第2次月考滚动检测卷-【三清必刷】2025-2026学年高二数学选择性必修1+2（人教A版2019）

— 18 — 第二次月考滚动检测卷 (范围:圆的方程、圆锥曲线的方程) (时间:120分钟 满分:150分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 名师推好题 第19题.该题主要考查圆锥曲线的综合问题,考查考生运算转化能力,让考生灵 活设直线方程结合根与系数的关系,从而提高学生解决直线与圆锥曲线位置关系的能力,值得 推荐. 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知(x-3)2+y2=16与抛物线y=ax2(a>0)的准线相切,则a= ( ) A.116 B.16 C. 1 8 D.8 2.已知双曲线x 2 a2 -y 2 16=1 的一个焦点在直线x+y=5上,则双曲线的渐近线方程为 ( ) A.y=±34x B.y=± 4 3x C.y=± 2 2 3x D.y=± 3 2 4x 3.设P 为椭圆C:x 2 16+ y2 12=1 上一点,F1,F2 分别为C 的左、右焦点,且|PF1|-|PF2|= 8 3 ,则 |PF1| |PF2| = ( ) A.32 B.2 C. 5 3 D.3 4.已知直线3x-4y+4=0与圆C:(x-1)2+(y+2)2=25相交于A,B 两点,则|AB|= ( ) A.7 B.8 C.9 D.10 5.设F1,F2 分别是双曲线 x2 4- y2 45=1 的左、右焦点,P 是该双曲线上的一点,且3|PF1|=5|PF2|, 则△PF1F2 的面积等于 ( ) A.14 3 B.7 15 C.15 3 D.5 15 6.已知椭圆x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0),点F为右焦点,B 为上顶点,平行于FB 的直线l交椭圆于M,N 两点且线段MN 的中点为Q -12,-14 ,则椭圆的离心率为 ( ) A.22 B. 1 2 C. 1 4 D. 3 2 7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在抛物线C 上,射线FM 与y 轴交于点A(0,2), 与抛物线C的准线交于点N,FM → = 55MN →,则p的值等于 ( ) A.18 B.2 C. 1 4 D.4 8.设椭圆C:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过原点的直线l与椭圆C相交于M,N 两 点(点M 在第一象限).若|MN|=|F1F2|, |NF1| |MF1| ≥ 33 ,则椭圆C的离心率e的最大值为 ( ) A.6-12 B.6-1 C. 3-1 2 D.3-1 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知曲线C:mx2+ny2=1,下列结论正确的是 ( ) A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上 B.若m>0>n,则C是双曲线,其焦点在x轴上 C.若m=n,则C是圆 D.若m=0,n≠0,则C是两条直线 10.关于双曲线x2-y 2 2=1 有下列四个说法,正确的是 ( ) A.P 为双曲线上一点,F1,F2 分别为左、右焦点,若|PF1|=2|PF2|,此时∠F1PF2= π 3 B.与椭圆x 2 4+y 2=1有相同的焦点 C.与双曲线y 2 2-x 2=4有相同的渐近线 D.过右焦点的弦长最小值为4 11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点P(4,4),焦点为F,准线为l,过点F的直线l'交C 于A,B 两 点,AO,BO分别交l于M,N 两点,则 ( ) A.p=1 B.|AB|最小值为4 C.准线l的方程为x=-1 D.以 MN 为直径的圆恒过定点(1,0),(-3,0) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.过点P(1,1)可以向圆x2+y2+2x-4y+k-2=0引两条切线,则k的范围 . 13.若双曲线经过点(6,3),且其渐近线方程为y=±13x ,则此双曲线的标准方程为 . 14.设F1,F2 分别是椭圆E:x2+y 2 b2 =1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1 的直线交椭圆E 于A,B 两 点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E 的方程为 . — 17 — — 20 — 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)过点P(3,1)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B; (1)求直线AB 的方程; (2)若 M 为圆上的一点,求△MAB 面积的最大值. 16.(15分)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P 到点F1,F2 的距离和等于4. (1)试判断点P 的轨迹C 的形状,并写出其方程; (2)若曲线C与直线m;y=x-1相交于A、B 两点,求弦AB 的长. 17.(15分)已知抛物线C:y2=2px(p>0),点P(2,4)在抛物线C上. (1)求抛物线C的方程; (2)不过原点的直线l:y=x+m 与抛物线交于不同两点P,Q,若OP⊥OQ,求m 的值. 18.(17分)已知椭圆 M 的短轴长为2 3,焦点坐标分别为(-2,0)和(2,0). (1)求椭圆 M 的标准方程; (2)斜率为k的直线与椭圆M 交于A、B 两点,若线段AB 的中点为P,O 为坐标原点,且直线 OP 的斜率kOP存在,试判断k与kOP的乘积是否为定值,若是请求出,若不是请说明理由. 19.(17分)已知P(1,2)在抛物线C:y2=2px上. (1)求抛物线C的方程; (2)A,B 是抛物线C 上的两个动点,如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2,证明:直线 AB 过定点. — 19 — —54 — 又|F2F1 | = 4,所 以 由 余 弦 定 理 得 cos∠F1PF2 = |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 2|PF1|·|PF2| =13. ] 14.5 [设P(m,0)(-2≤m≤2),直线l的方程为y=12 (x-m),设 M(x1,y1),N(x2,y2), 将直线方程代入椭圆方程并化简得到2x2-2mx+m2-4=0, 进而有x1+x2=m,x1x2= m2-4 2 ,所以|MP|2+|PN|2=(x1- m)2+y21+(x2-m)2+y22 |MP|2+|PN|2=54 [(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2] |MP|2+|PN|2=54 [m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.] 15.解 (1)由题意知抛物线C的对称轴是y 轴, 点P(-4,2)在曲线C上, 所以抛物线开口向上,设抛物线的标准方程为: x2=2py(p>0), 代入点P(-4,2)的坐标得:16=4p,解得p=4, 则抛物线的标准方程为:x2=8y. (2)焦点F(0,2),则直线AB 的方程是y=x+2, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由 y=x+2 x2=8y 得x2-8x-16=0,Δ=82+64>0, 所以x1+x2=8,则y1+y2=x1+x2+4=12,故|AB|=y1+ y2+4=16. 16.解 (1)以抛物线的顶点O 为坐标原 点,抛物线的对称轴为y轴,建立平面 直角坐标系,如图. 则A(-4,-6),B(4,-6),设抛物线 的标准方程为x2=-2py(p>0). 因为B 点在抛物线上,所以42=-2p(-6), 解得p=43 , 所以抛物线的方程为x2=-83y. (2)设P(0,-2)为灯笼所在点,Q(x,y)为抛物线上设置牵引绳 的点, 则|PQ|= x2+(y+2)2,|PQ|= y2+43y+4 (-6≤y≤0) 当y=-23 时,|PQ|的最小值为4 23 ,即一条牵引绳长度的最小 值为4 2 3 . 17.解 (1)设椭圆C的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c, 因为双曲线x 2 16- y2 5=1 的实轴长为2 16=8, 所以 2a=8 c a = 6 4 a2=b2+c2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,解得 a2=16 b2=10 , 若椭圆C的焦点在x 轴上,此时椭圆C 的标准方程为x 2 16+ y2 10= 1; 若椭圆C 的 焦 点 在y 轴 上,此 时 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为x 2 10+ y2 16=1. 所以C的标准方程为x 2 16+ y2 10=1 或x 2 10+ y2 16=1 ; (2)因为b2=10,所以b= 10.所以P 到A1A2 的距离d∈(0, 10), 由于S△PA1A2= 1 2|A1A2| ·d=12×8d=4d∈ (0,4 10). 所以,△PA1A2 面积的取值范围为(0,4 10). 18.解 (1)证明:由题可知,直线AB 的斜率存在,又焦点F(0,1), 所以设AB 的方程为y=kx+1, 代入抛物线方程y=x 2 4 , 可得x2-4kx-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=4k, x1x2=-4. 又y'=x2 ,所以切线AD 的方程为 y- x21 4= x1 2 (x-x1),即y= x1 2 ·x-x 2 1 4①. 同理可得切线BD 的方程为y= x2 2 ·x-x 2 2 4② , ①×x2-②×x1:(x2-x1)y=(x2-x1) x1x2 4 ,因为x2-x1≠0,所 以y= x1x2 4 =-1 , 所以点D 在定直线y=-1上. (2)由(1)可知kAD ·kBD = x1 2 ·x2 2= x1x2 4 =-1 , 所以AD⊥BD,所以△ABD 是以AB 为斜边的直角三角形,所以 AB 是其外接圆直径. 又此圆经过点P(1,0), 所以AP→·BP→=(1-x1,-y1)·(1-x2,-y2)=1-(x1+x2)+ x1x2+y1y2=1-(x1+x2)+x1x2+ x21x22 16 =-2-4k=0 , 解得k=-12 , 设圆心即AB 的中点M(x0,y0), 则x0= x1+x2 2 =2k=-1 ,y0=kx0+1= 3 2 , 半径r=12|AB|= 1 2 1+k 2 (x1+x2)2-4x1x2=2(1+k2)= 5 2 , 所以外接圆的方程为(x+1)2+(y-32 )2=254. 19.解 (1)由题意有 2c=2 1 a2+ 1 2b2=1 a2=b2+c2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得a 2=2,b2=1, 所以椭圆C的方程为x 2 2+y 2=1. (2)由(1)得F(1,0),设直线l的方程为x=my+1,设P(x1,y1), Q(x2,y2), 由 x2 2+y 2=1 x=my+1 ,得(m2+2)y2+2my-1=0, 所以y1+y2=- 2m m2+2 ,y1y2=- 1 m2+2 , 设x轴上存在点E(t,0),使得直线EP,EQ 关于x 轴对称, 则 kEP +kEQ = y1 x1-t + y2x2-t = y1my1+1-t + y2my2+1-t = 2my1y2+(1-t)(y1+y2) (my1+1-t)(my2+1-t) =0, 所 以 2my1y2 + (1-t)(y1 +y2)= - 2m m2+2 -2m (1-t) m2+2 = -2m (2-t) m2+2 =0,所以t=2, 故x轴上存在点E(2,0),使得直线EP,EQ 关于x 轴对称. 第二次月考滚动检测卷 1.A [抛物线的准线方程为y=-14a ,圆的方程(x-3)2+y2=16, 圆心(3,0),半径r=4,由已知得14a=4 ,解得a=116. ] 2.B [∵双曲线x 2 a2 -y 2 16=1 的焦点在x轴上,直线x+y=5与x轴 的交点为(5,0),∴c=5,∴16+a2=25,解得a2=9,∴双曲线的方 程为x 2 9- y2 16=1 ,其渐近线方程为y=±43x. ] 3.B [因为|PF1|+|PF2|=2a=2 16=8,|PF1|-|PF2|= 8 3 , 所以|PF1|= 16 3 ,|PF2|= 8 3 ,故|PF1| |PF2| =2.] 4.B [设圆心C 到该直线的距离为d,则d=|3+8+4| 32+42 =3,所以 |AB|=2 25-d2=8.] 5.C [设|PF1|=5x,|PF2|=3x,则由双曲线的定义可得:|PF1|- |PF2|=5x-3x=2x=2a=4,所以x=2,故|PF1|=10,|PF2|= 6,又|F1F2|=14,故cos∠F1PF2= 100+36-196 2×10×6 = - 1 2 ,故 sin∠F1PF2= 3 2 ,所以△PF1F2 的面积为 1 2×10×6× 3 2=153. ] 6.A [设 M (x1,y1),N (x2,y2),直 线 l 的 斜 率 为 k,则 x21 a2+ y21 b2=1 x22 a2+ y22 b2=1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ⇒ (x1-x2)(x1+x2) a2 + (y1-y2)(y1+y2) b2 =0,所 以 y1-y2 x1-x2 ·y1+y2 x1+x2 =-b 2 a2 ,由线段 MN 的中点为Q -12 ,-14 , 所以x1+x2=-1,y1+y2=- 1 2 , 所以k 2=- b2 a2 ,又k=-bc ,所以b 2c= b2 a2 ,又a2=b2+c2, 所以b=c,∴a= 2c⇒e= 22 ,故选A.] 7.B [设点M 到抛物线的准线的距离为|MM'|, 抛物线的准线与x轴的交点记为点B. 由抛 物 线 的 定 义 知,|MM'|=|FM|.因 为 |FM| |MN| = 5 5 ,所 以 |MM'| |MN| = 5 5 ,即 cos∠NMM'=|MM'||MN|= 5 5 ,所以cos∠OFA= cos∠NMM'= 55 ,而cos∠OFA=|OF||AF|= p 2 p2 2 +22 = 55 ,解得p=2,故选B.] 8.D [依题意作右图: 由于|MN|=|F1F2|,并 且 线 段 MN,F1F2 互 相 平 分,∴ 四 边 形 MF1NF2 是矩形,其 中∠F1MF2= π 2 ,∴|NF1|=|MF2|, 设|MF2|=x,则|MF1|=2a-x, 根据勾股定理: |MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2, x2+(2a-x)2=4c2,整理得x2-2ax+2b2=0,由于点 M 在第一 象限, x=a- a2-2b2,由题意 |NF1| |MF1| = |MF2| |MF1| ≥ 33 ,∠MF1F2≥ π 6 即|MF2|≥ 1 2|F1F2| ,a- a2-2b2≥c 整理得2a2-2ac-c2≥0,e2+2e-2≤0, 解得0<e≤ 3-1,即e的最大值为 3-1;故选D.] 9.AB [对于A,若m>n>0,则 mx2+ny2=1可化为x 2 1 m +y 2 1 n =1, 因为m>n>0,所以1m< 1 n ,即曲线C表示焦点在y 轴上的椭圆, 故A正确;对于B,因为m>0>n,所以mx2+ny2=1可化为x 2 1 m - y2 -1n =1,曲线C表示焦点在x 轴上的双曲线,故B正确;对于C, 若m=n>0,则mx2+ny2=1可化为x2+y2=1n ,此时曲线C 表 示圆心在原点,半径为 n n 的圆,若m=n<0,mx2+ny2=1不是圆, 故C错误;对于D,若 m=0,n≠0,则 mx2+ny2=1可化为y2= 1 n ,当n<0时,无意义,当n>0时,y=± nn ,此时曲线C 表示平 行于x 轴的两条直线,故D错误;故选AB.] 10.ABC [因为双曲线x2-y 2 2=1 ,所以a=1,b= 2,c= 3, 对A.因为P为双曲线上一点,F1,F2 分别为左、右焦点,由|PF1|= 2|PF2|,|PF1|-|PF2|=2,可得|PF1|=4,|PF2|=2,|F1F2|= 2 3,所以|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,所 以 PF2⊥F1F2,又 sin∠F1PF2= |F1F2| |PF1| = 32 ,所以∠F1PF2= π 3 ,故选项A正确; 对B.因为椭圆x 2 4+y 2=1,所以c= 4-1= 3,所以椭圆x 2 4+ y2 2=1 的焦点坐标为(± 3,0),而双曲线x2-y 2 2-1 的焦点坐标 也为(± 3,0),故选项B正确;对C.因为双曲线x2-y 2 2=1 的渐 近线方程为y=± 21x=± 2x ,而双曲线y 2 2-x 2=4,即y 2 8- x2 4= 1的渐近线方程为y=±2 22x=± 2x ,所以选项C正确; 对D.双曲线x2-y 2 2=1 过右焦点的弦长最小值为左右两个顶点 之间的距离2a=2,故选项D错误.] 11.BCD [把点P(4,4)代入曲线C 可得42=2p×4,∴p=2,故 A 错误; 抛物线的方程为y2=4x,把x=1代入可得y2=4,∴y=±2,可 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 53 — —56 — 知|AB|最小值为4,故B正确; 准线l的方程为x=-1,故C正确; 当直线AB 的斜率存在时,可设直线AB 的方程为y=k(x-1), A(x1,y1),B(x2,y2),联立 y=k(x-1) y2=4x, 可得ky2-4y-4k=0,y1+y2= 4 k ,y1y2=-4,直线AO 的方程 为y=y1x1 x=4y1 x,同理直线BO 的方程为y=4y2 x,令x=-1,可 得 M -1,-4y1 ,N -1,-4y2 ,则以 MN 为直径的圆的方程 为(x+1)(x+1)+ y+4y1 y+4y2 =0,整理可得(x+1)2+ y2-4ky-4=0 ,令y=0,可得x=1或x=-3,故圆过定点(1,0), (-3,0).当直线AB 的斜率不存在时,将直线AB 的方程x=1代 入抛物线方程可得A(1,2),B(1,-2),可得N(-1,2),M(-1, -2),以点 MN 为直径的圆方程(x+1)2+y2=4,显然过两定点 (1,0),(-3,0),选项D正确,故选BCD.] 12.(2,7) [由x2+y2+2x-4y+k-2=0表示圆可得:4+16-4(k- 2)>0,解得:k<7; ∵过P 可作圆的两条切线,∴P 在圆外,∴12+12+2-4+k- 2>0,解得:k>2; 综上所述:k的范围为(2,7).] 13.x 2 9-y 2=1 [由题意得,双曲线的渐近线方程为y=±13x ,设所 求的双曲线的方程为x2-9y2=λ(λ≠0). ∵点(6,3)为该双曲线上的点,∴λ=36-27=9. ∴该双曲线的方程为:x2-9y2=9,即x 2 9-y 2=1.] 14.x2+3y 2 2 =1 [设F1(-c,0),F2(c,0),因为 AF2⊥x 轴,所以 xA=c,代入 椭 圆 方 程 得 A(c,b2),设 B(x,y),因 为|AF1|= 3|F1B|,得AF1 →=3F1B→,所以(-c-c,-b2)=3(x+c,y), 解得 x=-53c y=-13b 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,即B -53c,-13b2 , 又B在椭圆上,将B -53c,-13b2 代入椭圆方程得: -53c 2 + -13b2 2 b2 =1, 又b2+c2=1,解得b2=23 ,c2=13 ,所以椭圆方程为:x2+3y 2 2 = 1.] 15.解 (1)圆C:(x-1)2+y2=1的圆心坐标为C(1,0),半径为1, 则PC的中点坐标为N 2,12 , |PC|= (3-1)2+(1-0)2= 5, ∴以 N 为圆心,PC为直径的圆的方程为(x-2)2+ y-12 2 = 5 4 , 由(x-1)2+y2=1,得x2+y2-2x=0 ①, 由(x-2)2+ y-12 2 =54 , 得x2+y2-4x-y+3=0 ②, ①-②得:2x+y-3=0. ∴直线AB 的方程为2x+y-3=0; (2)圆心C(1,0)到直线2x+y-3=0的距离为d=|2-3| 5 = 55 故圆上的点 M 到直线2x+y-3=0的距离的最大值为1+ 55 , 而|AB|=2 1- 55 2 =4 55 ,故△MAB 面积的最大值为12× 4 5 5 × 1+ 55 =25(1+ 5). 16.解 (1)因为|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|,所以点P 的轨迹是以 F1,F2 为焦点的椭圆, 其设其方程为x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0), 则2a=4,c=1,则a=2,b= 22-12= 3,点 P 的轨迹方程为 x2 4+ y2 3=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 x2 4+ y2 3=1 y=x-1 得7x2-8x-8= 0. 则有 x1 +x2 = 8 7 ,x1x2 = - 8 7. 所 以|AB|= 1+1· 87 2 +327= 24 7. 17.解 (1)∵点P(2,4)在抛物线C 上,∴16=4p,即p=4,∴抛物 线C的方程为y2=8x; (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立 y=x+m y2=8x ,得x2+(2m-8)x+ m2=0,Δ=(2m-8)2-4m2>0,得 m<2,∴x1+x2=8-2m, x1x2=m2, 又OP⊥OQ,则OP→·OQ→=x1x2+y1y2=0, ∴x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+ m2=2m2+m(8-2m)+m2=0, ∴m=-8或m=0,经检验,当m=0时,直线过坐标原点,不合题 意, 又m=-8<2,综上:m 的值为-8. 18.解 (1)由题可设椭圆的方程为x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0),则2b= 2 3,c=2, ∴b= 3,a= 7,∴椭圆 M 的标准方程为x 2 7+ y2 3=1 ; (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x21 7+ y21 3=1 ,x 2 2 7+ y22 3=1 ,k=y2-y1x2-x1 两式相减得 x21-x22 7 + y21-y22 3 =0 ,∴y2-y1x2-x1 ·y1+y2 x1+x2 =-37 , 而弦AB 的中点P x1+x22 ,y1+y22 , 则有kOP= y1+y2 x1+x2 , 所以k·kOP=- 3 7 ,即k与kOP 的乘积为定值- 3 7. 19.解 (1)P 点坐标代入抛物线方程得4=2p, ∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x. (2)证明:设AB:x=my+t,将AB 的方程与y2=4x联立得y2- 4my-4t=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4t, 所以Δ>0⇒16m2+16t>0⇒m2+t>0, kPA= y1-2 x1-1 =y1-2 y21 4-1 = 4y1+2 ,同理:kPB= 4 y2+2 , 由题意: 4 y1+2 + 4y2+2 =2,∴4(y1+y2+4)=2(y1y2+2y1+ 2y2+4), ∴y1y2=4,∴-4t=4,∴t=-1,故直线AB 恒过定点(-1,0). 高中期考测控卷 期中考试测控卷 1.A [双曲线x 2 a2 -y 2 b2 =1的一条渐近线为y=bax ,所以 |3b| a2+b2 = 5. 又有c= a2+b2=3,解得:a2=4,b2=5,所以双曲线的方程为 x2 4- y2 5=1. ] 2.B [因为直线l1:2x+(m+1)y-m=0与直线l2:mx+3y-2=0 平行,所以 2×3=m(m+1) 2×(-2)≠m×(-m), 解得m=-3,故选B.] 3.D [圆C:x2+y2-4x+2y+m=0,可化为(x-2)2+(y+1)2= 5-m,圆心(2,-1)到直线x+y-5=0的距离为:d=4 2 =2 2, |AB|=4=2 r2-d2,故r2=12=5-m,得m=-7.] 4.B [因为三棱柱ABC A1B1C1 是直三棱柱,所以四边形ACC1A1 是平行四边形,所以A1B →=CB→-CA1→=CB→-(CA→+CC1→)=-a+ b-c.] 5.C [由圆C1:(x-1)2+(y-2)2=4与圆C2:(x-2)2+(y-3)2= 1,得圆C1 圆心坐标为(1,2),半径R=2,圆C2 圆心坐标为(2,3), 半径r=1,两个圆心之间的距离d= (1-2)2+(2-3)2= 2,而 R-r<d<R+r,所以两圆的位置关系是相交.] 6.B [不妨设SA=SB=SC=1,如 图建立空间直角坐标系S-xyz, 则相关 各 点 坐 标 为 A(1,0,0),B (0,1,0),C(0,0,1),S(0,0,0), 又 M,N 分 别 是 AB 和SC 的 中 点,则 M 12,12,0 ,N 0,0, 1 2 . 所以SM→= 12,12,0 ,BN→= 0,-1,12 , 所 以 |SM→ | = 12 2 + 12 2 +02 = 22 ,|BN→ | = 02+(-1)2+ 12 2 = 52 , SM→·BN→=0+ -12 +0=-12,∴cos<SM→,BN→>= -12 2 2× 5 2 = - 105 , 因为异面直线所成的角为锐角或直角, 所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为 105 ,故选B.] 7.B [∵正方体棱长为a,A1M=AN= 2a 3 , ∴MB→=23A1B →,CN→=23CA →, ∴ MN→ = MB→ + BC→ + CN→ = 23 A1B → + BC→ + 23 CA → = 2 3 B1B→-B1A1→ +B1C1→ + 23 B1A1→ -B1C1→ = 23B1B→ + 1 3B1C1 →.又 ∵CD→是 平 面 B1BCC1 的 法 向 量,且 MN→·CD→= 23B1B→+13B1C1→ ·CD→=0, ∴MN→⊥CD→,∴MN ∥平面BB1C1C.] 8.C [由题意上口外直径为4 5,下底外直径为 26, 由题意可知点 M(2 5,6),点 N 262 ,-3 , 将点M,点N 的坐标代入双曲线的方程x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)可 得 20 a2- 36 b2=1 26 4a2- 9 b2=1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , 解得a= 2,b=2,所以双曲线C的离心率为 1+b 2 a2 = 3.] 9.AD [a·b=1×2+(-1)×1+2× -12 =0, ∴a⊥b,∴直线l与m 垂直,A正确; a·n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0, ∴a⊥n,∴l∥α或l⊂α,B错误; n1,n2 不共线,所以α与β不平行,故C错误; AB→=(-1,1,1),BC→=(-1,1,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法 向量, ∴ n·AB→=0 n·BC→=0 ,即 -1+u+t=0-1+u=0 ,则u+t=1,D正确.] 10.ABD [对A.因为抛物线方程为x2=y,其焦点在y 轴上,故其 焦点为 0,14 ,A正确; 对B.显然过点F 的直线斜率存在,故可设经过焦点F 的直线方 程为y=kx+14 ,联立抛物线方程可得:x2-kx-14=0 ,可得 x1+x2=k,x1x2=- 1 4 ,故B正确; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 55 —