第2章 直线和圆的方程-【三清必刷】2025-2026学年高二数学选择性必修1+2（人教A版2019）

— 6 — 第二章 直线和圆的方程 (时间:120分钟 满分:150分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 名师推好题 第19题.该题主要考查直线与圆的位置关系和定值的问题,让考生熟练掌握根与 系数的关系解决定值问题,从而提高学生的分类讨论、联立方程解决此类问题的能力,值得 推荐. 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知两直线2x-y+1=0与3x+ay=0平行,则实数a= ( ) A.32 B.6 C.- 1 2 D.- 3 2 2.过点P(2,-3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ( ) A.3x+2y=0 B.x+y+1=0 C.2x-3y=0或x+y+1=0 D.3x+2y=0或x+y+1=0 3.已知直线l:ax+y+2=0,若点A(-1,-2),B(3,6)到直线l的距离相等,则实数a的值为 ( ) A.-4 B.4 C.-4或-2 D.2或4 4.一条光线从点A(2,4)射出,倾斜角为60°,遇x轴后反射,则反射光线的直线方程为 ( ) A.3x-y+4-2 3=0 B.x- 3y-2-4 3=0 C.3x+y+4-2 3=0 D.x+ 3y-2-4 3=0 5.过点P(1,1)作与圆C:x2+y2-4x+2=0相切的直线l,则直线l的方程为 ( ) A.x-y=0 B.x=1 C.x-y+1=0 D.x=1或x-y+1=0 6.直线x+y=0截圆(x+1)2+(y-2)2=2所得的弦长为 ( ) A.1 B.62 C. 2 2 D.6 7.已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=25,圆C2:(x+1)2+(y+a)2=4,若圆C1 与圆C2 内切,则实数a 的值是 ( ) A.-2 B.2 C.-1或2 D.1或-2 8.设点P(a,b)为直线y=x-3上一点,则由该点向圆x2+y2+2x-4y+3=0所作的切线长的最 小值是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知动直线m:λx-y+λ=0和n:x+λy-3-2λ=0,P 是两直线的交点,A、B 是两直线m 和n 分 别过的定点,下列说法正确的是 ( ) A.B 点的坐标为(3,-2) B.m⊥n C.P 的轨迹是一个圆 D.△PAB 面积的最大值为5 10.设圆A:x2+y2-2x-3=0,则下列选项正确的是 ( ) A.圆A 的半径为2 B.圆A 截y 轴所得的弦长为2 3 C.圆A 上的点到直线3x-4y+12=0的最小距离为1 D.圆A 与圆B:x2+y2-8x-8y+23=0相离 11.圆C:x2+y2+4x-6y-3=0,直线l:3x-4y-7=0,点P 在圆C 上,点Q 在直线l上,则下列结 论正确的是 ( ) A.直线l与圆C 相交 B.若点P 到直线l的距离为3,则点P 有2个 C.|PQ|的最小值是1 D.从Q 点向圆C 引切线,切线长的最小值是2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.写出一个同时满足下列条件①②的圆C的一般方程 . ①圆心在第一象限;②圆C与圆x2+y2=4相交的弦的方程为x+y-2=0. 13.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2 3,则a= . 14.已知直线l:mx-(2-m)y+1-m=0,圆C:x2+y2-2x=0,若直线l与圆C 相交于M,N 两 点,则|MN|的最小值为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知直线l:y=3x+3,求: (1)直线l关于点M(3,2)对称的直线的方程; (2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线的方程. — 5 — — 8 — 16.(15分)已知点P(5,0)和圆C:x2+y2-4x-4y+3=0. (1)求圆C的圆心坐标和半径; (2)设Q 为圆C 上的点,求|PQ|的取值范围. 17.(15分)已知圆C1:x2+y2-2x-3=0与圆C2:x2+y2-4x+2y+3=0相交于A、B 两点. (1)求公共弦AB 所在直线方程; (2)求过两圆交点A、B,且过原点的圆的方程. 18.(17分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于 M,N 两点. (1)求k的取值范围; (2)若OM →·ON → =12,其中O为坐标原点,点Q(a,2a-10)的轨迹与 MN 的中垂线交于点P,求 △PAM 的面积. 19.(17分)在平面直角坐标系xOy中,设圆x2+y2-4x=0的圆心为 M. (1)求过点P(0,-4)且与圆 M 相切的直线的方程; (2)若过点P(0,-4)且斜率为k的直线与圆M 相交于不同的两点A,B,设直线OA、OB 的斜率 分别为k1,k2,问k1+k2 是否为定值? 若是,求出这个定值,若不是,请说明理由. — 7 — —48 — 18.解 (1)以 A 为原点,射线 AB,AD, AP 分别为x 轴,y 轴,z轴非负半轴 建立如图所示的空间直角坐标系, 因为PA=AB=BC=12AD=1 ,所 以A(0,0,0),P(0,0,1),B(1,0,0),C (1,1,0),D(0,2,0),所以PB→=(1,0,-1),CD→=(-1,1,0), 所以cos<PB→,CD→>= PB →·CD→ |PB→||CD→| = -1 2· 2 =-12 所以<PB→,CD→>=120°,所以PB 与CD 所成的角为60°. (2)由(1)知PD→=(0,2,-1),AP→=(0,0,1),AC→=(1,1,0), 设m=(x,y,z)是平面PAC的一个法向量, 则 m·AP→=0, m·AC→=0, 即 z=0,x+y=0, 取x=1, 则m=(1,-1,0), 设直线 PD 与 面PAC 所 成 的 角 为θ,所 以sinθ=|PD →·m| |PD→||m| = 2 5· 2 = 105 . 因为θ∈ 0,π2 ,所以cosθ= 155 . 即直线PD 与面PAC 所成角的余弦值为 155 . 19.解 (1)如 右 图 所 示,以 D 为 原 点,DA,DC,DD1 所 在 直 线 分 别 为x轴,y 轴,z轴建立空间直角 坐标系, 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2, 0),C(0,2,0),E(1,0,0),B1(2,2, 2),D1(0,0,2).所以D1E →=(1,0, -2),EB→=(1,2,0) 设平面BD1E 的一个法向量n=(x,y,z), 所以 n·D1E →=0 n·EB→=0 ,即 x-2z=0x+2y=0 , 令x=2,则y=-1,z=1,所以n=(2,-1,1), 连接AC,因为AC⊥BD,D1D⊥AC,D1D∩BD=D,D1D⊂平面 BD1D,BD⊂ 平 面 BD1D,AC⊄ 平 面 BD1D,所 以 AC⊥ 平 面BD1D, 所以AC→=(-2,2,0)为平面BD1D 的一个法向量, 所以cos<AC→,n>= AC →·n |AC→||n| = -6 6× 8 =- 32 , 由图知,二面角D BD1 E 为锐二面角, 所以二面角D BD1 E 的大小为 π 6. (2)假设在线段B1C上存在点F, 使得DF∥平面BD1E, 设CF→=λCB1→(λ∈[0,1]),CB1→=(2,0,2), DF→=DC→+CF→=DC→+λCB1→=(0,2,0)+λ(2,0,2)=(2λ,2,2λ), 因为DF∥平面BD1E,所以DF →⊥n,即DF→·n=0 所以(2λ,2,2λ)·(2,-1,1)=0, 即6λ-2=0解得λ=13∈ [0,1] 所以在线段B1C上存在点F,使得DF∥平面BD1E, 此时点F 为线段B1C上靠近点C 的三等分点. 第二章 直线和圆的方程 1.D [由两直线2x-y+1=0与3x+ay=0平行,可得:32= a -1≠ 0 1 ,解之得a=-32. ] 2.D [当截距都为0,即过点(0,0)时直线为3x+2y=0, 当截距不为0时,设直线为xa + y a =1 (a≠0), 代入点P(2,-3)得a=-1,∴x+y+1=0.] 3.C [∵两点A(-1,-2),B(3,6)到直线l:ax+y+2=0的距离相 等, ∴|-a-2+2| a2+1 =|3a+6+2| a2+1 ,即|-a|=|3a+8|,解得a=-4或 a=-2.] 4.C [点A(2,4)关于x轴的对称点为A'(2,-4), 又反射光线倾斜角为180°-60°=120°, ∴斜率k=- 3, ∴反射光线所在直线方程为:y+4=-3(x-2),即3x+y+4-2 3 =0.] 5.A [过 点 P(1,1)的 斜 率 不 存 在 的 直 线 为 x=1,联 立 x=1 x2+y2-4x+2=0 可得y=±1, 即直线x=1与圆x2+y2-4x+2=0相交,不满足要求, 所以过点P(1,1)作与圆C:x2+y2-4x+2=0相切的直线l的斜 率存在, 设直线l的方程为y-1=k(x-1),即kx-y-k+1=0, 又圆x2+y2-4x+2=0的圆心为(2,0),半径为 2,圆心到直线 kx-y-k+1=0的距离d=|k+1| k2+1 , ∴|k+1| k2+1 = 2,∴k=1,∴直线l的方程为x-y=0,故选A.] 6.D [圆 心 为(-1,2),圆 心 到 已 知 直 线 的 距 离 为 d=|-1+2| 2 = 22 , 所以弦长为l=2 (2)2- 22 2 = 6.] 7.C [由题可知圆心C1(a,-2),半径r1=5,圆心C2(-1,-a),半径 r2=2,因为圆C1 与圆C2 内切,所以|C1C2|= (a+1)2+(-2+a)2 =|r1-r2|=3,解得a=-1或a=2.] 8.C [由题知a=b+3,圆化简为:(x+1)2+(y-2)2=2,则圆心 (-1,2),半径为 2,所以由点(a,b)向圆所作的切线长为: (a+1)2+(b-2)2-2 = (b+3+1)2+(b-2)2-2 = 2b2+4b+18 = 2(b+1)2+16, 当b=-1时,切线长取得最小值4.] 9.BCD [对于A,由直线n:x+λy-3-2λ=0,得λ(y-2)+(x-3) =0,因为λ为任意实数,所以 y-2=0 x-3=0 ,得 x=3y=2 ,所以B 点的坐 标为(3,2),所以A错误;对于B,由直线m:λx-y+λ=0和n:x+ λy-3-2λ=0,λ×1+(-1)×λ=0,所以m⊥n,所以B正确;对于 C,因为P 是两直线的交点,A、B 是两直线m 和n 分别过的定点, 且m⊥n,所以PA⊥PB,所以P 的轨迹是以AB 为直径的圆,所以 C正确;对于D,由直线m:λx-y+λ=0,得λ(x+1)-y=0,因为λ 为任意 实 数,所 以 x+1=0 y=0 ,得 x=-1y=0 ,所 以 A(-1,0),所 以 |AB|= 42+22=2 5,因为P 的轨迹是以AB 为直径的圆,所以 △PAB 面积的最大值为12×2 5× 5=5 ,所以D正确.] 10.ABC [把圆A 的方程x2+y2-2x-3=0化成标准方程为(x- 1)2+y2=4,所以该圆A 的圆心坐标为(1,0),半径为2,A项正 确;圆心 到 y 轴 的 距 离 为1,该 圆 A 截y 轴 所 得 的 弦 长 为2 4-1=2 3,B项正确;圆心(1,0)到直线3x-4y+12=0的距 离d=|3×1-0+12| 32+(-4)2 =3,故圆A 上的点到直线3x-4y+12=0 的最小距离为3-2=1,C项正确;圆B:x2+y2-8x-8y+23=0 的圆心为(4,4),半径为3,根据圆心距为 (4-1)2+42=5,而半 径和为:2+3=5,所以圆A 与圆B 外切,D项错误.] 11.BC [圆C:(x+2)2+(y-3)2=16,圆心C(-2,3),半径r=4, 圆心到直线的距离d=|3× (-2)-4×3-7| 32+(-4)2 =5>4,故直线l与 圆C相离,A错误;|PQ|的最小值是5-4=1,最大值是5+4= 9,故点P 到直线l的距离为3时,点P 有2个,B正确,C正确; 设 Q 点 向 圆 C 引 切 线 QT,|QT|= |QC|2-r2 = |QC|2-16,|QC|最小时,|QT|即最小,|QC|的最小值为圆心 到直线的距离,此时|QT|min= 52-16=3,D错误.] 12.(x-1)2+(y-1)2=2(答案不唯一) [可设所求圆为x2+y2-4 +λ(x+y-2)=0,即 x+λ2 2 + y+λ2 2 =4+2λ+λ 2 2 只需 -λ2>0 4+2λ+λ 2 2>0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得:λ<0,不妨取λ=-2,则圆的方程为: (x-1)2+(y-1)2=2. 故答案为:(x-1)2+(y-1)2=2(答案不唯一)] 13.1 [将两圆的方程相减,得相交弦所在的直线方程为y=1a. 圆 x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为r=2.(0,0)到直线y=1a (a >0)的距离为:d=1a= 2 2- 2 32 2 ,解得a=1.] 14.2 [由题意知,圆C:(x-1)2+y2=1,圆心C(1,0),半径r=1, 直线l:mx-(2-m)y+1-m=0,m(x+y-1)-2y+1=0, x+y-1=0 -2y+1=0 ,解得 x=12 y=12 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,故直线l过定点P 12,12 , 设圆心到直线的距离为d,则|MN|=2 r2-d2=2 1-d2,可 知当距离d 最大时,|MN|有最小值,由图可知,CP⊥l时,d 最 大,此时d= 1-12 2 + 0-12 2 = 22 , 此时|MN|=2 1-d2=2× 1- 22 2 = 2. 故|MN|的最小值为 2.] 15.解 (1)设直线l关于 M(3,2)的对称直线上任意一点为 A(x, y), 则点A 关于点M(3,2)的对称为B(x1,y1), 则 x+x1 2 =3 y+y1 2 =2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得x1=6-x,y1=4-y, 即B(6-x,4-y),将点B(6-x,4-y)代入直线l, 可得4-y=3(6-x)+3,整理得3x-y-17=0,即对称直线的方 程为3x-y-17=0. (2)由 y=3x+3 x-y-2=0 ,解得x=-52,y=-92, 即直线x-y-2=0与y=3x+3的交点坐标为 E -52,-92 , 再在直线x-y-2=0上取一点C(0,-2), 设点C关于直线y=3x+3的对称点为 N(m,n), 则 n+2 m-0×3=-1 n-2 2 =3× m+0 2 +3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得m=-3,n=-1, 即 N(-3,-1), 又由kEN = -1- -92 -3- -52 =-7,所 以 直 线 EN 的 方 程 为y- (-1)=-7[x-(-3)],整理得7x+y+22=0, 即直线x-y-2=0关于直线l对称的直线的方程为7x+y+ 22=0. 16.解 (1)由x2+y2-4x-4y+3=0,得(x-2)2+(y-2)2=5, ∴圆心C的坐标为(2,2),半径r= 5. (2)∵P(5,0),∴|PC|= (5-2)2+(0-2)2= 13, ∴|PC|+r= 13+ 5,|PC|-r= 13- 5. ∵|PC|-r≤|PQ|≤|PC|+r,∴|PQ|的 取 值 范 围 是 13- 5, 13+ 5 . 17.解 (1)x2+y2-2x-3=0,① x2+y2-4x+2y+3=0,② ①-②得2x-2y-6=0,即公共弦AB 所在直线方程为x-y- 3=0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 47 — —50 — (2)设圆的方程为x2+y2-2x-3+λ(x2+y2-4x+2y+3)=0, 即(1+λ)x2+(1+λ)y2-(2+4λ)x+2λy-3+3λ=0, 因为圆过原点,所以-3+3λ=0,即λ=1, 所以圆的方程为x2+y2-3x+y=0. 18.解 (1)由题意得:设直线l的斜率为k,由 y=kx+1 (x-2)2+(y-3)2=1 , 得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,Δ=-3k2+8k-3>0, 解得4- 7 3 <k< 4+ 7 3 . (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),x1+x2= 4(1+k) 1+k2 ,x1x2= 7 1+k2 , 则OM→·ON→=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=7+ 4k(1+k) 1+k2 +1=12 解得k=1. 故直线方程为y=x+1,故由圆的方程可知圆心坐标为C(2,3), 故该直线过圆心. MN 的中垂线方程为y=-x+5. 则Q 的轨迹为y=2x-10,则P(5,0), 故|PC|= (5-2)2+(0-3)2=3 2, |AC|= (2-0)2+(3-1)2=2 2, 若 M 在N 的下方:|AM|=|AC|-1=2 2-1, 若 M 在N 的上方:|AM|=|AC|+1=2 2+1, S△PAM = 1 2× (2 2-1)×3 2=12-3 22 或S△PAM = 1 2× (2 2+ 1)×3 2=12+3 22 . 19.解 (1)由题设知,圆 M:(x-2)2+y2=4,即 M(2,0),半径r=2, 当切线斜率不存在时,x=0是圆 M 一条切线, 当切线斜率存在时,令切线为y=kx-4,则r=|2k-4| 1+k2 =2,解得 k=34 ,此时切线方程为3x-4y-16=0. 综上,所求直线方程为x=0或3x-4y-16=0. (2)设 直 线 AB:y=kx-4,联 立 y=kx-4 x2+y2-4x=0 整 理 得:(1+ k2)x2-4(2k+1)x+16=0, 所以Δ=16(2k+1)2-64(1+k2)>0,即k>34 , 且xA+xB= 4(2k+1) 1+k2 ,xAxB= 16 1+k2 , 又k1+k2= yA xA +yBxB = xByA+xAyB xAxB , 而xByA=kxAxB-4xB,xAyB=kxAxB-4xA, 所以k1+k2=2k- 4(xA+xB) xAxB =2k-(2k+1)=-1,即k1+k2 为 定值-1. 高中月考滚动卷 第一次月考滚动检测卷 1.A [将原式化为:y= 33x- 2 3 3 ,斜率为 3 3 ,即tanα= 33 ,倾斜角 α=π6 ;故选A.] 2.B [因为直线l1:(a+3)x+y-4=0与直线 l2:x+(a-1)y+4=0垂直, 所以a+3+a-1=0,解得a=-1.] 3.B [直线方程xm - y n =a 可化为y=nmx-na ,可得直线的斜率 为k1= n m , 直线方程x n - y m =a 可化为y=mnx-ma ,可 得 直 线 的 斜 率 为 k2= m n , 由此可知两直线的斜率为同号,结合选项可得,只有选项B适合.] 4.B [由题意得,AA1 →=a,AB→=b,AD→=c,A1P∶PC=2∶3, 所以A1P= 2 5A1C ,即A1P →=25A1C →,所以AP→=AA1→+A1P→=AA1→+ 2 5A1C →=AA1→+25(AC →-AA1→)=AA1→+25AC →-25AA1 →=AA1→+ 2 5 (AB→+AD→)-25AA1 →=35AA1 →+25AB →+25AD →=35a+ 2 5b+ 2 5c. ] 5.B [AB1 →·AD1→=(AB→+AA1→)·(AD→+AA1→)=AB→·AD→+AB→· AA1 →+AD→·AA1→+AA1→2 ⇒AB1 →·AD1→=0+2×2×12+2×2× 1 2+2 2=8,故选B.] 6.B [由a∥b,则a=λb,即1=2λ,m=-2λ, 则λ=12 ,m=-2×12=-1 ,所以a=(1,0,-1), 则|a|= 12+02+(-1)2= 2.] 7.A [设平面 ABC 的法向量为m=(x,y,z),则 m·AB→=0 m·AC→=0 ,即 x-2z=0 x+y+z=0 ,令x=2,可得y=-3,z=1,所以 m=(2,-3,1), 因为n=m,所以平面α∥平面ABC.] 8.A [点B 关于直线x=-1对称的点为 B1(-3,0).|PA|+|PB|=|PA|+|PB1|≥ |AB1|, 当且 仅 当 A、P、B1 三 点 共 线 时,等 号 成立. 此时|PA|+|PB|取最小值,直线AB1 的 方程为y= 4-02-(-3) (x+3), 即y=45 (x+3),令x=-1,得y=85. 所以点P 的坐标为: -1, 8 5 .] 9.AB [A.因为AB→=(-1,1,-3),所以本选项正确;B.因为AB→= (-1,1,-3),AC→ = (1,- 1,- 3),所 以 有 |AB→|= (-1)2+12+(-3)2= 11,|AC→|= 12+(-1)2+(-3)2= 11,因此本选项正确;C.因为PA→=(2,2,2),AC→=(1,-1,-3), 所以有PA→·AC→=2-2-6=-6≠0,因此本选项不正确;D.因为 AB→=(-1,1,-3),AC→=(1,-1,-3),所以AB→·AC→=-1-1+9= 7,因此本选项不正确,故选AB.] 10.AD [对A.a2+a=0,解得a=0或a=-1,A不正确;对B.直 线y=ax-3a+2(a∈R)可变为y-2=a(x-3)(a∈R),因此直 线y=ax-3a+2=a(x-3)+2(a∈R)必过定点(3,2),即B正 确;对C.直线y=3x-2在y轴上的截距,令x=0,得y=-2,所 以直线y=3x-2在y轴上的截距为-2,所以C正确;对D.经过 点(1,1)且在x轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x+y-2= 0或y=x,所以D不正确;故选AD.] 11.AB [如图建系,则A1(0,0,2 2), C1(2,2,2 2),B(2,0,0),D(0,2, 0),设BM→=λBD→,∴M(2-2λ,2λ, 0),| MA1 | + | MC1 | = (2-2λ)2+(2λ)2+8+ (-2λ)2+(2λ-2)2+8= 2 4λ2-8λ+4+4λ2+8= 2 8λ2-8λ+12,λ=12 时,MA1+ MC1 最小,此 时 S△MA1C1 周 长 最 小,此 时 M 为BD 中 点,A 对; BD∥B1D1,则BD∥平面B1D1C,M 到平面B1D1C 的距离h 为 定值,S△B1D1C 为 定 值,则VM-B1D1C = 1 3hS△B1D1C 为 定 值,B对; AC1 →·A1M→=(2,2,2 2)(2-2λ,2λ,-2 2)=-4≠0,∴不存在点 M 使得AC1⊥A1M,C错;MA →·MC1→=(2λ-2,-2λ,0)·(2λ,2-2λ, 22)=8λ(λ-1),cos∠AMC1= 8λ(λ-1) 8λ2-8λ+4 8λ2-8λ+12 =-12 , ∴λ(λ-1)=2- 136 ,∴λ2-λ+ 13-26 =0 , ∴Δ<0,无解,D错,故选AB.] 12.(0,1) [将 点 A 关 于y 轴 对 称 得 点 A'(-2,5),连接A'B,直线A'B 与y轴的交 点为P,此时|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|= |A'B|最 短.直 线 A'B 方 程 为:y-5x+2= 12 -6 ,令x=0,则y=1,故P(0,1).] 13.23 [因为AD=CD=PD=2,PA=PC= 2 2, 由勾股定理可知,AD2+PD2=AD2, CD2+PD2=PC2,所以直线 DA,DC, DP 两两垂直. 以D 为原点,DA,DC,DP 所在的直线 分别为x 轴、y轴、z轴,建立如图所示 的空间直角坐标系 D-xyz,则 A(2, 0,0),M(1,2,0),P(0,0,2),B(2,2, 0),PA→=(2,0,-2),AM→=(-1,2,0),PB→=(2,2,-2). 设平面PAM 的法向量为n=(x,y,z), 则 n·PA→=2x-2z=0 n·AM→=-x+2y=0 , 令y=1,得n=(2,1,2),所 以 点 B 到 平 面PAM 的 距 离d= |PB→·n| |n| = 2 3. ] 14.90° 1 [长 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中 以 D 为 原 点,DA 所 在直线 为x 轴,DC 所 在 直 线 为y 轴,DD1 所 在 直 线 为z 轴,建 立 空 间直角 坐 标 系,又 AD=AA1=1, AB=2,点E 在棱AB 上移动, 则D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),C(0,2,0), 设E(1,m,0),0≤m≤2,则D1E →=(1,m,-1),A1D→=(-1,0, -1), ∴D1E →·A1D→=-1+0+1=0,∴直线D1E 与A1D 所成角的大 小是90°. ∵D1E →=(1,m,-1),EC→=(-1,2-m,0),D1E⊥EC, ∴D1E →·EC→=-1+m(2-m)+0=0,解得m=1,∴AE=1.] 15.解 (1)由直线l1:2x+y-3=0,可得k1=-2, 因为直线l2 与直线l1 垂直,所以k1·k2=-1,可得k2= 1 2 , 又因为直线l2 过点(1,1),可直线l2 的方程为y-1= 1 2 (x-1), 即x-2y+1=0, 所以直线l2 的方程为x-2y+1=0. (2)因为直线l1 与直线l:ax-2y+1=0平行, 可得a 2= -2 1 ≠ 1 -3 ,解得a=-4, 即直线l:-4x-2y+1=0,即4x+2y-1=0, 又由直线l1:2x+y-3=0,可化为4x+2y-6=0, 所以直线l1 与l的距离d= |-1-(-6)| 42+22 = 52 ,即直线l1 与l的 距离 5 2. 16.解 (1)以B 为坐标原点,BA、BC、BB1 所在的直线分别为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B(0,0,0),D(0,2, 2),B1(0,0,4),设BA=a,则A(a,0,0), 所以BA→=(a,0,0),BD→=(0,2,2),B1D→=(0,2,-2), B1D →·BA→=0,B1D→·BD→=0+4-4=0, 即B1D⊥BA,B1D⊥BD. 又BA∩BD=B,因此B1D⊥平面ABD. (2)由(1)知,E(0,0,3),G a2,1,4 ,F(0,1,4), 则EG→= a2,1,1 ,EF→=(0,1,1), B1D →·EG→=0+2-2=0,B1D→·EF→=0+2-2=0,即B1D⊥EG, B1D⊥EF. 又EG∩EF=E,因此B1D⊥平面EGF. 结合(1)可知平面EGF∥平面ABD. 17.解 (1)以D 为原点,以DA、DC、DD1 所在直线分别为x、y、z轴 建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 49 —