第3章 圆锥曲线的方程-【三清必刷】2025-2026学年高二数学选择性必修1+2（人教A版2019）

—52 — 设DE=a,其中0≤a≤2,则E(0,a,0)、A(1,0,0)、A1(1,0,1)、 B1(1,2,1)、D1(0,0,1), AB1 →=(0,2,1),D1B1→=(1,2,0),A1E→=(-1,a,-1), 若A1E⊥平面AB1D1,则A1E⊥AB1,A1E⊥D1B1, 则 A1E →·AB1→=2a-1=0 A1E →·D1B1→=2a-1=0 ,解得a=12,则CE=CD-DE=2- a=32. (2)由(1)可知平面AB1D1 的一个法向量为n=2A1E →=(-2,1, -2),且EB1 →= 1,32,1 , cos<n,EB1 →>= n ·EB1 → |n|·|EB1 →| =- 5 2 3× 172 =-5 1751 , 因此,直线B1E 与平面AB1D1 所成角的正弦值为 5 17 51 . 18.解 (1)证明:∵PA⊥底面ABCD, ∴PA⊥AD,PA⊥AB,又∵AB⊥AD, 故PA、AB、AD 三线两两垂直, ∴可以以A 为原点,AD 所在直线为x 轴,AB 所在直线为y 轴, AD 所在直线为z 轴,建立如图所示的坐标系 P(0,0,2),A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(4,0,0), 由于E 为PD 的中点,则E(2,0,1), 又∵PF→=λPC→,λ=12, 则F(2λ,2λ,2-2λ),当λ=12 时,F(1,1,1),可知BF→=(1,-1, 1), 又∵AE→=(2,0,1),AC→=(2,2,0), 设平面ACE 的法向量m=(x,y,z), AE→·m=0 AC→·m=0 ⇒ 2x+z=02x+2y=0 ,解得平面 ACE 的一个法向量m= (-1,1,2) BF→·m=1×(-1)+(-1)×1+1×2=0, 故BF→⊥m,即BF∥平面ACE. (2)当λ=14 时,F 12 ,1 2 ,3 2 , 由(1)可知平面ACE 的一个法向量m=(-1,1,2), ∵AF→= 12, 1 2 ,3 2 , 设点F 点到平面ACE 的距离为d, ∵ m·AF→ |m|·|AF→| =cos<m,AF→>,故d=|AF→|cos<m,AF→>=m·AF → |m| = (-1)×12+1× 1 2+2× 3 2 (-1)2+12+22 = 62 故点F 到平面AEC 的距离为 62. 19.解 (1)证明:∵PC⊥平面ABC,∴PC⊥AC, 又∵AC⊥BC,PC∩BC=C, ∴AC⊥平面PBC,∴AC⊥PB, 又∵AD⊥PB,AC∩AD=A,∴PB⊥平面ACD. (2)如图建系,不妨设AC=BC=2, ∴PB=4,PC=2 3,BD=1, ∴D 0,32,32 ,A(2,0,0),C(0,0, 0),E(0,0,2 3λ),P(0,0,2 3),B(0, 2,0) CA→=(2,0,0),AD→= -2,32,32 , AE→=(-2,0,23λ),PB→=(0,2,-23). 设平面CAD 和 平 面ADE 的 一 个 法 向 量 分 别 为n1=(x1,y1, z1),n2=(x2,y2,z2), 由(1)知PB⊥平面ACD, ∴平面ACD 的一个法向量n1=(0,1,- 3). n2·AE →=0 n2·AD →=0 即 -2x2+2 3λz2=0 -2x2+ 3 2y2+ 3 2z2=0 ⇒n2=(3λ,4λ-1,3) 设二面角C-AD-E 的平面角为θ,n1,n2 所成角为φ, ∴cosθ=|cosφ|= |4λ-1-3| 2 9λ2+16λ2-8λ+1+3 =4 3737 ,∴3λ2+ 2λ-1=0. (3λ-1)(λ+1)=0得λ=13∈ (0,1),故存在λ=13. 第三章 圆锥曲线的方程 1.D [由题意知,p=1即可满足题意,故A,B,C错误,D正确.] 2.C [双曲线x 2 4- y2 b2 =1(b>0)的渐近线方程为y=±b2x ,所以b 2= 3,b=2 3.] 3.C [由题意知,椭圆和双曲线的焦 距 相 等,所 以 有2 a2-b2= 2 2b2,整理得b 2 a2 =13 ,所以e= 1-b 2 a2 = 1-13= 6 3. ] 4.C [根据椭圆的标准方程C:x 2 4+ y2 3=1 知A(-2,0),B(2,0), 设P(x0,y0),则Q(x0,-y0), 且 x20 4+ y20 3=1 ,k1= y0 x0+2 ,k2= -y0 x0-2 , 所以k1k2= -y20 x20-4 =34. 又k1∈ 12,1 , 所以k2= 3 4k1 ∈ 34,32 ,故选C.] 5.A [根据题意得:双曲线C的渐近线方程为y=±bax ,因为其一 条渐近线与直线l:2x-y=2垂直,所以-ba ×2=-1 ,解得b a = 1 2 ,即a=2b, 又右焦点到渐近线的距离为2, 则 bc a2+b2 =2,解得b=2,则a=4, 所以双曲线的方程为x 2 16- y2 4=1 ,故选A.] 6.A [设A(x1,y1),B(x2,y2),由根据圆的方程可知C(-1,-2), C为AB 的中点, 根据双曲线中点差法的结论kAB= b2 a2 × x0 y0 =21× -1 -2=1 , 由点斜式可得直线AB 的方程为y=x-1, 将 直 线 AB 方 程 与 双 曲 线 方 程 联 立 x2-y 2 2=1 y=x-1 ,解 得 x=-3 y=-4 或 x=1y=0 , 所 以|AB|=4 2,由 圆 的 直 径|AB|= D2+E2-4F = 22+42-4m=4 2,可解得m=-3.] 7.C [以顶点O 为坐标原点,射线 OF 为x 轴建立平面直角坐标系,如图, 令轴截面边界曲线所在抛物线方程为: y2=2px(p>0), 则F p2,0 ,A p2+15,20 ,而点A 在抛 物线上,于是得400=2p p2+15 ,又p> 0,解得p=10,则O 到CD 距离d=p2+30=35 ,所以顶点O 到防 护罩外端CD 的距离为35cm.] 8.C [如 图 所 示,双 曲 线 左 焦 点 F(-c,0),双曲线的一条渐近线不 妨取y=-bax , 则直线l的方程为:y=ab (x+c), 联立y=-bax , 解得 M -a2c,abc , 设 N(xN,yN),故由FN →=3FM→得: (xN+c,yN)=3 -a2c+c,abc ,得xN=-3a 2+2c2 c ,yN= 3ab c , 故得 N -3a2+2c2c ,3abc , 将 N -3a2+2c2c ,3abc 代入x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)中, 得:(-3a 2+2c2)2 a2c2 -9a 2b2 b2c2 =1,化简可得13a2=4c2,故e2=c 2 a2 = 13 4 ,(e>1),所以e= 132 ,故选C.] 9.CD [双曲线x2-y 2 4=1 焦点在x轴上,且a=1,b=2,c= 5,渐 近线为y=±2x,对于 A选项,双曲线C 的离心率为e=ca = 5 , 焦半径为ex1±a= 5x1±1(其中x1 为曲线上一点的横坐标),所 以A选项错误; 对于B选项,双曲线y2-x 2 4=1 的渐近线为y=±12x ,与曲线C 的渐近线不相同,故B选项错误; 对于C选项,双曲线C的一条渐近线方程为2x-y=0,右焦点坐 标为(5,0),所以焦点到渐近线的距离为|2 5| 4+1 =2,故C选 项 正确; 对于D选项,直线y=kx+b,当b=0时,直线与双曲线C 的交点 可能是0个,也可能是2个;当b≠0且直线与双曲线的渐近线平 行时,直线与双曲线C的交点是1个,所以它们的公共点个数可能 为0、1、2,故D选项正确.] 10.BCD [A.由椭圆x 2 25+ y2 9=1 ,得a2=25,b2=9,c2=a2-b2=16, ∴椭圆x 2 25+ y2 9=1 的右焦点即双曲线x 2 a2 -y 2 9=1 的右顶点为(4, 0),∴a2=16,a=4.A不正确; B.双曲线的渐近线为y=±bax=± 3 4x.B 正确; C.由上述得椭圆的左顶点是(-5,0),双曲线的左焦点是(-5, 0),C正确; D.椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,恰为双曲线的左、右顶点,设 点P(x,y), ∴kPF1·kPF2= (y-0)(y+0) (x-4)(x+4)= y2 x2-16 = 9 x216-1 x2-16 =916 为定 值,D正确.] 11.BC [由题意,双曲线C:x 2 s+t- y2 s-t=1 ,可得a2=s+t,b2=s-t, 因为|F1F2|=8,可得c2=s+t+s-t=2s=16,解得s=8,所以 A 错误; 因为双曲线焦点在x 轴上,由 s+t>0 s-t>0 且s=8,得t的取值范围 是(-8,8),所以B正确; 因为F1 到渐近线的距离等于虚半轴长为 8-t,其在t∈(-8, 8)上单调递减,所以C正确; 当t=4时,双曲线C的实轴长为4 3,虚轴长为4,其中实轴长是 虚轴长的 3倍,所以D错误.] 12.7 312 [建立坐标系如图所示,由题意 可知xA = 1 2p ,xD = 2 p ,由xD -xA = 3,p= 32 ,则点A 到抛物线的焦点的 距离是xA+p2= 7 3 12. ] 13.6+ 3 13 [因为F1,F2 分别为左、右焦点,点P 在第一象限, 由椭圆与双曲线的定义可得 |PF1|+|PF2|=2 6 |PF1|-|PF2|=2 3 ,解得 |PF1|= 6+ 3|PF2|= 6- 3 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 51 — —54 — 又|F2F1 | = 4,所 以 由 余 弦 定 理 得 cos∠F1PF2 = |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 2|PF1|·|PF2| =13. ] 14.5 [设P(m,0)(-2≤m≤2),直线l的方程为y=12 (x-m),设 M(x1,y1),N(x2,y2), 将直线方程代入椭圆方程并化简得到2x2-2mx+m2-4=0, 进而有x1+x2=m,x1x2= m2-4 2 ,所以|MP|2+|PN|2=(x1- m)2+y21+(x2-m)2+y22 |MP|2+|PN|2=54 [(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2] |MP|2+|PN|2=54 [m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.] 15.解 (1)由题意知抛物线C的对称轴是y 轴, 点P(-4,2)在曲线C上, 所以抛物线开口向上,设抛物线的标准方程为: x2=2py(p>0), 代入点P(-4,2)的坐标得:16=4p,解得p=4, 则抛物线的标准方程为:x2=8y. (2)焦点F(0,2),则直线AB 的方程是y=x+2, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由 y=x+2 x2=8y 得x2-8x-16=0,Δ=82+64>0, 所以x1+x2=8,则y1+y2=x1+x2+4=12,故|AB|=y1+ y2+4=16. 16.解 (1)以抛物线的顶点O 为坐标原 点,抛物线的对称轴为y轴,建立平面 直角坐标系,如图. 则A(-4,-6),B(4,-6),设抛物线 的标准方程为x2=-2py(p>0). 因为B 点在抛物线上,所以42=-2p(-6), 解得p=43 , 所以抛物线的方程为x2=-83y. (2)设P(0,-2)为灯笼所在点,Q(x,y)为抛物线上设置牵引绳 的点, 则|PQ|= x2+(y+2)2,|PQ|= y2+43y+4 (-6≤y≤0) 当y=-23 时,|PQ|的最小值为4 23 ,即一条牵引绳长度的最小 值为4 2 3 . 17.解 (1)设椭圆C的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c, 因为双曲线x 2 16- y2 5=1 的实轴长为2 16=8, 所以 2a=8 c a = 6 4 a2=b2+c2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,解得 a2=16 b2=10 , 若椭圆C的焦点在x 轴上,此时椭圆C 的标准方程为x 2 16+ y2 10= 1; 若椭圆C 的 焦 点 在y 轴 上,此 时 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为x 2 10+ y2 16=1. 所以C的标准方程为x 2 16+ y2 10=1 或x 2 10+ y2 16=1 ; (2)因为b2=10,所以b= 10.所以P 到A1A2 的距离d∈(0, 10), 由于S△PA1A2= 1 2|A1A2| ·d=12×8d=4d∈ (0,4 10). 所以,△PA1A2 面积的取值范围为(0,4 10). 18.解 (1)证明:由题可知,直线AB 的斜率存在,又焦点F(0,1), 所以设AB 的方程为y=kx+1, 代入抛物线方程y=x 2 4 , 可得x2-4kx-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=4k, x1x2=-4. 又y'=x2 ,所以切线AD 的方程为 y- x21 4= x1 2 (x-x1),即y= x1 2 ·x-x 2 1 4①. 同理可得切线BD 的方程为y= x2 2 ·x-x 2 2 4② , ①×x2-②×x1:(x2-x1)y=(x2-x1) x1x2 4 ,因为x2-x1≠0,所 以y= x1x2 4 =-1 , 所以点D 在定直线y=-1上. (2)由(1)可知kAD ·kBD = x1 2 ·x2 2= x1x2 4 =-1 , 所以AD⊥BD,所以△ABD 是以AB 为斜边的直角三角形,所以 AB 是其外接圆直径. 又此圆经过点P(1,0), 所以AP→·BP→=(1-x1,-y1)·(1-x2,-y2)=1-(x1+x2)+ x1x2+y1y2=1-(x1+x2)+x1x2+ x21x22 16 =-2-4k=0 , 解得k=-12 , 设圆心即AB 的中点M(x0,y0), 则x0= x1+x2 2 =2k=-1 ,y0=kx0+1= 3 2 , 半径r=12|AB|= 1 2 1+k 2 (x1+x2)2-4x1x2=2(1+k2)= 5 2 , 所以外接圆的方程为(x+1)2+(y-32 )2=254. 19.解 (1)由题意有 2c=2 1 a2+ 1 2b2=1 a2=b2+c2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得a 2=2,b2=1, 所以椭圆C的方程为x 2 2+y 2=1. (2)由(1)得F(1,0),设直线l的方程为x=my+1,设P(x1,y1), Q(x2,y2), 由 x2 2+y 2=1 x=my+1 ,得(m2+2)y2+2my-1=0, 所以y1+y2=- 2m m2+2 ,y1y2=- 1 m2+2 , 设x轴上存在点E(t,0),使得直线EP,EQ 关于x 轴对称, 则 kEP +kEQ = y1 x1-t + y2x2-t = y1my1+1-t + y2my2+1-t = 2my1y2+(1-t)(y1+y2) (my1+1-t)(my2+1-t) =0, 所 以 2my1y2 + (1-t)(y1 +y2)= - 2m m2+2 -2m (1-t) m2+2 = -2m (2-t) m2+2 =0,所以t=2, 故x轴上存在点E(2,0),使得直线EP,EQ 关于x 轴对称. 第二次月考滚动检测卷 1.A [抛物线的准线方程为y=-14a ,圆的方程(x-3)2+y2=16, 圆心(3,0),半径r=4,由已知得14a=4 ,解得a=116. ] 2.B [∵双曲线x 2 a2 -y 2 16=1 的焦点在x轴上,直线x+y=5与x轴 的交点为(5,0),∴c=5,∴16+a2=25,解得a2=9,∴双曲线的方 程为x 2 9- y2 16=1 ,其渐近线方程为y=±43x. ] 3.B [因为|PF1|+|PF2|=2a=2 16=8,|PF1|-|PF2|= 8 3 , 所以|PF1|= 16 3 ,|PF2|= 8 3 ,故|PF1| |PF2| =2.] 4.B [设圆心C 到该直线的距离为d,则d=|3+8+4| 32+42 =3,所以 |AB|=2 25-d2=8.] 5.C [设|PF1|=5x,|PF2|=3x,则由双曲线的定义可得:|PF1|- |PF2|=5x-3x=2x=2a=4,所以x=2,故|PF1|=10,|PF2|= 6,又|F1F2|=14,故cos∠F1PF2= 100+36-196 2×10×6 = - 1 2 ,故 sin∠F1PF2= 3 2 ,所以△PF1F2 的面积为 1 2×10×6× 3 2=153. ] 6.A [设 M (x1,y1),N (x2,y2),直 线 l 的 斜 率 为 k,则 x21 a2+ y21 b2=1 x22 a2+ y22 b2=1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ⇒ (x1-x2)(x1+x2) a2 + (y1-y2)(y1+y2) b2 =0,所 以 y1-y2 x1-x2 ·y1+y2 x1+x2 =-b 2 a2 ,由线段 MN 的中点为Q -12 ,-14 , 所以x1+x2=-1,y1+y2=- 1 2 , 所以k 2=- b2 a2 ,又k=-bc ,所以b 2c= b2 a2 ,又a2=b2+c2, 所以b=c,∴a= 2c⇒e= 22 ,故选A.] 7.B [设点M 到抛物线的准线的距离为|MM'|, 抛物线的准线与x轴的交点记为点B. 由抛 物 线 的 定 义 知,|MM'|=|FM|.因 为 |FM| |MN| = 5 5 ,所 以 |MM'| |MN| = 5 5 ,即 cos∠NMM'=|MM'||MN|= 5 5 ,所以cos∠OFA= cos∠NMM'= 55 ,而cos∠OFA=|OF||AF|= p 2 p2 2 +22 = 55 ,解得p=2,故选B.] 8.D [依题意作右图: 由于|MN|=|F1F2|,并 且 线 段 MN,F1F2 互 相 平 分,∴ 四 边 形 MF1NF2 是矩形,其 中∠F1MF2= π 2 ,∴|NF1|=|MF2|, 设|MF2|=x,则|MF1|=2a-x, 根据勾股定理: |MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2, x2+(2a-x)2=4c2,整理得x2-2ax+2b2=0,由于点 M 在第一 象限, x=a- a2-2b2,由题意 |NF1| |MF1| = |MF2| |MF1| ≥ 33 ,∠MF1F2≥ π 6 即|MF2|≥ 1 2|F1F2| ,a- a2-2b2≥c 整理得2a2-2ac-c2≥0,e2+2e-2≤0, 解得0<e≤ 3-1,即e的最大值为 3-1;故选D.] 9.AB [对于A,若m>n>0,则 mx2+ny2=1可化为x 2 1 m +y 2 1 n =1, 因为m>n>0,所以1m< 1 n ,即曲线C表示焦点在y 轴上的椭圆, 故A正确;对于B,因为m>0>n,所以mx2+ny2=1可化为x 2 1 m - y2 -1n =1,曲线C表示焦点在x 轴上的双曲线,故B正确;对于C, 若m=n>0,则mx2+ny2=1可化为x2+y2=1n ,此时曲线C 表 示圆心在原点,半径为 n n 的圆,若m=n<0,mx2+ny2=1不是圆, 故C错误;对于D,若 m=0,n≠0,则 mx2+ny2=1可化为y2= 1 n ,当n<0时,无意义,当n>0时,y=± nn ,此时曲线C 表示平 行于x 轴的两条直线,故D错误;故选AB.] 10.ABC [因为双曲线x2-y 2 2=1 ,所以a=1,b= 2,c= 3, 对A.因为P为双曲线上一点,F1,F2 分别为左、右焦点,由|PF1|= 2|PF2|,|PF1|-|PF2|=2,可得|PF1|=4,|PF2|=2,|F1F2|= 2 3,所以|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,所 以 PF2⊥F1F2,又 sin∠F1PF2= |F1F2| |PF1| = 32 ,所以∠F1PF2= π 3 ,故选项A正确; 对B.因为椭圆x 2 4+y 2=1,所以c= 4-1= 3,所以椭圆x 2 4+ y2 2=1 的焦点坐标为(± 3,0),而双曲线x2-y 2 2-1 的焦点坐标 也为(± 3,0),故选项B正确;对C.因为双曲线x2-y 2 2=1 的渐 近线方程为y=± 21x=± 2x ,而双曲线y 2 2-x 2=4,即y 2 8- x2 4= 1的渐近线方程为y=±2 22x=± 2x ,所以选项C正确; 对D.双曲线x2-y 2 2=1 过右焦点的弦长最小值为左右两个顶点 之间的距离2a=2,故选项D错误.] 11.BCD [把点P(4,4)代入曲线C 可得42=2p×4,∴p=2,故 A 错误; 抛物线的方程为y2=4x,把x=1代入可得y2=4,∴y=±2,可 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 53 — — 14 — 第三章 圆锥曲线的方程 (时间:120分钟 满分:150分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 名师推好题 第16题.该题主要考查函数模型的实际应用问题,让考生掌握数学建模的思想结 合二次函数解决最值的问题,从而提高学生的学以致用的能力,值得推荐. 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.在下列四条抛物线中,焦点到准线的距离为1的是 ( ) A.x2=-y B.y2=4x C.y=14x 2 D.y2=2x 2.已知双曲线x 2 4- y2 b2 =1(b>0)的一条渐近线方程为 3x-y=0,则b= ( ) A.2 B.2 2 C.2 3 D.4 3.已知椭圆x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的焦点为F1,F2,等轴双曲线y2-x2=b2 的焦点为F3,F4,若四边 形F1F3F2F4 是正方形,则该椭圆的离心率为 ( ) A.12 B. 2 2 C. 6 3 D. 3 2 4.已知A,B 分别为椭圆C:x 2 4+ y2 3=1 的左、右顶点,P,Q 是椭圆上关于x 轴对称的不同两点,设直 线AP,BQ 的斜率分别为k1,k2,若k1∈ 12,1 ,则k2 的取值范围为 ( ) A. 38,34 B. 43,83 C. 34,32 D. 23,43 5.已知双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线l:2x-y=2垂直,若右焦点到渐近线 的距离为2,则此双曲线的方程为 ( ) A.x 2 16- y2 4=1 B. x2 4- y2 16=1 C. x2 12- y2 4=1 D. x2 4- y2 12=1 6.直线l与双曲线x2-y 2 2=1 交于A,B 两点,以AB 为直径的圆C 的方程为x2+y2+2x+4y+ m=0,则m= ( ) A.-3 B.3 C.5-2 2 D.2 2 7.如图1,某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成, 为了更好利用热效能,反射面设计成抛物面(抛物线绕其对称轴 旋转形成的曲面),热馈源安装在抛物线的焦点处,圆柱形防护 罩的底面直径等于抛物面口径.图2是该电暖气的轴截面,防护 罩的宽度AD 等于热馈源F 到口径AB 的距离,已知口径长为 40cm,防护罩宽为15cm,则顶点O 到防护罩外端CD 的距离 为 ( ) A.25cm B.30cm C.35cm D.40cm 8.已知双曲线E:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的左焦点为F,过点F 的直线l垂直于双曲线E 的一条渐 近线,垂足为 M,直线l与双曲线E 交于点N,且FN → =3FM →,则双曲线E 的离心率为 ( ) A.2 B.3 C.132 D.5 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知双曲线C:x2-y 2 4=1 ,则 ( ) A.双曲线C的离心率等于焦半径的长 B.双曲线y2-x 2 4=1 与双曲线C有相同的渐近线 C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 D.直线y=kx+b(k,b∈R)与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2 10.已知椭圆x 2 25+ y2 9=1 的右焦点是双曲线x 2 a2 -y 2 9=1 的右顶点,点P 是双曲线第一象限上一点,则 下列结论正确的是 ( ) A.a=16 B.双曲线的渐近线方程为y=±34x C.椭圆的左顶点是双曲线的左焦点 D.若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,则直线PF1,PF2 的斜率之积为定值 11.设F1,F2 分别是双曲线C: x2 s+t- y2 s-t=1 的左、右焦点,且|F1F2|=8,则下列结论正确的是( ) A.s=6 B.t的取值范围是(-8,8) C.F1 到渐近线的距离随着t的增大而减小 D.当t=4时,C的实轴长是虚轴长的3倍 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知等腰梯形ABCD的顶点都在抛物线y2=2px(p>0)上,且AB∥CD,CD=2AB=4,∠ADC= 60°,则点A 到抛物线的焦点的距离是 . 13.已知椭圆x 2 6+ y2 2=1 与双曲线x 2 3-y 2=1的公共焦点为左焦点F1,右焦点F2,点P 是两条曲线 在第一象限内的一个公共点,则|PF1|= ,cos∠F1PF2 的值为 . 14.已知椭圆E:x 2 4+y 2=1,P 为E 的长轴上任意一点,过点P 作斜率为12 的直线l与E 交于M,N 两点,则|PM|2+|PN|2 的值为 . — 13 — — 16 — 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知抛物线C的对称轴是y 轴,点P(-4,2)在曲线C上. (1)求抛物线的标准方程; (2)过抛物线焦点的倾斜角为45°,直线l与抛物线交于A、B 两点,求线段AB 的长度. 16.(15分)如图,是一抛物线型拱门示意图,拱门边界线是抛物线的一部 分,抛物线的轴为拱门的对称轴,拱门底部AB 宽8米,顶点O 距离地 面6米. (1)以拱门顶点O 为原点,对称轴为y轴建立平面直角坐标系,求拱门 边界线所在抛物线的方程; (2)节日期间需要在拱门对称轴上离地面4米处悬挂一节日灯笼,如 图,用两根对称的牵引绳固定,求其中一根牵引绳长度的最小值.(灯笼看作点P) 17.(15分)已知椭圆C的对称中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,长轴为A1A2,且|A1A2|等于双曲 线x 2 16- y2 5=1 的实轴长,C的离心率为 64. (1)求C的标准方程; (2)若P 为C 上一动点,且P 不在坐标轴上,求△PA1A2 面积的取值范围. 18.(17分)已知拋物线C:y=x 2 4 ,点F为C 的焦点,过F作直线交C 于A,B 两点,过A,B 分别作C 的两条切线,两切线交于点D. (1)证明:点D 在定直线上; (2)若△ABD 的外接圆经过点P(1,0),求此外接圆的方程. 19.(17分)已知F1,F2 是椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的焦点,焦距为2,且经过点A 1,22 . (1)求椭圆C的方程; (2)若过椭圆C右焦点F 的动直线l与椭圆C 交于点P,Q(与左右顶点不重合),判断x轴上是 否存在点E,使得直线EP,EQ 关于x 轴对称,若存在,求出点E 坐标,若不存在,说明理由. — 15 —