高一下学期期末模拟测试卷（2）-2024-2025学年高一数学下学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一下学期期末模拟测试卷（2） 【人教A版2019】范围：必修二全册 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（      ） A． B．2 C． D． 2．为调查参加考试的高二级1200名学生的成绩情况，从中抽查了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法正确的是（    ） A．1200名学生是总体 B．每个学生是个体 C．样本容量是100 D．抽取的100名学生是样本 3．已知水平放置的平面四边形，用斜二测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则的周长为（    ） A．2 B．6 C． D．8 4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知一个圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积2倍，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，是边BC上一点，，则（    ） A． B． C． D． 7．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，且，则此的面积为（    ） A．176 B．88 C．44 D．22 8．在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（    ） A． B． C． D． 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则（    ） A．向量的夹角为 B．若，则 C．若 ，则 D．向量在向量上的投影向量为 10．某高中学校对一次高二联考物理成绩进行统计分析，记录了学生的分数，其中分组的区间为，画出频率分布直方图，已知随机抽取的成绩不低于80分的有300人，若从样本中随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（   ） A．学生成绩众数估计为75分 B．学生成绩的平均数大于中位数 C．此次成绩在的学生人数为120人 D．学生成绩的第45百分位数为70 11．已知正四棱台 中，，侧棱与平面所成的角为，记该正四棱台的表面积为，体积为，则（    ） A． B． C．二面角为 D．正四棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．事件A与事件B为对立事件，已知，则 . 13．已知正四棱台中，侧棱与底面所成的角为，，则该四棱台的体积为 ． 14．已知二面角的大小为，二面角内一点到平面的距离分别为3和5，则到的距离为 . 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，. (1)若，求； (2)若，求向量与的夹角. 16．某企业为了解员工对“工作任务安排”的认可程度，人力部门随机抽取了200名员工，根据这200名员工对“工作任务安排”的认可程度给出的评分（评分均在［50，100］内），将所得数据分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这200名员工评分的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (2)估计这200名员工评分的第60百分位数； (3)为了了解部分员工对“工作任务安排”的认可程度较低的原因，人力部门从评分落在，的员工中用分层抽样的方法随机抽取54人进行沟通，求抽取的评分落在内的人数. 17．已知中，所对的边为，向量，，且． (1)求的大小； (2)若为中点，，且面积为，求边． 18．如图，在直三棱柱中，为，N，M分别为AB，的中点，且.    (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. (3)若，求二面角的正切值. 19．定义向量的“相关函数”为；函数的“相关向量”为. (1)求函数的“相关向量”的模长； (2)在中，角的对边分别为，若函数的“相关向量”为，且已知. ①求周长的最大值； ②求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一下学期期末模拟测试卷（2） 【人教A版2019】范围：必修二全册 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（      ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的概念及复数的除法即可求解. 【详解】， 所以z的虚部为. 故选：A. 2．为调查参加考试的高二级1200名学生的成绩情况，从中抽查了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法正确的是（    ） A．1200名学生是总体 B．每个学生是个体 C．样本容量是100 D．抽取的100名学生是样本 【答案】C 【分析】根据总体、个体、样本容量、样本的定义，结合题意，即可判断和选择. 【详解】根据题意，总体是名学生的成绩；个体是每个学生的成绩； 样本容量是，样本是抽取的100名学生的成绩；故正确的是C. 故选：C. 3．已知水平放置的平面四边形，用斜二测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则的周长为（    ） A．2 B．6 C． D．8 【答案】D 【解析】根据斜二测画法可换元原图形，根据原图形计算周长即可. 【详解】由直观图可得原图形如图， 根据斜二测画法可知，, 在中, , 又, 所以四边形的周长为, 故选：D 4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间中线面、面面的位置关系判断即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，若，则或与相交或与异面，故B错误； 对于C，若，则或与相交，故C错误； 对于D，若，则存在直线（不与重合），使得，又，则或与相交， 若，则，此时可以满足，只需即可，所以， 若与相交，则与也相交，又，所以与也相交，与相矛盾， 所以，则，故D正确； 故选：D. 5．已知一个圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积2倍，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的侧面积是底面积2倍，求得母线长，进而得到圆锥的高求解. 【详解】解：设圆锥的母线为l， 由题意得， 解得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为， 故选：B 6．如图，在中，，是边BC上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据题意，得到，，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】设， 因为，即，且， 又因为，可得， 则， ， 所以. 故选：A. 7．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，且，则此的面积为（    ） A．176 B．88 C．44 D．22 【答案】B 【分析】根据已知及正弦定理得、、，再由三角形内角的性质及和角正弦公式得，根据正弦定理得，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】由，则，易知为锐角， 由正弦定理知，而，即，故， 所以，故， 由， 由正弦定理知，可得，故. 故选：B 8．在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据计算可得，求出外接圆半径，再结合勾股定理可求出外接球的半径. 【详解】设正三棱锥底面边长为，底面正三角形的中心为，则顶点在底面的投影点为， 因为侧棱与底面所成的角为， 即， 在中，，，， ，， 正四棱锥体积为：, 因为，所以， 在正三棱锥中，外接球的球心在，设球心为， 设，根据球心到顶点距离相等可得，， 即，解得，所以， 所以. 故选：D 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则（    ） A．向量的夹角为 B．若，则 C．若 ，则 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】AC 【分析】对于A，直接由夹角公式计算即可；对于B，转换成即可验算；对于C，由向量平行的充要条件即可求解；对于D，由投影向量的定义即可求解. 【详解】对于A，向量的夹角的余弦值为，即向量的夹角为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，若 ，则存在实数，使得， 因为，所以不共线，所以，故C正确； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D错误. 故选：AC. 10．某高中学校对一次高二联考物理成绩进行统计分析，记录了学生的分数，其中分组的区间为，画出频率分布直方图，已知随机抽取的成绩不低于80分的有300人，若从样本中随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（   ） A．学生成绩众数估计为75分 B．学生成绩的平均数大于中位数 C．此次成绩在的学生人数为120人 D．学生成绩的第45百分位数为70 【答案】ACD 【分析】根据频率分布直方图估计出众数可判断A，求出平均数与中位数可判断B；由题中条件求出学生总人数，计算成绩在的频率及学生人数可判断C；计算第45百分位数可判断D. 【详解】由频率分布直方图得，成绩在的频率最高， 所以学生成绩众数估计为分，故A正确； 学生成绩的平均数为 ， ∵， ， ∴学生成绩的中位数在内，设中位数为， 由，得到， ∵，∴学生成绩的平均数小于中位数，故B错误； ∵成绩不低于80分的频率为， 又随机抽取的成绩不低于80分的有300人，∴学生总人数为， ∵成绩在的频率为， ∴此次成绩在的学生人数为人，故C正确； ∵， ∴学生成绩的第45百分位数为70，故D正确， 故选：ACD. 11．已知正四棱台 中，，侧棱与平面所成的角为，记该正四棱台的表面积为，体积为，则（    ） A． B． C．二面角为 D．正四棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为 【答案】ABD 【分析】设正方形、正方形的中心分别为，；设边，的中点分别为，，证明四边形为等腰梯形，过作，证明平面，，由此可得，，，再求正四棱台的表面积为，体积为，判断AB，证明是二面角的平面角，解三角形求其大小，判断C，确定球心位置及球的半径，结合球的表面积公式求外接球的表面积，判断D. 【详解】如图，设正方形、正方形的中心分别为，； 设边，的中点分别为，， 连接，，，，，，； 因为相交，所以四点共面， 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，又，，， 所以四边形为等腰梯形， 过作，则，又平面， 所以平面，故侧棱与平面所成的角为， 由已知， 在中，，， 所以，，， 因为，，， 又平面，平面，所以， 所以四边形为直角梯形，过作， 则为直角三角形，为直角，，， 所以， 对于A，可得， 所以，故A正确； 对于B，由于， 得，故B正确； 对于C，由于，，所以是二面角的平面角， 在中，，故C错误； 对于D，设，又，，， 若点在平面的上方，则，，与矛盾， 所以，由得，，解得， 故点在该正四棱台的外部，即球的半径为， 所以，故D正确， 故选：ABD． 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．事件A与事件B为对立事件，已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用对立事件的概率公式即可求解. 【详解】由对立事件概率公式，因为事件A与事件B为对立事件， 所以， 故答案为： 13．已知正四棱台中，侧棱与底面所成的角为，，则该四棱台的体积为 ． 【答案】/ 【分析】首先求棱台的高，再代入体积公式，即可求解. 【详解】由条件可知，上下底面对角线长为2和4，因为侧棱与底面所成角为， 所以高为，则四棱台的体积. 故答案为： 14．已知二面角的大小为，二面角内一点到平面的距离分别为3和5，则到的距离为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，作出二面角的平面角，利用余弦定理、正弦定理求解即得. 【详解】令于，于，平面，则， 由，得， 又是平面内的两条相交直线，则平面， 又平面，于是， 是二面角的平面角，， 则，在中，由余弦定理得， 而到的距离是四边形外接圆直径， 所以. 故答案为： 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，. (1)若，求； (2)若，求向量与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出，然后由向量平行的坐标表示与数量积建立方程组求解即可； （2）由向量垂直的坐标表示与数量积的定义求解夹角即可. 【详解】（1）设，由向量，， 所以，又，所以， 解得，故，所以. （2），所以，即， 所以，又，所以， 所以， 故向量与的夹角为. 16．某企业为了解员工对“工作任务安排”的认可程度，人力部门随机抽取了200名员工，根据这200名员工对“工作任务安排”的认可程度给出的评分（评分均在［50，100］内），将所得数据分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这200名员工评分的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (2)估计这200名员工评分的第60百分位数； (3)为了了解部分员工对“工作任务安排”的认可程度较低的原因，人力部门从评分落在，的员工中用分层抽样的方法随机抽取54人进行沟通，求抽取的评分落在内的人数. 【答案】(1)，79.5 (2)85 (3)24 【分析】（1）根据小矩形面积和为1得到关于m的方程，解出m值，再利用频率分布直方图中平均数公式求解即可； （2）根据百分位数的定义列方程求解即可. （3）求出各区间人数，再根据分层抽样的特点即可得到答案. 【详解】（1）由题意知，解得． 估计这200名员工评分的平均数. （2）前3组的频率为， 前4组的频率为， 则第60百分位数位于，设为， 则，解得， 即这200名员工评分的第60百分位数为85. （3）评分落在的人数：， 评分落在的人数：， 评分落在的人数：， 所以评分落在区间的员工的人数比例为， 所以应抽取的评分落在内的人数为. 17．已知中，所对的边为，向量，，且． (1)求的大小； (2)若为中点，，且面积为，求边． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由，得到，根据由正弦定理，化简得到，结合余弦定理，即可求解； （2）由，求得，根据，利用向量的数量积的运算律，求得，结合余弦定理，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，， 因为，可得， 又由正弦定理得，整理得， 由余弦定理，可得， 又因为，所以． （2）解：因为，可得，即，所以， 又因为，可得， 即，可得， 所以，所以． 18．如图，在直三棱柱中，为，N，M分别为AB，的中点，且.    (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. (3)若，求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）根据题意可证，，根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）证四边形为平行四边形，进而可得，结合（1）及面面垂直的判定定理即可证明； （3）过作的垂线，垂足为，可证，进而可知二面角的补角为，在三角形中求解即可. 【详解】（1）证明：，，为等边三角形， 为的中点，， 为直三棱柱，平面 平面 ， ，平面，平面 平面； （2）证明：连接，设，连接， 易知为的中点，又为的中点，，， 为的中点，，， 又，，，， 四边形为平行四边形，， 由（1）知平面 平面， 平面，平面平面；    （3）取的中点，连接，则， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 过作的垂线，垂足为，连接， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角的补角， 设，，则， 由等面积法可得， 则，则， 故二面角的正切值为．    19．定义向量的“相关函数”为；函数的“相关向量”为. (1)求函数的“相关向量”的模长； (2)在中，角的对边分别为，若函数的“相关向量”为，且已知. ①求周长的最大值； ②求的取值范围. 【答案】(1)1； (2)①；②. 【分析】（1）利用二倍角公式及和角的余弦公式化简，再求出函数的“相关向量”，进而求出模. （2）①利用定义求出，再利用余弦定理及基本不等式求出最大值；②利用数量积的定义及运算律列式，由（1）求出范围，换元借助二次函数求出范围. 【详解】（1）函数， 因此函数的“相关向量”为，， 所以所求模长为1. （2）①由函数的“相关向量”为，得， 由，得，在中，由余弦定理得， 则， ，当且仅当时取等号，， 所以周长的最大值为 ②由①知， ，而， 即，当且仅当时取等号，于是， 令，则 所以的取值范围为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$