精品解析：2025年 新疆中考黑白卷数学卷

白卷 新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团 2025年初中学业水平考试 数学试题卷 考生须知：1．本试卷分为试题卷和答题卷两部分，试题卷共4页，答题卷共2页． 2．满分150分．考试时间120分钟． 3．考生不得使用计算器；必须在答题卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 科赫曲线 C. 太极图 D. 阿基米德螺线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 3. 根据市场研究机构最新预测，预计到2027年，芯片市场规模将是2023年市场规模的2倍以上，达到1194亿美元．数据1194亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：亿， 故选：C． 4. 若点在轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查y轴上点的特点，根据y轴上点的横坐标为求出m值，即可求解． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴点A的坐标为， 故选：D． 5. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加乌鲁木齐市天山区中小学科技创新竞赛，下表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 95 97 97 95 方差 0.8 0.8 1.2 1.2 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差，先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定，于是可决定选乙组去参赛． 【详解】解：∵乙的平均数最大，方差最小， ∴乙成绩好且状态稳定， 故选：B． 6. 随着新疆旅游业的持续升温，喀什景区凭借其独特的人文风情与壮丽景色，成为了国内外游客心驰神往的热门打卡点．国庆假期第一天网络预约游客人，第二天网络预约游客人数比第一天的2倍多100人，则代数式“”的实际意义是（ ） A. 第一天比第二天多预约的游客人数 B. 第二天比第一天多预约的游客人数 C. 两天网络预约游客的总人数 D. 第二天网络预约的游客人数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查代数式的意义．根据第一天网络预约游客a人，得到第二天网络预约游客人，从而确定答案，准确用代数式表示相关数量是解决问题的关键． 【详解】解：第一天网络预约游客人，第二天人数为第一天的2倍加100，即． A：第一天比第二天多的人数应为，与代数式不符． B：第二天比第一天多的人数为，符合代数式． C：两天总人数为，不符． D：第二天人数为，不符． 故选：B． 7. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，连接，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，三角函数． 先求出，，，再根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：B． 8. 为治理新疆土地沙漠化，改善生态，某地区计划在沙漠边缘植树30万棵．因当地风沙大、气候特殊，为赶在风沙季前完成种植以保障树苗存活，实际每天植树棵数比原计划增加，提前3天完工．若设实际每天植树万棵，根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设实际每天植树x万棵，根据“提前天完成任务”列出方程即可． 【详解】解：设实际每天植树万棵，根据题意列方程为， 故答案为：D． 9. 已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②；③当时，函数值随的增大而增大；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关键，二次函数的图象与性质，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 由抛物线过点得，代入点得。 当时，结合得，从而确定为负数，可判断①； 计算，由，可判断②； 对称轴为，开口向下，分析函数增减性可判断③； 方程的解为和，结合顶点位置，可判断④． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线过点 ∴，∴，∴， ∵当时，与其对应的函数值， ∴， ∴， 解得：， ∴，均为负数，为正数。 ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大反而减小， ∵在对称轴右侧， ∴随增大而减小，故③错误； 抛物线， 当时，得方程， ∵， ∴， ∴，解得：或， 即有两个不等实根，故④正确， 综上所述，正确结论为①②④，共3个， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方与幂的乘方法则计算好可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查积乘方与幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方法则是解题的关键． 11. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为_____． 【答案】4 【解析】 【详解】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得到，然后解关于m的方程即可． 【分析】解：把代入得， 解得， 故答案为：4． 12. 某班在实验课上对化学实验进行测试，每个学生需在“二氧化碳的实验制取与性质”“粗盐的提纯”“溶液的配制”三个实验中随机抽签选取一个实验进行测试，则甲、乙两人中至少1人抽到“粗盐的提纯”实验的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算（树状图法），解题的关键是通过画树状图列出所有可能结果，再找出符合条件的结果数，进而计算概率． 用树状图列出甲、乙两人抽签的所有可能结果，数出至少1人抽到“粗盐的提纯”实验的结果数，再根据概率公式计算． 【详解】将“二氧化碳的实验制取与性质”“粗盐的提纯”“溶液的配制”三个实验分别记为A，B，C， 画树状图如解图： 根据树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人中至少1人抽到“粗盐的提纯”的结果有5种， ∴甲、乙两人中至少1人抽到“粗盐的提纯”实验的概率为． 故答案为：． 13. 如图，在正方形中，对角线，交于点，为边上一动点（不与点，重合），过点作于点于点，连接，若，则的最小值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了矩形判定和性质，垂线段最短，正方形的性质，等腰三角形三线合一，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 连接，根据正方形的性质得到，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，当时，最小，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形，， ∴，，，, ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵当取最小值时，的值最小， ∴当时，最小， ∵，， ， 此时， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 14. 如图，为反比例函数的图象上一点，过点作轴的垂线，垂足为是轴上一点（点在点右侧），以为邻边作矩形，连接与交于点，若点在反比例函数图象上，且，则的值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，坐标系中两点中点计算公式，熟练掌握以上知识点是关键． 设，则，，由矩形的性质可得为的中点，则，根据矩形面积计算公式可得，由在反比例函数图象上，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：设， 由条件可知， ∵四边形形是矩形，与交于点， ∴为的中点， ， ， ， ， 由条件可知， ， ， ． 故选：D． 15. 如图，在中，，，将三角形沿某条直线折叠，使点落在边上的点，折痕与边、分别交于点、．若折叠后的为等腰三角形，为直角三角形，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、折叠的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．连接，设，则，再根据为等腰三角形，可得，再根据折叠的性质可得，由此求出，最后分两种情况：①和，列方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵在中，， ∴，即， ∴， ∵在中，，为等腰三角形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 则分以下两种情况： ①当时，为直角三角形， ， ∴即， 解得，符合题意， ∴； ②当时，为直角三角形， ∴， 解得，符合题意， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）；． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、实数的混合运算、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． （1）利用有理数乘方、算术平方根、绝对值分别根据其性质计算出结果，再进行加减运算； （2）由因式分解和分式的混合运算法则计算即可化简分式，然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题． 详解】解：（1） ； （2） 当时，原式． 17. （1）解方程组：； （2）如图，在中，是的角平分线． ①尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的垂直平分线交于点； （要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） ②在①的条件下，连接，过点作交于点，求证：． 【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，作垂直平分线，角平分线的定义，三角形全等的判定及性质，解题的关键是作出相应的辅助线； （1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． （2）①作线段的垂直平分线即可； ②利用垂直平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质证明出，再通过等量代换即可证明． 【详解】（1）解： 得： 解得：， 将代入①得， 解得： ∴原方程组的解为： （2）①解：作图如下： ②证明：作图如下： 的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 18. 在人工智能技术飞速发展的时代，某校为了解学生对人工智能知识的熟悉程度，组织了一场知识测试，随机抽取名学生参加测试，对测试成绩（百分制）进行整理、描述和分析，将测试成绩划分为四个等级，并制作出不完整的统计图如下： 等级数据（单位：分）：，，，，，，，，，． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，并填空：_____，_____； （2）抽取的名学生中，等级成绩的中位数是_____分，众数是_____分； （3）该校共有1800名学生，若全部参加这次考核，请你估计成绩能达到等级的学生人数． 【答案】（1），，图见解析 （2）， （3）人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数、众数和用样本估计总体， （1）根据等级的人数和所占的百分比即可求出的值，再求出等级的人数即可补全条形图，根据总人数和等级的人数即可求出的值； （2）根据中位数和众数的定义即可得出答案； （3）用乘以等级所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：， 故等级的人数为，补全条形图如下： ∵， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 B等级成绩从小到大排列处在中间位置的两个数是和，因此中位数是=83.5， 成绩出现次数最多的是，因此众数是， 故答案为：，； 【小问3详解】 （人）， 答：估计成绩能达到等级的学生人数有人 19. 如图，在中，分别过点、作、边的平行线交于点，、分别是、的中点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，满足什么数量关系时四边形是矩形，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定、等腰三角形三线合一，熟悉特殊平行四边形的判定与性质是解决本题的关键． （1）由作法可知四边形是平行四边形， ，进而可得，即可证得四边形为平行四边形； （2）当时，由为的中点得，由此即可平行四边形为矩形． 【小问1详解】 证明：∵由题意可知：,, ∴四边形是平行四边形， ∴ ， ∵、分别是、的中点，即：， ， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， 【小问2详解】 解：当时，四边形是矩形， 理由：∵，为的中点， ∴， ∴平行四边形为矩形． 20. 某数学实践活动小组安排了一次主题项目学习，请你利用所学知识回答问题． 实践主题 数学来源于生活，数学服务于生活 实践目标 运用所学知识进行实地测量，深入探究数学知识 工具准备 测角仪、测距仪、作图工具等 测量方案 【实践场地】如图，公园有一块三角形池塘，两边紧靠围墙，为一条笔直小路，无法直接确定池塘的边长． 【设计图纸】 【实践过程】①用测角仪测量围墙所在直线与小路所成夹角的度数； ②用测距仪测量小路的长． 【数据收集】． 【提出问题】 （1）两面围墙的夹角的度数为_____； （2）三角形池塘的面积为多少？ 【深入探讨】（3）如何利用测量的数据求出的值？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键； （1）根据三角形外角的性质及邻补角可进行求解； （2）过点A作于点F，然后根据三角函数值可求出，，进而问题可求解； （3）过点C作于点G，由（2）及三角函数值可进行求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）过点A作于点F，如图所示： 由（1）可知：，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）过点C作于点G，如图所示： 由（2）可得：，，，， ∴ ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴． 21. 现有一个小果园种植甲、乙两种果树，种植棵甲果树（为正整数），每年所获得的利润（元）与之间的函数关系式为，且当时，；种植棵乙果树（为正整数），已知乙果树每年成本由人工成本、物资成本和其他成本三部分组成，人工成本与的平方成正比，物资成本与成正比，其他成本不变为80元．若乙果树每棵每年可收入800元，种植乙果树每年所获得的利润为（元），经过统计获得如下数据： （棵） 10 40 （元） 4920 7920 （1）求出关于，关于的函数关系式； （2）若这个小果园计划种植甲果树的数量是乙果树数量的一半，求当种植多少棵甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大？最大是多少？ 【答案】（1），； （2）当种植17棵或18甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握利润=总收入总支出的关系式和待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法和二次函数的性质解答即可；利用利润=总收入-总支出得到，再利用待定系数法解答即可； （2）设每年的总利润为W元，则，利用题意得到W与x的函数关系式，利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵当时，元， ∴， ∴， ∴； 由题意得：， 由表格可得：当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设每年的总利润为W元，则， 由题意：， ∴ ， ∵， ∴当时，W有最大值，但x为正整数，抛物线的对称轴为直线， ∴当或18时，W有最大值，W的最大值为14548元， ∴当种植17棵或18甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元． 22. 如图，是的直径，，是上的点，连接，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点，且，连接． （1）求证：； （2）若，，连接，求的长． 【答案】（1）见解析， （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键． （1）连接，根据切线性质可得，进而可得，根据两直线平行内错角相等可得，再由等边对等角可知，由此即可得出结论； （2）根据是的切线，可得，由是直径，可得，进而可得，由此即可证明，利用相似三角形性质可得，进而求出，，，在中由勾股定理可得，即可求得． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如（1）图所示， ∵是的切线， ∴， ∴， 又∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴．（负值已经舍去） 23. 如图，四边形是菱形，是线段的中点，是射线上一动点，连接是直线上两点（点位于点右侧），将直线绕点旋转后经过点，且． （1）【操作判断】 求的度数； （2）【问题探究】 如图①，若点在线段上，连接，若，求的长； （3）【拓展延伸】 如图②，若点在射线上（不与点重合），连接．探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）3 （3）或 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造全等三角形，利用菱形性质和角度关系进行推理计算． （1）通过旋转性质得，结合，从而求出度数； （2）在直线上截取（点不与点重合），连接，利用菱形性质，证明，结合已知边长和线段长度求； （3）需要分情况讨论，情况一：点在线段上；情况二：点在延长线上．分别画出图形，构造全等三角形，通过线段等量转化即可求解． 【小问1详解】 解：∵将直线绕点旋转后经过点， ， ， ； 【小问2详解】 如图，在直线上截取（点不与点重合），连接， ∵将直线绕点旋转后经过点， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是菱形， ， ， 又， ， ， ， ， ， ∴在中，， ， ∴在中，， ， ∴的长为3； 【小问3详解】 或， 理由如下： （1）当点在线段上时， 如图，在直线上截取（点不与点重合），连接， ∵将直线绕点旋转后经过点， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形为菱形， ， 又∵， ， ∴， ∵， ∴； （2）当点在延长线上时， 如图，在直线上截取（点不与点重合），连接， ∵将直线绕点旋转后经过点， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形为菱形， ， 又∵， ， ， ， ， 综上所述，之间的数量关系为或． 黑卷 新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团 2025年初中学业水平考试 数学试题卷 考生须知：1．本试卷分为试题卷和答题卷两部分，试题卷共4页，答题卷共2页． 2．满分150分．考试时间120分钟． 3．考生不得使用计算器；必须在答题卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 24. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数比较即可． 【详解】解：， ， 最小的数是． 故选：D． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，比较实数大小的方法：1、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；3、绝对值法：①两个正数比较大小，绝对值大的数大；②两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 25. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，关键是掌握三视图的概念及相关知识；根据从正面看到的图形有几行几列、每行每列有几个正方形，即可解题． 【详解】解：从正面看到的图形有3行3列，从下往上第1行有3个正方形，第2行有1个正方形，第3行有1个正方形， 它的主视图是： 故选：B． 26. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除法运算、幂的乘方及合并同类项运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．根据运算法则分别判断，进而得出答案． 【详解】解：A、 ，但选项结果为，错误，不符合题意； B、 ，但选项结果为，错误，不符合题意； C、 ，正确，符合题意； D、（合并同类项系数相加），但选项结果为，错误，不符合题意； 故选：C． 27. 如图，在中，过点作，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可推出，再利用平角定义求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 28. 如图，在数轴上的四个点中，对应的数最接近的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．先估算出在3和4之间，再结合数轴即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴在3和4之间， ∴与表示数的点最接近的是点是点P． 故选：D． 29. 一次函数的图象如图所示，则下列正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据函数图象得出其经过的象限，再由一次函数图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴，． 故选：C． 30. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个相等的实数根”． 根据方程的二次项系数不等于0结合根的判别式，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，， 解得：， 故选：A． 31. 如图是某隧道导洞的示意图，该导洞是以点为圆心的圆的一部分，已知路面宽度为的直径为，过点作交于点，交于点，连接，则该隧道口的拱高是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理． 先根据题意得到为的半径为，再根据勾股定理得到，即可求出的长度． 【详解】∵路面宽度为的直径为， ∴为的半径为， ∴， ∴ 故选：C． 32. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于两点，与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为轴于点，连接，若．结合图象判断下列结论：①点的坐标是；②；③；④一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，的取值范围在两点横坐标之间．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，两点间距离公式，证明，即可得到，由点的横坐标为轴于点，求出点C的坐标为，可得，即可得到点；进而可求出；再求出一次函数的解析式，进而求出，，利用两点间距离公式分别求出；根据函数图象可判断一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点的横坐标为轴于点，且点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点C的坐标为， ∴， ∴，故①正确； ∵轴于点， ∴， ∴，故②正确； 将代入一次函数得， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 将代入，则， 令， 解得：， 当时，， ∴，， ∴， ∴，故③正确； 根据函数图象可判断一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，的取值范围为或，故④错误； 故正确的结论有①②③共3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 33. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义，则分母不为零，据此得到，即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为 34. 在剪纸活动中，小唯同学想用一张矩形纸片剪出一个正六边形，其中正六边形的一条边与矩形的边部分重合，如图所示，则的大小为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角，熟练掌握正多边形的外角和等于是解题的关键． 根据正多边形的外角和为，正多边形的外角都相等即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 35. 某校举行了“普法知识竞答”活动．老师随机抽取了5位同学的答卷，成绩（单位：分）分别是100，87，96，90，82，则这组数据的中位数是_____． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数． 【详解】解：题目中数据共有5个，按从小到大排列后为： 82，87，90，96，100． 故中位数是按从小到大排列后第3个数， 故这组数据的中位数是 90． 故答案为：90． 36. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为5，则的长是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线性质知，．的周长，解方程得解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． 又的周长， 即， ∴． 故答案为：2． 37. 有两张相同大小的矩形纸片和，将其按如图所示的方式交叉叠放，重叠部分构成一个四边形，连接，，若，则的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理．先证明四边形是菱形，菱形的性质结合勾股定理求得，再利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：∵矩形纸片和， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵两张相同大小的矩形纸片和， ∴， ∵四边形的面积， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形的面积， 解得， 故答案为：． 38. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线为直线上方抛物线上的一个动点，连接交于点，则的最大值是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】题是考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求一次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 分别令、，可求得，三点的坐标，再运用待定系数法即可求得直线的函数表达式；过点作轴交直线于，设，且，则，得，由轴，可得，进而得，化成顶点是即可求得答案． 【详解】解：令，得， 解得：，， ∴，， 令，得：，∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的函数表达式为； 过点作轴交直线于， 设，且，则， ， ∵轴，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴最大值是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 39. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义，二次根式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，整式的混合运算等知识． （1）先根据绝对值的意义，二次根式的乘法，负整数指数幂，零指数幂等知识进行化简，再进行二次根式的加减即可求解； （2）先根据完全平方公式和单项式乘多项式，再计算整式加减法即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 40. （1）解不等式组，并把解集表示在数轴上； （2）为了有效解决车流和人流造成的交通拥堵问题，某城市街道修建了一座人行天桥，李先生在人行天桥修建前每天开车上班需用45分钟，自从人行天桥修建后，他按原路行驶的平均速度比原来提高了15千米/小时，比原来少用了15分钟到达公司，求李先生家与公司之间的距离． 【答案】（1）；数轴见解析；（2）李先生家与公司之间的距离为千米． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的应用； （1）先解不等式组中每一个不等式，再取它们的公共解集，最后把不等式组的解集在数轴上表示出来； （2）设李先生原来的速度为v千米/小时，则修建天桥后的速度为千米/小时，根据“路程不变”列方程，求解即可． 【详解】（1）解：， 解不等式 ①得：， 解不等式②得：， 把不等式①、②解集在数轴上表示如下： ∴不等式组的解集为； （2）解：设李先生原来的速度为v千米/小时，则修建天桥后的速度为千米/小时， 根据题意，， 解得千米/小时。 距离为：千米 答：李先生家与公司之间的距离为千米． 41. 如图，在中，． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上找一点使得； （要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，等边对等角，平行四边形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键； （1）作的垂直平分线交于点，连接，即可； （2）过点作交于点，根据平行四边形的性质可得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， 根据作图可得直线是的垂直平分线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 42. 某校组织七年级学生开展了以“走进科技，启迪未来”为主题的研学活动．活动项目有“科普讲座”“角色扮演”“模拟场景”“自然探索”（依次记为）．学校要求每位学生必须选择一项自己最想参加的活动项目．为了解学生对这几项活动的喜爱程度，随机在七年级学生中抽取了部分学生的信息进行整理，并绘制成如下表格和扇形统计图． 每个项目参加人数的统计表 活动项目 A 喜爱的人数/人 6 9 15 根据以上信息，解答下列问题： （1）求统计图表中_____，_____； （2）如果该校七年级有400名学生，估计选择“角色扮演”的学生有多少人？ （3）活动结束后，老师想从“科普讲座”“角色扮演”“模拟场景”“自然探索”四个项目中随机选取两个项目派两名学生代表谈研学体会，正好抽到“模拟场景”“自然探索”这两个项目的概率是多少？ 【答案】（1）20，18 （2）72 （3） 【解析】 【分析】本题考查了统计表与扇形统计图信息相关联，列表法或树状图法求概率：熟练掌握统计表与扇形统计图信息关联性，求扇形统计图中数据，样本估计总体，列表法或树状图法求概率，是解题的关键． （1）用D组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出C组的人数，B组所占百分比； （2）用400乘以样本中B组人数所占的百分比即可； （3）列表展示所有12种等可能的结果，再找出抽到“模拟场景”“自然探索”的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：∵D项目15人占， ∴抽取的学生人数（名）， ∴， ； 故答案为：20，18； 【小问2详解】 解：（名）， 答：选择“角色扮演”的学生约有72人； 【小问3详解】 解：列表： A B C D A A、B A、C A、D B B、A B、C B、D C C、A C、B C、D D D、A D、B D、C 共12种等可能结果，其中含C、D两种结果的有2种， ∴， 答：正好抽到“模拟场景”、“自然探索”这两个项目的概率是． 43. 新疆乌鲁木齐市红山公园内的红山塔是城市的重要地标，兼具历史、文化和自然景观价值，地处红山之巅，历经200多年风雪仍完好无损，被列为新疆维吾尔自治区级文物保护单位．某数学兴趣小组的同学为了测量红山塔（顶端到水平地面的距离），分成了甲、乙两组，他们分别设计了如下方案： 课题 测量红山塔的高度 分组 甲组的研究报告 乙组的研究报告 测量示意图 测量方案与测量数据 组长小明在点处用高的测角仪测出红山塔顶端的仰角 组长小军在处测得．然后沿方向走了，到达点处，这时测得 参考数据 ， ， 计算红山塔高度 … … （1）你认为哪组的测量方案存在问题，并提出修改建议； （2）请你选择一个合理的测量方案计算红山塔的高度． 【答案】（1）甲组的测量方案存在问题；建议：测量出测角仪与红山塔之间的距离 （2）选择乙组，红山塔的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，能够灵活运用直角三角形中边角的关系是解题的关键． （1）甲组测量数据缺少测角仪与红山塔底部的距离，由此可判断存在问题的是甲组的方案，修改建议只要再测量出测角仪与红山塔底部的距离即可； （2）用表示出，再利用列方程即可求出． 【小问1详解】 解：甲组的测量方案存在问题 建议：测量出测角仪与红山塔之间的距离； 【小问2详解】 解：过点A作于点B， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴ ∴， ∵米，， ∴， 解得（米）， 答：红山塔的高度为米． 44. 如图，在中，，以上一点为圆心，的长为半径作，交，分别于，两点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析； （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）连接，可得，由，可知，从而得到，所以，最后得到证明； （2）先证，可得，求出，利用勾股定理求出，最后在中利用勾股定理可得，列式计算即可求解． 小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设圆的半径为，则， ∵，， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查切线判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练地掌握圆的切线判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键，属于常考题型． 45. 某乐园包含多项主题演出与游乐项目，其中过山车“白龙飞天”是其经典项目之一．如图所示，为过山车“白龙飞天”的一部分轨道（为轨道最低点），它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）．以点所在水平线为轴，以点所在竖直线为轴建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表1米． （1）求抛物线的解析式； （2）点的纵坐标为30，当过山车运动到点处时，进入下一段轨道（接口处轨道长度忽略不计）．已知轨道所在抛物线的大小形状与所在抛物线完全相同，开口相反，与地面交于点，最高点的纵坐标为60，求的长度； （3）在（2）的条件下，已知轨道段有一竖直支柱，现需要对轨道段进行加固，架设某种材料的水平支架和竖直支架，，，，且要求．求当为何值时，材料总长最大，并求出最大值． 【答案】（1）； （2）米； （3）当时，即为9米时，材料总长最大，为267米． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）设解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）先求得，设抛物线 的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （3）由题意知点，设，用表示出、、、各点的坐标，得到材料总长关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可设抛物线的函数表达式为， 将代入 中， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， (舍去)， ∴， ∵抛物线的形状与抛物线完全相同，开口方向相反，最高点D的纵坐标为60， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入， 得， 解得，(舍去)， ∴， 当时，， 解得， (舍去)， ∴， ∴米； 【小问3详解】 解：由题意知点， 设， ∴，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴材料总长 ， ∵，， ∴当时，即为9米时，材料总长最大，为267米． 46. 在“综合与实践”课上，老师组织同学们以“正方形”为主题开展数学活动，如图①，在边长为6的正方形中，是边上的动点，过点作交于点，连接，与交于点，取的中点，连接． （1）【问题发现】 试判断线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； （2）【拓展探究】 如图②，延长交于点，连接，试判断线段，与的数量关系，并证明你的结论； （3）【问题解决】 在（2）的条件下，当是的三等分点时，直接写出线段的长． 【答案】（1）且， （2），证明见解析 （3）线段的长为或 【解析】 【分析】（1）根据四边形是正方形可得出和均为等腰直角三角形，证明，得出，即可得出结论； （2）将绕点A顺时针旋转得到，得，，，．证明可得结论； （3）当点P是的三等分点时，分和两种情况结合勾股定理和相似三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 结论：且， 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵F是的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； 综上所述：且． 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接， 则，，，． ∵正方形中，，， ∴， ∴H，B，Q三点共线， 由（1）知是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问3详解】 解：当点P是的三等分点时，分和两种情况： ①当时，由题意可知，， ∴，， 由（2）知，， 设，则，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴在中，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，解得． ②当时，则，， 由（2）知，， 设，则，， 在中，由勾股定理，得， 即，解得，即， ∴在中，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，解得， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白卷 新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团 2025年初中学业水平考试 数学试题卷 考生须知：1．本试卷分为试题卷和答题卷两部分，试题卷共4页，答题卷共2页． 2．满分150分．考试时间120分钟． 3．考生不得使用计算器；必须在答题卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 科赫曲线 C. 太极图 D. 阿基米德螺线 3. 根据市场研究机构最新预测，预计到2027年，芯片市场规模将是2023年市场规模的2倍以上，达到1194亿美元．数据1194亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若点在轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加乌鲁木齐市天山区中小学科技创新竞赛，下表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 95 97 97 95 方差 0.8 0.8 1.2 1.2 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 随着新疆旅游业的持续升温，喀什景区凭借其独特的人文风情与壮丽景色，成为了国内外游客心驰神往的热门打卡点．国庆假期第一天网络预约游客人，第二天网络预约游客人数比第一天的2倍多100人，则代数式“”的实际意义是（ ） A. 第一天比第二天多预约的游客人数 B. 第二天比第一天多预约的游客人数 C. 两天网络预约游客的总人数 D. 第二天网络预约的游客人数 7. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，连接，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 为治理新疆土地沙漠化，改善生态，某地区计划在沙漠边缘植树30万棵．因当地风沙大、气候特殊，为赶在风沙季前完成种植以保障树苗存活，实际每天植树棵数比原计划增加，提前3天完工．若设实际每天植树万棵，根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②；③当时，函数值随的增大而增大；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 计算：__________． 11. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为_____． 12. 某班在实验课上对化学实验进行测试，每个学生需在“二氧化碳的实验制取与性质”“粗盐的提纯”“溶液的配制”三个实验中随机抽签选取一个实验进行测试，则甲、乙两人中至少1人抽到“粗盐的提纯”实验的概率为______． 13. 如图，在正方形中，对角线，交于点，为边上一动点（不与点，重合），过点作于点于点，连接，若，则的最小值为_____． 14. 如图，为反比例函数的图象上一点，过点作轴的垂线，垂足为是轴上一点（点在点右侧），以为邻边作矩形，连接与交于点，若点在反比例函数图象上，且，则的值为_____． 15. 如图，在中，，，将三角形沿某条直线折叠，使点落在边上的点，折痕与边、分别交于点、．若折叠后的为等腰三角形，为直角三角形，则_____． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. （1）解方程组：； （2）如图，在中，是的角平分线． ①尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的垂直平分线交于点； （要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） ②在①的条件下，连接，过点作交于点，求证：． 18. 在人工智能技术飞速发展的时代，某校为了解学生对人工智能知识的熟悉程度，组织了一场知识测试，随机抽取名学生参加测试，对测试成绩（百分制）进行整理、描述和分析，将测试成绩划分为四个等级，并制作出不完整的统计图如下： 等级数据（单位：分）：，，，，，，，，，． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，并填空：_____，_____； （2）抽取的名学生中，等级成绩的中位数是_____分，众数是_____分； （3）该校共有1800名学生，若全部参加这次考核，请你估计成绩能达到等级的学生人数． 19. 如图，在中，分别过点、作、边的平行线交于点，、分别是、的中点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，满足什么数量关系时四边形是矩形，请说明理由． 20. 某数学实践活动小组安排了一次主题项目学习，请你利用所学知识回答问题． 实践主题 数学来源于生活，数学服务于生活 实践目标 运用所学知识进行实地测量，深入探究数学知识 工具准备 测角仪、测距仪、作图工具等 测量方案 【实践场地】如图，公园有一块三角形池塘，两边紧靠围墙，为一条笔直小路，无法直接确定池塘的边长． 【设计图纸】 【实践过程】①用测角仪测量围墙所在直线与小路所成夹角的度数； ②用测距仪测量小路的长． 【数据收集】． 【提出问题】 （1）两面围墙的夹角的度数为_____； （2）三角形池塘的面积为多少？ 【深入探讨】（3）如何利用测量的数据求出的值？ 21. 现有一个小果园种植甲、乙两种果树，种植棵甲果树（为正整数），每年所获得的利润（元）与之间的函数关系式为，且当时，；种植棵乙果树（为正整数），已知乙果树每年成本由人工成本、物资成本和其他成本三部分组成，人工成本与的平方成正比，物资成本与成正比，其他成本不变为80元．若乙果树每棵每年可收入800元，种植乙果树每年所获得的利润为（元），经过统计获得如下数据： （棵） 10 40 （元） 4920 7920 （1）求出关于，关于函数关系式； （2）若这个小果园计划种植甲果树的数量是乙果树数量的一半，求当种植多少棵甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大？最大是多少？ 22. 如图，是的直径，，是上的点，连接，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点，且，连接． （1）求证：； （2）若，，连接，求的长． 23. 如图，四边形是菱形，是线段的中点，是射线上一动点，连接是直线上两点（点位于点右侧），将直线绕点旋转后经过点，且． （1）操作判断】 求的度数； （2）【问题探究】 如图①，若点在线段上，连接，若，求的长； （3）【拓展延伸】 如图②，若点在射线上（不与点重合），连接．探究线段之间的数量关系，并说明理由． 黑卷 新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团 2025年初中学业水平考试 数学试题卷 考生须知：1．本试卷分为试题卷和答题卷两部分，试题卷共4页，答题卷共2页． 2．满分150分．考试时间120分钟． 3．考生不得使用计算器；必须在答题卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 24. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 25. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 26. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 27. 如图，在中，过点作，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 28. 如图，在数轴上的四个点中，对应的数最接近的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 29. 一次函数的图象如图所示，则下列正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 30. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 31. 如图是某隧道导洞的示意图，该导洞是以点为圆心的圆的一部分，已知路面宽度为的直径为，过点作交于点，交于点，连接，则该隧道口的拱高是（ ） A. B. C. D. 32. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于两点，与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为轴于点，连接，若．结合图象判断下列结论：①点的坐标是；②；③；④一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，的取值范围在两点横坐标之间．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 33. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 34. 在剪纸活动中，小唯同学想用一张矩形纸片剪出一个正六边形，其中正六边形的一条边与矩形的边部分重合，如图所示，则的大小为_____． 35. 某校举行了“普法知识竞答”活动．老师随机抽取了5位同学的答卷，成绩（单位：分）分别是100，87，96，90，82，则这组数据的中位数是_____． 36. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为5，则的长是_____． 37. 有两张相同大小的矩形纸片和，将其按如图所示的方式交叉叠放，重叠部分构成一个四边形，连接，，若，则的长是_____． 38. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线为直线上方抛物线上的一个动点，连接交于点，则的最大值是_____． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 39. 计算： （1）； （2）． 40. （1）解不等式组，并把解集表示在数轴上； （2）为了有效解决车流和人流造成的交通拥堵问题，某城市街道修建了一座人行天桥，李先生在人行天桥修建前每天开车上班需用45分钟，自从人行天桥修建后，他按原路行驶的平均速度比原来提高了15千米/小时，比原来少用了15分钟到达公司，求李先生家与公司之间的距离． 41. 如图，在中，． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上找一点使得； （要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 42. 某校组织七年级学生开展了以“走进科技，启迪未来”为主题的研学活动．活动项目有“科普讲座”“角色扮演”“模拟场景”“自然探索”（依次记为）．学校要求每位学生必须选择一项自己最想参加的活动项目．为了解学生对这几项活动的喜爱程度，随机在七年级学生中抽取了部分学生的信息进行整理，并绘制成如下表格和扇形统计图． 每个项目参加人数的统计表 活动项目 A 喜爱的人数/人 6 9 15 根据以上信息，解答下列问题： （1）求统计图表中_____，_____； （2）如果该校七年级有400名学生，估计选择“角色扮演”的学生有多少人？ （3）活动结束后，老师想从“科普讲座”“角色扮演”“模拟场景”“自然探索”四个项目中随机选取两个项目派两名学生代表谈研学体会，正好抽到“模拟场景”“自然探索”这两个项目概率是多少？ 43. 新疆乌鲁木齐市红山公园内的红山塔是城市的重要地标，兼具历史、文化和自然景观价值，地处红山之巅，历经200多年风雪仍完好无损，被列为新疆维吾尔自治区级文物保护单位．某数学兴趣小组的同学为了测量红山塔（顶端到水平地面的距离），分成了甲、乙两组，他们分别设计了如下方案： 课题 测量红山塔的高度 分组 甲组的研究报告 乙组的研究报告 测量示意图 测量方案与测量数据 组长小明在点处用高的测角仪测出红山塔顶端的仰角 组长小军在处测得．然后沿方向走了，到达点处，这时测得 参考数据 ， ， 计算红山塔高度 … … （1）你认为哪组的测量方案存在问题，并提出修改建议； （2）请你选择一个合理的测量方案计算红山塔的高度． 44. 如图，在中，，以上一点为圆心，的长为半径作，交，分别于，两点，连接，且． （1）求证：是切线； （2）若，，求的半径． 45. 某乐园包含多项主题演出与游乐项目，其中过山车“白龙飞天”是其经典项目之一．如图所示，为过山车“白龙飞天”的一部分轨道（为轨道最低点），它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）．以点所在水平线为轴，以点所在竖直线为轴建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表1米． （1）求抛物线的解析式； （2）点的纵坐标为30，当过山车运动到点处时，进入下一段轨道（接口处轨道长度忽略不计）．已知轨道所在抛物线的大小形状与所在抛物线完全相同，开口相反，与地面交于点，最高点的纵坐标为60，求的长度； （3）在（2）的条件下，已知轨道段有一竖直支柱，现需要对轨道段进行加固，架设某种材料的水平支架和竖直支架，，，，且要求．求当为何值时，材料总长最大，并求出最大值． 46. 在“综合与实践”课上，老师组织同学们以“正方形”为主题开展数学活动，如图①，在边长为6的正方形中，是边上的动点，过点作交于点，连接，与交于点，取的中点，连接． （1）【问题发现】 试判断线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； （2）【拓展探究】 如图②，延长交于点，连接，试判断线段，与的数量关系，并证明你的结论； （3）【问题解决】 在（2）的条件下，当是的三等分点时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $