专题07 垂径定理（8大题型+过关训练）-2025-2026学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

专题07 垂径定理 目录 【题型一 垂径定理的概念识别】 1 【题型二 由垂径定理求线段的长度】 2 【题型三 由垂径定理求面积】 3 【题型四 由垂径定理解决平行弦问题】 4 【题型五 由垂径定理求坐标】 4 【题型六 由垂径定理解决同心圆问题】 5 【题型七 垂径定理的推论】 6 【题型八 垂径定理的应用】 7 【题型一 垂径定理的概念识别】 例题：（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，是的一条弦，直径，垂足为，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山东临沂·开学考试）如图所示，中弦垂直直径于E，则下列结论：①弧弧；②弧弧；③；④，其中正确的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①④ 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，点B是弧的中点．下列结论错误的是（　　） A．点A是弧的中点 B． C．平分 D．平分 【题型二 由垂径定理求线段的长度】 例题：（2025·河南平顶山·一模）如图，是的弦，点 是圆上一点，于点．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·北京石景山·二模）如图，为的弦，，，半径于点，则的长为 ． 2．（2025·安徽·三模）如图，是的直径，弦于点，如果，半径为3，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【题型三 由垂径定理求面积】 例题：（24-25九年级上·北京·期中）如图，内接于，高经过圆心O．若，的半径为5，求的面积． 【变式训练】 1．（2025·湖北·二模）如图，已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积等于（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 2．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，是的直径，弦，垂足为P，若，求的面积． 【题型四 由垂径定理解决平行弦问题】 例题：（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【变式训练】 1．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 2．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 【题型五 由垂径定理求坐标】 例题：（2025·江西南昌·一模）如图，点，，半径为的经过点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格上格点，其中点、、，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是 ． 【题型六 由垂径定理解决同心圆问题】 例题：（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【变式训练】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 2．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【题型七 垂径定理的推论】 例题：（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 1．（2025·山西长治·三模）如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东湛江·二模）如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（   ） A． B．6 C．8 D．10 【题型八 垂径定理的应用】 例题：（2025·陕西汉中·二模）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积，如图，排污管道的横截面是直径为的，测得淤泥（阴影部分）横截面的最大宽度为，则淤泥的最大深度为（  ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·陕西榆林·三模）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图是某地的石拱桥局部，其跨度为24米，所在圆的半径为米，则这个弧形石拱桥的拱高（的中点C到弦的距离）为（   ） A．8米 B．6米 C．4米 D．2米 2．（2025·广东广州·二模）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为、深的小坑，则该铅球的直径为 ． 一、单选题 1．（2025·广西玉林·三模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点寸，寸，则直径长为（    ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 2．（24-25九年级下·湖南娄底·期中）如图，是的弦，半径，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．（2025·陕西渭南·二模）如图，内接于，是的直径，，点是劣弧的中点，连接交于点，，则弦的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．（2025·云南楚雄·二模）如图，在中，直径，连接，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·宁夏银川·一模）如图，的半径为5，圆心到弦的距离的长为3，则弦的长是 ． 7．（2025·浙江绍兴·一模）如图，是的直径，弦于点E，若，连结，则的长为 ． 8．（2025·浙江台州·一模）如图，的半径为4，以弦为边作，使，点为中点，连接．若，则的长为 ． 9．（2025·江苏扬州·一模）用直尺测胶带纸的外圆半径，如图所示，已知直尺宽，直尺两边与胶带外圆交于A、B、C、D四点，，则胶带外圆半径为 ． 10．（2025·浙江·模拟预测）某同学观察家中桌面上的瓯绣摆件，发现是由圆的绣面和一段劣弧支架组成，外部框架关于两圆圆心所在直线对称，通过测量得知，长，绣面（圆）最高点E到桌面距离为，到劣弧最高点M的距离为，则支架劣弧所在圆的半径是 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·重庆永川·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 12．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为，拱门最下端． (1)求拱门最高点到地面的距离； (2)现需要给房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门． 13．（2025·安徽淮北·二模）如图，为直径，E为弦的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)连接，若，四边形的面积为40，求的长． 14．（2025·上海·模拟预测）如图，在⊙O中，直径垂直于弦于点H． (1)联结，求证：； (2)若四边形是菱形，求的值． 15．（2025·广东东莞·一模）如图，在中，直径为，． (1)请用尺规作图法过点作的垂线，交于点，交劣弧于点，保留作图痕迹不写作法； (2)求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 垂径定理 目录 【题型一 垂径定理的概念识别】 1 【题型二 由垂径定理求线段的长度】 3 【题型三 由垂径定理求面积】 5 【题型四 由垂径定理解决平行弦问题】 8 【题型五 由垂径定理求坐标】 11 【题型六 由垂径定理解决同心圆问题】 14 【题型七 垂径定理的推论】 18 【题型八 垂径定理的应用】 20 【题型一 垂径定理的概念识别】 例题：（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，是的一条弦，直径，垂足为，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系逐一判断即可，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【详解】解：、∵直径， ∴，故不符合题意； 、∵直径， ∴，故不符合题意； 、∵直径， ∴， ∴，故不符合题意； 、∵直径， ∴与不一定相等，符合题意； 故选：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山东临沂·开学考试）如图所示，中弦垂直直径于E，则下列结论：①弧弧；②弧弧；③；④，其中正确的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①④ 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧．据此进行判断解答． 【详解】解：∵中弦垂直直径于E，由垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧知：①弧弧；②弧弧；③； ④，故④错误， 其中正确的有①②③， 故选：B 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，点B是弧的中点．下列结论错误的是（　　） A．点A是弧的中点 B． C．平分 D．平分 【答案】D 【分析】本题主要查了垂径定理．利用垂径定理一一判断即可． 【详解】解：∵B是弧的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴平分，点A是弧的中点， 故A，B，C正确，D错误， 故选：D． 【题型二 由垂径定理求线段的长度】 例题：（2025·河南平顶山·一模）如图，是的弦，点 是圆上一点，于点．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理得，进而由勾股定理得，再根据线段的和差关系即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：于点，， ，， ∵， ∴， ∴， ， 故选：． 【变式训练】 1．（2025·北京石景山·二模）如图，为的弦，，，半径于点，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题关键是利用勾股定理求出待求线段． 根据垂径定理，先利用勾股定理求出，再求出的长． 【详解】解：∵为的弦，，半径于点， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 2． 2．（2025·安徽·三模）如图，是的直径，弦于点，如果，半径为3，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题应用垂径定理，连接，由得，在中，设半径为R，应用勾股定理得：，继而求得的长． 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴, 根据勾股定理： 解得， 故选：B． 【题型三 由垂径定理求面积】 例题：（24-25九年级上·北京·期中）如图，内接于，高经过圆心O．若，的半径为5，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，弧与弦的关系，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．连接，勾股定理求得，继而得出，根据三角形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，且经过圆心O，， ∴， ∵的半径为． ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（2025·湖北·二模）如图，已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积等于（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键．连接，过于H，则，可证明四边形是矩形得，则，再利用勾股定理求得，进而利用矩形性质求解即可． 【详解】解：连接，过于H，则，， ∵矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，则， 在中，， ∴矩形的面积等于， 故选：D． 2．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，是的直径，弦，垂足为P，若，求的面积． 【答案】 【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理等知识．连接OC．由垂径定理得到，设半径为r，则，．在中，根据勾股定理，得到方程，解得，即可求出的面积． 【详解】解：连接OC． ∵是的直径，，， ∴； 设半径为r，则，． 在中，根据勾股定理， 即， 展开得， 移项得， 解得， ∴的面积为． 【题型四 由垂径定理解决平行弦问题】 例题：（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 2．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 故答案为：7或17． 【题型五 由垂径定理求坐标】 例题：（2025·江西南昌·一模）如图，点，，半径为的经过点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及其应用是解题的关键．连接，过点作于点，轴于点，可得四边形是矩形，得出，，利用，，可得，，，利用垂径定理可得，则可得，利用勾股定理可得，即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，轴于点， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格上格点，其中点、、，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理推论的应用，连接，，作与的垂直平分线，交于一点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，交点即为所求圆弧的圆心，掌握垂径定理推论是解题的关键． 【详解】解：连接，，作与的垂直平分线，交于一点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，交点即为所求圆弧的圆心，如图， 则圆心是， 故选：． 2．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，求得点的坐标是解题的关键． 作轴于点，交于点，作于点，连接，由于，，得到点的坐标为，则，为等腰直角三角形，根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，则，即可得到答案． 【详解】解：如图，作轴于点，交于点，作于点，连接， 的圆心坐标是， ， 把代入得， 点的坐标为， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 【题型六 由垂径定理解决同心圆问题】 例题：（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】(1)见解析 (2)大圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【详解】（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 【变式训练】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即小圆的半径r为 2．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)小圆的半径r为 【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长； 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴ （2）解：连接，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 【题型七 垂径定理的推论】 例题：（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了垂径定理的推论、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理推论是关键．先利用垂径定理的推论得到，再利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：是的直径，是的弦，且 ， ． 故选A. 【变式训练】 1．（2025·山西长治·三模）如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查垂径定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选D． 2．（2025·广东湛江·二模）如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（   ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理的推论以及勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据垂径定理的推论得到，再对运用勾股定理即可求解半径． 【详解】解：∵为半径，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【题型八 垂径定理的应用】 例题：（2025·陕西汉中·二模）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积，如图，排污管道的横截面是直径为的，测得淤泥（阴影部分）横截面的最大宽度为，则淤泥的最大深度为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理的实际应用，掌握垂径定理，勾股定理是解答本题的关键；连接，可得，，，在中，通过勾股定理求得，然后即可求解； 【详解】解：连接，如图： 由题可得：，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式训练】 1．（2025·陕西榆林·三模）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图是某地的石拱桥局部，其跨度为24米，所在圆的半径为米，则这个弧形石拱桥的拱高（的中点C到弦的距离）为（   ） A．8米 B．6米 C．4米 D．2米 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键． 点O为所在圆的圆心，连接，根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案． 【详解】解：如图所示，点O为所在圆的圆心，连接， 由题意得：，，， 设，则， 根据题意可得：， 即， 解得：，（舍去）， 即米． 故选：C． 2．（2025·广东广州·二模）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为、深的小坑，则该铅球的直径为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，利用勾股定理进行求解，是解题的关键．由题意画出图形，设出未知数，由勾股定理列出方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意知，，，是半径，且， ， 设铅球的半径为，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 则铅球的直径为：， 故答案为：． 一、单选题 1．（2025·广西玉林·三模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点寸，寸，则直径长为（    ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【详解】解：设寸， ，AB是直径， 寸， ， ， ， 寸． 故选：D． 2．（24-25九年级下·湖南娄底·期中）如图，是的弦，半径，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质．连接，利用全等三角形的性质证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，设交于K．    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 3．（2025·陕西渭南·二模）如图，内接于，是的直径，，点是劣弧的中点，连接交于点，，则弦的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】该题考查了垂径定理，三角形中位线定理，根据垂径定理得出，从而得是的中位线，， ． 【详解】解：∵点是劣弧的中点，是半径， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 4．（2025·云南楚雄·二模）如图，在中，直径，连接，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形两锐角互余的性质，题目比较基础，掌握“直角三角形两锐角互余”是解题关键． 根据可得，然后根据直角三角形两锐角互余计算求解． 【详解】解：∵， ∴， 由∵， ∴， 故选：B． 5．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（2025·宁夏银川·一模）如图，的半径为5，圆心到弦的距离的长为3，则弦的长是 ． 【答案】8 【分析】此题考查了勾股定理和垂径定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求出的值即可． 【详解】解：连接， ∵的半径为5， ∴ ∵圆心到弦的距离的长为3， 由垂径定理知，点M是的中点，， 由勾股定理可得，， ∴． 故答案为：8 7．（2025·浙江绍兴·一模）如图，是的直径，弦于点E，若，连结，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．先利用垂径定理得出的长，设的半径为r，则，在中，利用勾股定理求出r的值，据此得出结论． 【详解】解： 是的直径，弦于点E，， ， 设的半径为r，则， 在中，，即， 解得， 故答案为：5 8．（2025·浙江台州·一模）如图，的半径为4，以弦为边作，使，点为中点，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质，连接，根据勾股定理得到，，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，进而列出方程，解方程求出，根据勾股定理求出，进而求出． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∵点M为中点， ∴， ∴， 在中，点M为中点， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·江苏扬州·一模）用直尺测胶带纸的外圆半径，如图所示，已知直尺宽，直尺两边与胶带外圆交于A、B、C、D四点，，则胶带外圆半径为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查垂径定理，勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．假设圆心为O，连接，过点O作，设，得出，再由垂径定理及勾股定理求解即可． 【详解】解：假设圆心为O，连接，过点O作，如图所示： 设，由题意，点F、O、G共线， ∵直尺宽， ∴， ∵过点O作， ∴， ∴即， 解得：， ∴， 故答案为：． 10．（2025·浙江·模拟预测）某同学观察家中桌面上的瓯绣摆件，发现是由圆的绣面和一段劣弧支架组成，外部框架关于两圆圆心所在直线对称，通过测量得知，长，绣面（圆）最高点E到桌面距离为，到劣弧最高点M的距离为，则支架劣弧所在圆的半径是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．设P，Q分别为两圆圆心，连接，，设，则，根据勾股定理列出式子，即可得到答案． 【详解】如解图，设P，Q分别为两圆圆心，连接，． 由题意可知，，，． 设，则，在中，由勾股定理得，解得， 支架劣弧所在圆的半径是5cm． 三、解答题 11．（24-25九年级上·重庆永川·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)4 (2)5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到；由勾股定理求出长． （1）由垂径定理得到； （2）设，得，由勾股定理可得,求出的值即可． 【详解】（1）解：∵直径， ∴； （2）解：∵， ∴ 设， ∵, ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 12．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为，拱门最下端． (1)求拱门最高点到地面的距离； (2)现需要给房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门． 【答案】(1)拱门最高点到地面的距离为 (2)工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键． （1）设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接，由垂径定理可得，则由勾股定理可得的长，据此求出的长即可得到答案； （2）设弦，且，连接，同理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图②中，设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接， ∵，经过圆心O， ∴， ∴， ∴， ∴拱门最高点到地面的距离为； （2）解：如图，设弦，且，连接． ∵，经过圆心O， ∴， ∴， ∴， 答：工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门． 13．（2025·安徽淮北·二模）如图，为直径，E为弦的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)连接，若，四边形的面积为40，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． （1）由垂径定理得，，然后由线段垂直平分线的性质可得答案； （2）连接，由四边形的面积为40求出，在中，由勾股定理求出，然后根据即可求解． 【详解】（1）证明：为弦的中点，为直径， ，， ， 为等腰三角形； （2）如图，连接， 四边形的面积为40， ， ， ， ，则， 在中，， ． 14．（2025·上海·模拟预测）如图，在⊙O中，直径垂直于弦于点H． (1)联结，求证：； (2)若四边形是菱形，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理、菱形的性质等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理得到垂直平分，即可证明结论成立； （2）根据菱形的性质得到，勾股定理证明，即可得到结论． 【详解】（1）解；如图， ∵直径垂直于弦于点H． ∴， ∴垂直平分， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ 15．（2025·广东东莞·一模）如图，在中，直径为，． (1)请用尺规作图法过点作的垂线，交于点，交劣弧于点，保留作图痕迹不写作法； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的判定，垂径定理，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）分别以为圆心，为半径画弧交于圆外一点，连接这一点与点，交于点，交劣弧于点，即可得到所作图形满足题干条件． （2）结合垂径定理得到，利用勾股定理求出，再根据求解，即可解题． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：直径为， ， ，， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$