专题06 圆（8大题型+过关训练）-2025-2026学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

专题06 圆 目录 【题型一 圆的基本概念】 1 【题型二 识别圆心角】 3 【题型三 求圆中弦的条数】 5 【题型四 圆的周长和面积】 7 【题型五 确定圆内一点最长的弦】 9 【题型六 判断点与圆的位置关系】 10 【题型七 由点与圆的位置关系求半径】 12 【题型八 圆中角度的计算】 14 【题型一 圆的基本概念】 例题：（2025·江苏连云港·二模）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了找圆心，沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心，据此可得答案． 【详解】解：∵圆的圆心一定在其直径上， ∴沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心， ∴一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折2次， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·湖北孝感·期中）如图，为上一点，按以下步骤作图： ①连接，②以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ③在射线上截取；④连接．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的基本性质，等边三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 由题意得是等边三角形，则，进而可得． 【详解】解：如图所示，连接 ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，已知四条弧线，点在其中一条弧线所在的圆上，则点在（   ）    A．所在的圆上 B．所在的圆上 C．所在的圆上 D．所在的圆上 【答案】A 【分析】本题考查了圆的特征，把各弧延长即可判断． 【详解】解：如图，    故选A． 【题型二 识别圆心角】 例题：（2025九年级下·全国·专题练习）下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是． 【详解】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角． 故选：B． 2．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角，圆的性质，等腰三角形的性质，解题的关键掌握相关知识．由，可得，再根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 即弦所对的圆心角的度数是， 故答案为：． 【题型三 求圆中弦的条数】 例题：（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径． 根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个． 【详解】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 【题型四 圆的周长和面积】 例题：（2025·广东深圳·模拟预测）如图，某圆形餐桌中央的正方形桌垫的面积为4平方米，则餐桌的面积为 平方米． 【答案】2π 【分析】本题主要考查正方形的性质和圆的面积，连接，由正方形的两种可求出根据勾股定理求出，再根据圆的面积计算公式可得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形，且面积为4， ∴， 连接，如图， ∵正方形内接于， ∴， ∴由勾股定理得， ∴的面积为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，两个同心圆组成的圆环面积是16，则以圆心O为一个顶点，分别以两圆半径为边长作正方形和正方形，点D在OA上，点F在OC上，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求出阴影部分面积，设大圆的半径为，小圆半径为，利用圆环面积等于即可求出． 【详解】解： 因为两个同心圆组成的圆环面积是16， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积=， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，在中，，弦的长为3，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆的面积公式，证明为等边三角形得出，再由圆的面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：D． 【题型五 确定圆内一点最长的弦】 例题：（24-25九年级上·河南周口·期末）若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为4， ∴圆的直径为8， ∵是半径为4的圆的一条弦， ∴， ∴弦的长不可能是10． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故选B． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键． 根据直径是圆中最大的弦解答即可． 【详解】解：如图，设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦， ∴过P，O作圆的直径，则，， ∴， ∴圆的直径为， 故答案为：6． 【题型六 判断点与圆的位置关系】 例题：（2025·吉林·二模）在中，，，以为圆心，长为半径画圆，则点和的位置关系，下列说法正确的是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，点与圆的位置关系，先证明，可得即可得到结论. 【详解】解：如图，∵在中，，， ∴， ∴， ∴以为圆心，长为半径画圆，则点在上， 故选：B． 【变式训练】 1．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则． 【详解】解：∵点在上， ∴点到圆心的距离为， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·黑龙江伊春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，在中，斜边上的高是，若以点D为圆心，以的长为半径画圆，则原点O在这个圆的（    ） A．外面 B．内部 C．圆周上 D．以上三种都有可能 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，勾股定理，点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与半径的关系是关键． 根据勾股定理得到，则，即圆的半径为，由等面积法得到，由此即可求解． 【详解】解：点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴的半径为， ∵， ∴， ∴， ∴原点O在这个圆的内部， 故选：B ． 【题型七 由点与圆的位置关系求半径】 例题：（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，掌握点P到圆心的距离，当时，点P在圆内是解题的关键． 根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵点P在半径为5的内， ∴， ∴点P到圆心O的距离不可能是6． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在同一平面内，点P到上的最大距离是11，最小距离是3，那么的半径 ． 【答案】4或7 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据题意，分①点P在内；②点P在外两种情况分别求解即可． 【详解】解：①当点P在内，如图1： ，， ， 的半径； ②当点P在外，如图2： ，， ， 的半径； 综上所述，的半径或7． 故答案为：4或7． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．首先确定的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出b的取值范围，即可得到正确选项． 【详解】解：∵半径为4．若点A在内， ∴， ∵点A所表示的实数为6， ∴， 故选：D． 【题型八 圆中角度的计算】 例题：（2025·湖北恩施·二模）如图，A，B，C三点在上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本性质，等边对等角，平行线的性质．利用半径相等结合等边对等角求得，，再根据平行线的性质列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点E，已知， ，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，圆的基本性质，连接，可证明，得到，由三角形外角的性质得到，再由得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025·四川内江·二模）如图所示，与的边相切，切点为B．将绕点B按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点C．若，则的度数为 ． 【答案】/85度 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，三角形外角的性质，根据旋转的性质得到，，则可证明是等边三角形，得到旋转角为，然后利用三角形外角和定理计算即可． 【详解】解：绕点按顺时针方向旋转得到，点落在上， ，， 连接，   ， ∴， 为等边三角形， ， 绕点按顺时针方向旋转了， ， ． 故答案为：. 一、单选题 1．（2025·云南保山·模拟预测）如图，是的直径，为弦，，垂足为E．如果，，那么的半径是（    ） A．5 B．7 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查圆的性质、勾股定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接， 为半径，在中根据勾股定理可得出的值． 【详解】解：连接， ． ， ． ． ， ，解得：． 故选：D． 2．（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 故选：B． 3．（2025·山东东营·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆心角，圆的等分，根据八个方位将圆形八等分，求出相邻两个方位间所夹的圆心角度数即可． 【详解】解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 4．（2025·云南西双版纳·一模）如图，是的直径，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明，则，结合是的直径，列式计算，得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 故选：C． 5．（2025·山东威海·一模）如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并且放大后的示意图，四边形是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质和圆，组合图形阴影部分面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形面积之间的关系． 由题意得半径为，阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积，代入计算即可． 【详解】解：四边形是边长为2的正方形， 正方形的对角线的长为， 半径的长为， ∵阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积， ∴阴影部分面积， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，为的直径，过点D的弦平行于半径，若的度数是，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，由，得出，由三角形的外角性质得出，再由平行线的性质即可得出 的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 7．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）若点A到圆心O的距离为，的半径是3，则点A在圆 （填“内、上、外”）． 【答案】外 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．根据点与圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：∵的半径是3，点A到圆心O的距离为， ∴点A到圆心的距离大于圆的半径， ∴点A在外． 故答案为：外． 8．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交于点D、点E，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关性质，等边对等角，三角形内角和定理．先利用互余计算出，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到，则根据三角形内角和定理可计算出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，已知：在中，直径弦于E，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，连接，设，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 10．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，，，垂足为点，，垂足为点，，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆的有关概念等知识，连接，证明，则有，，再由直角三角形性质可得，然后通过勾股定理求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积是， 故答案为：． 三、解答题 11．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．求得到圆心的距离，与圆的半径进行比较即可作出判断． 【详解】解：连接． C在上； 在直角中，， 则A在的外部； ，则E在内部； ，则在直角中，，则F在的外部． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且． (1)与相等吗？为什么？ (2)若、、三点在同一直线上，，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，理解圆的性质是解答关键． （1）根据圆的性质得到，再利用全等三角形的性质求解； （2）根据全等三角形的性质得到，结合已知求出，利用三角形外角性质求出的度数，再结合平角的定义求解， 【详解】（1）解：． 理由如下： ， ， ． 在和中， ， ， ． （2）解：由（1）得， ． ，， ， ， ，， ． 13．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，是的半径，点C在上，，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和，先根据半径相等得，再运用三角形内角和得，故，然后由得，即可作答． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 答：的度数为． 14．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，某小区修缮了一个圆环的花坛，其内圆半径为，外圆面积为． (1)求该圆环花坛的宽度； (2)求该圆环花坛的面积． 【答案】(1)圆环的宽度为 (2)圆环花坛的面积 【分析】本题考查二次根式的应用、圆的面积等知识点，明确圆的面积和半径的求法是解答本题的关键． （1）先求出外圆的半径，然后用外圆半径内圆半径，即可得到该圆环花坛的宽度； （2）先求出内圆的面价，然后用外圆面积内圆面积，即可得到该圆环花坛的面积． 【详解】（1）解：设外圆半径为， 根据题意得：，即：， ， ， 圆环的宽度为． 答：圆环的宽度为． （2）解： ． 答：圆环花坛的面积． 15．（24-25九年级下·全国·期中）已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 圆 目录 【题型一 圆的基本概念】 1 【题型二 识别圆心角】 2 【题型三 求圆中弦的条数】 3 【题型四 圆的周长和面积】 4 【题型五 确定圆内一点最长的弦】 5 【题型六 判断点与圆的位置关系】 5 【题型七 由点与圆的位置关系求半径】 6 【题型八 圆中角度的计算】 6 【题型一 圆的基本概念】 例题：（2025·江苏连云港·二模）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．4 D．8 【变式训练】 1．（24-25九年级下·湖北孝感·期中）如图，为上一点，按以下步骤作图： ①连接，②以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ③在射线上截取；④连接．则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，已知四条弧线，点在其中一条弧线所在的圆上，则点在（   ）    A．所在的圆上 B．所在的圆上 C．所在的圆上 D．所在的圆上 【题型二 识别圆心角】 例题：（2025九年级下·全国·专题练习）下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是 ． 【题型三 求圆中弦的条数】 例题：（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式训练】 1．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 【题型四 圆的周长和面积】 例题：（2025·广东深圳·模拟预测）如图，某圆形餐桌中央的正方形桌垫的面积为4平方米，则餐桌的面积为 平方米． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，两个同心圆组成的圆环面积是16，则以圆心O为一个顶点，分别以两圆半径为边长作正方形和正方形，点D在OA上，点F在OC上，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 2．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，在中，，弦的长为3，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型五 确定圆内一点最长的弦】 例题：（24-25九年级上·河南周口·期末）若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【变式训练】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 2．（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 【题型六 判断点与圆的位置关系】 例题：（2025·吉林·二模）在中，，，以为圆心，长为半径画圆，则点和的位置关系，下列说法正确的是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【变式训练】 1．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ． 2．（24-25八年级下·黑龙江伊春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，在中，斜边上的高是，若以点D为圆心，以的长为半径画圆，则原点O在这个圆的（    ） A．外面 B．内部 C．圆周上 D．以上三种都有可能 【题型七 由点与圆的位置关系求半径】 例题：（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【变式训练】 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在同一平面内，点P到上的最大距离是11，最小距离是3，那么的半径 ． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【题型八 圆中角度的计算】 例题：（2025·湖北恩施·二模）如图，A，B，C三点在上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点E，已知， ，则 ． 2．（2025·四川内江·二模）如图所示，与的边相切，切点为B．将绕点B按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点C．若，则的度数为 ． 一、单选题 1．（2025·云南保山·模拟预测）如图，是的直径，为弦，，垂足为E．如果，，那么的半径是（    ） A．5 B．7 C．12 D．13 2．（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东东营·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·云南西双版纳·一模）如图，是的直径，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东威海·一模）如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并且放大后的示意图，四边形是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，为的直径，过点D的弦平行于半径，若的度数是，则的度数为 ． 7．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）若点A到圆心O的距离为，的半径是3，则点A在圆 （填“内、上、外”）． 8．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交于点D、点E，则的度数为 ． 9．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，已知：在中，直径弦于E，，则的半径为 ． 10．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，，，垂足为点，，垂足为点，，则四边形的面积是 ． 三、解答题 11．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且． (1)与相等吗？为什么？ (2)若、、三点在同一直线上，，，求的度数． 13．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，是的半径，点C在上，，求的度数． 14．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，某小区修缮了一个圆环的花坛，其内圆半径为，外圆面积为． (1)求该圆环花坛的宽度； (2)求该圆环花坛的面积． 15．（24-25九年级下·全国·期中）已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$