专题08 弧、弦、圆心角的关系（9大题型+过关训练）-2025-2026学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

专题08 弧、弦、圆心角的关系 目录 【题型一 由弧、弦、圆心角的关系判断结论的正误】 1 【题型二 利用弧、弦、圆心角的关系求线段长度】 3 【题型三 利用弧、弦、圆心角的关系求角度】 6 【题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求弧的度数】 8 【题型五 利用弧、弦、圆心角的关系求面积】 11 【题型六 利用弧、弦、圆心角的关系求周长】 14 【题型七 利用弧、弦、圆心角的关系进行证明】 17 【题型八 利用弧、弦、圆心角的关系判断线段或弧长间的关系】 19 【题型九 利用弧、弦、圆心角的关系求最值】 21 【题型一 由弧、弦、圆心角的关系判断结论的正误】 例题：（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C．到、的距离相等 D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴O到、的距离相等， 所以A、C、D选项正确， 不能证明是等边三角形，不一定成立， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，是的一条弦，直径，垂足为，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系逐一判断即可，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【详解】解：、∵直径， ∴，故不符合题意； 、∵直径， ∴，故不符合题意； 、∵直径， ∴， ∴，故不符合题意； 、∵直径， ∴与不一定相等，符合题意； 故选：． 2．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，根据弧、弦、圆心角的关系逐项判断即可求解，掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键 【详解】解：、∵， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵， ∴， ∴，该选项正确，不合题意； 、由已知条件无法判断与相等，故无法判断与相等，该选项错误，符合题意； 故选：． 【题型二 利用弧、弦、圆心角的关系求线段长度】 例题：（2025·安徽合肥·二模）如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定， 连接，可得，可得是等边三角形，，进入得出，再根据含直角三角形得性质得，然后根据勾股定理求出，则答案可得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 在中，， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的长为（    ） A．8 B．9 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆心角与弦之间的关系，等边三角形的性质与判定，连接，根据圆心角与弦之间的关系和平角的定义可证明，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推理，弧与弦之间的关系，勾股定理和三角形中位线定理，根据，得到，则由，证明为的中位线，得到，则可求出，利用勾股定理求出，即可利用勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，点M为的中点， ∵点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵的半径是6， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 【题型三 利用弧、弦、圆心角的关系求角度】 例题：（23-24九年级上·广东江门·期中）在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本性质（等弧对等弦）、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等弧对等弦和三角形内角和定理是解题的关键．本题根据同圆中弧相等则对应的弦相等，得出，从而判定为等腰三角形，再利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为来计算的度数． 【详解】解： （同圆中，等弧所对的弦相等） 是等腰三角形，（等腰三角形两底角相等） ，且（三角形内角和定理） 故选： ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到，根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径， ∴． 故选：C 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，的弦、相交于点，，为，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角圆周角之间的关系，以及三角形的外角性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 先通过得到，再通过为得到，进而再通过三角形的外角性质可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵为， ∴， ∵根据三角形的外角性质可知， ∴， 故答案为：100． 【题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求弧的度数】 例题：（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ． 【答案】/54度 【分析】本题主要考了圆心角、弧、弦的关系．注意掌握数形结合思想的应用． 根据圆心角与弧的关系可求得的度数，从而即可求解． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴， ∴弧度数等于． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，以为直径的半圆与分别相交于点D，E，则弧的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，弧与圆心角的关系，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，进而求得即可． 【详解】解：连接， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴弧的度数为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，的直径，半径，点D在弧上，，，垂足分别为E、F，若点E为的中点，弧的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 连接，交于点，进而得出四边形是矩形，结合已知条件证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点E为的中点，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴弧的度数为， 故答案为：． 【题型五 利用弧、弦、圆心角的关系求面积】 例题：（23-24九年级下·全国·课后作业）将按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，若阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查图形的面积，由图形可知按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，阴影部分占其中一份，即的面积是阴影部分的面积的八倍，据此数量关系计算即可． 【详解】解：按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，且阴影部分的面积为2， 的面积为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2023·湖北鄂州·一模）如图，以等边的一边为直径的半圆交于点，交于点，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，可得，，都是等边三角形，从而得弓形的面积弓形的面积，进而得阴影部分的面积的面积，进而即可求解． 【详解】连接，，， 是等边三角形， ，， ， ，，，都是等边三角形， ， 弓形的面积弓形的面积， 阴影部分的面积的面积， ， 是等边三角形，边长为， 过点作于点，则，， 的面积， 阴影部分的面积． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧与圆心角的关系，圆的对称性，得出阴影部分的面积等于的面积是解题的关键． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，点在上，顺次连接，且，． (1)求的度数； (2)若的半径为2，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系，垂径定理以及勾股定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据即可求解； （2）求出的度数可得，过点作交于点，连接，分别求出即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ． （2）解：∵，， ∴， ， 如图，过点作交于点，连接， 则过， 由（1）可得． 因为 ∴是等边三角形， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴． 【题型六 利用弧、弦、圆心角的关系求周长】 例题：（21-22九年级上·陕西西安·期末）如图，已知⊙O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．16cm 【答案】B 【分析】连接OD、OC，根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD是等边三角形，然后由可得=2cm，于是可以求出结果． 【详解】解：如图,连接OD、OC． ， ∠AOD=∠DOC=∠COB，； ∠AOD+∠DOC+∠COB=180°， ∠AOD=∠DOC=∠COB=60°； OA=OD， △AOD是等边三角形，⊙O的半径等于2cm， AD=OD=OA=2cm； ， AD=CD=BC=OA=2cm； 四边形ABCD的周长为:AD+CD+BC+AB=cm; 故选：B． 【点睛】本题考查了心角、弧、弦间的关系与等边三角形的判定与性质．在同圆中，等弧所对的圆心角相等． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，是半径为3的上的两点．若是的中点，则四边形的周长为 ．    【答案】12 【分析】通过等弧所对的圆心角相等和，得到和都是等边三角形，再求出四边形的周长． 【详解】解：连接，    ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴四边形的周长等于为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等弧所对的圆心角相等；等边三角形的判定和性质，熟练的运用等弧所对的圆心角相等是解本题的关键． 2．（2023·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(    )    A． B． C． D．a，b大小无法比较 【答案】A 【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解． 【详解】连接，    ∵点是的八等分点，即 ∴， ∴ 又∵的周长为， 四边形的周长为， ∴ 在中有 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键． 【题型七 利用弧、弦、圆心角的关系进行证明】 例题：（24-25九年级下·广东茂名·阶段练习）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，求出，根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）如图，已知点A，B，C，D是上四个点，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了圆中的弧、弦之间的关系，根据 ，得出，进而可得，即可得出． 【详解】证明：∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在中，弦，于，于． (1)求证：． (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，勾股定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键； （1）由题意得，进而问题可求证； （2）连接，垂径定理得到，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解． 【详解】（1）证明：， ， ∴， 即， ； （2）解：连接， ，， ． ． 【题型八 利用弧、弦、圆心角的关系判断线段或弧长间的关系】 例题：（24-25九年级上·陕西安康·期末）如图，是的弦，连接，若，则弦，之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据在同圆或等圆中，弧，弦，角之间任意一组量相等，另外两组也相等，即可得出结论． 【详解】解：， ． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，如图，取的中点E，连接，．证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，若，则与的大小关系是： ．（填“>”，“＜”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是利用三角形三边关系得到．如图，连接、，根据题意知，，又由三角形三边关系得到得到：． 【详解】解：如图，连接、， 在中，若， ， 在中，． ． 故答案为：． 【题型九 利用弧、弦、圆心角的关系求最值】 例题：（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】如图，延长交于点，连接，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图所示，在扇形中，，半径，点F在上，且．点C、D分别在线段、上，，E为的中点，连接．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧与圆心角的关系，线段最小值问题，等边三角形的判定及性质，解题的关键是明确当，，共线时，的值最小，此时． 连接，，结合题意得，再求出当，，共线时，的值最小，此时，得为等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ，， ， ∵E为的中点， ， ， ， 当，，共线时，的值最小，如图， 此时，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，则， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，是的直径，是上一动点，的最小值是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，垂径定理，圆心角与弧之间的关系，作点A关于的对称点C，连接，则，可证明点C在上，再证明，得到三点共线，根据可得当C、P、B三点共线时，最小，即此时最小，则的最小值为． 【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点C，连接， 由轴对称的性质可得垂直平分， ∴， ∵是的直径， ∴点C在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴当C、P、B三点共线时，最小，即此时最小， ∴的最小值为， 故答案为：10； 一、单选题 1．（24-25九年级下·上海·阶段练习）下列命题中，真命题的是（   ） A．如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等 B．平分弦的直径一定垂直于这条弦 C．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 D．等弧所对的圆周角相等 【答案】D 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记圆的有关定义及性质． 【详解】解：A、同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、平分弦(不是直径)的直径一定垂直于这条弦，故原命题错误，不符合题意； C、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、等弧所对的圆周角相等，正确，是真命题，符合题意． 故选：D． 2．（2025·云南楚雄·三模）如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，圆心角与圆周角的关系．连接，由点是劣弧的中点得，故，再由得到即可． 【详解】解：如图，连接， 点是劣弧的中点， ， ， ， ， ∵， ∴． 故选：C． 3．（2025·广东·一模）已知为O的直径，为圆上（异于）的一点，连接，若点到直线与点到直线的距离相等且均为，则该圆的周长与面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查弧、弦、圆心角的关系，圆的周长和面积，连接，过点作于点，于点，由点到直线与点到直线的距离相等得，再判断，求出，进一步可得出该圆的周长与面积之比． 【详解】解：连接，过点作于点，于点，如图， ， ∵， ∴， ∴, ∴点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴该圆的周长与面积之比为， 故选：A． 4．（2025九年级下·四川巴中·学业考试）如图，内接于，，是的半径，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 由已知条件，可设，则，，于是可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ∴可设，则， ， ， ， ， 故选：D． 5．（2025·河南周口·三模）如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接．若的半径为，且，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键，连接，先证明，进而得，从而即可得解． 【详解】解：连接， ∵是的直径，于点， ∴，． ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， 故选：B 二、填空题 6．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且，若，则弧的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弦与圆心角的关系，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质；取的中点，连接，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，进而根据弦与圆心角的关系，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， 即弧的度数为； 故答案为：． 7．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，根据弦分圆周长为两部分，则分圆心角也为两部分，求出劣弧所对的圆心角，再根据等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵一条弦分为两部分， ∴这条弦所对的圆心角的度数为， ∴这条弦与两条半径构成一个等腰直角三角形， ∴这条弦的长度为． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，如果，那么 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了四量关系定理，取的中点D，连接，，得出根据，得出，从而得出，即可求出，从而得出答案． 【详解】解：取的中点D，连接，，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，已知的直径为，点是半圆上一个三等分点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定和性质，连接，可得，即得为等边三角形，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点是半圆上一个三等分点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵直径为， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，，是的直径，弦，则与的大小关系是 ． 【答案】相等 【分析】本题考查了平行线性质，等腰三角形性质，弧、弦、圆心角之间的关系，解题的关键在于熟练掌握相关知识．连接，利用等腰三角形性质和平行线性质得到，再结合弧、弦、圆心角之间的关系求解，即可解题． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 故答案为：相等． 三、解答题 11．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，点在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了圆心角，弧，弦的关系，熟知圆心角，弧及弦之间的关系是解题的关键， 根据圆心角，弧及弦之间的关系即可解决问题． 【详解】∵， 12．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，，，， 是 上的点，，． (1)求证：； (2)能否求出 的长?若能，求出 的长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能， 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理； （1）先证明即可得到结论； （2）由证明即可. 【详解】（1）证明：， ， 即 ． ∴． （2）解：∵， ． ， ． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，D、E分别为半径、上的点，，C为弧的中点，连接、、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查弧与圆心角的关系、全等三角形的判定与性质，根据等弧所对的圆心角相等得到，进而证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论． 【详解】证明：∵D、E分别为半径、上的点，， ∴，则， ∵C为弧的中点， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 14．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，是上的点，，分别交，于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由圆中弦、弧和圆心角的关系得到，再由圆的半径相等，结合两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形的性质即可得证； （2）由等腰三角形性质得到，，再结合（1）中，即可得到，从而由两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ； ； （2）证明：， ，， 由（1）知， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆中弦、弧和圆心角的关系，圆的基本性质，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记圆的性质及三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 15．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，是的弦，于点． (1)下列结论正确的是___________；（填序号） ；；． (2)若，，则的长为___________． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据垂径定理进行求解； （）根据垂径定理得到，，，再根据勾股定理可求出，进而即可解答； 本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵是的直径，， ∴，，故正确， ∴，故正确， 而②不一定正确， 故选：； （2）∵， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 弧、弦、圆心角的关系 目录 【题型一 由弧、弦、圆心角的关系判断结论的正误】 1 【题型二 利用弧、弦、圆心角的关系求线段长度】 2 【题型三 利用弧、弦、圆心角的关系求角度】 3 【题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求弧的度数】 4 【题型五 利用弧、弦、圆心角的关系求面积】 5 【题型六 利用弧、弦、圆心角的关系求周长】 5 【题型七 利用弧、弦、圆心角的关系进行证明】 6 【题型八 利用弧、弦、圆心角的关系判断线段或弧长间的关系】 7 【题型九 利用弧、弦、圆心角的关系求最值】 8 【题型一 由弧、弦、圆心角的关系判断结论的正误】 例题：（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C．到、的距离相等 D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，是的一条弦，直径，垂足为，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【题型二 利用弧、弦、圆心角的关系求线段长度】 例题：（2025·安徽合肥·二模）如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的长为（    ） A．8 B．9 C．6 D．4 2．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ． 【题型三 利用弧、弦、圆心角的关系求角度】 例题：（23-24九年级上·广东江门·期中）在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，的弦、相交于点，，为，则 °． 【题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求弧的度数】 例题：（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，以为直径的半圆与分别相交于点D，E，则弧的度数（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，的直径，半径，点D在弧上，，，垂足分别为E、F，若点E为的中点，弧的度数为 ． 【题型五 利用弧、弦、圆心角的关系求面积】 例题：（23-24九年级下·全国·课后作业）将按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，若阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 【变式训练】 1．（2023·湖北鄂州·一模）如图，以等边的一边为直径的半圆交于点，交于点，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，点在上，顺次连接，且，． (1)求的度数； (2)若的半径为2，求的面积． 【题型六 利用弧、弦、圆心角的关系求周长】 例题：（21-22九年级上·陕西西安·期末）如图，已知⊙O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．16cm 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，是半径为3的上的两点．若是的中点，则四边形的周长为 ．    2．（2023·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(    )    A． B． C． D．a，b大小无法比较 【题型七 利用弧、弦、圆心角的关系进行证明】 例题：（24-25九年级下·广东茂名·阶段练习）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）如图，已知点A，B，C，D是上四个点，． 求证：． 2．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在中，弦，于，于． (1)求证：． (2)若的半径为5，，求的长． 【题型八 利用弧、弦、圆心角的关系判断线段或弧长间的关系】 例题：（24-25九年级上·陕西安康·期末）如图，是的弦，连接，若，则弦，之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，若，则与的大小关系是： ．（填“>”，“＜”或“=”） 【题型九 利用弧、弦、圆心角的关系求最值】 例题：（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图所示，在扇形中，，半径，点F在上，且．点C、D分别在线段、上，，E为的中点，连接．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，的长为 ． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，是的直径，是上一动点，的最小值是 ． 一、单选题 1．（24-25九年级下·上海·阶段练习）下列命题中，真命题的是（   ） A．如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等 B．平分弦的直径一定垂直于这条弦 C．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 D．等弧所对的圆周角相等 2．（2025·云南楚雄·三模）如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东·一模）已知为O的直径，为圆上（异于）的一点，连接，若点到直线与点到直线的距离相等且均为，则该圆的周长与面积之比为（   ） A． B． C． D． 4．（2025九年级下·四川巴中·学业考试）如图，内接于，，是的半径，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河南周口·三模）如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接．若的半径为，且，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且，若，则弧的度数为 ． 7．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦的长度为 ． 8．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，如果，那么 ．（填“”、“”或“”） 9．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，已知的直径为，点是半圆上一个三等分点，则 ． 10．（24-25九年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，，是的直径，弦，则与的大小关系是 ． 三、解答题 11．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，点在上，．求证：． 12．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，，，， 是 上的点，，． (1)求证：； (2)能否求出 的长?若能，求出 的长，若不能，请说明理由． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，D、E分别为半径、上的点，，C为弧的中点，连接、、，求证：． 14．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，是上的点，，分别交，于点．求证： (1)； (2)． 15．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，是的弦，于点． (1)下列结论正确的是___________；（填序号） ；；． (2)若，，则的长为___________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$