高一下学期期末模拟测试卷（1）-2024-2025学年高一数学下学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一下学期期末模拟测试卷（1） 【人教A版2019】范围：必修二全册 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知是虚数单位，若，则（    ） A． B． C．10 D．2 【答案】A 【分析】由已知条件求出复数的一般形式，结合复数模的求解公式从而可选出正确答案. 【详解】解：，则， 故选:A. 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用交集、补集的概念计算即可. 【详解】由题意可知，所以，则. 故选：A 3．，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式可得集合，进而可得解. 【详解】解不等式可得或， ， 故， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4．已知，，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】利用正方体的结构特征，结合直线、平面的位置关系逐项判断. 【详解】如图所示： A. 若，满足，，则异面，故错误； B. 若平面ABCD，满足，，则a，b相交；故错误； C. 因为，，由垂直同一直线的两个平面平行，则，故正确； D. 若平面ABCD，满足，，，故错误； 故选：C 5．已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由OA＝OB＝OC＝R，且△ABC为AC斜边的直角三角形，O在底面ABC的射影为斜边AC的中点M，由棱锥的体积公式，可得OM，由勾股定理可得球的半径，运用球的体积公式计算可得． 【详解】由O为球心，OA＝OB＝OC＝R， 可得O在底面ABC的射影为△ABC的外心， AB＝6，，，可得△ABC为AC斜边的直角三角形， O在底面ABC的射影为斜边AC的中点M， 可得•OM•AB•BCOM•124， 解得OM＝2， R2＝OM2+AM2＝4+12＝16，即R＝4， 球O的体积为πR3π•64π． 故选D． 【点睛】本题考查球的截面性质和体积的计算，考查点在平面上的射影，考查化简计算能力，属于基础题． 6．某校举办《中国梦》主题演讲比赛，五位评委给某位参赛选手的评分分别为84，84，86，m，87，若这组数据的平均数为85，则这组数据的中位数为（    ） A．84 B．85 C．86 D．87 【答案】A 【分析】根据给定的平均数求出m，再利用中位数的定义计算作答. 【详解】依题意，，解得， 该选手所得分从小到大依次为：84，84，84，86，87， 所以这组数据的中位数为84. 故选：A 7．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为分段函数在上的减函数，则分段函数的每一段都为减函数，根据一次函数与对数函数的单调性，列出不等式，求解即可. 【详解】由题意有，得. 故选：B 【点睛】本题主要考查了已知分段函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题. 8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．若函数的图象关于直线轴对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角的余弦公式和两角的和差公式可得，再根据三角函数的平移变换可得，再利用条件结合正弦函数的对称性列方程即可求得的值． 【详解】由， 则， 又函数的图象关于直线轴对称， 则 ，得 ， 又，则，即． 故选：B． 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列不等式成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】当时，即可判断A；当，即可判断C；根据不等式的基本性质即可判断C，D． 【详解】对于A，当时，则，故A错误； 对于B，由，则，，故B正确； 对于C，当，则，故C错误； 对于D，由，，则，所以，故D正确． 故选：BD． 10．在中，内角的对边分别为，则下列关系式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正弦定理判断A，由余弦定理判断B,C，举反例可得 D错误. 【详解】对于A，在中，由正弦定理可知，故A正确； 对于B，由中，由余弦定理得，故B正确； 对于C，根据余弦定理可知，故C正确； 对于D，设，则， 以，故D错误. 故选：ABC 11．如图所示，三棱锥中，两两垂直，，点满足，，，、，则下列结论正确的是（    ）      A．当取得最小值时， B．与平面所成角为，当时， C．记二面角为，二面角为，当时， D．当时， 【答案】BCD 【分析】对于A：当AE取得最小值时，平面，根据已知可得三棱锥是正三棱锥，则点为正三角形的中心，即可根据相似与正三角形的中点性质得出答案； 对于B：由与平面所成角为，通过作图可知，再计算取到最小值为，取到最大值为，就可以得到； 对于C：过作，与交于，连接，，即可得出，，且，则为等腰直角三角形，且，设，根据已知得出，，即可得出，，即可得出答案； 对于D：当时，点在以为直径的圆上，即线段与该圆要有交点，则先去求出，根据几何知识计算即可得出答案. 【详解】对于A：当AE取得最小值时，平面， AP、AB、AC两两垂直，， ，则三棱锥是正三棱锥， 则点为正三角形的中心，此时可得，，故A是错误的； 对于B：由可知：为的中点，再取为的中点，    由平面，可得：平面，即平面平面，过点作，垂足为， 与平面所成角为，即， 则，当为的中点时，取到最小值， 在三角形中，， 可得：取到最小值为，取到最大值为， 又因为，所以可得最大值， 最小值为，由于点取不到端点， 所以，故B是正确的； 对于C：过作，与交于，连接，，   ，， ，面，面，故面， ，面，面，故面， 且都属于平面，， 平面平面， AP、AB、AC两两垂直，且平面，， 平面，则平面， 都垂直于，则，，且， 则为等腰直角三角形，且， 设，则，当时，有， 所以 在中，， 在中，， 则，故C是正确的； 对于D：当时，即点在以为直径的圆上，即线段与该圆要有交点， 设圆心为，连接与交于点，连接，如图，    则，则，即， ， AP、AB、AC两两垂直，， ， ，由，则，此时， ，， ，即，故， ，，则， 则，故D是正确的； 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：选项A，要知道满足条件的点E是三角形内部的动点，所以取最小值时，E就是点在平面的射影； 选项B，当，点在中位线上变动，而点在平面的射影落在底面的中位线上，由于，所以只需要求出取到最小值为，取到最大值为，从而可求出正弦值的取值范围； 选项C，要先作出这两个二面角的平面角分别是，，从而转化为解三角形即可； 选项D，由，转化为点在以为直径的圆上，即线段与该圆要有交点，从而转化为动直线与定圆相交的问题，最后只需要求出两个临界位置，再转化为范围即可. 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．给定数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的分位数为 【答案】 【分析】根据求百分位数的步骤求解即可得解. 【详解】将数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按从小到大的顺序排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5， 因为不是整数，所以第个数就是这组数据的分位数. 故答案为：. 13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且面积为，若，则 ． 【答案】3 【分析】由面积得，再结合，求出值，再利用余弦定理求出即可. 【详解】，解得：； 又，代入，得：或； 根据余弦定理得：，解得：. 故答案为：3． 14．如图，在中，，分别为边，上的中线，且与的夹角为，，，则的值为 . 【答案】 【分析】根据三角形重心的性质可得，进而由余弦定理可求，从而由数量积的运算法则即可得解. 【详解】假设为中线与的交点，则为三角形的重心， 因为，，即， 所以，， 由余弦定理得， 所以 . 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知平面向量， ． (1)求 (2)求实数为何值时，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可先对其平方，再利用向量数量积公式展开，最后开方得到结果； （2）根据向量垂直的性质，两垂直向量的数量积为，列出关于的方程求解. 【详解】（1）对进行平方可得. 已知，，，则. 又因为，，所以，则. （2）因为，所以. 展开： 将，，代入上式可得： ，整理得. 解得. 则实数时，. 16．某市统计局就当地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出如图所示的样本的频率分布直方图. (1)求居民月收入在内的频率； (2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数； (3)为了分析居民的收入与年龄､职业等方面的关系，按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人进行分析，则月收入在内的应抽多少人？ 【答案】(1)0.15 (2)2400 (3)25 【分析】（1）利用频率分布直方图，小矩形的面积即为频率，从而可得答案； （2）根据频率分布直方图，先确定中位数的位置，再由公式计算出中位数； （3）利用频率分布直方图和分层抽样的方法即可确定抽取人数. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，居民月收入在频率为； （2）由频率分布直方图可知， ，，， ， 所以样本数据的中位数为； （3）居民月收入在频率为， 所以10000人中月收入在的人数为人， 再从10000人用分层抽样方法抽出100人， 月收入在的人数为人. 17．如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点． 求证： (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角形中位线性质可证得，由线面平行的判定可证得结论； （2）由线面垂直性质可得，结合，由线面垂直的判定可得结论. 【详解】（1）连接， 四边形为正方形，为中点，又为中点，， 平面，平面，平面. （2）平面，平面，； 四边形为正方形，， 又，平面，平面. 18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角C的值； (2)若2a+b=6，且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2)6或 【分析】（1）利用正弦定理结合，代换整理得，再结合倍角公式整理；（2）根据面积公式代入整理得，结合题意可得或，分情况讨论处理． 【详解】（1）∵，则 ∵ ∴，即 ∵，则 ∴ （2）∵△ABC的面积为，则 ∴ 根据题意得，则或 若，则△ABC为等边三角形，的周长为6； 若，则，即，的周长为 ∴的周长为6或 19．如图，在三棱柱中，平面，，. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，再利用线面垂直的性质证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又，所以，又，平面， 故平面，又平面， 所以； （2）以为原点，分别以方向为轴，建立如图空间直角坐标系， 则 设平面的一个法向量为，， 由，得，令，则，故， 由图可得平面的一个法向量为 则， 所以二面角的余弦值为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一下学期期末模拟测试卷（1） 【人教A版2019】范围：必修二全册 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知是虚数单位，若，则（    ） A． B． C．10 D．2 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为 A． B． C． D． 6．某校举办《中国梦》主题演讲比赛，五位评委给某位参赛选手的评分分别为84，84，86，m，87，若这组数据的平均数为85，则这组数据的中位数为（    ） A．84 B．85 C．86 D．87 7．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．若函数的图象关于直线轴对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列不等式成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 10．在中，内角的对边分别为，则下列关系式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．如图所示，三棱锥中，两两垂直，，点满足，，，、，则下列结论正确的是（    ）      A．当取得最小值时， B．与平面所成角为，当时， C．记二面角为，二面角为，当时， D．当时， 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．给定数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的分位数为 13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且面积为，若，则 ． 14．如图，在中，，分别为边，上的中线，且与的夹角为，，，则的值为 . 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知平面向量， ． (1)求 (2)求实数为何值时，． 16．某市统计局就当地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出如图所示的样本的频率分布直方图. (1)求居民月收入在内的频率； (2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数； (3)为了分析居民的收入与年龄､职业等方面的关系，按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人进行分析，则月收入在内的应抽多少人？ 17．如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点． 求证： (1)平面； (2)平面． 18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角C的值； (2)若2a+b=6，且的面积为，求的周长. 19．如图，在三棱柱中，平面，，. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$