专题3.3几种常见的函数（讲义）- 湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第三章函数的第3个专题：函数的性质.本专题涵盖二次函数、幂函数等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题3.3 几种常见的函数（讲义） 知识点1 二次函数 1.二次函数的定义 形如的函数称为二次函数. 2.二次函数的解析式 （1）一般式： （2）顶点式： （3）交点式： 3.二次函数的图像和性质 函数 图像 定义域 R 值域 对称轴 顶点坐标 ) 奇偶性 时，函数为偶函数 增区间 ，+) (- 减区间 (-) ，+) 最值 当时， 当时， 1.（2020湖南对口升学）已知函数. (1)若为偶函数，求不等式解集； (2)若在区间上的最大值为10，求b的值. 2．（2023宁夏职教高考）二次函数的值域是（   ） A． B． C． D． 3．（2025全国对口单招）已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若对一切实数都成立，求实数的取值范围． 4．（2022甘肃对口升学）设一元二次函数满足，，，求函数的最值． 5．（2024天津职教高考）已知二次函数，且满足条件． (1)求实数m； (2)求不等式的解集； (3)当x为何值时，函数取得最小值，并求出最小值． 1．若在区间上是增函数，那么实数的取值范围是（      　） A． B． C． D． 2．函数在（    ）时取最小值． A．6 B． C． D．3 3．已知函数，则函数的最大值为（   ） A．15 B．10 C．0 D． 4．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 5．下列函数中，在区间上为增函数的有（   ） ①；②；③；④． A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 6．已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 8．函数，则（    ） A． B． C． D． 9．函数的单调递减区间为 ． 10．已知函数在上有最大值，则 ． 11．函数在上的最大值为 ． 12．已知函数对于任意实数，均有，则实数的取值范围为 ． 13．已知函数是二次函数，不等式的解集为，且．求： (1)的解析式； (2)在上的值域． 14．已知二次函数，满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围． 15．已知函数. (1)画出函数的图像； (2)根据图像求函数的单调区间和值域. 知识点2 幂函数 1.幂函数的定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数. 2. 幂函数的图像和变化规律 （1） 常见的5种幂函数的图像如下 （2） 图像变化规律 ①所有幂函数在上都有定义，并且都过点. ②时，幂函数的图像通过原点和点，并且在区间上是增函数. ③时，幂函数的图像过点，在区间上是减函数. 3.幂函数的性质 函数特征性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 / 增函数 增函数 / 定点 1．（20230湖北职教高考）下列函数定义域与值域均为的是（    ） A． B． C． D． 2．（2020黑龙江对口升学）下列属于增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024山东职教高考）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024四川对口升学）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（20250广东职教高考）已幂函数过点，则 1．下列函数在R上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是幂函数，则（   ） A．3 B． C．6 D． 3．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 4．下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列函数中，在定义域上为减函数的是（ ） A． B． C． D． 6．已知幂函数 在定义域上单调递增，且 ，则 的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．幂函数在上单调递增，若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知幂函数的图像与坐标轴没有公共点，则（    ） A． B． C．2 D． 9．已知，则“”是“”的 条件. 10．若幂函数的图像经过点，则 . 11．已知函数是幂函数，且是奇函数，则 12．用不等号连接：（1）若，则 ；（2） 13．已知：幂函数过，求：幂函数的解析式，并求 14．已知函数的图像过点. (1)求的值； (2)若函数，求函数的最小值. 15．已知为二次函数且方程的两个根为1和3，是幂函数，且和都经过点. (1)求的值域； (2)求函数的定义域. 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(1)若为偶函数，求不等式解集； (2)若在区间上的最大值为10，求b的值. 【答案】(1) (2)或 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据二次函数的最值或值域求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据偶函数的性质即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）函数的图像开口向上， 若为偶函数，则函数图像关于y轴对称，， 则有， 所以为偶函数时，不等式的解集为. （2）函数图像开口向上，对称轴为， 当时， 函数在上的最大值为， 与不一致； 当时， 函数在上的最大值为或， 得或； 当时， 函数在上的最大值为， 与不一致. 2．（2023宁夏职教高考）二次函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性即可确定值域. 【详解】已知二次函数， 对称轴为， 其中二次项系数，图像开口向上， 所以当时，为减函数， 当时，为增函数， 则当时，， 当时，， 所以二次函数的值域是. 故选：A. 3．（2025全国对口单招）已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若对一切实数都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2). 【分析】（）求出二次函数的对称轴，结合二次函数的单调性即可得解. （）因为对一切实数都成立，则即可得解. 【详解】（1）易知函数的图像开口向上，对称轴为直线． 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得，即实数的取值范围是． （2）若，即对一切实数都成立， 则方程无实数解， 所以，解得，所以实数的取值范围是． 4．（2022甘肃对口升学）设一元二次函数满足，，，求函数的最值． 【答案】最小值为，无最大值 【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再求最值. 【详解】设二次函数，由已知，，， 可得，解得， 所以二次函数，，开口向上， 当时，函数有最小值，无最大值 5．（2024天津职教高考）已知二次函数，且满足条件． (1)求实数m； (2)求不等式的解集； (3)当x为何值时，函数取得最小值，并求出最小值． 【答案】(1) (2) (3)当时，函数取得最小值，最小值为-1. 【分析】（1）将代入函数解析式求解； （2）利用一元二次不等式的解法求解； （3）利用二次函数性质求解. 【详解】（1）将代入函数解析得，解得. （2）二次函数，不等式可化为, ，解得或， 因此，所求不等式的解集为. （3）二次函数，开口向上， 当时，函数取得最小值. 1．若在区间上是增函数，那么实数的取值范围是（      　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为是二次函数， 所以函数的图像开口向上，对称轴为直线， 又函数在区间上是增函数， 所以，解得. 即实数的取值范围是. 故选：A. 2．函数在（    ）时取最小值． A．6 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，利用配方法，即可求解. 【详解】因为， 所以函数图像开口向上，对称轴为， 所以当时，函数取得最小值，即. 故选：C. 3．已知函数，则函数的最大值为（   ） A．15 B．10 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】函数的对称轴为，且函数的图像为开口向上的抛物线， 所以函数在上为增函数，故函数在上单调递增， 所以当时，函数的最大值为. 故选：A. 4．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性即可解答. 【详解】函数中， 二次项系数，图像开口向下， 对称轴为， 所以在函数的单调递减区间是， 故选：C. 5．下列函数中，在区间上为增函数的有（   ） ①；②；③；④． A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】利用一次函数，二次函数，对数函数的单调性可判断. 【详解】，与轴平行，不存在单调性，①错误； 一次函数，斜率为在上为增函数，在区间上为增函数，②正确； 二次函数，开口向上，对称轴为，则在为增函数，③错误； 对数函数，，则其在区间上为增函数，④正确； 综上②④正确； 故选：C. 6．已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的单调性，求得函数的对称轴，结合函数的图像，即可得，继而求解. 【详解】因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的图像开口向上，且对称轴为， 所以， 又， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 7．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】由题意知函数， 则函数图像为开口向上，对称轴为的二次函数， 所以函数的单调递增区间是. 故选：B. 8．函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数性质可判断. 【详解】由题知此函数开口向上，对称轴， 所以在上单调递增， 则； 故选：B. 9．函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】求出对称轴结合二次函数的性质即可得解 【详解】函数，对称轴为， 图像为开口向上的抛物线，则的单调递减区间为， 故答案为：. 10．已知函数在上有最大值，则 ． 【答案】或 【分析】求出二次函数的对称轴，分类讨论，，的情况，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】函数在上有最大值， 二次函数对称轴为，图像为开口向下的抛物线， 当时，函数在上单调递增，则，解得或（舍）； 当时，则，无解； 当时，函数在上单调递减，则，解得（舍）或， 综上所述，或， 故答案为：或. 11．函数在上的最大值为 ． 【答案】10 【分析】利用二次函数的性质得出对称轴，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可. 【详解】函数的图像是开口向上，对称轴为直线的抛物线， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 函数在上的最大值为10. 故答案为：10. 12．已知函数对于任意实数，均有，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】对a分类讨论，根据二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】由题意知函数，对于任意实数，均有， 当时，，符合题意； 当，且， 解得：； 当时，不符合题意， 综上所述. 故答案为：. 13．已知函数是二次函数，不等式的解集为，且．求： (1)的解析式； (2)在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合二次函数、二次不等式与一元二次方程根的关系，可设出函数解析式，将代入，求得参数值，即可求得函数解析式； （2）根据题意，结合二次函数的图像和性质，利用配方法，可求得函数在区间上的最值，即可求得函数在区间的值域. 【详解】（1）因为函数是二次函数，不等式的解集为， 所以是的两根， 故可设，且， 由，得，解得， ， 即函数解析式为； （2）因为， 所以函数图像开口向下，对称轴为， 所以当时，， 当时，， 所以在上的值域为． 14．已知二次函数，满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的表达式以及题目条件代入求解即可. （2）根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】（1）二次函数，满足. ， 所以，. （2），对称轴为. 因为函数在区间上是单调函数， 所以或，解得或. 所以实数m的取值范围为. 15．已知函数. (1)画出函数的图像； (2)根据图像求函数的单调区间和值域. 【答案】(1)图像见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据函数解析式画出图像即可. （2）根据图像即可确定单调性和最值. 【详解】（1）已知函数， 其中，开口向上，对称轴为， 顶点为，当时，， 解得，所以与轴交点为， 当时，，则与轴的交点为， 描点如图所示， （2）由图像可知，函数的单调递减区间是， 单调递增区间是， 因为函数的顶点纵坐标为， 且函数开口向上，所以函数的值域. 知识点2 幂函数 1.幂函数的定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数. 2. 幂函数的图像和变化规律 （1） 常见的5种幂函数的图像如下 （2） 图像变化规律 ①所有幂函数在上都有定义，并且都过点. ②时，幂函数的图像通过原点和点，并且在区间上是增函数. ③时，幂函数的图像过点，在区间上是减函数. 3.幂函数的性质 函数特征性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 / 增函数 增函数 / 定点 1．（20230湖北职教高考）下列函数定义域与值域均为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质可判断结果. 【详解】因为正切函数的定义域为，故A错误； 因为指数函数的值域为，故B错误； 因为对数函数的定义域为，故C错误； 由幂函数的图像和性质可知，的定义域与值域均为，故D正确. 故选：D 2．（2020黑龙江对口升学）下列属于增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式判断函数单调性即可； 【详解】选项A，函数在和上分别单调递减，不是增函数，故错误； 选项B，对数函数在上单调递减，不是增函数，故错误； 选项C，指数函数在上单调递减，不是增函数，故错误； 选项D，根据幂函数的性质，幂函数的指数，函数在上单调递增，是增函数，故正确； 故选：D 3．（2024山东职教高考）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的概念可判断结果. 【详解】根据幂函数的概念可知， ，，是幂函数，而不是幂函数. 故选：C 4．（2024四川对口升学）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可求解. 【详解】由题意得，因为幂函数在上是增函数， 又指数函数在定义域上是增函数. 所以，又， 所以. 故选：C. 5．（20250广东职教高考）已幂函数过点，则 【答案】 【分析】利用幂函数的概念进行求解即可. 【详解】幂函数过点， ，则. 故答案为：. 1．下列函数在R上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数，二次函数，幂函数，反比例函数的单调性逐项分析即可. 【详解】为一次函数，其中， 所以该函数在R上是减函数，故A错误， 为二次函数，其中， 图像开口向上，对称轴为轴， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误， 为幂函数，在R上是增函数，故C正确， 为反比例函数，其中， 所以该函数在上单调递增和在单调递增，故D错误， 故选：C. 2．已知是幂函数，则（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】先根据幂函数的概念求得参数，即可得到函数解析式，即可求解. 【详解】因为是幂函数， 所以，即， 故，得到， 故选：D 3．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由奇函数和单调增函数的定义判断常见函数的性质即可. 【详解】对于A，为反比例函数，在区间上单调递减，故A错误； 对于B，为幂函数，定义域为，为奇函数，且在定义域上单调递增，即在区间上单调递增，故B正确； 对于C，，定义域为，关于原点对称，且，故为偶函数不为奇函数，故C错误； 对于D，，定义域为，定义域不关于原点对称，故不为奇函数，故D错误. 故选：B. 4．下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数、指数函数、和对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为幂函数是增函数，且，所以，故A错误； 因为指数函数是减函数，且，所以，故B错误； 因为指数函数是增函数，且，所以，故C正确； 因为对数函数在上单调递减，且，所以，故D错误． 故选：C. 5．下列函数中，在定义域上为减函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数，对数函数，一次函数，指数函数的单调性判断即可. 【详解】是幂函数且，故其在定义域上是增函数，故A错误； 是对数函数且，故其在定义域上是减函数，故B正确； 是一次函数且，故其在定义域上是增函数，故C错误； 是指数函数且，故其在定义域上是增函数，故D错误. 故选：B. 6．已知幂函数 在定义域上单调递增，且 ，则 的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质求解. 【详解】因为幂函数 在定义域上单调递增， 所以. 因为，所以，解得. 则的解析式为. 故选：A. 7．幂函数在上单调递增，若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义以及单调性求解. 【详解】因为感受为幂函数， 所以，解得或. 当时， ，在上单调递增，符合题意. 当时，，在上单调递减，不符合题意. 所以时，. 或， 即或. 故选：D. 8．已知幂函数的图像与坐标轴没有公共点，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和函数图像与坐标轴无公共点求得参数，即可求解. 【详解】因为是幂函数，其系数必须为1，所以， 解得或， 当时，， 此函数的图像是一条直线，与坐标轴有公共点，不符合题意， 当时，，，即与坐标轴没有公共点，符合题意， 所以函数为，即. 故选：A 9．已知，则“”是“”的 条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据充分性与必要性的定义结合幂函数的性质即可得解. 【详解】因为， 当时，此时，， 因为函数，在上单调递增，所以成立，故充分性成立； 当时，无意义，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要. 10．若幂函数的图像经过点，则 . 【答案】9 【分析】利用幂函数过点求得，再代入即可得解. 【详解】因为的图像经过点， 所以，则，所以， 则. 故答案为：9. 11．已知函数是幂函数，且是奇函数，则 【答案】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再利用函数奇偶性的定义可判断结果.. 【详解】由函数是幂函数，可得， 解得或. ①当时，，函数的定义域为，且， 所以不是奇函数，不符合题意； ②当时，，函数的定义域为，且， 所以是奇函数，符合题意. 综上所述，. 故答案为： 12．用不等号连接：（1）若，则 ；（2） 【答案】 > < 【分析】根据指数函数以及幂函数的单调性求解即可. 【详解】因为在上单调递增，且，所以. 因为在上单调递增，且，所以. 故答案为：. 13．已知：幂函数过，求：幂函数的解析式，并求 【答案】，25 【分析】由幂函数经过点代入可求得，进而计算可求的. 【详解】因为幂函数过， 所以，解得， 所以，则. 14．已知函数的图像过点. (1)求的值； (2)若函数，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数解析式，即可求出的值； （2）由（1）可得的解析式，利用基本不等式，即可求出函数的最小值. 【详解】（1）∵函数的图像过点， ∴，解得. （2）由（1）得， 因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， ∴函数的最小值为. 15．已知为二次函数且方程的两个根为1和3，是幂函数，且和都经过点. (1)求的值域； (2)求函数的定义域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，可设，，将已知点代入，即可求得函数解析式，结合二次函数配方法，即可求得函数得值域； （2）根据题意，可设，将已知点代入，即可求得函数解析式，结合二次不等式的解法，即可求得函数的定义域. 【详解】（1）由题意，方程的两个根为1和3， 设，， 将点代入得， ， ， ， 时，函数取得最小值，即， 的值域为. （2）设，是常数， 将点代入得，， ， ， 由，即， ，或， 的定义域为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$