第2周 集合的运算-【周测必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

—78 — 参考答案 高中同步周测卷 第一周 集合的概念、集合间的基本关系 考点·一应俱全 1.B [对于①:某校2025年入学的全体高一年级新生,对象确定,能 构成集合,故①正确;对于②:2的所有近似值,根据精确度不一样 得到的近似值不一样,对象不确定,故不能构成集合,故②错误;对 于③:某个班级中学习成绩较好是相对的,故这些学生对象不确 定,不能构成集合,故③错误;对于④:不等式3x-10<0的所有正 整数解有1、2、3,能构成集合,故④正确;故选B.] 【破题技巧】 解决集合含义问题的关键点 (1)一是确定构成集合的元素. (2)确定元素的限制条件. (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题. 2.C [因为{x|x2+1=0}=⌀,x 2x+4>0x+3<0 =⌀,所以①正确; 因为{y|y=2x2+1}=[1,+∞),{x|y=2x2+1}=R,所以②不正 确;因为 x x=1- (-1)n 2 ,n∈N ={0,1},{x|-1<x<2,x∈ N}={0,1},故③正确;{(x,y)|y= x-1+ 1-x}={(1,0)}≠ {0,1},故④错误.故选C.] 3.ABC [对于A,假设-1∈A,则令x=y=-1,则xy =1∈A ,令x =-1,y=1,则x+y=0∈A,令x=1,y=0,不存在xy ,即y≠0, 矛盾,∴-1∉A,故A对;对于B,由题,1∈A,则1+1=2∈A,2+ 1=3∈A,…,2022∈A,2023∈A,∴20222023∈A ,故B对;对于C, ∵1∈A,x∈A,∴1x ∈A ,∵y∈A,1x ∈A ,∴ y1 x =xy∈A,故C 对;对于D,∵1∈A,2∈A,若x=1,y=2,则x-y=-1∉A,故D 错误.故选ABC.] 4.C [依题意,A= x x=k+66 ,k∈Z = x x=(k+3)+36 ,k∈Z , B = x x=2k+36 ,k∈Z ,C = x x=4k+36 ,k∈Z = x x=2×2k+36 ,k∈Z ,而{x|x=k+3,k∈Z}=Z,{偶数}={x |x=2k,k∈Z},因此集合C 中的任意元素都是集合B 中的元素, 即有C⊆B,集合B 中的每一个元素都是集合A 中的元素,即B⊆ A,所以C⊆B⊆A.故选C.] 5.D [由 62+x∈N 和x∈Z可得A={-1,0,1,4},所以集合A 的真 子集个数为24-1=15个.故选D.] 6.-2 [a-d+a+d=aq+aq2,即a(q+q2-2)=0,又a≠0,所以 q2+q-2=0,解得q1=1,q2=-2,当q=1时,a=aq,与元素的互 异性矛盾,所以q=-2.q=-2时,A={a,-2a,4a},符合要求,故 答案为:-2.] 7.C [设x∈A∩B,因为A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|x=3k+ 1,k∈Z},所以x=2k+1=3n+1,k,n∈Z,故2k=3n,故n=2s,s∈ Z,所以x=6s+1,s∈Z,所以 A∩B={x|x=6k+1,k∈Z}.故 选C.] 8.C [因为A={x|2<x<4},B={x|1≤x≤3},所以A∪B={x| 1≤x<4},故选C.] 9.ABD [A={x|3x2-2x-1=0}= -13,1 ,因为B⊆A,当a= 0时,B=⌀⊆A,当a≠0时,B={x|ax-1=0}= 1a ,则1a = -13 或1 a=1 ,所以a=-3或1,综上所述,a=-3或0或1.故 选ABD.] 【易错提醒】 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系问题 时,必须考虑空集的情况,否则易造成漏解. (2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素 或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数 轴、Venn图等来直观解决这类问题. 10.m≥3 [因为A∩B=A,所以A⊆B,则m≥3.故答案为:m≥3.] 11.A [由A∪B={1,2,3,4,5,6,8,9},所以,CM(A∪B)={7,10}. 故选A.] 12.B [由集合U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x<a},因为CUA= {x|2≤x≤5},可得a=2.故选B.] 【易错提醒】 对于集合的交、并、补运算,如果集合中的元素是 离散的,可用Venn图表示;如果集合中的元素是连续的,可用 数轴表示,此时要注意端点的情况,以免出错. 探究·一举突破 探究路径 (1)由题意,可知-3∈A, 则1+(-3) 1-(-3)=- 1 2 ∈A , 1+ -12 1- -12 = 13 ∈A , 1+13 1-13 =2∈A, 1+2 1-2=-3∈A ,所以A 中其他所有元素为-12 ,1 3 ,2. (2)假设0∈A,则1+01-0=1∈A ,而当1∈A 时,1+a1-a 不存在,假设不 成立,所以0不是A 中的元素. 取a=3,则1+31-3=-2∈A ,1+(-2) 1-(-2)=- 1 3∈A , 1+ -13 1- -13 = 1 2∈A , 1+12 1-12 =3∈A,所以当3∈A 时,A 中的元素是3,-2, -13 ,1 2. (3)猜想:A 中没有元素-1,0,1;A 中有4个元素,其中2个元素 互为负倒数,另外2个元素也互为负倒数. 由(2)知0,1∉A,若-1∈A,则1+ (-1) 1-(-1)=0∈A ,与0∉A 矛盾, 则有-1∉A,即-1,0,1都不在集合A 中. 若实数a1∈A,则 1+a1 1-a1 =a2∈A,a3= 1+a2 1-a2 = 1+ 1+a1 1-a1 1- 1+a1 1-a1 =-1a1 ∈A, a4 = 1+a3 1-a3 = 1+ -1a1 1- -1a1 = a1-1 a1+1 = - 1a2 ∈A,a5 = 1+a4 1-a4 = 1+ a1-1 a1+1 1- a1-1 a1+1 =a1∈A. 结合集合中元素的互异性知,A 中最多只有4个元素a1,a2,a3,a4 且a1a3=-1,a2a4=-1. 显然a1≠a2,否则a1= 1+a1 1-a1 ,即a21=-1,无实数解. 同理,a1≠a4,即A 中有4个元素. 所以A 中没有元素-1,0,1;A 中有4个元素,其中2个元素互为 负倒数,另外2个元素也互为负倒数. 参考答案 (1)A 中其他所有元素为-12 ,1 3 ,2 (2)0不是A 中的元素,答案见解析 (3)A 中没有元素-1,0,1;A 中有4个元素,其中2个元素互为负 倒数,另外2个元素也互为负倒数. 综合·一练到底 1.解 (1)由集合A={2,6},B={a+1,a2-23},且A=B, 所以可得 a+1=2 a2-23=6 ,此时方程组无解; 或 a+1=6 a2-23=2 ,解得a=5; 所以实数a的值为5. (2)当集合C={x|ax2-x+6=0},且C⊆A,可知: 若C=⌀,则 a≠0(-1)2-24a<0 ,解得a>124 当C≠⌀时,若2∈C,则4a+4=0,a=-1,此时C={-3,2},不满 足C⊆A, 若6∈C,则a=0,此时C={6},满足C⊆A,符合题意; 综上可知,实数a的取值范围为a>124 或a=0. 2.解 由A={x|x2-5x+6=0},则A={2,3}. ∵B={x|x2-5x+a=0},∴B 为方程x2-5x+a=0的解集. ①若B≠⌀,则B⊆A,∴B={2}或B={3}或B={2,3}, 当B={2}时x2-5x+a=0有两个相等实根,即x1=x2=2,x1+ x2=4≠5不合题意,同理B≠{3}, 当B={2,3}时,2+3=5,a=2×3=6,符合题意; ②若B=⌀,则Δ=25-4a<0,即a>254 , 综上所述,实数a的取值范围为a=6或a>254. 【破题技巧】 由题意,求得A={2,3},再根据B⊆A,结合韦达 定理分B≠⌀和B=⌀两种情况讨论即可求出答案. 选做·一飞冲天 解 (1)①若B=⌀,满足B⊆A,则m+1>2m-1,解得m<2. ②若B≠⌀,满足B⊆A,则 2m-1≥m+1, m+1≥-2, 2m-1≤5, 解得2≤m≤3. 由①②可得,符合题意的实数m 的取值范围为{m|m≤3}. (2)若A⊆B,数轴表示如下: 依题意有 m+1≤-2, 2m-1≥5, m+1≤2m-1, 即 m≤-3, m≥3, m≥2 此时m 的取值范围是⌀. (3)假设存在满足题意的实数 m.若A=B,则必有 m+1=-2且 2m-1=5,此时无解,即不存在使得A=B 的实数m. 第二周 集合的运算 考点·一应俱全 1.D [由A={x|-2<x<0},B= x|-1≤x≤1 ,可知,A∪B= x -2<x≤1 .故选D.] 2.D [因为集合A 和集合B 没有公共元素,故A∩B=⌀.故选D.] 3.D [根据集合A 的定义,绝对值的意义可知,逐一带入x=0,1,2, 3,4到 x-2 <1中,只有x=2符合,于是A={2},所以∁UA= {0,1,3,4}.故选D.] 4.a=1或-2 [因为A∩B={1},所以1∈A,所以将x=1代入x2 +(a+1)x+a2-4=0,整理得a2+a-2=0,解得:a=1或-2,当 a=1时,A= 1,-3 ,B= 1,2 ,所以 A∩B= 1 ;当a=-2 时,A= 1,0 ,B= 1,2 ,所以A∩B= 1 ;经检验,a=1或-2 都满足条件.] 5.-13<m< 1 2 [由A∪B=B,则A⊆B,故有 1-m×(-3)>0 1-m×(-1)>0 1-m×2>0 , 解得 m>-13 m>-1 m<12 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,即- 1 3<m< 1 2. 故答案为:-13<m< 1 2. ] 【破题技巧】 结合并集定义可得A⊆B,将A 中所有元素代入 计算即可得. 6.2 [由题意得:①当 a+1=3a2+2a-3=a+3 时,解得:a=2 代入检验,得U={2,3,5},∁UA={5},满足条件 ②当 a+3=3a2+2a-3=a+1 时,无解 综上所述,a=2.] 7.D [因 为 方 程x2+(m+1)x+m=0的 判 别 式 Δ=(m+1)2 -4m=(m-1)2≥0,所 以 B≠⌀,根 据 题 意 得 到 集 合 A= x (x+1)(x+3)=0 ,B= x|(x+m)(x+1)=0 ,即 A = -1,-3 ,B= -1,-m ,因 为(∁UA)∩B=⌀;所 以 B ⊆A,所 以 B= -1 或 B= -1,-3 ,若 B= -1 ,则 Δ=0 -m=-1 ,解得m=1,若B= -1,-3 ,则 Δ>0 -m=-3 ,解得m =3,所以m=1或m=3.故选D.] 【破题技巧】 求出A 中方程的解确定A,再由A 的补集与B 的 交集为空集,确定A 与B 的包含关系进行分类讨论,即可确定 m 的值. 8.D [由 题 得:A= x -3<x<4 ,B= x 3<x<5 ,A∩B= x|3<x<4 ,∁RA={x|x≥4或x≤-3},∁RB={x|x≥5或x ≤3},所以(∁RB)∩A={x|-3<x≤3},故A错误;∁R(A∩B)= {x|x≥4或x≤3},故B错误;(∁RA)∪B={x|x≤-3或x>3}, 故C错误;所以(∁RA)∩B={x|4≤x<5},故D正确;故选D.] 【破题技巧】 对于集合的交、并、补运算,如果集合中的元素是离 散的,可用Venn图表示;如果集合中的元素是连续的,可用数轴 表示,此时要注意端点的情况. 9.70 [根据题意使用过“扫码支付”、“共享 单车”的人数用 Venn图表示如图,使用过 “共享单车”或“扫 码 支 付”的 学 生 共 有90 位,使用过“扫码支付”的学生共有80位, 则可得:只使用过“共享单车”但没使用过 “扫码支付”的学生有90-80=10人,又使 用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位,则使用过 “共享单车”的学生人数为10+60=70,故答案为:70.] 【破题技巧】 由题意结合 Venn图可知:只使用过“共享单车” 但没使用过“扫码支付”的学生有10人,再计算即可得解. 10.46 [设喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别为A, B,由题意可知n(A)=60,n(B)=82,n(A∪B)=96,则n(A∩B) =n(A)+n(B)-n(A∪B)=60+82-96=46,即该中学既喜欢 足球又喜欢游泳的学生数为46,故答案为:46.] 探究·一举突破 探究路径 (1)由题设A={1,2},又A∩B={2},故22+4(a+1)+a2-5= a2+4a+3=0,所以a=-1或a=-3, 当a=-1时,B={x|x2-4=0}={-2,2},满足题设; 当a=-3时,B={x|x2-4x+4=0}={2},满足题设; 综上,a=-1或a=-3. (2)由A∪B=A⇒B⊆A,而A={1,2}, 若B=⌀,则Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<0⇒a<-3; 若B={1},则 -2 (a+1)=2 a2-5=1 ,无解; 若B={2},由(1)知a=-3; 若B={1,2},则 -2 (a+1)=3 a2-5=2 ,无解; 综上,a≤-3. (3)由(∁UB)∩A,则A∩B=⌀, 当B=⌀,则Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<0⇒a<-3; 当B≠⌀,则 Δ=4(a+1)2-4(a2-5)≥0 22+4(a+1)+a2-5≠0 12+2(a+1)+a2-5≠0 ⇒a>-3且a≠-1且 a≠-1± 3, 所以a的取值范围为a≠-3且a≠-1且a≠-1± 3. 参考答案 (1)a=-1或a=-3 (2)a≤-3 (3)a≠-3且a≠-1且a≠-1± 3. 综合·一练到底 1.解 (1)由x-1>0得x>1,即B= x x>1 ; ∁RB={x|x≤1},∁RA={x|x≥2或x≤-1}; 所以A∪B= x x>-1 ,(∁RB)∩(∁RA)={x|x≤-1}. (2)根据定义可知,集合A-B 如图中的阴影部分所示. 由于 A-B= x x∈A 且x∉B ,又 A= x -1<x<2 ,B= x x>1 ,所以A-B= x -1<x≤1 . 【破题技巧】 (1)利用数轴以及集合的交集、并集、补集运算法 则即可求出结果; (2)根据A-B 的定义即可标出阴影,并根据其意义求得A-B = x -1<x≤1 . 2.解 (1)因为A= x -2≤x≤6 ,B= x|x≤-5 或x≥3 , 所以A∩B= x 3≤x≤6 , 则图中阴影部分表示∁A(A∩B)={x|-2≤x<3}. (2)因为C= x|10-a<x<2a+1 ,B= x|x≤-5 或x≥3 , 且(∁UB)∩C=⌀,因为∁UB={x|-5<x<3} 所以C⊆B,所以当C=⌀时,10-a≥2a+1,解得a≤3,符合题意; 当C≠⌀时,10-a<2a+12a+1≤-5 或者 10-a<2a+110-a≥3 , 此时不等式组 10-a<2a+1 2a+1≤-5 无解, 不等式组 10-a<2a+1 10-a≥3 的解为3<a≤7, 综上,a的取值范围为 a a≤7 . 选做·一飞冲天 解 (1)集合 M= x|m≤x≤m+12 ,N= x n-35≤x≤n , 且 M,N 都是集合{x|1≤x≤2}的子集, 由 m≥1 m+12≤2 ,可得1≤m≤32,由 n- 3 5≥1 n≤2 ,可得85≤n≤2. 要使 M∩N 的“长度”最小,只有当 m 取最小值、n取最大或m 取 最大、n取最小时才成立. 当m=1,n=2,M∩N= x 75≤x≤ 3 2 ,“长 度”为32-75= 1 10 ,当m=32 ,n=85 ,M∩N= x 32≤x≤ 8 5 ,“长度”为85- 3 2= 1 10 ,故集合 M∩N 的“长度”的最小值是110 ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 77 — —80 — (2)若m=65 ,M= x 65≤x≤ 17 10 , 要使集合 M∪N 的“长度”大于35 ,故n-35< 17 10- 3 5 或n>65+ 3 5 ,即n<1710 或n>95 ,又8 5≤n≤2 ,故n∈ 85,1710 ∪ 95,2 . 故答案为:1 10 ; 85,1710 ∪ 95,2 . 【点睛】 本题的关键是充分理解区间长度的定义得到关于m,n 的不等式组,再根据交并集的含义得到不等式组,结合分类讨论 的思想即可. 第三周 常用逻辑用语 考点·一应俱全 1.B [①:当m=0时,方程变为-2x+3=0,显然不是一元二次方 程,因此本序号命题不是真命题;②:因为空集是任何非空集合的 真子集,所以本序号命题是真命题;③:由x>3显然能推出x≥0, 所以本序号命题是真命题;④:因为2+ 3与2- 3的和是有理数 4,但是2+ 3和2- 3都不是有理数,所以本序号命题不是真命 题,故选B.] 2.A [将x=3代入x2-8x+15=0中,得9-24+15=0,所以“x= 3”是“x2-8x+15=0”的充分条件;由x2-8x+15=0,得(x-3) (x-5)=0,即x=3或x=5,∴“x=3”不是“x2-8x+15=0”的必 要条件,∴“x=3”是“x2-8x+15=0”的 充 分 不 必 要 条 件.故 选A.] 3.B [由 x-2 <1可得1<x<3,由“0<x<5”不能推出“1<x< 3”,但由“1<x<3”可 以 推 出“0<x<5”.故“0<x<5”是 “x-1 <1”的必要而不充分条件.故选B.] 4.C [先证-1<x<1⇒x2<1;因为-1<x<1,所以x-1<0,x+1 >0,故(x-1)(x+1)<0,即x2-1<0,故x2<1;再证-1<x<1 ⇐x2<1;因为x2<1,所以x2-1<0,即(x-1)(x+1)<0,故-1 <x<1;综上:“-1<x<1”是“x2<1”的充分必要条件.故选C.] 【破题技巧】 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法:根据p⇒q,q⇒p是否成立进行判断. (2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行 判断. (3)等价转化法:对所给题目的条件进行一系列的等价转化,直 到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止. 5.A [设A= x -2≤x≤10 , B= x 1-m≤x≤1+m ,因为p 是q 的必要不充分条件,所以 B⫋A,所以 m>0 1-m≥-2 1+m≤10 ,解得0<m≤3,当 m=3时,B={x|-2 ≤x≤4},成立,所以0<m≤3.故选A.] 【破题技巧】 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系, 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组) 求解. (2)要注意区间端点值的检验. 6.AD [若“x<k或x>k+2”是“-4<x<1”的必要不充分条件,则 k≥1或k+2≤-4,解得k≤-6或k≥1,所以 AD选项符合,BC 选项不符合.故选AD.] 7.ABD [A选项,矩形的对角线互相平分且相等,为全称量词命题, 且是真命题,A正确;B选项,对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b, 为全称命题,且是真命题,B正确;C选项,有些菱形不是平行四边 形为存在量词命题,C错误;D选项,对任意实数x,不等式x2-3x +7≥0恒成立,为全称量词命题,因为Δ=(-3)2-4×7<0,故不 等式x2-3x+7≥0恒成立,为真命题,D正确.故选ABD.] 【破题技巧】 含量词命题的解题策略 判定全称量词命题是真命题,需证明都成立;要判定存在量词命 题是真命题,只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判 定时,可以先判断其否定的真假. 8.D [命题“∃x>0,x2-2x-7>0”为存在量词命题,其否定为: ∀x>0,x2-2x-7≤0.故选D.] 9.A [易知:∃x∈R,x2-4x+a=0是上述原命题的否定形式,故 其为真命题,则方程x2-4x+a=0有实数根,即Δ=16-4a≥0⇒ a≤4.故选A.] 10.B [x2+2x+2-m<0⇔m>x2+2x+2=(x+1)2+1,P 是假 命题,则其否定∀x∈R,m≤(x+1)2+1恒成立为真,又[(x+ 1)2+1]min=1,故m≤1,故选B.] 【破题技巧】 由命题真假求参数的范围,一是直接由命题的真 假求参数的范围;二是可利用等价命题求参数的范围. 探究·一举突破 探究路径 (1)集合A= x 2a-1<x<3a-1 ,集合B= x -1<x<4 . 因为p是q的充分条件,所以A⊆B, ∴集合A 可以分为A=⌀或A≠⌀两种情况来讨论: 当A=⌀时,满足题意,此时2a-1≥3a+1,解得:a≤-2; 当A≠⌀时,要使A⊆B 成立, 需满足 2a-1≥-1 3a+1≤4 2a-1<3a+1 ⇒0≤a≤1, 综上所得,实数a的取值范围.a≤-2或0≤a≤1 (2)假设存在实数a,使得p是q的充要条件,那么A=B, 则必有 2a-1=-1 3a+1=4 ,解得 a=0a=1 ,综合得a无解. 故不存在实数a,使得A=B, 即不存在实数a,使得p是q的充要条件. 参考答案 (1)a≤-2或0≤a≤1 (2)不存在,理由见解析. 综合·一练到底 1.解 (1)因为命题p 为假命题,故关于x的一元二次方程x2-ax +1=0无解,即Δ=(-a)2-4=a2-4<0,解得-2<a<2,故集 合A= a -2<a<2 ; (2)由t∈A 是t∈B 的必要不充分条件,可知B⫋A, 当B=⌀时,既m+1≥2m+1,解得m≤0,此时满足B⫋A, 当B≠⌀时,如图所示, 故 m>0 2m+1≤2 m+1≥-2 且等号不同时成立,解得0<m≤12, 综上所述,m 的取值范围是 m m≤12 . 【破题技巧】 (1)p为假命题时,既可转化为关于x的一元二次 方程无解,然后利用判别式即可; (2)由t∈A 是t∈B 的必要不充分条件可得B 是A 的真子集, 然后分B 为空集和非空集两种情况讨论即可. 2.解 (1)∵x∈A 是x∈B 的必要不充分条件,∴B 是A 的真子集. ①当B=⌀时,2a-1>a+1⇒a>2, ②当B≠⌀时,∴ 2a-1≤a+1 2a-1>-2 a+1≤1 ,解得-12<a≤0. ∴实数a的取值范围为 -12,0 ∪(2,+∞). (2)由A∩B=⌀,则①当B=⌀时,2a-1>a+1⇒a>2, ②当B≠⌀时,可得 2a-1≤a+1a+1≤-2 或 2a-1≤a+12a-1>1 , 解得a≤-3或1<a≤2. ∴实数a的取值范围为(-∞,-3]∪(1,+∞). 选做·一飞冲天 解 (1)若A∪B=A,则B⊆A, 则 m>0 1+m≤6 1-m≥-2 ,解得0<m≤3, 所以实数m 的取值范围是0<m≤3. (2)若选择条件①,即x∈A 是x∈B 的充分条件,则A⊆B, 所以 1+m≥6 1-m≤-2 ,解得m≥5, 所以实数m 的取值范围是m≥5; 若选择条件②,即x∈A 是x∈B 的必要条件,则B⊆A, 所以 1+m≤6 1-m≥-2 ,解得m≤3. 又m>0,所以0<m≤3,所以实数m 的取值范围是0<m≤3; 若选择条件③,即x∈A 是x∈B 的充要条件,则A=B, 所以 1+m=6 1-m=-2 ,方程组无解,所以不存在满足条件的实数m. 第四周 等式性质与不等式性质、基本不等式 考点·一应俱全 1.90 [设改造前的窗户面积为x,窗户增加的面积为y,x>0,y>0, 依题意 x 180≤ x+y 180+2y ,即180x+2xy≤180x+180y,2xy≤180y,x ≤90,所以改造前的窗户面积最大为90平方米.故答案为:90.] 2.B [对于A,当c=0时,c2=0,若a>b,则ac2=bc2=0,故 A错 误;对于B,因为a c2 >b c2 ,所以c2≠0,即c2>0,所以a>b,故B正 确;对于C,当a=1,b=0,c=-1,d=-2时,满足a>b,c>d,但 是ac<bd,故C错误;对于D,当c=0时,a+cb+c= a b ,故D错误.故 选B.] 3.AD [对于A,由0>c>d和不等式性质可得c2<cd,故 A正确; 对于B,因a>b>0>c>d,若取a=2,b=1,c=-1,d=-2,则a -c=3,b-d=3,所以a-c=b-d,故B错误;对于C,因a>b>0 >c>d,若取a=2,b=1,c=-1,d=-2,则ac=-2,bd=-2,所 以ac=bd,故C错误;对于D,因为a>b>0,则0<1a< 1 b ,又因0 >c>d则0<-c<-d,由不等式的同向皆正可乘性得,-ca < -db ,故c a - d b >0 ,故D正确.故选AD.] 4.C [Q-P=a+mb+m- a b = ab+bm-ab-am b(b+m) = m(b-a) b(b+m) ,∵a,b为 正数,且a<b,m>0,则m (b-a) b(b+m)>0 ,∴Q-P>0,∴P<Q,故 选C.] 【破题技巧】 比较大小的常用方法 (1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论. (2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出 结论. (3)构造函数,利用函数的单调性比较大小. 5.A [设3x-2y=m(x+y)-n(x-y)=(m-n)x+(m+n)y,所 以 m-n=3 m+n=-2 ,解 得 m=12 n=-52 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,即 可 得3x-2y= 12(x+y)+ 5 2 (x-y),因为-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,所以2≤3x-2y=12 (x+y)+52 (x-y)≤8,故选A.] 【破题技巧】 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质. (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围,解 决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关 系,然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 6.C [对 于 A,因 为 x2+5>0,所 以 x2+5+ 1 x2+5 ≥ 2 x2+5· 1 x2+5 =2,当且仅当 x2+5= 1 x2+5 ,即x2= -4,故等号不成立,故A不符合;对于B,因为x2+2>0,所以x2 +2+ 1 x2+2 ≥2 (x2+2)· 1x2+2 =2,当且仅当x2+2= 1 x2+2 , 即x2=-1,故等号不成立,故B不符合;对于C,因为x2>0,所以 x2+1 x2 ≥2 x2·1x2 =2,当且仅当x2=1 x2 ,即x=±1时取等号, 故C符合;对 于 D,因 为 x +3>0,所 以 x +3+ 1x +3≥ 2 (x +3)· 1x +3=2 ,当 且 仅 当 x +3= 1x +3 ,即 x =-2,故等号不成立,故D不符合.故选C.] 【破题技巧】 对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面: 一正:符合基本不等式a+b 2 ≥ ab 成立的前提条件为a>0,b> 0;二定:不等式的一边转换为定值;三相等:必须存在取等号的 条件,即等号成立.以上三点缺一不可. 7.AD [设甲,乙两地之间的距离为s,则全程所需的时间为sa + s b ,所以v= 2ss a + s b =2aba+b ,因 为b>a>0,由 基 本 不 等 式 可 得 ab<a+b2 ,v= 2aba+b< 2ab 2 ab = ab,另 一 方 面 v= 2aba+b< 2· a+b2 2 a+b = a+b 2 ,v-a=2aba+b-a= ab-a2 a+b > a2-a2 a+b =0 ,所以v >a,则a<v< ab,故选AD.] 【技法点拨】 设甲、乙两地之间的距离为s,则全程所需的时间 为s a + s b ,计算全程平均速度v,然后利用基本不等式得出v, ab,a+b2 的大小关系,并利用作差法比较v与a 大小,从而得 到正确选项. 8.A [已知0<x<23 ,则x(2-3x)=13× (3x)(2-3x)≤13× 3x+2-3x2 2 =13. 当且仅当3x=2-3x,即x=13 等号成立.故 x(2-3x)的最大值是13. 故选A.] 9.A [因 为 10>x>0,故 x+ (10-x)≥2 x(10-x),即 x(10-x)≤5,当 且 仅 当 x=5 时,等 号 成 立,所 以 2- x(10-x)≥2-5=-3.故选A.] 10.B [由x>0,得x 2-x+4 x =x+ 4 x -1≥2 x ·4 x -1=3 ,当且 仅当x=4x ,即x=2时等号成立,所以x 2-x+4 x 的最小值为3. 故选B.] 探究·一举突破 探究路径 (1)由题意,当x=0时,t=10,可得10=15-k2 ,解得k=10,所以 t=15- 10x+2 ,因为每件商品的销售价格为2×40+10tt 元, 所以y=2t×40+10tt -40-10t-x=10t+40-x=190- 100 x+2-x ,x≥0. (2)因为x≥0,所以100x+2+x+2≥2 100 x+2 ·(x+2)=20, 当且仅当100 x+2=x+2 时,即x=8时,等号成立, 所以100 x+2+x≥18 ,所以y=190-100x+2-x≤190-18=172 , 故当促销费用x=8(万元),该商家能够获得利润最大,此时利润 最大值为172(万元). 参考答案 (1)y=190-100x+2-x ,x≥0 (2)8万元,172万元 综合·一练到底 1.解 (1)因为x>1,所以x-1>0,4x-1>0 , 所以y= 4x-1+x= 4 x-1+x-1+1≥2 4 x-1 ·(x-1)+1=5, 当且仅当 4 x-1=x-1 ,即x=3时,取等号, 所以函数y= 4x-1+x 的最小值为5; (2)因为x>0,y>0,所以1x>0 ,1 y>0 , 所以 1 x + 1 y = 1x + 1y (4x+y)=4+ yx +4xy +1≥5+ 2 yx ·4x y =9 ,当且仅当 y x = 4x y 4x+y=1 ,即 x=16 y=13 时,取等号, 所以1 x+ 1 y 的最小值为9. 【破题技巧】 (1)通过配凑,然后利用基本不等式直接求解 可得. (2)利用基本不等式“1”的妙用求解可得. 2.解 (1)由x+y=2,得x2+ y 2=1 ,又x>0,y>0, 所以1 x + 9 y = x2 + y2 1x + 9y =5+ y2x+9x2y≥5+ 2 y2x ·9x 2y=8 ,当且仅当y 2x= 9x 2y ,即x=12 ,y=32 时等号成立, 所以1 x+ 9 y 的最小值为8; (2)由4x+1-mxy≥0恒成立,得m≤4x+1xy 恒成立,又x+y=2, 所以4x+1 xy = 4x+12 (x+y) xy = 9x+y 2xy = 1 2 1x+9y , 由(1)可知1x+ 9 y≥8 ,所以1 2 1x +9y ≥4,当且仅当y2x=9x2y, 即x=12 ,y=32 时等号成立,即4x+1 xy ≥4 ,故m 的最大值是4. 选做·一飞冲天 解 因为正实数a,b满足a+2b+5=ab, m2a+b≥ 10-2ab a+2b+5 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 79 — — 6 — 第二周 集合的运算 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第7题.该题主要考查根据交集、并集、补集的混合运算求参数、分类讨论等,题目 设置紧扣概念,考查学生的灵活性,对学生的理解应用能力要求较高,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共50分) 考点一 并集的概念及运算 1.(2025·四川绵阳质量检测)设集合A={x|-2<x<0},B={x|-1≤x≤1},则A∪B= ( ) A.x|-1≤x≤1 B.{x|-2<x<1} C.{x|-1≤x<0} D.{x|-2<x≤1} 考点二 交集的概念及运算 2.(2025·云南保山·质量检测)已知集合A={1,2,3},B={-3,-1},那么集合A∩B 等于 ( ) A.-3,-1,1,3 B.-3,-1,1,2,3 C.-1,1 D.⌀ 考点三 补集的概念及运算 3.(2025·湖北孝感·质量检测)设全集U= 0,1,2,3,4 ,集合A= x∈U x-2 <1 ,则∁UA= ( ) A.x1<x<3 B.x1<x≤3 C.2 D.0,1,3,4 考点四 集合的运算求参数 4.(2025·全国专题练习)已知集合A= xx2+(a+1)x+a2-4=0 ,B= xx2-3x+2=0 , 若A∩B= 1 ,则实数a的值是 . 5.(2025·海南海口·质量检测)已知集合A= -3,-1,2 ,B= x1-mx>0 ,若A∪B=B,则 m 的取值范围是 . 6.(2025·浙江温州·质量检测)已知集合U={2,3,a2+2a-3},A={2,a+1},∁UA={a+3},则 实数a的值是 . 考点五 交集、并集、补集的混合运算 7.(2025 · 陕 西 商 洛 质 量 检 测)已 知 全 集 U = R,A = x|x2+4x+3=0 ,B = x|x2+(m+1)x+m=0 ,若(∁UA)∩B=⌀;则实数m 的值为 ( ) A.1 B.3 C.-1或-3 D.1或3 8.(2025· 广 东 广 州 · 质 量 检 测)已 知 集 合 A = x -3<x<4 ,B = x3<x<5 ,则 x|4≤x<5 = ( ) A.(∁RB)∩A B.∁R(A∩B) C.(∁RA)∪B; D.(∁RA)∩B 考点六 容斥原理 9.(2025·陕西咸阳·阶段练习)“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发 明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况,随机调查了100位学生,其中使用过 “扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位,使用过“扫码支付”的学生共有80位,使用过“共享单 车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位,则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位. 10.(2025·陕西咸阳·阶段练习)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96名学生喜欢足球或 游泳,60名学生喜欢足球,82名学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数 为 . 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 根据集合的运算求参数 设集合A= xx2-3x+2=0 ,B= xx2+2(a+1)x+a2-5=0 . 探究问题: (1)若A∩B= 2 ,求实数a的值; (2)若A∪B=A,求实数a的取值范围; (3)若全集U=R,(∁UB)∩A=A,求实数a的取值范围. — 5 — — 8 — 【综合·一练到底】(35分) 1.(2025·山西太原·阶段练习)已知A= x -1<x<2 ,B= xx-1>0 . (1)求A∪B 和(∁RB)∩(∁RA)=A (2)若记符号A-B= xx∈A 且x∉B ,在图中把表示“集合A-B”的部分用阴影涂黑,并求出 A-B. 2.(2025·四川南充·阶段练习)设全集U=R,集合A= x -2≤x≤6 ,B= x|x≤-5 或x≥3 . (1)求图中阴影部分表示的集合; (2)已知集合C= x|10-a<x<2a+1 ,若(∁UB)∩C=⌀,求a的取值范围. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·北京·质量检测)定义集合P={x|a≤x≤b}的“长度”是b-a,其中a,b∈R.已如集合 M = x m≤x≤m+12 ,N= xn-35≤x≤n ,且 M,N 都是集合{x|1≤x≤2}的子集, (1)求集合 M∩N 的“长度”的最小值是多少? (2)若m=65 ,集合 M∪N 的“长度”大于35 ,则n的取值范围是多少? 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明思路不对 理解不够分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 7 —