专题06 讲义 函数的性质 - 江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共50个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的模块2的第6个专题：函数的性质。本专题涵盖函数的单调性、函数的奇偶性等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 江西省2026年“三校生”对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题06 函数的性质 知识点1 函数的单调性 增函数和减函数的概念：设函数的定义域为D，区间. (1). 如果对于区间I上的任意两点和 ，当时，都有，那么称函数在区间I上是增函数，区间I称为函数)的增区间，如图(1)所示. (2). 如果对于区间I上的任意两点和 ，当时，都有，那么称函数在区间I上是减函数，区间I称为函数)的减区间，如图(2)所示. 单调性的概念：如果函数在区间I上是增函数或减函数，那么称函数在区间I上具有单调性，区间I称为单调区间，增区间也称为单调增区间，减区间也称为单调减区间. (1) (2) 单调性、自变量的大小关系、函数值的大小关系： 若是增函数，则自变量的大小关系与对应函数值的大小关系一致，反之亦然. 若是减函数，则自变量的大小关系与对应函数值的大小关系相反，反之亦然. 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B). 1. (2007年高考真题T07)函数 在第一象限内单调递增. ·········································（A B） 【答案】B 【分析】本题考察正弦函数的单调性. 【详解】第一象限包括很多区间，而这些区间是断开的，正确的说法应为 在区间上单调递增，所以结论错误，故选B . 2. (2012年高考真题T03)若，则在上是减函数. ···················（A B） 【答案】B 【分析】本题考察函数单调性的概念. 【详解】如果对于区间I上的任意两点和 ，当时，都有，那么称函数在区间I上是减函数，题意中为存在 ，并不能等说明在上是减函数，所以结论错误，故选B . 二、单选题 3. (2013年高考真题T15)若函数，则函数（    ） A．在R上是增函数 B．在R上是减函数 C．在内是增函数 D．在内是减函数 【答案】C 【分析】本题考察反比例函数的单调性. 【详解】函数中，，所以在故选C . 三、填空题 4. (2012年高考真题T23)函数的单调增区间是___________________. 【答案】 【分析】本题考察二次函数的单调性. 【详解】函数开口向上，对称轴为，所以的单调增区间是 . 5. (2011年高考真题T22)已知函数，则的单调减区间是__________________. 【答案】 【分析】本题考察二次函数的单调性. 【详解】函数开口向上，对称轴为，所以的单调减区间是 . 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B) 1．若在上是减函数，则. ································································（A B） 【答案】A 【分析】根据减函数的概念可判断. 【详解】因为在R上是减函数，且，所以，所以结论正确，故选A. 2．若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上为增函数. ········（A B） 【答案】B 【分析】函数在两个单独区间上单调递增，但在合并区间里不一定单调递增，举分段函数反例即可判别. 【详解】例如：函数，在区间和均单调递增，但在上不是增函数， 所以结论错误，故选B. 二、单选题 3．下列各函数中，在内为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由具体函数解析式判断单调性即可. 【详解】A：在R上单调递增，所以在上单调递增，故A错误， B：在上单调递增，故B错误， C：的图像是开口向下的二次函数，且对称轴为y轴，所以函数在上单调递增，故C错误， D：的图像是开口向上的二次函数，且对称轴为y轴，所以函数在上单调递减，故D正确. 故选D. 4．下列函数既是偶函数，又在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见函数的性质即可判断单调性. 【详解】A选项，为奇函数； B选项，为偶函数，开口向下，对称轴为y轴，在上为减函数； C选项，为偶函数，在上为增函数； D选项，为反比例函数，是奇函数，故选C. 5．已知在R上是减函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据减函数的性质列出不等式，解含绝对值的不等式了即可得解. 【详解】因为函数在R上是减函数，，所以，解得或， 所以实数的取值范围是为，故选D. 6．已知函数在定义域上是增函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的单调性和定义域，解不等式即可. 【详解】函数在定义域上是增函数，由，可得 ，解得，所以实数的取值范围是，故选B. 7．已知函数在区间上是增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性即可判断. 【详解】因为在区间上是增函数，且，所以，故选D. 三、填空题 8．若反比例函数在上单调递增，则k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据反比例的单调性即可求解. 【详解】因为反比例函数在上单调递增，所以，则，即k的取值范围是. 9．若函数是定义在R上的增函数，则与的关系是 . 【答案】 【分析】由函数的单调性将比较函数值的大小转化为比较自变量的大小，从而得出结论. 【详解】因为，又函数是定义在R上的增函数，所以. 10．函数的单调减区间是 . 【答案】 【分析】由函数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以当时，，此时为增函数； 当时，，此时为减函数，所以的单调递减区间是. 知识点2 函数的奇偶性 偶函数的概念：设函数的定义域为数集D，若对于任意的，都有，且， 则称是偶函数，偶函数的图像关于y轴对称. 奇函数的概念：设函数的定义域为数集D，若对于任意的，都有，且， 则称是奇函数，奇函数的图像关于原点中心对称. 如果一个函数是奇函数或偶函数，就说这个函数具有奇偶性，其定义域一定关于原点对称. 函数奇偶性概念的注意事项： (1). 单调性可以描述函数的局部性质，但是奇偶性描述的是函数的整个定义域内的性质； (2). 函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称. (3). 若，且，则既不是奇函数，也不是偶函数. 奇偶性的四则运算：把奇函数当做负数，偶函数当正数，运算的结果是负数，则是奇函数，运算的结果是正数，则是偶函数. 如奇函数+奇函数=奇函数，奇函数×偶函数=奇函数. 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B) 1. (2022年高考真题T04) 若对于定义域内的任意，都有则函数是奇函数. ····························································································································（A B） 【答案】A 【分析】本题求考察函数奇偶性的定义. 【详解】因为对于定义域内的任意，都有，所以，符合奇函数的定义，所以结论正确，故选A. 2. (2019年高考真题T09) 若函数是偶函数，则在内是增函数. ····························································································································（A B） 【答案】A 【分析】本题求考察函数的奇偶性和单调性. 【详解】因为是偶函数，所以，所以，函数图像开口向下，对称轴为，所以内是增函数，所以结论正确，故选A. 二、单项选择题 3. (2020年高考真题T14) 下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考察函数的奇偶性. 【详解】对于A，定义域为R，，所以既不是奇函数，也不是偶函数，故A错误； 对于B，定义域为R，，所以是偶函数，故B错误； 对于C，定义域为R，，所以是偶函数，故C错误 对于D，定义域为R，，所以是奇函数，所以D正确，故选D . 4. (2015年高考真题T12) 是（    ）函数. A．奇 B．偶 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．即是奇函数也是偶函数 【答案】A 【分析】本题考察函数的奇偶性. 【详解】的定义域为R，，所以是奇函数，故选A. 三、填空题 5. (2022年高考真题T24) 函数为偶函数的充要条件是___________________. 【答案】 【分析】本题考察函数的奇偶性. 【详解】因为的定义域为且为偶函数，所以，， 所以 ，所以 ，所以. 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B) 1．函数，是偶函数. ······································································（A B） 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义判断即可 【详解】因为，函数定义域不关于原点对称，所以函数，不是偶函数，所 以结论错误，故选B. 2．是定义在上的函数，若，则是偶函数. ····································（A B） 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质易得答案. 【详解】因为是在R上的函数，它的定义域关于原点对称，又因为只存在，所以不能 得出定义域内所有的，不符合偶函数的定义，所以结论错误，故选B. 二、单项选择题 3．下列各函数中，为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性判断即可 【详解】A选项，定义域为R，，所以为非奇非偶函数. B选项，定义域为，，为奇函数. C选项，定义域为R，，所以为非奇非偶函数. D选项，定义域为R，，所以为偶函数，故选D. 4．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的性质分析求解. 【详解】A选项，的定义域为R，，即为偶函数，不符合； B选项，的定义域为R，，即为奇函数，符合； C选项，的定义域为R，，即为偶函数，不符合； D选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，故既不是奇函数，也不是偶 函数，不符合，故选B. 5．已知偶函数的定义域为，那么等于（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由函数为偶函数求得，再根据函数的定义域求出结果. 【详解】因为为偶函数，所以，即，又因为偶函数定义域为， 所以，所以，所以，故选D. 6．已知偶函数在上单调递增且最大值为5，则在上（    ） A．单调递增且有最大值5 B．单调递减且有最大值5 C．单调递增且有最小值5 D．单调递减且有最小值5 【答案】B 【分析】结合偶函数图像特点与函数单调性即可得答案． 【详解】偶函数在上单调递增，则在上单调递减，偶函数在上最大值为5，则在上最大值也为5，故选B. 7．设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合偶函数的定义，及函数的单调性，即可求解. 【详解】因为函数为偶函数，所以，因为函数在区间上单调递增，且，所以，即，故选B. 三、填空题 8．已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式构造一个奇函数，再根据奇偶性求函数值即可. 【详解】方法一：设函数，则为奇函数，且，因为，所以，解得，又为奇函数，所以，所以． 方法二：整体代入法. 因为，所以，即，所以. 9．函数为奇函数，则的值是 . 【答案】 【分析】根据奇函数的定义即可判断. 【详解】因为是奇函数，所以，即，所以，所以，即，解得. 10．已知函数，若为奇函数，则 ． 【答案】 【分析】应用奇函数的性质，令，即可求解. 【详解】因为定义域为R，且为奇函数，则必有，即，解得，经检 验符合题意． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共50个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的模块2的第6个专题：函数的性质。本专题涵盖函数的单调性、函数的奇偶性等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 江西省2026年“三校生”对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题06 函数的性质 知识点1 函数的单调性 增函数和减函数的概念：设函数的定义域为D，区间. (1). 如果对于区间I上的任意两点和 ，当时，都有，那么称函数在区间I上是增函数，区间I称为函数)的增区间，如图(1)所示. (2). 如果对于区间I上的任意两点和 ，当时，都有，那么称函数在区间I上是减函数，区间I称为函数)的减区间，如图(2)所示. 单调性的概念：如果函数在区间I上是增函数或减函数，那么称函数在区间I上具有单调性，区间I称为单调区间，增区间也称为单调增区间，减区间也称为单调减区间. (1) (2) 单调性、自变量的大小关系、函数值的大小关系： 若是增函数，则自变量的大小关系与对应函数值的大小关系一致，反之亦然. 若是减函数，则自变量的大小关系与对应函数值的大小关系相反，反之亦然. 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B). 1. (2007年高考真题T07)函数 在第一象限内单调递增. ·········································（A B） 2. (2012年高考真题T03)若，则在上是减函数. ···················（A B） 二、单选题 3. (2013年高考真题T15)若函数，则函数（    ） A．在R上是增函数 B．在R上是减函数 C．在内是增函数 D．在内是减函数 三、填空题 4. (2012年高考真题T23)函数的单调增区间是___________________. 5. (2011年高考真题T22)已知函数，则的单调减区间是__________________. 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B) 1．若在上是减函数，则. ································································（A B） 2．若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上为增函数. ········（A B） 二、单选题 3．下列各函数中，在内为减函数的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数既是偶函数，又在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 5．已知在R上是减函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在定义域上是增函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间上是增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．若反比例函数在上单调递增，则k的取值范围是 . 9．若函数是定义在R上的增函数，则与的关系是 . 10．函数的单调减区间是_________________. 知识点2 函数的奇偶性 偶函数的概念：设函数的定义域为数集D，若对于任意的，都有，且， 则称是偶函数，偶函数的图像关于y轴对称. 奇函数的概念：设函数的定义域为数集D，若对于任意的，都有，且， 则称是奇函数，奇函数的图像关于原点中心对称. 如果一个函数是奇函数或偶函数，就说这个函数具有奇偶性，其定义域一定关于原点对称. 函数奇偶性概念的注意事项： (1). 单调性可以描述函数的局部性质，但是奇偶性描述的是函数的整个定义域内的性质； (2). 函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称. (3). 若，且，则既不是奇函数，也不是偶函数. 奇偶性的四则运算：把奇函数当做负数，偶函数当正数，运算的结果是负数，则是奇函数，运算的结果是正数，则是偶函数. 如奇函数+奇函数=奇函数，奇函数×偶函数=奇函数. 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B) 1. (2022年高考真题T04) 若对于定义域内的任意，都有则函数是奇函数. ····························································································································（A B） 2. (2019年高考真题T09) 若函数是偶函数，则在内是增函数. ····························································································································（A B） 二、单项选择题 3. (2020年高考真题T14) 下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4. (2015年高考真题T12) 是（    ）函数. A．奇 B．偶 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．即是奇函数也是偶函数 三、填空题 5. (2022年高考真题T24) 函数为偶函数的充要条件是___________________. 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B) 1．函数，是偶函数. ······································································（A B） 2．是定义在上的函数，若，则是偶函数. ····································（A B） 二、单项选择题 3．下列各函数中，为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 5．已知偶函数的定义域为，那么等于（    ） A．0 B．1 C． D． 6．已知偶函数在上单调递增且最大值为5，则在上（    ） A．单调递增且有最大值5 B．单调递减且有最大值5 C．单调递增且有最小值5 D．单调递减且有最小值5 7．设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．已知函数，若，则 ． 9．函数为奇函数，则的值是 . 10．已知函数，若为奇函数，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$