4p,即p=4,∴抛物 线C的方程为y2=8x; (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立 y=x+m y2=8x ,得x2+(2m-8)x+ m2=0,Δ=(2m-8)2-4m2>0,得 m<2,∴x1+x2=8-2m, x1x2=m2, 又OP⊥OQ,则OP→·OQ→=x1x2+y1y2=0, ∴x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+ m2=2m2+m(8-2m)+m2=0, ∴m=-8或m=0,经检验,当m=0时,直线过坐标原点,不合题 意, 又m=-8<2,综上:m 的值为-8. 18.解 (1)由题可设椭圆的方程为x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0),则2b= 2 3,c=2, ∴b= 3,a= 7,∴椭圆 M 的标准方程为x 2 7+ y2 3=1 ; (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x21 7+ y21 3=1 ,x 2 2 7+ y22 3=1 ,k=y2-y1x2-x1 两式相减得 x21-x22 7 + y21-y22 3 =0 ,∴y2-y1x2-x1 ·y1+y2 x1+x2 =-37 , 而弦AB 的中点P x1+x22 ,y1+y22 , 则有kOP= y1+y2 x1+x2 , 所以k·kOP=- 3 7 ,即k与kOP 的乘积为定值- 3 7. 19.解 (1)P 点坐标代入抛物线方程得4=2p, ∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x. (2)证明:设AB:x=my+t,将AB 的方程与y2=4x联立得y2- 4my-4t=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4t, 所以Δ>0⇒16m2+16t>0⇒m2+t>0, kPA= y1-2 x1-1 =y1-2 y21 4-1 = 4y1+2 ,同理:kPB= 4 y2+2 , 由题意: 4 y1+2 + 4y2+2 =2,∴4(y1+y2+4)=2(y1y2+2y1+ 2y2+4), ∴y1y2=4,∴-4t=4,∴t=-1,故直线AB 恒过定点(-1,0). 高中期考测控卷 期中考试测控卷 1.A [双曲线x 2 a2 -y 2 b2 =1的一条渐近线为y=bax ,所以 |3b| a2+b2 = 5. 又有c= a2+b2=3,解得:a2=4,b2=5,所以双曲线的方程为 x2 4- y2 5=1. ] 2.B [因为直线l1:2x+(m+1)y-m=0与直线l2:mx+3y-2=0 平行,所以 2×3=m(m+1) 2×(-2)≠m×(-m), 解得m=-3,故选B.] 3.D [圆C:x2+y2-4x+2y+m=0,可化为(x-2)2+(y+1)2= 5-m,圆心(2,-1)到直线x+y-5=0的距离为:d=4 2 =2 2, |AB|=4=2 r2-d2,故r2=12=5-m,得m=-7.] 4.B [因为三棱柱ABC A1B1C1 是直三棱柱,所以四边形ACC1A1 是平行四边形,所以A1B →=CB→-CA1→=CB→-(CA→+CC1→)=-a+ b-c.] 5.C [由圆C1:(x-1)2+(y-2)2=4与圆C2:(x-2)2+(y-3)2= 1,得圆C1 圆心坐标为(1,2),半径R=2,圆C2 圆心坐标为(2,3), 半径r=1,两个圆心之间的距离d= (1-2)2+(2-3)2= 2,而 R-r<d<R+r,所以两圆的位置关系是相交.] 6.B [不妨设SA=SB=SC=1,如 图建立空间直角坐标系S-xyz, 则相关 各 点 坐 标 为 A(1,0,0),B (0,1,0),C(0,0,1),S(0,0,0), 又 M,N 分 别 是 AB 和SC 的 中 点,则 M 12,12,0 ,N 0,0, 1 2 . 所以SM→= 12,12,0 ,BN→= 0,-1,12 , 所 以 |SM→ | = 12 2 + 12 2 +02 = 22 ,|BN→ | = 02+(-1)2+ 12 2 = 52 , SM→·BN→=0+ -12 +0=-12,∴cos<SM→,BN→>= -12 2 2× 5 2 = - 105 , 因为异面直线所成的角为锐角或直角, 所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为 105 ,故选B.] 7.B [∵正方体棱长为a,A1M=AN= 2a 3 , ∴MB→=23A1B →,CN→=23CA →, ∴ MN→ = MB→ + BC→ + CN→ = 23 A1B → + BC→ + 23 CA → = 2 3 B1B→-B1A1→ +B1C1→ + 23 B1A1→ -B1C1→ = 23B1B→ + 1 3B1C1 →.又 ∵CD→是 平 面 B1BCC1 的 法 向 量,且 MN→·CD→= 23B1B→+13B1C1→ ·CD→=0, ∴MN→⊥CD→,∴MN ∥平面BB1C1C.] 8.C [由题意上口外直径为4 5,下底外直径为 26, 由题意可知点 M(2 5,6),点 N 262 ,-3 , 将点M,点N 的坐标代入双曲线的方程x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)可 得 20 a2- 36 b2=1 26 4a2- 9 b2=1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , 解得a= 2,b=2,所以双曲线C的离心率为 1+b 2 a2 = 3.] 9.AD [a·b=1×2+(-1)×1+2× -12 =0, ∴a⊥b,∴直线l与m 垂直,A正确; a·n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0, ∴a⊥n,∴l∥α或l⊂α,B错误; n1,n2 不共线,所以α与β不平行,故C错误; AB→=(-1,1,1),BC→=(-1,1,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法 向量, ∴ n·AB→=0 n·BC→=0 ,即 -1+u+t=0-1+u=0 ,则u+t=1,D正确.] 10.ABD [对A.因为抛物线方程为x2=y,其焦点在y 轴上,故其 焦点为 0,14 ,A正确; 对B.显然过点F 的直线斜率存在,故可设经过焦点F 的直线方 程为y=kx+14 ,联立抛物线方程可得:x2-kx-14=0 ,可得 x1+x2=k,x1x2=- 1 4 ,故B正确; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 55 — —58 — 对C.若MF→=λNF→,则 M,N,F 三点共线,则 MN =y1+y2+ p=k(x1+x2)+2p, 由B中所得可知:|MN|=k2+1≥1,故C错误; 对D.|MF|+|NF|=32 ,即y1+y2+ 1 2= 3 2 ,即y1+y2=1, ∴yP= y1+y2 2 = 1 2 ,故D正确.] 11.ABC [双曲线b=4,c= a2+16, 离心率c a = a2+16 a = 5 ,解得a=2,则c=2 5, 双曲线C的右顶点为(2,0),A选项正确; 双曲线的焦距为2c=4 5,B选项正确; 双曲线的渐近线方程为y=±42x=±2x ,C选项正确; 直线y=3x过原点,且斜率为3,大于渐近线的斜率2,所以直线 y=3x与双曲线没有交点,D选项错误.] 12.平行 3 24 [以D 为坐标原点,DA 为x 轴,DC为y 轴,DD1 为 z轴,建立空间直角坐标系, 则A1(1,0,1),E 0,1,12 ,B(1,1,0), ∵P,Q 均在平面A1B1C1D1 内, ∴设P(a,b,1),Q(m,n,1), 则A1E →= -1,1,-12 ,BP→=(a-1,b-1,1), BQ→=(m-1,n-1,1), ∵BP⊥A1E,BQ⊥A1E. ∴ BP→·A1E→=-(a-1)+(b-1)-12=0 BQ→·A1E→=-(m-1)+(n-1)-12=0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , 解得 b-a=12 n-m=12 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,所以可得m-a=n-b, ∵PQ→=(m-a,n-b,0),DB→=(1,1,0),∴PQ∥BD,即 PQ 与 BD 的位置关系是平行. | A1P | = (a-1)2+b2 = (a-1)2+ a+12 2 = 2a2-a+54= 2 a-14 2 +98 , ∴当a=14 ,即P 14,34,1 时,|A1P|的最小值为3 24 .] 13.4 3 [由椭圆的方程C:x 2 3+ y2 2=1 知:F1(-1,0),F2(1,0),而 直线x-2y+1=0,令y=0,x=-1,所以直线过椭圆的左焦点, 由椭圆的定义知: PF1+PF2=2a=2 3,QF1+QF2=2a=2 3,PQ=PF1+QF1, 则△PQF2 的周长为:PQ+PF2+QF2=4a=4 3.] 14.163 [∵PQ 垂直平分AF,∠AFP=∠AFQ, ∴PA=PF=FQ, 在四边形PAQF 中,对角线AF 与PQ 垂直,∴四边形PAQF 是 菱形, 由抛物线的定义可得:AF=PA,故PA=AF=PF ∴△APF 为等边三角形,故∠AFP=60°,故∠AFP=∠AFQ= 60°, 故直线AB:y= 3(x-1), 故把直线y= 3(x-1)与抛物线进行联立 y= 3(x-1) y2=4x 得3x2- 10x+3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2= 10 3 ,|AB|=x1+ x2+p= 16 3. ] 15.解 (1)因为AA1⊥平面ABC,AB,AC⊂平面ABC, 所以AA1⊥AB,AA1⊥AC,而AB⊥AC,因此建立如图所示的空 间直角坐标系: A(0,0,0),A1(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),B1(1,0,1),M(0,a, 1)(a∈[0,1]), BM→=(-1,a,1),AB1→=(1,0,1),因为BM→·AB1→=-1×1+a× 0+1×1=0, 所以BM→⊥AB1→,即BM⊥AB1, (2)设平 面 BCM 的 法 向 量 为n=(x,y,z),BM→=(-1,a,1), BC→=(-1,1,0), 所以有 n·BM→=0 n·BC→=0 ⇒ -x+ay+z=0-x+y=0 ⇒n=(1,1,1-a), 因为直线AB1 与平面BCM 所成角为 π 4 , 所 以|cos<AB1 →,n>|=sin π4 ⇒ AB1 →·n |AB1 →|·|n| = 22 ⇒ |1+1-a| 12+12+(1-a)2× 2 = 22 , 解得a=12 ,即n=(1,1,12 ),因为A1B →=(1,0,-1), 所以点A1 到平面BCM 的距离为: |cos<A1B →,n>|·|A1B→|= |A1B →·n| |A1B →|·|n| ·|A1B →|= 1-12 12+12+ 12 2 =13. 16.解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1= x21 4 ,y2= x22 4 , 因为线段AB 的中点M 的坐标为(4,m),可得x1+x2=8, 则直线AB 的斜率kAB= y2-y1 x2-x1 = x2+x1 4 =2. (2)由抛物线C:y=x 2 4 可化为x2=4y,可得抛物线C 的焦点坐标 为F(0,1), 所以直线AB 的方程为y=2x+1, 联立方程组 y=2x+1 x2=4y ,整理得y2-18y+1=0,可得y1+y2= 18, 因为线段AB 的中点M 的坐标为(4,m),可得m=y1+y22 =9 , 所以实数m 的值为9. 17.解 (1)以 D 为坐 标 原 点,以 DA, DC,DD1 为轴建立空间直角坐标系 D xyz,如图所示: 设DE=a,则E(0,a,0),A(1,0,0), A1(1,0,1),B1(1,2,1),D1(0,0,1), ∴AB1 →=(0,2,1),D1B1→=(1,2,0), A1E →=(-1,a,-1), ∵AE⊥平面AB1D1,∴AE →⊥AB1→, 即AE→·AB1→=2a-1=0,解得a=12,∴DE= 1 2. (2)由(1)可知A1E →=(-1,12,-1)为平面AB1D1 的法向量, 又E(0,12 ,0),B1(1,2,1),则EB1 →= 1,32,1 ,设直线EB1 与平 面AB1D1 所成角为θ, 则sinθ=|cos<EB1 →,A1E→>|= |-1+34-1| 1+14+1 · 1+94+1 = 5 17 51 . 18.解 (1)因为平面ABE⊥平面BCDE,平面ABE∩平面BCDE= BE, AB⊥BE,AB⊂平面ABE,所以AB⊥平面BCDE, 因为CE⊂平面BCDE,所以CE⊥AB. 在等腰梯形BCDE 中,由BE=2 3,BC=CD=DE= 3, 可得∠CBE=∠DEB=60°, 在△BCE中,由余弦定理得CE2=3+12-2×3×23×cos60°=9, 所以BC2+CE2=BE2,则CE⊥BC. 因为AB∩BC=B,所以CE⊥平面ABC. 因为l是平面ABC 与平面ADE 的交线,所以l⊂平面ABC,所以 CE⊥l; (2)如 图,过 点 C 作CG⊥BE 于 点 G,易得CG=32 , 则梯形BCDE 的面积S= 3+232 × 3 2= 9 3 4 , 所 以 VABCDE = 1 3S×AB= 1 3 × 9 3 4 ×AB= 9 8 ,解得AB= 32 , 如图,以B 为坐标原点,分别以BE,BA 所在直线为y 轴,z轴,在 平面BCDE 内以垂直于BE 的直线为x 轴建立空间直角坐标系, 则B(0,0,0),A 0,0,32 ,C 32,32,0 ,D 32,3 32 ,0 , 所以AC→= 32,32,- 32 ,AD→= 32,3 32 ,- 32 , 设平面ACD 的法向量为m=(x,y,z), 则 AC→·m=0 AD→·m=0 即 3 2x+ 3 2y- 3 2z=0 3 2x+ 3 3 2y- 3 2z=0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 令x= 3,得y=0,则z=3,所以m=(3,0,3), 又平面ABE 的法向量为n=(1,0,0), 所以cos<m,n>= 3 3+32×1 =12 ,由图可知所求二面角为锐角, 所以侧面ACD 与侧面ABE 所成的二面角的平面角大小为60°; 综上,所求的二面角的平面角的大小为60°. 19.解 (1)依题意,c=1;∵B 为椭圆C 的上顶点,以B 为圆心且过 F1、F2 的圆与直线x=- 2相切,∴a= 2,∴b=1,∴椭圆C 的 标准方程为:x 2 2+y 2=1. (2)直线 MN 斜率存在时,设 MN:y=kx+m,M(x1,y1),N(x2, y2), 联立: y=kx+m x2 2+y 2=1 得:(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0, Δ=-8(m2-2k2-1)>0,x1+x2= -4km 1+2k2 ,x1x2= 2m2-2 1+2k2 , 由kAM +kAN =-2得, y1-1 x1 +y2-1x2 =-2, 整理得,(2k+2)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0, 则(2k+2)2m 2-2 1+2k2 +(m-1)-4km 1+2k2 =0,化简得,m=k-1, ∴直线 MN:y=kx-k-1=k(x-1)-1,∴直 线l过 定 点(1, -1). 验证:当直线 MN 斜率不存在时,方程为x=1,与椭圆C 的交点 为M 1,22 ,N 1,- 22 ,满足kAM +kAN =-2. 综上,直线l过定点(1,-1). 第四章 数列 1.C [∵a1= 1 4 ,2an+1an+an=3an+1(n∈N*), ∴2×14a2+ 1 4=3a2 ,解得a2= 1 10 , ∴2×110a3+ 1 10=3a3 ,解得a3= 1 28 ,∴2×128a4+ 1 28=3a4 ,解得 a4= 1 82 ,故选C.] 2.D [由题得a5=a2+3d=4+3d=10,∴d=2.] 3.D [因为S5= 5(a1+a5) 2 =5a3=a2a3 ,所以a2=5, 又因为a6=17,所以公差d= a6-a2 6-2 =3 , 所以a12=a6+6d=17+18=35,故选D.] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 57 — —60 — 4.C [设 等 比 数 列{an}的 公 比 为q,q≠0,依 题 意a1=1,a2a5= 8a1a3, q·q4=8q2⇒q=2,所以a3=a1q2=4.] 5.D [由题意S2=a1+2a1=6,a1=2, 所以a3=2×22=8,S3=S2+a3=6+8=14.] 6.C [设每一层有n 环,由题意可知从内到外每环之间构成公差 d=9,a1=9的等差数列. 由等差数列的性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,且(S3n- S2n)-(S2n-Sn)=n2d, 则9n2=729,得n=9, 则三层共有扇面形石板S3n=S27=27×9+ 27×26 2 ×9=3402 (块).] 7.B [因为an+1=2an+2n+1故可得 an+1 2n+1 = 2an 2n+1 +1,∴ an+1 2n+1 - an 2n =1, ∴ an 2n 是公差为1的等差数列.] 8.D [杨辉三角的第n行的和为2n-1,(n=1,2,…),故前n行的和 为Sn= 1-2n 1-2=2 n-1, 每一行的个数为1,2,3,…,可看成以1为首项,以1为公差的等差 数列,则Tn= n(n+1) 2 , 当n=11时,T11= 11×12 2 =66 , 去除两端的1可得66-21=45, 则此数列的前46项的和为: S11-21+11=211-1-21+11=2037.] 9.ACD [Sn=2an+1,令n=1,则S1=a1=2a1+1,所以a1=-1, 故A正确; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1) 所以an=2an-1(n≥2)且a1=-1, 所以数列{an}是首项为-1,公比为2的等比数列. 所以an=-2n-1,Sn= -1×(1-2n) 1-2 =1-2 n 故C正确, 所以S5=-31,故B错误; 因为Sn-1=-2n,所以{Sn-1}的前n项和为 -2+(-22)+(-23)+…+(-2n)=-(2+22+…+2n)= -2 (1-2n) 1-2 =2-2 n+1,故D正确.] 10.AC [将n=1代入S=-an+1得a1= 1 2 ,A对;因为Sn=-an+ 1(n∈N*), 则Sn-1=-an-1+1,n≥2,∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1,即 an an-1 = 1 2 , 所以数列{an}是首项为 1 2 ,公比为1 2 的等比数列,C对; ∴Sn= 1 2× 1- 12 n 1-12 =1- 12 n ,Sn+1=1- 12 n+1 ≠12 Sn,BD错误.] 11.AB [∵S6>S7>S5, ∴6a1+ 6×5 2 d>7a1+ 7×6 2 d>5a1+ 5×4 2 d , 即a1+6d=a7<0,2a1+11d=a6+a7>0, ∴a6>0,a7<0, 所以d=a7-a6<0,a1>0且|a6|>|a7|. 所以S11= 11 2 (a1+a11)=11a6>0,S12= 12 2 (a1+a12)=6(a6+ a7)>0,因为a6>0,a7<0,所 以{an}为 递 减 数 列,且a1>a2> a3>a4>a5>a6>0>a7>…,所以当n=6时Sn 取得最大值,故 选AB.] 12.4 20 [因为an=2n,所以a2=4,又an+1-an=2,a1=2,所以数 列{an}是以2为首项2为公差的等差数列,则S4= 4(a1+a4) 2 = 2×(2+8)=20.] 13.an= 0,n=1 2n-1,n≥2 [an= 0,n=1Sn-Sn-1,n≥2 , 整理得到an= 0,n=1 2n-1,n≥2 .] 14.31 [第一个正方形的面积为16cm2;第 二 个 正 方 形 的 边 长 为 4+4=2 2cm,面积为8cm2; 第三个正方形的边长为 2+2=2cm,面积为4cm2;第四个正方 形的边长为 1+1= 2cm,面积为2cm2;第五个正方形的边长 为 1 2+ 1 2=1cm ,面积为1cm2. 所以这5个正方形的面积的和是16+8+4+2+1=31cm2.] 15.解 (1)当n≥2时, 1an-3 - 1an-1-3 = 1 6- 9an-1 -3 - 1an-1-3 = an-1 3an-1-9 - 1an-1-3 = an-1-3 3an-1-9 =13 , ∴数列 1an-3 是以13为公差的等差数列. (2)∵ 1a1-3 =13 ,∴数列 1an-3 首项为13,公差为13,∴ 1an-3= 1 3+ 1 3 (n-1)=n3 , 则an-3= 3 n ,∴an=3+ 3 n. 16.解 (1)设等比数列{an}的公比为q,因为-2S2,S3,4S4 成等差 数列,可得2S3=-2S2+4S4, 即S4-S3=S2-S4,所以2a4=-a3, 解得q= a4 a3 =-12 , 又因为a2=- 3 4 ,所以数列{an}的通项公式为 an= -34 · -12 n-2 =-3× -12 n . (2)由an=-3× -12 n , 可得Sn= 3 2 1- -12 n 1- -12 =1- -12 n , 所以Tn=1-Sn= -12 n , 所以|Tn|= -12 n = 12 n , 由|Tn|> 1 2022 ,可得 12 n > 12022 ,即n<log22022且n∈N*, 故满足|Tn|> 1 2022 的n的最大值为10. 17.解 (1)由题意:5a3=35,∴a3=7, 由于a2+1是a1+1和a4 的等比中项, 故(a2+1)2=a4(a1+1), 则(8-d)2=(8-2d)(7+d),又d为整数,解得d=2,所以a1= a3-2d=3, ∴an=2n+1,n∈N*; (2)bn= 12 2n+1 +2n+1=12 · 14 n +2n+1; ∴Tn= 1 2 1 4 1- 14 n 1-14 +(3+2n+1)n2 =16 1- 14 n + n2+2n. 18.解 (1)由题意,每年的维修费构成一等差数列,n年的维修总费 用为 n[0+0.2(n-1)] 2 =0.1n 2-0.1n(万元), 所以f(n)=16.9+1.2n+(0.1n2-0.1n)=0.1n2+1.1n+16.9 (万元),n∈N*. (2)该辆轿车使用n年的年平均费用为 f(n) n = 0.1n2+1.1n+16.9 n = 0.1n + 16.9 n + 1.1 ≥ 2 0.1n·16.9n +1.1=3.7 (万元). 当且仅当0.1n=16.9n 时取等号,此时n=13. 故这种汽车使用13年报废最合算. 19.解 (1)由题意知, 2a1+5d=12 (2a1+d)2=a1(4a1+6d) ,且d≠0, 解得a1=1,d=2,所以an=1+2(n-1)=2n-1. (2)由(1)知,bn=10-an=11-2n, 由bn+1-bn=11-2(n+1)-(11-2n)=-2,所以{bn}是以-2 为公差的等差数列, 令bn>0,解得n< 11 2 ,所以当n≤5时,bn>0, 故当n=5时,T5=5×9+ 5×4 2 × (-2)=5×9-20=25为 最 大值. 第三次月考滚动检测卷 1.C [由题, a1=8 S2=2a1+d=13 ,所以d=-3, 所以an=8-3(n-1)=-3n+11,所以a7=-3×7+11=-10, 故选C.] 2.B [在等差数列{an}中,由 a7 a9 =45 ,得S13 S17 = 13(a1+a13) 2 17(a1+a17) 2 =1317× a7 a9 =1317× 4 5= 52 85. ] 3.C [设公比为q,由a3-2a2=5,S3=3,得 a1q2-2a1q=5 a1+a1q+a1q2=3 ,解得 a1=4 q=-12 ,或 a1= 1 7 q=-5 ,故选C.] 4.D [设等比数列{an}的公比为q,则q>0,依题意q2= a4 a2 =4,所以 q=2, 又a1= a2 q=1 ,所以an=a1qn-1=2n-1,所以an+an+3=2n-1+2n+2= 9×2n-1, S5=9(1+2+22+23+24)=9× 1-25 1-2=279. ] 5.D [由 b2+b8 a3+a5+a7 = b1+b9 3 2 (a1+a9) = 23 ·B9 A9 = 23 × 9+4 2×9+1= 26 57. ] 6.D [设等比数列{an}的公比为q,则P=a1+a2+…+an,Q-P= an+1+an+2+…+a2n=qn(a1+a2+…+an)=qnp,R-Q=a2n+1+ a2n+2+…+a3n=q2n(a1+a2+…+an)=q2nP,所以,(P-Q)2= P(R-Q).] 7.C [当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2,又a1=S1=2, 即前10项分别为2,1,2,4,8,16,32,64,128,256, 所以数列{an}的前10项中S偶 = 1-45 1-4= 1023 3 =341 ,S奇 =2+ 2(1-44) 1-4 =2+ 510 3 =172 ,所以S奇 S偶 = 172 341 ,故选C.] 8.C [由S4=S7 得:a5+a6+a7=S7-S4=0,∴3a6=0,即a6=0; 设等差数列{an}的公差为d,则 a3=a1+2d=2 a6=a1+5d=0 , 解得: a1= 10 3 d=-23 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , 对于A,∵d<0,∴{an}为递减数列,A错误; 对于B,Sn= 10 3n+ n(n-1) 2 × (-23 )=-13n 2+113n , ∵n∈N*,∴当n=5或n=6时,Sn 取得最大值,B错误; 对于C,由-13n 2+113n>0 得:0<n<11,∵n∈N*,∴n≤10,C 正确; 对于D,∵an= 10 3- 2 3 (n-1)=-23n+4 ,∴由an>0得:n<6, 则不等式an>0的解集为{1,2,3,4,5},为有限集,D错误.] 9.BC [设等差数列{an}的公差为d,由S6=S13,得6a1+ 6×5 2 d= 13a1+ 13×12 2 d , 解得a1=-9d,因为a1<0,所以d>0. A.由d>0,得等差数列{an}为递增数列,故A错误; B.a10=a1+9d=-9d+9d=0,故B正确; C.Sn=na1+ n(n-1) 2 d=-9nd+ n2 2d- n 2d= d 2 (n2-19n), 因为d>0,n>0,由二次函数的性质可知 当n=9或n=10时,Sn 取 到 最 小 值,即S9 为Sn 中 最 小 项,故 C正确; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 59 — — 22 — 高中期考测控卷 期中考试测控卷 (范围:选择性必修第一册) (时间:120分钟 满分:150分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 名师推好题 第18题.该题主要考查面面垂直的性质、线面垂直的判定及性质、一题多解二面 角的问题,考查考生通过翻折理解变与不变的量,让考生通过建系解决空间问题,从而提高学生 的知识运用能力,值得推荐. 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.若双曲线x 2 a2 -y 2 b2 =1的焦点F(3,0)到其渐近线的距离为 5,则双曲线的方程为 ( ) A.x 2 4- y2 5=1 B. x2 5- y2 4=1 C.x 2 3- y2 6=1 D. x2 6- y2 3=1 2.已知直线l1:2x+(m+1)y-m=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,则m= ( ) A.-3或2 B.-3 C.2 D.3或-2 3.已知直线x+y-5=0与圆C:x2+y2-4x+2y+m=0相交于A,B 两点,且|AB|=4,则实数 m= ( ) A.-9 B.-19 C.-4 D.-7 4.如图,直三棱柱ABC A1B1C1 中,若CA → =a,CB → =b,CC1 → =c,则A1B → 等于 ( ) A.a+b-c B.-a+b-c C.a-b+c D.-a+b+c 5.圆C1:(x-1)2+(y-2)2=4与圆C2:(x-2)2+(y-3)2=1的位置关系是 ( ) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 6.如图,S 是正三角形ABC 所在平面外一点,M,N 分别是AB 和SC 的中点,SA=SB=SC,且 ∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°,则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为 ( ) A.- 105 B. 10 5 C.- 10 10 D. 10 10 第6题图 第7题图 7.如图,正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为a、M、N 分别为A1B 和AC 上的点,A1M=AN= 2 3a , 则 MN 与平面BB1C1C的位置关系是 ( ) A.相交但不平行 B.平行 C.相交且垂直 D.不能确定 8.如图为陕西博物馆收藏的国宝—唐—金筐宝钿团化纹金杯,杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺天工, 是唐朝金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0) 的右支与直线x=0,y=6,y=-3围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体,若 该金杯主体部分的上口外直径为4 5,下底外直径为 26,则此双曲线C的离心率为 ( ) A.2 B.2 C.3 D.3 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.以下命题正确的是 ( ) A.直线l方向向量为a=(1,-1,2),直线m 方向向量b=(2,1,-12 ),则l与m 垂直 B.直线l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),则l∥α C.平面α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,2,6),则α∥β D.平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则 u+t=1 10.已知抛物线y=x2 的焦点为F,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上两点,则下列结论正确的是 ( ) A.点F的坐标为 0,14 B.若直线 MN 过点F,则x1x2=- 1 4 C.若MF → =λNF →,则|MN|的最小值为12 D.若|MF|+|NF|=32 ,则线段 MN 的中点P 到x 轴的距离为12 11.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:x 2 a2 -y 2 16=1 (a>0)的离心率为 5,则 ( ) A.C的右顶点坐标为(2,0) B.C的焦距为4 5 C.C的渐近线方程为y=±2x D.直线y=3x与C 有两个交点 — 21 — — 24 — 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1 中,E 为CC1 的中点,P、Q 是正方体表面上相异两点, 满足BP⊥A1E,BQ⊥A1E.若P,Q均在平面A1B1C1D1 内,则PQ与BD 的位置关系是 , |A1P|的最小值为 . 13.已知F1,F2 分别为椭圆C: x2 3+ y2 2=1 的左右焦点,直线x-2y+1=0与椭圆交于P,Q 两点,则 △PQF2 的周长为 . 14.已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F 的直线m 与E 交于A,B 两点,AF 的垂直平 分线分别交l和x 轴于P,Q 两点.若∠AFP=∠AFQ,则|AB|= . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图,在三棱柱 ABC A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AB⊥ AC,AB=AC=AA1=1,M 为线段A1C1 上一点. (1)求证:BM⊥AB1; (2)若直线AB1 与平面BCM 所成角为 π 4 ,求点A1 到平面BCM 的 距离. 16.(15分)设A,B 为抛物线C:y=x 2 4 上两点,线段AB 的中点M 的坐标为(4,m). (1)求直线AB 的斜率; (2)若直线AB 恰好经过抛物线C 的焦点,求m 的值. 17.(15分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,BC=CC1=1.若在 CD 上存在点E,使得A1E⊥平面AB1D1. (1)求DE 的长; (2)求直线EB1 与平面AB1D1 所成角的正弦值. 18.(17分)如图①,平面图形ABCDE 中,AB⊥BE,四边形BCDE 是等腰梯形,BE=2 3,BC= CD=DE= 3.沿BE 将△ABE 折起,使平面ABE⊥平面BCDE,得到四棱锥A-BCDE,连接 CE,如图②. (1)设平面ABC与平面ADE 的交线为l,求证:CE⊥l; (2)当四棱锥A BCDE 的体积为98 时,求侧面ACD与侧面ABE所成的二面角的平面角的大小. 19.(17分)已知O为坐标原点,F1、F2 为椭圆C的左、右焦点,|F1F2|=2,B 为椭圆C 的上顶点,以 B 为圆心且过F1、F2 的圆与直线x=- 2相切. (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知 M、N 为椭圆C 上两点,若直线BM 和BN 的斜率之和为-2.试探究:直线 MN 是否过 定点;若是,求出该定点坐标,若不是,请说明理由. — 23 —