第1次月考滚动检测卷-【三清必刷】2025-2026学年高二数学选择性必修1+2（人教A版2019）

—50 — (2)设圆的方程为x2+y2-2x-3+λ(x2+y2-4x+2y+3)=0, 即(1+λ)x2+(1+λ)y2-(2+4λ)x+2λy-3+3λ=0, 因为圆过原点,所以-3+3λ=0,即λ=1, 所以圆的方程为x2+y2-3x+y=0. 18.解 (1)由题意得:设直线l的斜率为k,由 y=kx+1 (x-2)2+(y-3)2=1 , 得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,Δ=-3k2+8k-3>0, 解得4- 7 3 <k< 4+ 7 3 . (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),x1+x2= 4(1+k) 1+k2 ,x1x2= 7 1+k2 , 则OM→·ON→=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=7+ 4k(1+k) 1+k2 +1=12 解得k=1. 故直线方程为y=x+1,故由圆的方程可知圆心坐标为C(2,3), 故该直线过圆心. MN 的中垂线方程为y=-x+5. 则Q 的轨迹为y=2x-10,则P(5,0), 故|PC|= (5-2)2+(0-3)2=3 2, |AC|= (2-0)2+(3-1)2=2 2, 若 M 在N 的下方:|AM|=|AC|-1=2 2-1, 若 M 在N 的上方:|AM|=|AC|+1=2 2+1, S△PAM = 1 2× (2 2-1)×3 2=12-3 22 或S△PAM = 1 2× (2 2+ 1)×3 2=12+3 22 . 19.解 (1)由题设知,圆 M:(x-2)2+y2=4,即 M(2,0),半径r=2, 当切线斜率不存在时,x=0是圆 M 一条切线, 当切线斜率存在时,令切线为y=kx-4,则r=|2k-4| 1+k2 =2,解得 k=34 ,此时切线方程为3x-4y-16=0. 综上,所求直线方程为x=0或3x-4y-16=0. (2)设 直 线 AB:y=kx-4,联 立 y=kx-4 x2+y2-4x=0 整 理 得:(1+ k2)x2-4(2k+1)x+16=0, 所以Δ=16(2k+1)2-64(1+k2)>0,即k>34 , 且xA+xB= 4(2k+1) 1+k2 ,xAxB= 16 1+k2 , 又k1+k2= yA xA +yBxB = xByA+xAyB xAxB , 而xByA=kxAxB-4xB,xAyB=kxAxB-4xA, 所以k1+k2=2k- 4(xA+xB) xAxB =2k-(2k+1)=-1,即k1+k2 为 定值-1. 高中月考滚动卷 第一次月考滚动检测卷 1.A [将原式化为:y= 33x- 2 3 3 ,斜率为 3 3 ,即tanα= 33 ,倾斜角 α=π6 ;故选A.] 2.B [因为直线l1:(a+3)x+y-4=0与直线 l2:x+(a-1)y+4=0垂直, 所以a+3+a-1=0,解得a=-1.] 3.B [直线方程xm - y n =a 可化为y=nmx-na ,可得直线的斜率 为k1= n m , 直线方程x n - y m =a 可化为y=mnx-ma ,可 得 直 线 的 斜 率 为 k2= m n , 由此可知两直线的斜率为同号,结合选项可得,只有选项B适合.] 4.B [由题意得,AA1 →=a,AB→=b,AD→=c,A1P∶PC=2∶3, 所以A1P= 2 5A1C ,即A1P →=25A1C →,所以AP→=AA1→+A1P→=AA1→+ 2 5A1C →=AA1→+25(AC →-AA1→)=AA1→+25AC →-25AA1 →=AA1→+ 2 5 (AB→+AD→)-25AA1 →=35AA1 →+25AB →+25AD →=35a+ 2 5b+ 2 5c. ] 5.B [AB1 →·AD1→=(AB→+AA1→)·(AD→+AA1→)=AB→·AD→+AB→· AA1 →+AD→·AA1→+AA1→2 ⇒AB1 →·AD1→=0+2×2×12+2×2× 1 2+2 2=8,故选B.] 6.B [由a∥b,则a=λb,即1=2λ,m=-2λ, 则λ=12 ,m=-2×12=-1 ,所以a=(1,0,-1), 则|a|= 12+02+(-1)2= 2.] 7.A [设平面 ABC 的法向量为m=(x,y,z),则 m·AB→=0 m·AC→=0 ,即 x-2z=0 x+y+z=0 ,令x=2,可得y=-3,z=1,所以 m=(2,-3,1), 因为n=m,所以平面α∥平面ABC.] 8.A [点B 关于直线x=-1对称的点为 B1(-3,0).|PA|+|PB|=|PA|+|PB1|≥ |AB1|, 当且 仅 当 A、P、B1 三 点 共 线 时,等 号 成立. 此时|PA|+|PB|取最小值,直线AB1 的 方程为y= 4-02-(-3) (x+3), 即y=45 (x+3),令x=-1,得y=85. 所以点P 的坐标为: -1, 8 5 .] 9.AB [A.因为AB→=(-1,1,-3),所以本选项正确;B.因为AB→= (-1,1,-3),AC→ = (1,- 1,- 3),所 以 有 |AB→|= (-1)2+12+(-3)2= 11,|AC→|= 12+(-1)2+(-3)2= 11,因此本选项正确;C.因为PA→=(2,2,2),AC→=(1,-1,-3), 所以有PA→·AC→=2-2-6=-6≠0,因此本选项不正确;D.因为 AB→=(-1,1,-3),AC→=(1,-1,-3),所以AB→·AC→=-1-1+9= 7,因此本选项不正确,故选AB.] 10.AD [对A.a2+a=0,解得a=0或a=-1,A不正确;对B.直 线y=ax-3a+2(a∈R)可变为y-2=a(x-3)(a∈R),因此直 线y=ax-3a+2=a(x-3)+2(a∈R)必过定点(3,2),即B正 确;对C.直线y=3x-2在y轴上的截距,令x=0,得y=-2,所 以直线y=3x-2在y轴上的截距为-2,所以C正确;对D.经过 点(1,1)且在x轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x+y-2= 0或y=x,所以D不正确;故选AD.] 11.AB [如图建系,则A1(0,0,2 2), C1(2,2,2 2),B(2,0,0),D(0,2, 0),设BM→=λBD→,∴M(2-2λ,2λ, 0),| MA1 | + | MC1 | = (2-2λ)2+(2λ)2+8+ (-2λ)2+(2λ-2)2+8= 2 4λ2-8λ+4+4λ2+8= 2 8λ2-8λ+12,λ=12 时,MA1+ MC1 最小,此 时 S△MA1C1 周 长 最 小,此 时 M 为BD 中 点,A 对; BD∥B1D1,则BD∥平面B1D1C,M 到平面B1D1C 的距离h 为 定值,S△B1D1C 为 定 值,则VM-B1D1C = 1 3hS△B1D1C 为 定 值,B对; AC1 →·A1M→=(2,2,2 2)(2-2λ,2λ,-2 2)=-4≠0,∴不存在点 M 使得AC1⊥A1M,C错;MA →·MC1→=(2λ-2,-2λ,0)·(2λ,2-2λ, 22)=8λ(λ-1),cos∠AMC1= 8λ(λ-1) 8λ2-8λ+4 8λ2-8λ+12 =-12 , ∴λ(λ-1)=2- 136 ,∴λ2-λ+ 13-26 =0 , ∴Δ<0,无解,D错,故选AB.] 12.(0,1) [将 点 A 关 于y 轴 对 称 得 点 A'(-2,5),连接A'B,直线A'B 与y轴的交 点为P,此时|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|= |A'B|最 短.直 线 A'B 方 程 为:y-5x+2= 12 -6 ,令x=0,则y=1,故P(0,1).] 13.23 [因为AD=CD=PD=2,PA=PC= 2 2, 由勾股定理可知,AD2+PD2=AD2, CD2+PD2=PC2,所以直线 DA,DC, DP 两两垂直. 以D 为原点,DA,DC,DP 所在的直线 分别为x 轴、y轴、z轴,建立如图所示 的空间直角坐标系 D-xyz,则 A(2, 0,0),M(1,2,0),P(0,0,2),B(2,2, 0),PA→=(2,0,-2),AM→=(-1,2,0),PB→=(2,2,-2). 设平面PAM 的法向量为n=(x,y,z), 则 n·PA→=2x-2z=0 n·AM→=-x+2y=0 , 令y=1,得n=(2,1,2),所 以 点 B 到 平 面PAM 的 距 离d= |PB→·n| |n| = 2 3. ] 14.90° 1 [长 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中 以 D 为 原 点,DA 所 在直线 为x 轴,DC 所 在 直 线 为y 轴,DD1 所 在 直 线 为z 轴,建 立 空 间直角 坐 标 系,又 AD=AA1=1, AB=2,点E 在棱AB 上移动, 则D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),C(0,2,0), 设E(1,m,0),0≤m≤2,则D1E →=(1,m,-1),A1D→=(-1,0, -1), ∴D1E →·A1D→=-1+0+1=0,∴直线D1E 与A1D 所成角的大 小是90°. ∵D1E →=(1,m,-1),EC→=(-1,2-m,0),D1E⊥EC, ∴D1E →·EC→=-1+m(2-m)+0=0,解得m=1,∴AE=1.] 15.解 (1)由直线l1:2x+y-3=0,可得k1=-2, 因为直线l2 与直线l1 垂直,所以k1·k2=-1,可得k2= 1 2 , 又因为直线l2 过点(1,1),可直线l2 的方程为y-1= 1 2 (x-1), 即x-2y+1=0, 所以直线l2 的方程为x-2y+1=0. (2)因为直线l1 与直线l:ax-2y+1=0平行, 可得a 2= -2 1 ≠ 1 -3 ,解得a=-4, 即直线l:-4x-2y+1=0,即4x+2y-1=0, 又由直线l1:2x+y-3=0,可化为4x+2y-6=0, 所以直线l1 与l的距离d= |-1-(-6)| 42+22 = 52 ,即直线l1 与l的 距离 5 2. 16.解 (1)以B 为坐标原点,BA、BC、BB1 所在的直线分别为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B(0,0,0),D(0,2, 2),B1(0,0,4),设BA=a,则A(a,0,0), 所以BA→=(a,0,0),BD→=(0,2,2),B1D→=(0,2,-2), B1D →·BA→=0,B1D→·BD→=0+4-4=0, 即B1D⊥BA,B1D⊥BD. 又BA∩BD=B,因此B1D⊥平面ABD. (2)由(1)知,E(0,0,3),G a2,1,4 ,F(0,1,4), 则EG→= a2,1,1 ,EF→=(0,1,1), B1D →·EG→=0+2-2=0,B1D→·EF→=0+2-2=0,即B1D⊥EG, B1D⊥EF. 又EG∩EF=E,因此B1D⊥平面EGF. 结合(1)可知平面EGF∥平面ABD. 17.解 (1)以D 为原点,以DA、DC、DD1 所在直线分别为x、y、z轴 建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 49 — —52 — 设DE=a,其中0≤a≤2,则E(0,a,0)、A(1,0,0)、A1(1,0,1)、 B1(1,2,1)、D1(0,0,1), AB1 →=(0,2,1),D1B1→=(1,2,0),A1E→=(-1,a,-1), 若A1E⊥平面AB1D1,则A1E⊥AB1,A1E⊥D1B1, 则 A1E →·AB1→=2a-1=0 A1E →·D1B1→=2a-1=0 ,解得a=12,则CE=CD-DE=2- a=32. (2)由(1)可知平面AB1D1 的一个法向量为n=2A1E →=(-2,1, -2),且EB1 →= 1,32,1 , cos<n,EB1 →>= n ·EB1 → |n|·|EB1 →| =- 5 2 3× 172 =-5 1751 , 因此,直线B1E 与平面AB1D1 所成角的正弦值为 5 17 51 . 18.解 (1)证明:∵PA⊥底面ABCD, ∴PA⊥AD,PA⊥AB,又∵AB⊥AD, 故PA、AB、AD 三线两两垂直, ∴可以以A 为原点,AD 所在直线为x 轴,AB 所在直线为y 轴, AD 所在直线为z 轴,建立如图所示的坐标系 P(0,0,2),A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(4,0,0), 由于E 为PD 的中点,则E(2,0,1), 又∵PF→=λPC→,λ=12, 则F(2λ,2λ,2-2λ),当λ=12 时,F(1,1,1),可知BF→=(1,-1, 1), 又∵AE→=(2,0,1),AC→=(2,2,0), 设平面ACE 的法向量m=(x,y,z), AE→·m=0 AC→·m=0 ⇒ 2x+z=02x+2y=0 ,解得平面 ACE 的一个法向量m= (-1,1,2) BF→·m=1×(-1)+(-1)×1+1×2=0, 故BF→⊥m,即BF∥平面ACE. (2)当λ=14 时,F 12 ,1 2 ,3 2 , 由(1)可知平面ACE 的一个法向量m=(-1,1,2), ∵AF→= 12, 1 2 ,3 2 , 设点F 点到平面ACE 的距离为d, ∵ m·AF→ |m|·|AF→| =cos<m,AF→>,故d=|AF→|cos<m,AF→>=m·AF → |m| = (-1)×12+1× 1 2+2× 3 2 (-1)2+12+22 = 62 故点F 到平面AEC 的距离为 62. 19.解 (1)证明:∵PC⊥平面ABC,∴PC⊥AC, 又∵AC⊥BC,PC∩BC=C, ∴AC⊥平面PBC,∴AC⊥PB, 又∵AD⊥PB,AC∩AD=A,∴PB⊥平面ACD. (2)如图建系,不妨设AC=BC=2, ∴PB=4,PC=2 3,BD=1, ∴D 0,32,32 ,A(2,0,0),C(0,0, 0),E(0,0,2 3λ),P(0,0,2 3),B(0, 2,0) CA→=(2,0,0),AD→= -2,32,32 , AE→=(-2,0,23λ),PB→=(0,2,-23). 设平面CAD 和 平 面ADE 的 一 个 法 向 量 分 别 为n1=(x1,y1, z1),n2=(x2,y2,z2), 由(1)知PB⊥平面ACD, ∴平面ACD 的一个法向量n1=(0,1,- 3). n2·AE →=0 n2·AD →=0 即 -2x2+2 3λz2=0 -2x2+ 3 2y2+ 3 2z2=0 ⇒n2=(3λ,4λ-1,3) 设二面角C-AD-E 的平面角为θ,n1,n2 所成角为φ, ∴cosθ=|cosφ|= |4λ-1-3| 2 9λ2+16λ2-8λ+1+3 =4 3737 ,∴3λ2+ 2λ-1=0. (3λ-1)(λ+1)=0得λ=13∈ (0,1),故存在λ=13. 第三章 圆锥曲线的方程 1.D [由题意知,p=1即可满足题意,故A,B,C错误,D正确.] 2.C [双曲线x 2 4- y2 b2 =1(b>0)的渐近线方程为y=±b2x ,所以b 2= 3,b=2 3.] 3.C [由题意知,椭圆和双曲线的焦 距 相 等,所 以 有2 a2-b2= 2 2b2,整理得b 2 a2 =13 ,所以e= 1-b 2 a2 = 1-13= 6 3. ] 4.C [根据椭圆的标准方程C:x 2 4+ y2 3=1 知A(-2,0),B(2,0), 设P(x0,y0),则Q(x0,-y0), 且 x20 4+ y20 3=1 ,k1= y0 x0+2 ,k2= -y0 x0-2 , 所以k1k2= -y20 x20-4 =34. 又k1∈ 12,1 , 所以k2= 3 4k1 ∈ 34,32 ,故选C.] 5.A [根据题意得:双曲线C的渐近线方程为y=±bax ,因为其一 条渐近线与直线l:2x-y=2垂直,所以-ba ×2=-1 ,解得b a = 1 2 ,即a=2b, 又右焦点到渐近线的距离为2, 则 bc a2+b2 =2,解得b=2,则a=4, 所以双曲线的方程为x 2 16- y2 4=1 ,故选A.] 6.A [设A(x1,y1),B(x2,y2),由根据圆的方程可知C(-1,-2), C为AB 的中点, 根据双曲线中点差法的结论kAB= b2 a2 × x0 y0 =21× -1 -2=1 , 由点斜式可得直线AB 的方程为y=x-1, 将 直 线 AB 方 程 与 双 曲 线 方 程 联 立 x2-y 2 2=1 y=x-1 ,解 得 x=-3 y=-4 或 x=1y=0 , 所 以|AB|=4 2,由 圆 的 直 径|AB|= D2+E2-4F = 22+42-4m=4 2,可解得m=-3.] 7.C [以顶点O 为坐标原点,射线 OF 为x 轴建立平面直角坐标系,如图, 令轴截面边界曲线所在抛物线方程为: y2=2px(p>0), 则F p2,0 ,A p2+15,20 ,而点A 在抛 物线上,于是得400=2p p2+15 ,又p> 0,解得p=10,则O 到CD 距离d=p2+30=35 ,所以顶点O 到防 护罩外端CD 的距离为35cm.] 8.C [如 图 所 示,双 曲 线 左 焦 点 F(-c,0),双曲线的一条渐近线不 妨取y=-bax , 则直线l的方程为:y=ab (x+c), 联立y=-bax , 解得 M -a2c,abc , 设 N(xN,yN),故由FN →=3FM→得: (xN+c,yN)=3 -a2c+c,abc ,得xN=-3a 2+2c2 c ,yN= 3ab c , 故得 N -3a2+2c2c ,3abc , 将 N -3a2+2c2c ,3abc 代入x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)中, 得:(-3a 2+2c2)2 a2c2 -9a 2b2 b2c2 =1,化简可得13a2=4c2,故e2=c 2 a2 = 13 4 ,(e>1),所以e= 132 ,故选C.] 9.CD [双曲线x2-y 2 4=1 焦点在x轴上,且a=1,b=2,c= 5,渐 近线为y=±2x,对于 A选项,双曲线C 的离心率为e=ca = 5 , 焦半径为ex1±a= 5x1±1(其中x1 为曲线上一点的横坐标),所 以A选项错误; 对于B选项,双曲线y2-x 2 4=1 的渐近线为y=±12x ,与曲线C 的渐近线不相同,故B选项错误; 对于C选项,双曲线C的一条渐近线方程为2x-y=0,右焦点坐 标为(5,0),所以焦点到渐近线的距离为|2 5| 4+1 =2,故C选 项 正确; 对于D选项,直线y=kx+b,当b=0时,直线与双曲线C 的交点 可能是0个,也可能是2个;当b≠0且直线与双曲线的渐近线平 行时,直线与双曲线C的交点是1个,所以它们的公共点个数可能 为0、1、2,故D选项正确.] 10.BCD [A.由椭圆x 2 25+ y2 9=1 ,得a2=25,b2=9,c2=a2-b2=16, ∴椭圆x 2 25+ y2 9=1 的右焦点即双曲线x 2 a2 -y 2 9=1 的右顶点为(4, 0),∴a2=16,a=4.A不正确; B.双曲线的渐近线为y=±bax=± 3 4x.B 正确; C.由上述得椭圆的左顶点是(-5,0),双曲线的左焦点是(-5, 0),C正确; D.椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,恰为双曲线的左、右顶点,设 点P(x,y), ∴kPF1·kPF2= (y-0)(y+0) (x-4)(x+4)= y2 x2-16 = 9 x216-1 x2-16 =916 为定 值,D正确.] 11.BC [由题意,双曲线C:x 2 s+t- y2 s-t=1 ,可得a2=s+t,b2=s-t, 因为|F1F2|=8,可得c2=s+t+s-t=2s=16,解得s=8,所以 A 错误; 因为双曲线焦点在x 轴上,由 s+t>0 s-t>0 且s=8,得t的取值范围 是(-8,8),所以B正确; 因为F1 到渐近线的距离等于虚半轴长为 8-t,其在t∈(-8, 8)上单调递减,所以C正确; 当t=4时,双曲线C的实轴长为4 3,虚轴长为4,其中实轴长是 虚轴长的 3倍,所以D错误.] 12.7 312 [建立坐标系如图所示,由题意 可知xA = 1 2p ,xD = 2 p ,由xD -xA = 3,p= 32 ,则点A 到抛物线的焦点的 距离是xA+p2= 7 3 12. ] 13.6+ 3 13 [因为F1,F2 分别为左、右焦点,点P 在第一象限, 由椭圆与双曲线的定义可得 |PF1|+|PF2|=2 6 |PF1|-|PF2|=2 3 ,解得 |PF1|= 6+ 3|PF2|= 6- 3 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 51 — — 10 — 高中月考滚动卷 第一次月考滚动检测卷 (范围:空间向量与立体几何、直线的方程) (时间:120分钟 满分:150分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 名师推好题 第19题.该题主要考查线面垂直、二面角的问题,让考生结合建立空间直角坐标 系求解定值的问题,从而提高学生利用空间向量的方法求解定值的能力,值得推荐. 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知直线l的方程是x- 3y-2=0,则直线l的倾斜角是 ( ) A.π6 B. π 3 C. 2π 3 D. 5π 6 2.直线l1:(a+3)x+y-4=0与直线l2:x+(a-1)y+4=0垂直,则a= ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.两直线xm- y n=a 与x n- y m=a (其中a为不为零的常数)的图象可能是 ( ) 4.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中,AA1 → =a,AB → =b,AD → =c,点 P在A1C → 上,且A1P∶PC=2∶3,则AP → 在基底{a,b,c}下的坐标为 ( ) A. 25,35,35 B. 35,25,25 C. -25,25,35 D. 35,-25,-25 5.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AD=AB=2,∠BAD= π 2 ,∠BAA1=∠A1AD= π 3 ,则AB1 →·AD1 → = ( ) A.12 B.8 C.6 D.4 6.已知向量a=(1,0,m),b=(2,0,-2),若a∥b,则|a|= ( ) A.1 B.2 C.3 D.2 7.已知两个不重合的平面α与平面ABC,若平面α的法向量为n=(2,-3,1),AB → =(1,0,-2),AC → = (1,1,1),则 ( ) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABC C.平面α、平面ABC相交但不垂直 D.以上均不可能 8.已知A(2,4),B(1,0),动点P在直线x=-1上,当|PA|+|PB|取最小值时,点P的坐标为( ) A. -1,85 B. -1,215 C.(-1,2) D.(-1,1) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.在四面体P-ABC中,P(0,0,3),A(2,2,5),B(1,3,2),C(3,1,2),则以下选项正确的有 ( ) A.AB → =(-1,1,-3) B.|AB → |=|AC → | C.PA → ⊥AC → D.AB →·AC → =11 10.下列说法错误的是 ( ) A.若直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直,则a=-1 B.直线y=ax-3a+2(a∈R)必过定点(3,2) C.直线y=3x-2在y轴上的截距为-2 D.经过点(1,1)且在x轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 11.在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=2 2,M 为线段BD 上的动点,则 ( ) A.当 M 为BD 的中点时,△A1MC1 的周长最小 B.三棱锥D1-MCB1 的体积为定值 C.在线段BD 上存在点M,使得AC1⊥A1M D.在线段BD 上有且仅有一个点M,使得∠AMC1=120° 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知点A(2,5)与点B(4,-7),点P 在y 轴上,且使得PA+PB 的值最小,则点P 的坐标为 . 13.如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形,PD=2,且PA=PC=2 2,M 为 BC 的中点,则点B 到平面PAM 的距离为 . 第13题图 第14题图 14.在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点E 在棱AB 上移动,则直线D1E 与 A1D 所成角的大小是 ,若D1E⊥EC,则AE= . — 9 — — 12 — 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知直线l1:2x+y-3=0. (1)若直线l2 与直线l1 垂直,且过点(1,1),求直线l2 的方程; (2)若直线l1 与直线l:ax-2y+1=0平行,求直线l1 与l的距离. 16.(15分)在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4, 点E 在线段BB1 上,且EB1=1,D,F,G 分别为CC1,C1B1,C1A1 的 中点. (1)证明:B1D⊥平面ABD; (2)证明:平面EGF∥平面ABD. 17.(15分)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,BC= CC1=1.若在CD 上存在点E,使得A1E⊥平面AB1D1. (1)求线段CE 的长; (2)求直线B1E 与平面AB1D1 所成角的正弦值. 18.(17分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD, BC∥AD,PA=AB=BC=2,AD=4,E 为棱PD 的中点,PF → =λPC →(λ 为常数且0<λ<1). (1)当λ=12 时.求证:BF∥平面ACE; (2)当λ=14 时,求点F到平面AEC 的距离. 19.(17分)如图,在三棱锥P-ABC 中,PC⊥平面ABC,AC⊥BC,AC= BC=12PB ,AD⊥PB 于点D,点E 在侧棱PC 上,且CE=λCP(0< λ<1). (1)证明:PB⊥平面ACD; (2)是否存在λ,使二面角C-AD-E 的余弦值为4 3737 ? 若存在,求出 λ的值;若不存在,说明理由. — 11 —