复习课第06讲 二次函数与四边形存在性问题 暑假讲义2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

第06讲 二次函数与四边形存在性问题 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 平行四边形的存在性问题 【题型二】 菱形的存在性问题 【题型三】 矩形的存在性问题 【题型四】 二次函数与四边形的综合性问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握二次函数的图象与性质； 2.掌握平行四边形的存在性问题，会进行分类讨论； 3.掌握菱形的存在性问题，会进行分类讨论； 4.掌握矩形的存在性问题，会进行分类讨论. 1 特殊平行四边形的存在性问题 处理特殊平行四边形的存在性问题，要以它们的判定定理为依据，明确哪些点是定点或动点，再取决如何进行分类讨论. 2 平行四边形的存在性问题 (1)分类讨论 若以为顶点的平行四边形，则以哪两条边为对角线分类讨论. (2)动点产生平行四边形的一般解法，以为顶点的平行四边形为例. 当与为对角线时，由左图可得，； 由右图(的中点也是的中点)可得. 两种想法有异曲同工之处. 3 菱形的存在性问题 处理以为顶点的菱形的存在性问题，要视情况而定，弄清楚哪些点为定点和动点. 情况1 在平行四边形存在性问题的基础上再利用邻边相等或对角线相互垂直处理； 情况2 以对角线相互垂直进行分类讨论. 4 矩形的存在性问题 处理以为顶点的矩形的存在性问题，要视情况而定，弄清楚哪些点为定点和动点. 情况1 在平行四边形存在性问题的基础上再利用内角为或对角线相等处理； 情况2 以内角为进行分类讨论. 【题型一】 平行四边形的存在性问题 【典题1】（2025·吉林·模拟预测）如图，已知抛物线过点、，点是直线上一点． (1)求此抛物线对应的函数解析式和顶点坐标； (2)当点在抛物线上时，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (4)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式练习 1（2025·湖南娄底·三模）已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的情况下，将抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线为抛物线对称轴上一点，为抛物线上一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【题型二】菱形的存在性问题 【典题1】（2025·湖南·模拟预测）定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点关于抛物线的对称点存在． ①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标； ②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由； 变式练习 1（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，若点B的坐标为，点D是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式： (2)连接，过点D作轴于点E，交线段于点F，当点D运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点D的坐标和的最大值； (3)连接，若关于y轴的对称图形是，是否存在点D，使得四边形为菱形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型三】 矩形的存在性问题 【典题1】（2025·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数（是常数，）的图象与轴分别相交于点、（点位于点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．点关于的对称点为，连接．点为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_____． ②求点的坐标；（①、②中的结论均用含的代数式表示） (2)设是该函数图象上一点，点在上．探索：是否存在点．使得以、、、为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点坐标；如果不存在，说明理由． 变式练习 1（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【题型四】 二次函数与四边形的综合性问题 【典题1】（2025·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点． (1)如图，若抛物线过点，求抛物线的表达式； (2)如图，在（）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标； (3)若抛物线与正方形恰有两个交点，直接写出的取值范围． 变式练习 1（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴的负半轴上，顶点在第四象限，已知点坐标为，以为顶点的抛物线恰好经过点，则的值为 ． 2（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b是常数）经过点．点P是该抛物线上一点，其横坐标为m，当点P不在x轴上时，作点P关于点O的对称点C，以为邻边构造．设抛物线的顶点为E． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当点E恰好落在边上时，求m的值； (3)当此抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围； (4)当点E在内部时，过点E作的平行线交于点F、交于点G，作的平行线交于点H、交于点K，当四边形与四边形的面积相等时，直接写出m的值． 【A组---基础题】 1（2025·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，二次函数表达式为，若该函数的图象与四边形的边有交点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2（2025·河北唐山·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴的一个交点为，与轴的交点为，将该图象关于原点中心对称后，点的对应点分别为．若四边形为正方形，则的值是（    ） A． B．8 C． D．或8 4（2025·广东惠州·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上．若抛物线经过点，，则点的坐标为 ． 5（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线平移后得到的新抛物线，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的表达式，并写出平移方式； (2)已知点C为抛物线的顶点，点P是y轴上一点，在上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 6（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7（2025·辽宁盘锦·三模）定义：在平面直角坐标系中，若点，的坐标满足（是常数，且），则称点，是一对“阶差值点”． (1)在点，中，能与点构成一对”阶差值点”的是 ； (2)已知点，点在函数的图象上，若点，是一对“阶差值点”，求点的坐标； (3)如图，抛物线交轴于点，点在抛物线的对称轴上．点的纵坐标为，且． 若点与点是一对“阶差值点”，求的值； 点为平面内一点，点为抛物线上的动点，若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是一对“阶差值点”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (4)点，是一对“阶差值点”，且直线过点，当直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于的点，请直接写出的取值范围． 【B组---提高题】 1（2025·重庆·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求的长； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作交x轴于点M，点N为直线上一动点，过点N作轴交PM于点Q，连接，，，．当的面积取得最大值时，求的最大值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移，使平移后的新抛物线过点C，点D为新抛物线的对称轴与x轴的交点，点F为新抛物线对称轴上一动点，连接，．若平分，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出其中一个点F的坐标的求解过程． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 二次函数与四边形存在性问题 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 平行四边形的存在性问题 【题型二】 菱形的存在性问题 【题型三】 矩形的存在性问题 【题型四】 二次函数与四边形的综合性问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握二次函数的图象与性质； 2.掌握平行四边形的存在性问题，会进行分类讨论； 3.掌握菱形的存在性问题，会进行分类讨论； 4.掌握矩形的存在性问题，会进行分类讨论. 1 特殊平行四边形的存在性问题 处理特殊平行四边形的存在性问题，要以它们的判定定理为依据，明确哪些点是定点或动点，再取决如何进行分类讨论. 2 平行四边形的存在性问题 (1)分类讨论 若以为顶点的平行四边形，则以哪两条边为对角线分类讨论. (2)动点产生平行四边形的一般解法，以为顶点的平行四边形为例. 当与为对角线时，由左图可得，； 由右图(的中点也是的中点)可得. 两种想法有异曲同工之处. 3 菱形的存在性问题 处理以为顶点的菱形的存在性问题，要视情况而定，弄清楚哪些点为定点和动点. 情况1 在平行四边形存在性问题的基础上再利用邻边相等或对角线相互垂直处理； 情况2 以对角线相互垂直进行分类讨论. 4 矩形的存在性问题 处理以为顶点的矩形的存在性问题，要视情况而定，弄清楚哪些点为定点和动点. 情况1 在平行四边形存在性问题的基础上再利用内角为或对角线相等处理； 情况2 以内角为进行分类讨论. 【题型一】 平行四边形的存在性问题 【典题1】（2025·吉林·模拟预测）如图，已知抛物线过点、，点是直线上一点． (1)求此抛物线对应的函数解析式和顶点坐标； (2)当点在抛物线上时，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (4)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)点的坐标为 (4)存在．点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解得该抛物线的函数解析式，并将其转化为顶点式，即可确定该抛物线的顶点坐标； （2）把代入抛物线的解析式，进行求解即可； （3）结合（1）可知该抛物线的对称轴为，并确定该抛物线与轴的另一个交点的坐标；结合点是直线上一点，并根据抛物线轴对称的性质可得，易得，故当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小，即可确定答案； （4）根据题意，设，，分是平行四边形的一边和是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴此抛物线的函数解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）由（1）知：， ∵点是直线上一点，且点在抛物线上， ∴当，， ∴； （3）∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴为， 设该抛物线与轴的另一个交点为， 令，可得， 解得，， ∴， 如下图， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， ∵点在直线上， 当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小， 如下图， 此时， ∴， ∴点的坐标为； （4）∵点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上， ∴可设，， ①如下图， 当是平行四边形的一边时， 则有， ∴，解得， ∴； ②如下图， 当是平行四边形的对角线时， 则有， ∴，解得， ∴． 综上所述，存在以点为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 变式练习 1（2025·湖南娄底·三模）已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的情况下，将抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线为抛物线对称轴上一点，为抛物线上一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出B、C坐标，进而求出直线的表达式为，再求出对称轴，进而求出点D的坐标，则根据求出，设点的坐标为，则点的坐标为，再由，，列出关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求出平移后的抛物线解析式，进而得到平移后的对称轴，再分①当为的对角线时，②当为的边，且为对角线时，③当为的边，且为对角线时，三种情况分别平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入中，得 ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：在中标，当时，， 解得， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为． 设直线的表达式为， 将代入，得， 解得， 直线的表达式为， 抛物线表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， 点的坐标为， 如图，过点作轴交于点． 设点的坐标为，则点的坐标为， ，， ， ， 当时，取最大值， 当时，， 四边形面积的最大值为，此时点的坐标为； （3）解：抛物线的表达式为， 抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 点的横坐标为3， 设， 由（2）得，， 分以下三种情况讨论： ①当为的对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ， 解得， ， ； ②当为的边，且为对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ， 解得， ，； ③当为的边，且为对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ， 解得 ， ． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 【题型二】菱形的存在性问题 【典题1】（2025·湖南·模拟预测）定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点关于抛物线的对称点存在． ①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标； ②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由； 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)存在，点的坐标为 (3)①为所有实数，点的坐标为；②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形 【分析】（1）把点，点的坐标代入，利用待定系数法求解即可； （2）假设存在点关于抛物线的对称点，结合题意可知，的中点在抛物线上，进而求得，即可得点的坐标； （3）①设点关于抛物线的对称点为，得的中点为，代入抛物线解析式可得，即可求解； ②由题意得，由①可知，，，求得，，，分三种情况当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，结合菱形的性质分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：把点，点的坐标代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． （2）存在，点的坐标为，理由如下： 假设存在点关于抛物线的对称点， ∵点在抛物线的对称轴上 ∴， 又∵的中点在抛物线上，且， ∴在抛物线上， 对于，当，， ∴，解得， ∴点的坐标为； （3）①设点关于抛物线的对称点为， ∴的中点为， ∵的中点在抛物线上， ∴， ∴， 则为所有实数，点的坐标为； ②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： ∵对称轴为直线，， ∴， 由①可知，，， ∴，，， 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，解得或， 此时，或，； 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，此时方程无解，不存在使得； 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，此时方程无解，不存在使得； 综上，存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，菱形的性质，勾股定理等知识点，理解新定义，利用分类讨论的数学思想是解决问题的关键． 变式练习 1（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，若点B的坐标为，点D是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式： (2)连接，过点D作轴于点E，交线段于点F，当点D运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点D的坐标和的最大值； (3)连接，若关于y轴的对称图形是，是否存在点D，使得四边形为菱形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为时，的最大值为4 (3)点D的坐标是 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，由待定系数法求出直线的表达式为，则，列出关于函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）连接，交于点M，设点，由菱形的性质得，从而，解方程即可求解． 【详解】（1）将，分别代入， 得 解这个方程组，得 所以二次函数的表达式为． （2）设， 由，，可得直线的表达式为， 则， ∴ 当时，， 故点D的坐标为时，的最大值为4． （3）存在，理由如下： 如图，连接，交于点M， 设点， 若四边形为菱形， 则，， ∴， ∴，即， 解得， ∵点D在第一象限， 故当点D的坐标是时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数与几何综合，以及菱形的性质，数形结合是解答本题的关键． 【题型三】 矩形的存在性问题 【典题1】（2025·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数（是常数，）的图象与轴分别相交于点、（点位于点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．点关于的对称点为，连接．点为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_____． ②求点的坐标；（①、②中的结论均用含的代数式表示） (2)设是该函数图象上一点，点在上．探索：是否存在点．使得以、、、为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①，② (2)存在，或 【分析】本题考查二次函数与特殊三角形、特殊四边形的综合、一次函数的综合，涉及用待定系数法求函数解析式，函数图象和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是综合运用以上知识． （1）①令，则得出的坐标，即可求解； ②根据角平分线的性质可得点关于轴的对称点在直线上，则点关于轴的对称点在直线上，可得直线的解析式为，进而得出的坐标； （2）设，，分①以，为对角线时，②以，为对角线时，③以，为对角线时，分别根据中点坐标，勾股定理建立方程， 解方程，即可求解． 【详解】（1）解：①令，则， 或， ，， ， 故答案为； ②二次函数， ，对称轴， 平分， 点关于轴的对称点在直线上， 直线的解析式为， 点是抛物线和直线的交点， ． （2）设， ，． 以、、、为顶点的四边形是矩形， ①以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍），或， ， ②以，为对角线时， 的中点重合， ， ， ， ， ， （舍）或 ， ③以，为对角线时， 的中点重合， ， ， ， ， ，此方程无解， 即：存在，或． 变式练习 1（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，，解得或（舍去）， 则． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 把点代入得， 直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 【题型四】 二次函数与四边形的综合性问题 【典题1】（2025·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点． (1)如图，若抛物线过点，求抛物线的表达式； (2)如图，在（）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标； (3)若抛物线与正方形恰有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（）运用待定系数法进行解二次函数的解析式，得，再令，即可作答； （）运用待定系数法得到直线CE的表达式为 设点，则点，依题意把点代入，即可作答； （）分类讨论，如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，或如图，当抛物线与直线交点在点下方，且与直线交点在点上方时，与正方形有两个交点，联立不等式组， 即可作答． 【详解】（1）解：把，代入得： ，得， ∴， 令，则， 整理得：，解得：，， ∴； （2）解：如图所示： 设直线的表达式为过点，， ∴， 解得：， ∴， 设点，则点， 把点代入得，， 整理得：，解得：，， ∴； （3）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴点和点的横坐标为，点和点的横坐标为， 将代入得， ∴， ∴顶点坐标为， 当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点， ∴， ∴； 如图，当抛物线与直线交点在点下方，且与直线交点在点上方时，与正方形有两个交点， ， ∴， 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，解一元二次方程，解一元一次不等式组等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 变式练习 1（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴的负半轴上，顶点在第四象限，已知点坐标为，以为顶点的抛物线恰好经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质即可得到全等三角形，进而得到线段的长度，最后利用二次函数的待定系数法即可求得结果． 【详解】解：过作轴，交轴于；过点做于，；过点作于， ∵ ∴ ∵正方形 ∴且 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴在和中 ∴ ∴≌ ∴且 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵且 ∴四边形为正方形 ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∴设函数解析式为 ∴将代入解析式得到 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数与正方形性质的综合应用，掌握二次函数的顶点式与正方形性质的综合应用是解题的关键． 2（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b是常数）经过点．点P是该抛物线上一点，其横坐标为m，当点P不在x轴上时，作点P关于点O的对称点C，以为邻边构造．设抛物线的顶点为E． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当点E恰好落在边上时，求m的值； (3)当此抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围； (4)当点E在内部时，过点E作的平行线交于点F、交于点G，作的平行线交于点H、交于点K，当四边形与四边形的面积相等时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)或， (4) 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合、二次函数的性质、平行四边形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的顶点为E的坐标为，则、B的纵坐标为，进而得到点P的纵坐标为4，然后代入求得m的值，然后再检验点E是否在直线上即可解答； （3）设点P的坐标为，则点C的坐标为，，由顶点坐标可得当时，y随x的增大而减小，然后根据图形列不等式组求解即可； （4）如图：设点P的坐标为，则点C的坐标为，然后分别求得、，进而得到，结合已知条件可得求解即可． 【详解】（1）解：将代入抛物线可得：，解得：． ∴抛物线对应的函数表达式为． （2）解：∵， ∴抛物线的顶点为E的坐标为， 如图：∵点E恰好落在边上， ∴、B的纵坐标为， ∵点P关于点O的对称点C， ∴点P的纵坐标为4， ∵点P是该抛物线上一点，其横坐标为m， ∴，即，解得：或． 当时，点P的坐标为，点C的坐标为， ∵， ∴点B的坐标为， ∵， ∴点E恰好落在边上，即符合题意； 当时，点P的坐标为，点C的坐标为， ∵， ∴点B的坐标为， ∵， ∴点E恰好落不在边上，即符合题意； 综上，． （3）解：设点P的坐标为，则点C的坐标为，， ∵， ∴抛物线的顶点为E的坐标， ∴当时，y随x的增大而减小， 如图：当，点B、一定在第三象限，故线段一定在直线上方或重合， ∵E ，， ∴直线解析式为， 所以过点平行于直线解析式为， 联立直线、抛物线得 ，解得：，， 即：直线与抛物线的交点为，， 故由图可知点P在直线与直线之间的抛物线上， ∴，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小； 如图：当，点一定在第二象限，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小； 综上，当或，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小； （4）解：如图：设点P的坐标为，则点C的坐标为， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为 ∵且过， ∴设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 令，则，解得：，即， ∴ ∵且过， ∴直线的解析式为， 联立，解得：，即， ∵，四边形与四边形的面积相等且 ∴， ∴，解得：． 【A组---基础题】 1（2025·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，二次函数表达式为，若该函数的图象与四边形的边有交点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得出二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，根据二次函数经过时，最大，求解即可． 【详解】解：二次函数表达式为， 故二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 若该函数的图象与四边形的边有交点， 则当二次函数经过时，最大， 代入得，解得：（舍去）或， 故选：C． 2（2025·河北唐山·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及求函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的图象与性质， 用交点式确定函数表达式，然后分两种情况分析：当为平行四边形一条边时，当是四边形的对角线时，利用中点坐标及平行四边形的性质，分别求解即可； 【详解】解：根据题意得：； 故二次函数表达式为：； 当时，， ∴， ①当为平行四边形一条边时，如图1， 则， 故点P的横坐标为4，代入二次函数解析式中得纵坐标为3， 所以点坐标为， 当点在对称轴左侧时，即点的位置，点、、、为顶点的四边形为平行四边形， 故点或； ②当是四边形的对角线时，如图2， 中点坐标为， 设点的横坐标为，点的横坐标为2，其中点坐标为：， 即：，解得：， 故点； 综上：点或或； 故选：C 3（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴的一个交点为，与轴的交点为，将该图象关于原点中心对称后，点的对应点分别为．若四边形为正方形，则的值是（    ） A． B．8 C． D．或8 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与正方形综合，涉及二次函数图象与性质、正方形性质、解一元二次方程等知识，根据题意，分两类：当时；当时；讨论求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质、正方形性质、解一元二次方程等知识是解决问题的关键． 【详解】解：①当时， 由题意得为正方形的中心， ， 对于，令，得， ， 由的对称轴为，知二次函数图象的对称轴在轴右侧， 点在轴正半轴上， ， 把点代入，得，解得或（舍去）； ②当时， 由①知， 把点代入，得，解得或（舍去）； 综上所述，的值是或8， 故选：D． 4（2025·广东惠州·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上．若抛物线经过点，，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，菱形的性质，掌握这两个知识点是解题的关键；由抛物线解析式可得抛物线的对称轴，抛物线与y轴的交点，则由抛物线的对称性质可求得点C的坐标，从而求得A点坐标，即可求得点D的坐标． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 在中，令，得， 即； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴关于直线对称， ∴， ∴； ∵，， ∴由勾股定理得：， 即， ∴点D的横坐标为， ∴． 故答案为：． 5（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线平移后得到的新抛物线，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的表达式，并写出平移方式； (2)已知点C为抛物线的顶点，点P是y轴上一点，在上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的表达式为：，将向右平移2个单位向下平移3个单位得到 (2)点P的坐标为或 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、图象的平移，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）当为对角线时，由中点坐标公式得：，且，即可求解；当为对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得，新抛物线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 解得：， 则的表达式为：， 故将向右平移2个单位向下平移3个单位得到； （2）解：存在，理由： 由（1）知、设点，点，， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：，且， 解得：，，，即点； 当为对角线时， 同理可得：，且， 解得：，，，即点， 综上，点P的坐标为u或． 6（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在， (4)存在，点的坐标为：或或 【分析】（1）由对称轴为，计算得到，将点D的坐标代入抛物线表达式求出，计算即可； （2）求出，当时，，即可判断点D在抛物线上 （3）设点关于抛物线对称轴的对称点为点，可知，连接并延长交直线于点，此时最大，设直线的表达式为：，求出直线的表达式为：，即可得到 （4）连接，勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，进而得到当于点重合时，满足题意，作关于点得对称点，易得为等腰直角三角形，且点在抛物线上，得到点于点重合时满足题意，过点作的平行线交抛物线于点，求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标，求出，满足题意，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得：， 当时，， 故点D在抛物线上； （3）解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴ 连接并延长交直线于点，此时最大， 令，解得：， ∴， 设直线的表达式为：，将、两点坐标代入， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得， ∴ （4）存在，理由如下： 连接， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，存在正方形， 作点关于点的对称点，则：为等腰直角三角形， 当点与重合时，存在正方形， 对于，当时，， 故，在抛物线上，满足题意； 过点作的平行线交抛物线于点，则：， 同（2）法可得，直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴， 故存在正方形； 综上：存在，点的坐标为或或 7（2025·辽宁盘锦·三模）定义：在平面直角坐标系中，若点，的坐标满足（是常数，且），则称点，是一对“阶差值点”． (1)在点，中，能与点构成一对”阶差值点”的是 ； (2)已知点，点在函数的图象上，若点，是一对“阶差值点”，求点的坐标； (3)如图，抛物线交轴于点，点在抛物线的对称轴上．点的纵坐标为，且． 若点与点是一对“阶差值点”，求的值； 点为平面内一点，点为抛物线上的动点，若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是一对“阶差值点”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (4)点，是一对“阶差值点”，且直线过点，当直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于的点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)的值是或； (4)的取值范围为或． 【分析】（）根据“阶差值点”的定义，逐一分析判断即可； （）根据题意，可设，根据“阶差值点”的定义可得关于的方程，整理并求解，即可获得答案； （）首先确定点坐标，点坐标，结合“阶差值点”的定义，即可求解； 根据题意，可知点，或点，可以是一对“阶差值点”， 当点，是一对“阶差值点”时， 首先确定点坐标，过点，分别作轴的垂线，垂足为，证明 ，结合全等三角形的性质可确定点坐标，进而确定的值；同理当点在点上方时，求解的值，即可求解； （）首先根据题意确定直线的解析式为，结合直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于的点，易知直线经过由，，，组成的正方形区域 (含边界) ，然后分和两种情况讨论，分别求解即可. 【详解】（1）解：对于点，， ∵， ∴点，不是一对“3阶差值点”； 对于点，， ∵， ∴点，是一对“3阶差值点”； 故答案为：； （2）解：根据题意，可设， ∵点， 是一对“阶差值点”， ∴，整理可得， 解得，， 经检验，，是该方程的解， ∴点的坐标为或； （3）解：∵抛物线 的对称轴为， ∴， 将代入可得， ∴点， ∵点，是一对“阶差值点”， ∴， 解得； 存在， 根据题意，可知点，或点，可以是一对“阶差值点”， 当点，是一对“阶差值点”时， 如图，过点，分别作轴的垂线，垂足为， 则有， 解得， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵轴，轴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 将点代入，得； 同理当点在点上方时，如下图， 可得， 将点代入，得， 综上所述，的值是或； （4）解：若点，是一对“阶差值点”， 则有， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得， 又，可得， ∴， 又∵直线过点， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于的点， 即直线经过由，，，组成的正方形区域 (含边界) ，如图， 当时， 令，则有， 此时，解得， 即的取值范围为， 当时， 令，则有， 此时，解得， 即的取值范围为 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了新定义 阶差值点”、 一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的应用等知识，综合运用相关知识是解题的关键. 【B组---提高题】 1（2025·重庆·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求的长； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作交x轴于点M，点N为直线上一动点，过点N作轴交PM于点Q，连接，，，．当的面积取得最大值时，求的最大值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移，使平移后的新抛物线过点C，点D为新抛物线的对称轴与x轴的交点，点F为新抛物线对称轴上一动点，连接，．若平分，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出其中一个点F的坐标的求解过程． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】（1）令，解得点A和点B即可求得； （2）过点P作轴交于点K，则，可知当取得最大值时，的面积取得最大值，利用待定系数法求得直线的解析式为，设点，则点，那么，，可知点时，的面积取得最大值，根据题意求得直线的解析式为，则有点，进一步将点P向右平移个单位得到，即四边形为平行四边形，则，作点A关于直线的对称点，则，直线的解析式为，并求得，连接交于点Q，可知，利用勾股定理求得即可； （3）根据题意得，原抛物线沿x轴负半轴平移3个单位，沿y轴正半轴平移3个单位，则，根据角平分的性质和平行线的性质得，过点C作于点H，设点，则，利用勾股定理求得m即可． 【详解】（1）解：令，解得， ∴点， 则； （2）解：过点P作轴交于点K，如图， 则， 即当取得最大值时，的面积取得最大值， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， 那么，直线的解析式为， 设点，则点， ， 则点时，的面积取得最大值为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， 则直线的解析式为， ∴点， ∴， 将点P向右平移个单位得到， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 则， 作点A关于直线的对称点，连接交于点O，交轴于点G， 则， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则点，点， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， ，解得， 则点， 那么，点， 连接交于点，如图， 则， 当Q点与点重合时，取得最大值，且最大值为线段的长； ∵， ∴的最大值； （3）解：根据题意得，原抛物线沿x轴负半轴平移3个单位，沿y轴正半轴平移3个单位，则， ∴点F的横坐标为， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点H，如图， 设点，则， 在中，， 则，解得， 那么，或． 【点睛】本题主要考查二次函数和特殊四边形的综合，涉及二次函数的性质、二次函数与坐标轴的交点、一次函数的性质、平移的性质、平行四边形的判定和性质、三角形三边关系、勾股定理、角平分的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移的性质，本题难度较大． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$