第13周 数列的概念-【周测必刷】2025-2026学年高二数学选择性必修1+2（人教A版2019）

— 50 — 第十三周 数列的概念 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第12题.该题主要考查由an 与Sn 的关系求通项公式 ,考查考生思维的严谨性,注 意检验首项是否满足通项,从而提高学生的分析问题能力,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共60分) 考点一 数列的概念与分类 1.下列说法正确的是 ( ) A.{0,1,2,3,4,5}是有穷数列 B.所有有理数能构成数列 C.-2,-1,1,x,3,4,5是一个项数为7的数列 D.数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列 2.下列数列中哪些是有穷数列? 哪些是无穷数列? 哪些是递增数列? 哪些是递减数列? 哪些是常 数列? 哪些是摆动数列? (1)1,0.84,0.842,0.843,…; (2)2,4,6,8,10,…; (3)7,7,7,7,…; (4)13 ,1 9 ,1 27 ,1 81 ,…; (5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1; (6)0,-1,2,-3,4,-5,…. 考点二 数列的通项公式 3.(2025·大连·阶段练习)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为最简单的四 个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方 形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形. (1)从图(2)开始观察每个图案从上往下的小正方形个数有什么规律? (2)按照此图规律,f(6)为多少? 4.写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: (1)-1,12 ,-13 ,1 4 ; (2)12 ,2,92 ,8; (3)0,1,0,1; (4)9,99,999,9999. 考点三 数列通项公式的简单应用 5.已知数列{an}的通项公式为an=qn,n∈N*,且a4-a2=72. (1)求实数q的值; (2)判断-81是否为此数列中的项. 6.已知数列的通项公式为an=2n2-n. (1)求这个数列的第5项,第10项. (2)试问:15是不是{an}中的项? 3是不是{an}中的项? 考点四 数列的单调性与最值 7.(2025·承德·阶段练习)已知数列{an}的通项公式是an=n 2 3 n ,n∈N*.试问该数列有没有最 大项? 若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由. — 49 — — 52 — 考点五 数列的递推公式 8.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=an+an+1,则a5= ( ) A.0 B.3 C.5 D.8 9.若数列{an}满足a1=2,an+1= 1+an 1-an ,n∈N*,求a6. 考点六 由递推公式求通项公式 10.(2025·南宁·阶段练习)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+ 1 n- 1 n+1 ,则an 等于 ( ) A.14 B. 2n-1 n C. n-1 n D. 1 2n 考点七 an 与Sn 的关系 11.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8 的值为 . 12.已知Sn 为数列{an}的前n项和,根据条件求{an}的通项公式. (1)Sn=3n-1; (2)Sn=2n2-30n. 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 数列中的最大项、最小项 已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4. 探究问题: (1)数列中有多少项是负数? (2)n为何值时,an 有最小值? 并求出最小值. 【综合·一练到底】(共25分) 1.已知数列{an}的通项公式为an=3n+1,数列{bn}的通项公式为bn=n2,若将数列{an},{bn}中相 同的项按从小到大的顺序排列后构成数列{cn},则484是数列{cn}中的第 ( ) A.12项 B.13项 C.14项 D.15项 2.在一个数列中,如果对任意n∈N*,都有anan+1an+2=k(k为常数),那么这个数列叫做等积数列, k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列,且a1=1,a2=2,公积为8,则a1+a2+a3+…+ a12= . 3.(2025·哈尔滨·阶段练习)小张和小王两位同学课余时间玩 一种类似于古代印度的“梵塔游戏”.有3个柱子甲、乙、丙,甲 柱上有n(n≥3)个盘子,最上面的两个盘子大小相同,从第二个盘子往下大小不等,大的在下,小 的在上(如图).把这n个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束,在移动过程中每次只能移动一个 盘子,甲、乙、丙柱都可以利用,且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下, 设游戏结束需要移动的最少次数为an,当n≥3时,试探究an 和an+1满足的关系式. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·金华·阶段练习)已知数列{an}满足:a1=m(m 为正整数),an+1= an 2 ,an 为偶数, 3an+1,an 为奇数. 若a4=4,求m 所有可能的取值. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 51 — —102 — 6.解 如图,建立坐标系,设拱桥抛物线方程为 x2=-2py(p>0),由题意,将B(4,-5)代入 方程得p=85 ,∴抛物线方程为x2=-165y. 当船的两侧和拱桥接触时船不能通航, 设此时船面宽为AA',则A(2,yA), 由22=-165yA ,得yA=- 5 4. 又知船露出水面上部分为3 4 米,设水面与抛物线拱顶相距为h,则 h=|yA|+ 3 4=2 (米),即水面上涨到距抛物线拱顶2米时,小船 不能通航. 【方法技巧】 涉及拱桥、隧道的问题,通常需建立适当的平面直 角坐标系,利用抛物线的标准方程进行求解. 7.C [设抛物线方程为y2=ax(a≠0). 又A ± 32 ,1 2 (取点A 在x 轴上方), 则有1 4=± 3 2a , 解得a=± 36 , 所以抛物线方程为y2=± 36x. ] 8.解 椭圆的方程可化为x 2 4+ y2 9=1 ,其短轴在x轴上, ∴抛物线的对称轴为x轴, ∴设抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3, 即p 2=3 ,∴p=6, ∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x, 其准线方程分别为x=-3和x=3. 9.AD [由题意可得,以 MF 为直径的圆过点(0,2),设点 M(x,y), 由抛物线定义知|MF|=x+p2=5 ,可得x=5-p2. 因为圆心是 MF 的 中 点,所 以 根 据 中 点 坐 标 公 式 可 得,圆 心 横 坐 标 为 5-p2+ p 2 2 = 5 2 ,由已知可得圆的半径也为5 2 ,据此可知该圆与y 轴相切于点A(0,2),故圆心纵坐标为2,则 M 点纵坐标为4,即点 M 5-p2 ,4 ,代入抛物线方程得p2-10p+16=0,解得p=2或 p=8.] 10.60° [如图,直线m 为抛物线的准线, 过点A,B 分别作AM,BN 垂直于m, 垂足为 M,N,作BE⊥AM 于点E, 因为|AF|=|AM|,|BF|=|BN|, 且|AF|=3|BF|,所以|AM|=3|BN|, 则|AB|=4|BF|,|AE|=|AM|-|ME|= 2|BF|, 所以cos∠BAE=12 , 则∠BAE=60°,即直线l的倾斜角为60°.] 11.解 联立 y =kx+1, y2=4x, 消去y, 得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*) 当k=0时,(*)式只有一个解x=14 , 此时直线l与C 只有一个公共点 14 ,1 , 此时直线l平行于x 轴. 当k≠0时,(*)式是一个一元二次方程, Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k). ①当Δ>0,即k<1,且k≠0时, l与C 有两个公共点,此时直线l与C 相交; ②当Δ=0,即k=1时,l与C 有 一 个 公 共 点,此 时 直 线l与C 相切; ③当Δ<0,即k>1时,l与C 没有公共点,此时直线l与C 相离. 综上所述,当k=1或0时,l与C 有一个公共点; 当k<1,且k≠0时,l与C 有两个公共点; 当k>1时,l与C 没有公共点. 【方法技巧】 判断直线与抛物线的位置关系的方法:联立方程组 消元,当二次项系数不等于零时,用判别式Δ来判定;当二次项系 数等于零时,直线与抛物线相交于一点. 12.解 方法一 因为过焦点的弦长为|AB|=52p , 所以弦所在的直线的斜率存在且不为0, 设直线方程为y=k x-p2 , 联立 y=k x- p 2 , y2=2px, 消去y可得k2x2-(k2p+2p)x+14k 2p2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2= k2p+2p k2 , 所以|AB|=x1+x2+p= k2p+2p k2 +p=5p2 , 所以k=±2, 所以所求直线方程为2x-y-p=0或2x+y-p=0. 方法二 由题意知焦点F p2 ,0 , 设A(x1,y1),B(x2,y2), 若AB⊥x轴,则|AB|=2p≠52p ,不满足题意. 所以直线AB 的斜率存在,设为k, 则直线AB 的方程为y=k x-p2 ,k≠0. 由 y=k x- p 2 , y2=2px, 消去x,整理得ky2-2py-kp2=0. 由根与系数的关系得y1+y2= 2p k ,y1y2=-p2. 所以|AB|= 1+1k2 ·(y1-y2)2 = 1+1k2 · (y1+y2)2-4y1y2 =2p 1+ 1 k2 =52p, 解得k=±2. 所以AB 所在的直线方程为2x-y-p=0 或2x+y-p=0. 13.解 方法一 (点差法)设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x1,y1),B(x2,y2),则有y21=8x1,y22=8x2, ∴(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2). 又y1+y2=2,∴y1-y2=4(x1-x2), 即y1-y2 x1-x2 =4,∴kAB=4, ∴AB 所在直线的方程为y-1=4(x-4),即4x-y-15=0. 方法二 (一般法)由题意知 AB 所在直线斜率存在,设 A(x1, y1),B(x2,y2),弦AB 所在直线的方程为y=k(x-4)+1. 联立 y 2=8x, y=k(x-4)+1, 消去x得ky2-8y-32k+8=0, 此方程的两根就是线段端点A,B 的纵坐标. 由根与系数的关系得y1+y2= 8 k , 又y1+y2=2,∴k=4, ∴AB 所在直线的方程为y=4(x-4)+1,即4x-y-15=0. 【方法技巧】 解决中点弦问题常用方法 【探究·一举突破】 探究路径 解 (1)因为抛物线的方程为y2=4x,则有y21=4x1,y22=4x2,因 为弦AB 的中点为(3,3),所以x1≠x2. 两式相减得y21-y22=4x1-4x2, 所以y1-y2 x1-x2 = 4y1+y2 =23 , 所以直线l的方程为y-3=23 (x-3),即y=23x+1. (2)证明:当l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+b,代入抛物线 方程,整理,得ky2-4y+4b=0,y1y2= 4b k =-12 ,b=-3k, l的方程为y=kx-3k=k(x-3),过定点(3,0). 当l的斜率不存在时,y1y2=-12,则x1=x2=3,l过定点(3,0). 综上,l过定点(3,0). 【综合·一练到底】 1.2;(4,6) [如图所示,设直线l与抛物线Z 的准线交于点C,由 x2=4y, x2+(y-1)2=4, x>0,y>0,) 解得 x=2, y=1, 所 以 m =2.由 x=t,x2=4y, 解 得 x=t, y=t 2 4 , 所 以 A t,t24 , 由 x=t, x2+(y-1)2=4, x>0,y>0, 解得 x=t,y=1+ 4-t2, 所以B(t,1+ 4-t2), 由抛物 线 的 定 义 得|AF|=|AC|,所 以△FAB 周 长=|FA|+ |FB|+|AB|=|AC|+|AB|+|BF|=|BC|+2= 4-t2+4.因 为t∈(0,2),所以 4-t2+4∈(4,6).] 2.y2=3x [由抛物线的光学性质可得,PQ 必 过 抛 物 线 的 焦 点F p 2 ,0 .当直线PQ 的斜率不存在时,易得|PQ|=2p;当直线PQ 的斜率存在时,设PQ 的方程为y=k x-p2 ,P(x1,y1),Q(x2, y2),联 立 y=k x-p2 , y2=2px, 得 k2 x2-px+p 2 4 =2px,整 理 得 4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0,所 以x1+x2=p+ 2p k2 ,x1x2= p2 4. 所以|PQ|=x1+x2+p=2p 1+ 1 k2 >2p.综上,当直线PQ 与x 轴垂直时,弦长最短,又因为两平行光线间的最小距离为3, 故2p=3,所以抛物线的方程为y2=3x.] 3.解 (1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的 范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0. (2)如图所 示,由|OA|=|OB|可 知 AB⊥x 轴,垂足为点 M, 又焦点F 是△OAB 的重心, 则|OF|=23|OM|. 因为F(2,0), 所以|OM|=32|OF|=3 ,所以M(3,0). 故设A(3,m), 代入y2=8x得m2=24, 所以m=2 6或m=-2 6, 所以A(3,2 6),B(3,-2 6), 所以|OA|=|OB|= 33, 所以△OAB 的周长为2 33+4 6. 【选做·一飞冲天】 解 (1)由题意可知F p2 ,0 , 则该直线方程为y=x-p2 , 代入y2=2px(p>0), 得x2-3px+p 2 4=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则有x1+x2=3p. ∵|MN|=8, ∴x1+x2+p=8, 即3p+p=8,解得p=2, ∴抛物线C的方程为y2=4x. (2)设直线l的方程为y=x+b,代入y2=4x, 得x2+(2b-4)x+b2=0. ∵直线l为抛物线C 的切线, ∴Δ=0,解得b=1. ∴直线l的方程为y=x+1. 由(1)可知x1+x2=6,x1x2=1. 设P(m,m+1), 则PM→=(x1-m,y1-(m+1)), PN→=(x2-m,y2-(m+1)), ∴PM→·PN→=(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)]·[y2-(m+1)]= x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2. ∵x1+x2=6,x1x2=1, ∴(y1y2)2=16x1x2=16,y1y2=-4. ∵y21-y22=4(x1-x2), ∴y1+y2=4× x1-x2 y1-y2 =4, ∴PM→·PN→=1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2=2(m2- 4m-3)=2[(m-2)2-7]≥-14,当且仅当 m=2,即点P 的坐标 为(2,3)时,PM→·PN→取得最小值,最小值为-14. 第十三周 数列的概念 【考点·一应俱全】 1.B [紧扣数列的有关概念,验证每一个说法是否符合条件.因为 {0,1,2,3,4,5}是集合,而不是数列,故A错误;所有有理数能构成 数列,故B正确;当x代表数时,它是项数为7的数列;当x不代表 数时,它不是数列,故C错误;数列1,2,3,4,…,2n,共有2n项,是 有穷数列,所以D错误.] 2.(5)是有穷数列 (1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列 (2)是递增数列 (1)(4)(5)是递减数列 (3)是常数列 (6)是摆动数列 3.(1)提示:按照1,3,5,7,…,1的顺序分布. (2)提示:f(1)=1=2×1×0+1, f(2)=1+3+1=2×2×1+1, f(3)=1+3+5+3+1=2×3×2+1, f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×4×3+1, 故f(n)=2n(n-1)+1. 当n=6时,f(6)=2×6×5+1=61. 4.解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数,并且奇数项 为负,偶数项为正, 所以它的一个通项公式为an= (-1)n n ,n∈N*. (2)数列中的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数 再观察:1 2 ,4 2 ,9 2 ,16 2 ,…, 所以它的一个通项公式为an= n2 2 ,n∈N*. (3)这个数列中的项是0与1交替出现,奇数项都是0,偶数项都是 1,所以通项公式可以写成an= 0,n为奇数 1,n为偶数 由第(1)题也可以写成 an= 1+(-1)n 2 (n∈N*)或an= 1+cosnπ 2 (n∈N*). (4)各项加1后,变为10,100,1000,10000,…,此数列的通项公式 为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1,n∈N*. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 101 — —104 — 【方法技巧】 由数列的前几项求通项公式的解题策略 (1)对于分式形式的数列,可以分子、分母分别求通项,较复杂的 还要考虑分子、分母的关系. (2)若n和n+1项正负交错,那么符号用(-1)n 或(-1)n+1或 (-1)n-1来调控. (3)熟悉一些常见数列的通项公式. (4)对于复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发 现,要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的各项分解成若 干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳. 5.解 (1)由题意知q4-q2=72, 则q2=9或q2=-8(舍去), ∴q=±3. (2)当q=3时,an=3n. 显然-81不是此数列中的项; 当q=-3时,an=(-3)n. 令(-3)n=-81,无解, ∴-81不是此数列中的项. 6.解 (1)∵an=2n2-n, ∴当n=5时,a5=2×52-5=45; 当n=10时,a10=2×102-10=190. (2)an=2n2-n,令an=15,则有2n2-n-15=0, 解得n=3或n=-52 (舍去). 故15是该数列的第3项. 令an=3,则有2n2-n-3=0,该方程不存在正整数解,故3不是 该数列的项. 【方法技巧】 (1)利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an 与它的序号n 之间的关系,只 要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项. (2)判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列的第n项,然后列出关于n的方程.若方程的解 为正整数,则该数值是数列的一项;若方程无解或解不是正整数, 则该数值不是该数列的一项. 7.解 方法一 an+1 an = (n+1) 23 n+1 n 23 n = n+12 n·3 , 当n<2时,an+1an >1,即an+1>an; 当n=2时,an+1an =1,即an+1=an; 当n>2时,an+1an <1,即an+1<an. 则a1<a2=a3>a4>a5>…, 故数列{an}有最大项,为第2项和第3项, 且a2=a3=2× 2 3 2 =89. 方法二 根据题意,令 an-1≤an, an≥an+1, 即 (n-1)× 23 n-1 ≤n 23 n , n 23 n ≥(n+1) 23 n+1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得2≤n≤3. 又n∈N*,则n=2或n=3. 故数列{an}有最大项,为第2项和第3项, 且a2=a3=2× 23 2 =89. 【方法技巧】 求数列最值的方法 (1)函数的单调性法:令an=f(n),通过研究f(n)的单调性来研 究最大(小)项. (2)不等式组法:先假设有最大(小)项.不妨设an 最大,则满足 an≥an-1, an≥an+1(n≥2), 解不等式组便可得到n的取值范围,从而确定 n的值;求最小项用不等式组 an≤an-1 , an≤an+1(n≥2) 求得n的取值范 围,从而确定n的值. 8.D [利用递推公式可得a3=a1+a2=1+2=3,a4=a2+a3=2+ 3=5,a5=a3+a4=3+5=8.] 9.解 a2= 1+a1 1-a1 =1+21-2=-3 , a3= 1+a2 1-a2 =1-31+3=- 1 2 , a4= 1+a3 1-a3 = 1-12 1+12 =13 , a5= 1+a4 1-a4 = 1+13 1-13 =2, a6= 1+a5 1-a5 =1+21-2=-3. 10.B [方法一 (归纳法)数列的前5项分别为 a1=1,a2=1+1- 1 2=2- 1 2= 3 2 , a3= 3 2+ 1 2- 1 3=2- 1 3= 5 3 , a4= 5 3+ 1 3- 1 4=2- 1 4= 7 4 , a5= 7 4+ 1 4- 1 5=2- 1 5= 9 5 , 又a1=1, 由此可得数列的一个通项公式为an= 2n-1 n . 方法二 (迭代法)a2=a1+1- 1 2 , a3=a2+ 1 2- 1 3 ,…, an=an-1+ 1 n-1- 1 n (n≥2), 则an=a1+1- 1 2+ 1 2- 1 3+ 1 3- 1 4+ …+ 1n-1- 1 n=2- 1 n= 2n-1 n (n≥2). 又a1=1也适合上式, 所以an= 2n-1 n (n∈N*). 方法三 (累加法) an+1-an= 1 n- 1 n+1 , a1=1, a2-a1=1- 1 2 , a3-a2= 1 2- 1 3 , a4-a3= 1 3- 1 4 , … an-an-1= 1 n-1- 1 n (n≥2), 以上各项相加得 an=1+1- 1 2+ 1 2- 1 3+ …+ 1n-1- 1 n. 所以an= 2n-1 n (n≥2). 因为a1=1也适合上式, 所以an= 2n-1 n (n∈N*).] 【方法技巧】 由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归 纳出通项公式.(只适用于选择题、填空题) (2)迭代法、累加法或累乘法,递推公式对应的有以下几类: ①an+1-an=常数,或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的),使 用累加法或迭代法. ②an+1=pan(p为非零常数),或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积 的),使用累乘法或迭代法. ③an+1=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第②类解 决. 11.15 [法一:由Sn=n2,得an=2n-1,于是a8=2×8-1=15. 法二:a8=S8-S7=82-72=15.] 12.解 (1)当n=1时,a1=S1=2, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n-1-1) =2×3n-1,显然a1=2适合上式, 所以an=2×3n-1(n∈N*). (2)因为Sn=2n2-30n, 所以当n=1时,a1=S1=2×12-30×1=-28, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1 =2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32. 显然a1=-28适合上式, 所以an=4n-32,n∈N*. 【探究·一举突破】 探究路径 解 (1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4. ∵n∈N*,∴n=2,3.∴数列中有两项是负数. (2)法一:∵an=n2-5n+4= n- 5 2 2 -94 , 可知对称轴方程为n=52=2.5. 又∵n∈N*,故n=2或3时,an 有最小值, 且a2=a3,其最小值为22-5×2+4=-2. 法二:设第n项最小,由 an≤an+1 , an≤an-1, 得 n2-5n+4≤(n+1)2-5(n+1)+4, n2-5n+4≤(n-1)2-5(n-1)+4. 解不等式组,得2≤n≤3, ∴n=2或3时an 有最小值且a2=a3, ∴最小值为22-5×2+4=-2. 【综合·一练到底】 1.C [设am=bk,则3m+1=k2,可得m= (k+1)(k-1) 3 ,则k+1为 3的倍数或k-1为3的倍数,设k+1=3t或k-1=3r,则k=3t- 1或k=3r+1,故{cn}的奇数项项数为t,偶数项项数为r,又484= 222,由3t-1=22,解得t=233 (舍去),由3r+1=22,解得r=7,所 以484是数列{cn}中的第14项.] 2.28 [依题意得数列{an}是周期为3的数列,且a1=1,a2=2,a3= 4,因此a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)= 28.] 3.解 要将(n+1)个圆盘全部转移到乙柱上,只需先将上面n个圆 盘转移到丙柱上,最少需要an 次转移,然后将最大的那个圆盘转 移到乙柱上,需要一次转移,再将丙柱上的n个圆盘转移到乙柱 上,最少需要an 次转移,所以有an+1=2an+1. 【选做·一飞冲天】 解 若a3 为奇数,则3a3+1=4,a3=1. 若a2 为奇数,则3a2+1=1,a2=0(舍去), 若a2 为偶数,则 a2 2=1 ,a2=2. 若a1 为奇数,则3a1+1=2,a1= 1 3 (舍去), 若a1 为偶数, a1 2=2 ,a1=4. 若a3 为偶数,则 a3 2=4 ,a3=8. 若a2 为奇数,则3a2+1=8,a2= 7 3 (舍去), 若a2 为偶数,则 a2 2=8 ,a2=16. 若a1 为奇数,则3a1+1=16,a1=5, 若a1 为偶数,则 a1 2=16 ,a1=32. 故m 所有可能的取值为4,5,32. 第十四周 等差数列 【考点·一应俱全】 1.ACD [A.∵2-2=2-2=2-2=2-2=0,∴该数列是等差数 列.B.∵cos1-cos0≠cos2-cos1,∴该 数 列 不 是 等 差 数 列. C.∵(3m+a)-3m=(3m+2a)-(3m+a)=(3m+3a)-(3m+ 2a)=a,∴该数列是等差数列.D.∵(a+1)-(a-1)=(a+3)- (a+1)=2,∴该数列是等差数列.] 2.解 因为-1,a,b,c,7成等差数列, 所以b是-1与7的等差中项, 则b=-1+72 =3 , 又a是-1与3的等差中项, 所以a=-1+32 =1. 又c是3与7的等差中项, 所以c=3+72 =5. 所以该数列为-1,1,3,5,7. 【方法技巧】 若a,A,b成等差数列,则A=a+b2 ;反之,由 A= a+b 2 也可得到a,A,b成等差数列,所以A是a,b的等差中项⇔A= a+b 2 . 3.解 (1)由题意知 a1+ (5-1)d=-1, a1+(8-1)d=2, 解得 a1=-5, d=1. (2)设等差数列{an}的公差为d,由题意知 a1+a1+(6-1)d=12, a1+(4-1)d=7, 解得 a1=1 , d=2. 所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1,n∈N*. 【方法技巧】 等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d 中共 含有四个量,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个量,那么 就可以求出第四个量,在这四个量中,a1 和d是等差数列的基本 量,只要求出这两个基本量,问题便迎刃而解. 4.证明 法一:定义法 ∵bn+1= 1 an+1-2 = 1 4-4an -2 = an 2(an-2) , ∴bn+1-bn= an 2(an-2) - 1an-2 = an-2 2(an-2) =12 ,为常数(n∈N*). 又b1= 1 a1-2 =12 , ∴数列{bn}是首项为 1 2 ,公差为1 2 的等差数列. 法二:等差中项法 ∵bn= 1 an-2 , ∴bn+1= 1 an+1-2 = 1 4-4an -2 = an 2(an-2) . ∴bn+2= an+1 2(an+1-2) = 4-4an 24-4an -2 = an-1 an-2 . ∴bn+bn+2-2bn+1= 1 an-2 + an-1 an-2 -2× an 2(an-2) =0. ∴bn+bn+2=2bn+1(n∈N*), ∴数列{bn}是等差数列. 【方法技巧】 判定等差数列常用的2种方法 (1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数列. 5.解 方法一 (利用an=am+(n-m)d) 设数列 {an}的公差为d, 则a60=a15+(60-15)d=8+45d=20, 所以d=20-845 = 12 45= 4 15 , 所以a75=a60+(75-60)d=20+15× 4 15=24. 方法二 (利用隔项成等差数列) 因为{an}为等差数列, 所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列, 设其公差为d,a15为首项,则a60为第四项, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 103 —