微专题7：电磁感应中的单棒切割磁场模型 讲义-2026届高考物理一轮复习备考

【基础知识导航】/【精典例题导学】/【经典习题导练】 微专题7：电磁感应中的单棒切割磁场模型 【基础知识导航】 1．平动切割 (1)如下图(a)，在磁感应强度为B的匀强磁场中，导体以速度v垂直切割磁感线时，感应电动势E＝BLv. (2)如上图(b)，在磁感应强度为B的匀强磁场中，导体运动的速度v与磁场的方向成θ角，此时的感应电动势为E＝BLvsin θ. 2．转动切割 如上图(c)，在磁感应强度为B的匀强磁场中，长为L的导体绕其一端为轴以角速度ω垂直切割磁感线匀速转动，此时产生的感应电动势E＝BωL2. 3．有效切割长度 即导体在与v垂直的方向上的投影长度． 上图甲中的有效切割长度为：L＝sin θ.图乙中的有效切割长度为：L＝.图丙中的有效切割长度为：沿v1的方向运动时，L＝R；沿v2的方向运动时，L＝R. 【精典例题导学】 【例题1】如图1所示，长为L的金属导线下悬挂一小球，在竖直向上的匀强磁场中做圆锥摆运动，圆锥与竖直方向的偏角为θ，摆球的角速度为ω，磁感应强度为B，则金属导线中产生的感应电动势的大小是多少． 图1 A.BL2ωsin2 θ B.0 C. BL2ω D. BL2ω 【例题2】如图2所示，abc为一金属导体，ab＝bc＝l，置于磁感应强度为B的匀强磁场中．当导体以速度v向右运动时，ac上产生的感应电动势为 (　　) 图2 A．Blv B.Blv C.Blv D．Blv＋Blv E. 【变式2-1】如果金属导体向下运动，ac上产生的感应电动势为（ ） 【变式2-2】如果金属导体垂直ac斜向上运动，ac上产生的感应电动势为( ) 【例3】如图所示,半径为L的小圆与半径为的圆形金属导轨拥有共同的圆心,在小圆与导轨之间的环形区域存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场.现将一长度为的导体棒置于磁场中,让其一端O点与圆心重合,另一端A与圆形导轨良好接触.在O点与导轨间接入一阻值为r的电阻,导体棒以角速度ω绕O点沿逆时针方向做匀速圆周运动,其他部分电阻不计.下列说法正确的是( ) A.导体棒O点的电势比A点的电势低 B.电阻r两端的电压为 C.在导体棒旋转一周的时间内,通过电阻r的电荷量为 D.在导体棒旋转一周的时间内,电阻r产生的焦耳热为 【例4】如图所示，长L1宽L2的矩形线圈电阻为R，处于磁感应强度为B的匀强磁场边缘，线圈与磁感线垂直。求：将线圈以向右的速度v匀速拉出磁场的过程中， (1)拉力F的大小； (2)拉力的功率P； (3)拉力做的功W； (4)线圈中产生的电热Q; (5)通过线圈某一截面的电荷量q。 【经典习题导练】 考点 题号 错题统计 电磁感应中的电路问题 1、2、3、4 电磁感应中的图象问题 5、6、7、8 电磁感应中的动力学问题 6、7、10、12 电磁感应中的能量问题 5、7、8、9 综合应用 10、11、13、14 1．如图所示，两根相距为l的平行直导轨ab、cd，b、d间连有一固定电阻R，导轨电阻可忽略不计．MN为放在ab和cd上的一导体杆，与ab垂直，其电阻也为R.整个装置处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于导轨所在平面(指向图中纸面内)．现对MN施力使它沿导轨方向以速度v做匀速运动．令U表示MN两端电压的大小，则(　　) A．U＝vBl　　　　　　 B．U＝vBl C．U＝vBl　 D．U＝2vBl 2. 如图6所示，EF、GH为平行的金属导轨，其电阻可不计，R为电阻器，C为电容器，AB为可在EF和GH上滑动的导体横杆，有匀强磁场垂直于导轨平面，若用I1和I2分别表示图中两处导线中的电流，则当横杆AB(　　) 图6 A．匀速滑动时，I1≠0，I2＝0 B．匀速滑动时，I1≠0，I2≠0 C．加速滑动时，I1＝0，I2＝0 D．加速滑动时，I1≠0，I2≠0 3．如图所示，同一平面内的三条平行导线串有两个电阻R和r，导体棒PQ与三条导线接触良好；匀强磁场的方向垂直纸面向里。导体棒的电阻可忽略。当导体棒向左滑动时，下列说法正确的是(　　) A．流过R的电流为由d到c，流过r的电流为由b到a B．流过R的电流为由c到d，流过r的电流为由b到a C．流过R的电流为由d到c，流过r的电流为由a到b D．流过R的电流为由c到d，流过r的电流为由a到b 4．粗细均匀的电阻丝围成如图所示的线框，置于正方形有界匀强磁场中，磁感强度为B，方向垂直于线框平面，图中ab＝bc＝2cd＝2de＝2ef＝2fa＝2L.现使线框以同样大小的速度v匀速沿四个不同方向平动进入磁场，并且速度方向始终与线框先进入磁场的那条边垂直，则在通过如图所示位置时，下列说法中正确的是( ) A．ab两点间的电势差图①中最大 B．ab两点间的电势差图②中最大 C．回路电流图③中最大 D．回路电流图④中最小[来源:Zxxk.Com] 5.如图甲所示，地面上方高度为d的空间内有水平方向的匀强磁场，质量为m的正方形闭合导线框abcd的边长为L，从bc边距离地面高为h处将其由静止释放，已知h>d>L。从导线框开始运动到bc边即将落地的过程中，导线框的v－t图像如图乙所示。重力加速度为g，不计空气阻力，以下有关这一过程的判断正确的是(　　) A.t1～ t2时间内导线框受到的安培力逐渐增大 B. 磁场的高度d可以用v－t图中阴影部分的面积表示 C.导线框重力势能的减少量等于其动能的增加量 D. 导线框产生的焦耳热大于mgL 6．如图6甲所示，光滑导轨水平放置在斜向下且与水平方向夹角为60°的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示(规定斜向下为正方向)，导体棒ab垂直导轨放置，除电阻R的阻值外，其余电阻不计，导体棒ab在水平外力作用下始终处于静止状态．规定a→b的方向为电流的正方向，水平向右的方向为外力的正方向，则在0～t时间内，能正确反映流过导体棒ab的电流i和导体棒ab所受水平外力F随时间t变化的图象是( ) 图6 7.如图6所示，两固定的竖直光滑金属导轨足够长且电阻不计．两质量、长度均相同的导体棒c、d，置于边界水平的匀强磁场上方同一高度h处．磁场宽为3h，方向与导轨平面垂直．先由静止释放c，c刚进入磁场即匀速运动，此时再由静止释放d，两导体棒与导轨始终保持良好接触．用ac表示c的加速度，Ekd表示d的动能，xc、xd分别表示c、d相对释放点的位移．下列图中正确的是( ) 8. 如图8所示，直角三角形ABC是由同种金属材料制成的线框，线框位于与有界匀强磁场垂直的平面内．现用外力将线框ABC匀速向右拉进磁场，至AB边进入磁场前，设线框中产生的感应电动势为E、AB两点间的电势差为U、线框所受安培力的合力为F、回路中消耗的电功率为P，下列选项中画出了上述各物理量与图示位移x的关系图像，则与这一过程相符合的图像是(　　) 图8 9．(多选)如图所示，平行金属导轨与水平面间的倾角为θ，导轨电阻不计，与阻值为R的定值电阻相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度为B.有一质量为m长为l的导体棒从ab位置获得平行于斜面的，大小为v的初速度向上运动，最远到达a′b′的位置，滑行的距离为s，导体棒的电阻也为R，导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ.则(　　) A．上滑过程中导体棒受到的最大安培力为 B．上滑过程中电流做功发出的热量为mv2－mgs(sinθ＋μcos θ) C．上滑过程中导体棒克服安培力做的功为mv2 D．上滑过程中导体棒损失的机械能为mv2－mgssin θ 10．两足够长的平行金属导轨间的距离为L，导轨光滑且电阻不计，导轨所在的平面与水平面夹角为θ.在导轨所在平面内，分布磁感应强度为B、方向垂直于导轨所在平面的匀强磁场．把一个质量为m的导体棒ab放在金属导轨上，在外力作用下保持静止，导体棒与金属导轨垂直、且接触良好，导体棒与金属导轨接触的两点间的电阻为R1，完成下列问题： (1)如图甲，金属导轨的一端接一个内阻为r的直流电源．撤去外力后导体棒仍能静止．求直流电源电动势； (2)如图乙，金属导轨的一端接一个阻值为R2的定值电阻，撤去外力让导体棒由静止开始下滑．在加速下滑的过程中，当导体棒的速度达到v时，求此时导体棒的加速度； (3)求(2)问中导体棒所能达到的最大速度． 11.如图甲所示,在光滑的水平面上,有一质量、足够长的U形金属导轨,间距.一电阻值的细导体棒垂直于导轨放置,并被固定在水平面上的两立柱挡住,导体棒与导轨间的动摩擦因数,在两端接有一理想电压表(图中未画出).在U形导轨边右侧存在竖直向下、大小的匀强磁场;在两立柱左侧U形金属导轨内存在方向水平向左,大小也为B的匀强磁场.以U形导轨边初始位置为原点O建立x轴.时,U形导轨边在外力F作用下从静止开始运动,测得电压表示数与时间的关系如图乙所示.经过时间,撤去外力F,最终U形导轨静止.已知2 s内外力F做功.不计其他电阻,导体棒始终与导轨垂直,忽略导体棒的重力.求: (1)在2 s内外力F随时间t的变化规律； (2)在整个运动过程中,电路消耗的焦耳热Q； (3)在整个运动过程中,U形导轨边速度与位置坐标x的函数关系式. 12．（18分）一质量为m的导体棒在重力作用下可以沿两根平行光滑导轨下滑，导轨和水平面成a角,如图所示：在导轨上端ab间接一个阻值为R的电阻,导轨间的距离为d，整个系统处在匀强磁场B中,B的方向垂直于导轨和导体棒组成的平面向上。导轨和导体棒的电阻、滑动接触电阻以及回路的自感均忽略不计。 （1）求导体棒的最终速度。 （2）若将ab间的电阻改换成电动势为E、内阻为r的电源(电源正极与a端相接,负极与b端相接),求导体棒的最终速度。 （3）若将ab间的电阻改换成电感为L的线圈(不计电阻)，求导体棒的运动方程（其中，I为流过电感线圈的电流）。 13．磁悬浮列车常用电磁感应的原理进行驱动和制动。如图所示，两根相距为L的金属轨道固定于水平面上，导轨电阻不计。一根质量为m、长为L、电阻为R的金属棒两端放于导轨上，导轨与金属棒间的动摩擦因数为μ，棒与导轨的接触电阻不计。导轨左端连有阻值为2R的电阻，在电阻两端接有电压传感器并与计算机相连。轨道平面上有n段竖直向下的宽度为a、间距为b的匀强磁场，磁感应强度为B。金属棒初始位于处，与第一段磁场相距2a。 （1）若金属棒在处有向右的初速度，为使金属棒保持的速度一直向右穿过各磁场，需对金属棒施加一个水平向右的拉力，求金属棒进入磁场前拉力的大小和进入磁场后拉力的大小； （2）在（1）的情况下，求金属棒从运动到刚离开第n段磁场过程中，金属棒进入磁场前拉力所做的功和进入磁场后拉力所做的功； （3）若金属棒在处初速度为零，现对其施以水平向右的恒定拉力F，使棒穿过各段磁场，从金属棒进入第一段磁场计时，发现计算机显示出的电压随时间以固定的周期做周期性变化，求金属棒从处开始运动到刚离开第n段磁场整个过程中导轨左端电阻上产生的热量，以及金属棒从第n段磁场穿出时的速度。 14.（18分）如图所示,水平放置的两个同心金属圆环,圆心为O，半径r1=0.2m、r2=0.3m,同水平面内的两条水平轨道间距为L=1m,整个装置处于垂直水平面向下的匀强磁场中,磁感应强度大小B=2T,一长为r2，的金属棒od绕圆心端在水平面内以角速度ω顺时针匀速转动,ω=140rad/s,且与两圆环接触良好。两条导线分别接两个金属圆环,与单刀双掷开关、电容C为1F的电容器、电阻R为1Ω且质量m为1kg的金属棒ab连成如图所示电路;金属棒ab长度也为L,其与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2.现将开关S接1,充电完成后再接2,当金属棒ab加速度为0时恰好从MN端飞出,落到比水平轨道平面低h的水平地面上,h=0.8m,且落地位置与MN端的水平距离L0也为0.8m；不计空气阻力,除金属棒ab外,其余电阻均不考虑,重力加速度大小g=10m/s2,求: (1)金属棒od上的电流方向; (2)金属棒ab飞出后电容器上的电荷量Q; (3)金属棒ab在水平轨道上的运动时间t. 【参考答案】 例1.A 解析;金属导线的有效长度为L′＝Lsin θ 感应电动势E＝BL′2ω＝BL2ωsin2 θ 例2．B 解析：ab边不切割磁感线，bc边在竖直方向的分量可视为切割磁感线的有效长度，根据感应电动势公式得E＝Blvsin 60°＝Blv，答案为B. 变式2-1.D 变式2-2.E 例3.AC 解析：由右手定则可知,外电路中感应电流由A流向O,则O点电势比A点电势低,故A正确;感应电动势,电阻两端电压,故B错误;电路中电流为,周期为,在导体棒旋转一周的时间内,通过电阻r的电荷量为,故C正确；在导体棒旋转一周的时间内,电阻r产生的焦耳热为，故D错误. 例4. 【答案】 (1)　(2)　(3) (4)　(5) 【解析】 (1)当线圈以速度v切割磁感线时，其本身相对当一个电源 电动势大小E＝BL2v，I＝ 所以受到的安培力F安＝BIL2＝ 因为做匀速运动，拉力F＝F安＝ (2)拉力的功率P＝Fv＝ (3)拉力做的功W＝FL1＝ (4)线圈的动能未发生改变，拉力做的功全部转变成了热，Q＝W＝ (5)通过线圈某一截面的电荷量q＝I·Δt＝·Δt＝·Δt＝＝ 【经典习题导练】 1.A　解析：电路中电动势为E＝Blv，则MN两端电压大小U＝·R＝Blv. 2.AD 解析：当AB切割磁感线时，相当于电源，电容器的特点“隔直流”，两端间电压变化时，会有充电电流或放电电流．横杆AB匀速滑动时，产生的感应电动势不变，电容器两端间的电压不变，所以I2＝0，I1≠0，故A正确，B错误；横杆AB加速滑动时，根据E＝BLv知，电动势增大，电容器两端的电压增大，所带的电荷量要增加，此时有充电电流，所以I1≠0，I2≠0，故C错误，D正确． 3.B 4.A 解析：设ab段电阻为r，图①中ab两点间的电势差U＝3Ir，图②中ab两点间的电势差U＝Ir，图③中ab两点间的电势差U＝Ir/2，图④中ab两点间的电势差U＝Ir，所以ab两点间的电势差图①中最大，选项A正确B错误．回路电流图③中最小，其它回路电流相等，选项C、D错误． 5.D 解析：由题图乙可知，在0～t1时间内，导线框自由落体，t1～t2时间内导线框切割磁感线进入磁场，做加速度减小的减速运动，电流减小，则安培力在减小，A错误；在t1～t2时间段内，导线框切割磁感线，距离为l，完全进入后又做加速运动直到落地，所以磁场高度d为t1～t3时间内的位移，B错误；安培力做负功，所以重力势能减少量等于动能增加量和安培力做功的和，C错误；t1～t2时间内，F安>mg，克服安培力做的功大于重力做功，所以在下降过程中导线框产生的焦耳热大于mgL，D正确。 6．D [由楞次定律可判定回路中的电流始终为b→a方向，由法拉第电磁感应定律可判定回路电流大小恒定，故A、B两项错；由F安＝BIL可得F安随B的变化而变化，在0～t0时间内，F安方向向右，故外力F与F安等值反向，方向向左为负值；在t0～t时间内，F安方向改变，故外力F方向也改变为正值，综上所述，D项正确．] 7.BD　解析：c棒下落h的过程为自由落体运动，a＝g.设进入磁场瞬间速度为v，则由匀速运动有F安＝mg＝BIL＝，a＝0.此时释放d棒，在d棒自由下落h的过程中，c棒在磁场中下落2h，此过程c一直做匀速运动，a＝0.当d棒进入磁场后，c、d两棒运动速度相同，穿过闭合回路磁通量不变，无感应电流，无安培力，二者都做匀加速直线运动．共同下落h后，此时c棒离开磁场，d棒进入磁场h的距离，此时c、d的速度都是v′(v′>v)，d此时切割磁感线，产生感应电动势E′＝BLv′，F安′＝BI′L＝BL>F安＝mg，d棒做减速运动，d棒离开磁场后c、d两棒均以加速度a＝g做匀加速运动，故选项B、D正确． 点评：分析清楚c、d两棒在下述三个过程中的受力情况和运动情况是解决本题的关键．①c在磁场内，d在磁场外．②c、d都在磁场内．③c在磁场外，d在磁场内． 8.B 解析：设∠ACB＝θ，则线框切割磁场的有效长度为L效＝xtan θ，由电磁感应定律得：E＝BL效v＝Bvtanθ·x，则E与x成正比，选项A错误．设线框AB边长为L0，单位长度的电阻为r0，由闭合电路的欧姆定律得UAB＝L0r0＝L0r0，UAB与x成正比，选项B正确．由安培力F＝BIL效＝＝x2，则F与x2成正比，选项C错误．回路中消耗的电功率 P＝，可知P与x2成正比，选项D错误． 9.ABD　解析：本题考查的是电磁感应定律和力学的综合问题，上滑过程中开始时导体棒的速度最大，受到的安培力最大为；根据能量守恒，上滑过程中电流做功发出的热量为mv2－mgs(sinθ＋μcosθ)；上滑过程中导体棒克服安培力做的功等于产生的热也是mv2－mgs(sinθ＋μcosθ)；上滑过程中导体棒损失的机械能为mv2－mgssin θ. 10.答案：(1)　(2)gsinθ－　(3) 解析：(1)回路中的电流为I＝ 导体棒受到的安培力为F安＝BIL 对导体棒受力分析知F安＝mgsin θ 联立上面三式解得：E＝. (2)当ab杆速度为v时，感应电动势E＝BLv，此时电路中电流I＝＝ 导体棒ab受到安培力F＝BIL＝ 根据牛顿运动定律，有ma＝mgsinθ－F＝mgsin θ－ a＝gsinθ－. (3)当＝mgsin θ时，ab杆达到最大速度vm vm＝. 11.答案：(1)；(2)12 J (3) 解析：(1)根据法拉第电磁感应定律可知两端的电压大小为,得到, 根据速度与时间关系可知, 对U形金属导轨,根据牛顿第二定律有, 又, 代入数据整理可以得到; (2)由功能关系,有, 由于忽略导体棒的重力,则摩擦力为, 可得,即, 得到; (3)从开始运动到撤去外力F这段时间内导轨做匀加速运动,撤去外力F后,导轨做减速运动,最后速度减为0: ①时,根据位移与速度关系可知, 根据匀变速运动规律可知时; ②时,导轨先做减速运动,由动量定理得, 整理可以得到,当时，解得； ③当时,. 综上所述可得,U形导轨边速度与位置坐标x的函数关系 . 12.解析：(1)导体棒沿导轨下滑时,在沿导轨方向跨接杆受力有:重力分力 和安培力F。当导体棒下滑稳定时,此方向受力平衡,即 安培力F可以表达为 解出杆的稳定速度 13.【答案】(1)， (2)， (3)， 【解析】（1）金属棒保持的速度做匀速运动；金属棒不在磁场中有 金属棒在磁场中运动时，电路中的感应电流为，根据受力平衡可得 由闭合电路欧姆定律得 联立可得 （2）金属棒从运动到刚离开第n段磁场过程中，金属棒进入磁场前拉力所做的功和 金属棒在磁场区拉力F2所做的功为 （3）由于从金属棒进入第一段磁场计时，计算机显示出的电压随时间以固定的周期做周期性变化，可知金属棒进入每一段磁场时的速度都相同，等于从OO′运动2a位移第一次进入磁场时的速度，由动能定理有 要保证金属棒进入各磁场时的初速度都相同，金属棒在磁场中做减速度运动，离开磁场后再做加速度运动；金属棒经过每一段磁场克服安培力所做的功都相同，设为，金属棒离开每一段磁场时速度也相同，设为；由动能定理有 联立可得 又 则金属棒从处开始运动到刚离开第n段磁场整个过程中导轨左端电阻上产生的热量为 金属棒从第n段磁场穿出时的速度为 14.【解析】 (1)若磁场方向垂直水平面向下,对a由左手定则知,电流方向由a到6,电容器上极板带正电,故od棒的电流方向为o到d,由右手定则知,od棒的旋转方向为顺时针方向 （3分） (2)ab棒从AD端飞出后做平抛运动,设飞出时速度大小为,则有 (1分) (1分) 解得 =2 m/s (1分) ab棒从AD端飞出时加速度为0,则有 (1分) 设此时电容器两端的电势差为U,则有 (1分) 联立解得 U=5V (1分) 则金属棒飞出后电容器上的电荷量Q=CU=5C (1分) (3)设od棒旋转切割磁感线,产生的电动势为E,则有: (1分) (1分) 联立解得E=7V (1分) 从开关接2到ab棒飞出的过程中,电容器放电量=C(E-U)=2C (1分) 对ab棒,由动量定理得: (3分) 联立解得t=ls (1分) 【配套名师详解】【物理模型构建】【分层能力突破】/【成绩长效提升】 学科网（北京）股份有限公司 $$