专题04 一元二次函数与分段函数 （讲义） -吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版））

编写说明：吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及吉林历年高职分类考试真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共41个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第4个专题：一元二次函数与分段函数。本专题涵盖一元二次函数与分段函数等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 吉林省2026年高职分类考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题04 一元二次函数与分段函数（讲义） 知识点1：一元二次函数的定义 形如的函数叫做一元二次函数，其中叫做自变量，是常数且. 知识点2：二次函数的图象与性质 1.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 2.二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为. （1）单调性与最值 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时， （2）与轴相交的弦长 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，. 知识点3：二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则. 知识点4：分段函数 一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。 它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。 分段函数作图题的一般解法:分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。 求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。 求分段函数的值域的方法：分别求出各段函数在其定义区间的值域，再取它们的并集即可。 判断分段函数的奇偶性的方法：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,-x<0 ,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值，若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是奇函数；若有f(x)=f(-x)，则f(x)是偶函数。 考点1:一元二次函数 【典例精讲1】已知二次函数的对称轴为． (1)试求二次函数的解析式； (2)求出二次函数的单调递增区间 【易错练】二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例精讲2】函数的最小值是 . 【易错练】若二次函数的图像经过点，则函数在上的最大值为 . 【典例精讲3】已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是 【易错练】已知函数在上不单调，求实数的取值范围为 . 1. （2024年吉林高职高专院校单独招生统一考试）已知函数为偶函数，且． （1）求函数的解析式； （2）若，求m的取值范围． 2.（2021年吉林高职高专院校单独招生统一考试）已知函数在区间内为减函数，因此实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.( 2018年吉林省高职高专学校单独招生考试 文化基础水平测试试题)函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 3. （2022年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）已知二次函数的最小值为 ，则（ ） A. B. C. D. 4.( 2023年河北省中等职业学校对口升学文化考试数学试题)设函数,则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 5.( 2024年内蒙古自治区高等职业院校对口招收中等职业学校毕业生单独考试数学试题)已知函数在闭区间上有最大值，最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 1. 二次函数的最大值是3，则（   ） A． B．1 C． D． 2. 已知函数图象的对称轴为，则单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 3. 函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则（    ） A． B．8 C． D．22 4. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.某社区超市的某种商品的日利润y（单位：元）与该商品的当日售价x（单位：元）之间的关系为，那么该商品的日利润最大时，当日售价为（    ） A．120元 B．150元 C．180元 D．210元 6. 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 7. 函数是定义在上的偶函数，则在区间上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．先减后增函数 8. 若二次函数在区间上的最大值为6，则（    ） A． B．或5 C．或-5 D． 9. 若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是 ． 10. 已知二次函数的图象与x轴交于，两点，求关于x的不等式的解集. 考点2：分段函数（高频考点） 【典例精讲1】已知函数，则 ． 【易错练】已知函数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【典例精讲2】已知函数，则满足不等式的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【易错练】已知函数，求不等式的解集. 1. (2024年吉林省高职高专院校单独招生统一考试)已知函数则（ ） A. B. 1 C. D. 3 2.(2021年安徽省文化素质分类考试招生和对口招生测试)若函数,则( ) A. B.3 C. . D. . 3.(2024年河北省中等职业学校对口升学文化考试)设函数,则 4.( 2023年黑龙江省中等职业学校毕业生专业对口升学考试招生数学试题)已知函数,则 5. （2021年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）函数，若 则 1. 函数可表示为（    ） A． B． C． D． 2. 已知，则f（4）的值为（    ） A．7 B．3 C．-8 D．4 3. 已知函数 则（    ） A． B． C． D． 4. 已知函数如果，那么实数的值为（    ） A． B． C． D． 5. 已知 则的值等于（    ） A．-2 B．4 C．2 D．-4 6. 函数 ， 则 . 7. 已知函数，则 8. 已知，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及吉林历年高职分类考试真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共41个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第4个专题：一元二次函数与分段函数。本专题涵盖一元二次函数与分段函数等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 吉林省2026年高职分类考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题04 一元二次函数与分段函数（讲义） 知识点1：一元二次函数的定义 形如的函数叫做一元二次函数，其中叫做自变量，是常数且. 知识点2：二次函数的图象与性质 1.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 2.二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为. （1）单调性与最值 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时， （2）与轴相交的弦长 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，. 知识点3：二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则. 知识点4：分段函数 一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。 它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。 分段函数作图题的一般解法:分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。 求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。 求分段函数的值域的方法：分别求出各段函数在其定义区间的值域，再取它们的并集即可。 判断分段函数的奇偶性的方法：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,-x<0 ,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值，若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是奇函数；若有f(x)=f(-x)，则f(x)是偶函数。 考点1:一元二次函数 【典例精讲1】已知二次函数的对称轴为． (1)试求二次函数的解析式； (2)求出二次函数的单调递增区间 【答案】(1) (2) 【分析】小问1：根据二次函数对称轴公式即可求解； 小问2：根据函数的对称轴与开口即可求得单调增区间． 【解析】（1）函数的对称轴方程为，得 所以； （2）由的对称轴为，得单调递增区间为． 【易错练】二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数性质对选项逐一判断 【解析】由题意得，对称轴，则，故A正确， 当时，，则，故C正确， 当时，，则，故D正确， 当时，，故B错误， 故选：B 【易错点睛】考生若不理解二次函数中的作用或不能将图象与代数结合分析将很难做出解答. 【典例精讲2】函数的最小值是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求得正确答案. 【解析】函数的开口向上，对称轴为， 所以当时取得最小值. 故答案为： 【易错练】若二次函数的图像经过点，则函数在上的最大值为 . 【答案】 【分析】根据二次函数图象过点求a，然后配方可得最小值. 【解析】由题知，，解得 则，所以对称轴为,结合图象易知最大值在处取得 即 故答案为： 【易错点睛】本题致错的地方是认为最大值在对称轴处取得或者在处取得，一般地，对于二次函数在闭区间的最值情况，先确定函数的对称轴，再确定对称轴与区间的位置关系，若对称轴在区间内，则当二次项系数为正时在对称轴处有最大值，反之有最小值.若对称轴不在区间内，在可根据函数单调性确定最值. 【典例精讲3】已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据二次函数图象对称轴与区间端点的位置关系求解即可. 【解析】依题意，函数的对称轴为， 又在区间上是单调函数，故或，解得或. 故答案为： 【易错练】已知函数在上不单调，求实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】计算二次函数的对称轴，结合二次函数的单调性列关于对称轴的不等式求解即可. 【解析】由题，二次函数的对称轴，且图象开口向上，若函数在上不具有单调性，则满足，（对称轴位于区间内） 解得. 故答案为：. 【易错点睛】 注意本题中对不单调的理解是对称轴位于区间内，即，不包含端点，即 是错误的. 1. （2024年吉林高职高专院校单独招生统一考试）已知函数为偶函数，且． （1）求函数的解析式； （2）若，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】(1)因为函数是偶函数，所以，又，所以，解得 所以 (2)（方法一）因为，所以, ， 所以即,整理得：,解得<2 故m的取值范围是 （方法二）作出函数的图象，由图象可知函数在上单调递增，故等价于,解得<2，故m的取值范围是 2.（2021年吉林高职高专院校单独招生统一考试）已知函数在区间内为减函数，因此实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为函数的对称轴为,则此函数在上单调递减，则一定有 ，即,解得.，故答案选A 3.( 2018年吉林省高职高专学校单独招生考试 文化基础水平测试试题)函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为函数的对称轴为,且函数图象开口朝上，故在上单调递减，在上单调递增. 故答案选D 3. （2022年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）已知二次函数的最小值为 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为函数的最小值为，所以,对应的抛物线开口向上，且对称轴为,单调递增区间为,单调递减区间为,因为,所以,有对称性可知,因为,则，所以. 故答案选B 4.( 2023年河北省中等职业学校对口升学文化考试数学试题)设函数,则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为,所以函数的解析式为,故答案选C 5.( 2024年内蒙古自治区高等职业院校对口招收中等职业学校毕业生单独考试数学试题)已知函数在闭区间上有最大值，最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为函数的对称轴为,若.则在闭区间上的最小值为，满足题意.故,则函数最大值一定在端点处取得，因为 最大值为，所以,即，解得,综上，,故答案选D 1. 二次函数的最大值是3，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，然后再根据二次函数的最大值可求出的值． 【解析】因为二次函数有最大值， 所以． 又二次函数的最大值为， 由题意得或， 因为，所以 故选：A. 2. 已知函数图象的对称轴为，则单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数的图象特征，直接求函数的单调递减区间. 【解析】由题意得，为二次函数且开口向上，对称轴为， 所以对称轴左侧为单减区间，故单调递减区间是. 故选：B. 3. 函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则（    ） A． B．8 C． D．22 【答案】C 【分析】由题意可知抛物线的对称轴为直线，从而可求出的值 【解析】：函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 所以抛物线的对称轴为直线， 所以，解得， 故选：C 4. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的对称轴得到不等式，求出答案. 【解析】的对称轴为， 要想函数在区间上是减函数，则， 解得， 故选：D 5.某社区超市的某种商品的日利润y（单位：元）与该商品的当日售价x（单位：元）之间的关系为，那么该商品的日利润最大时，当日售价为（    ） A．120元 B．150元 C．180元 D．210元 【答案】B 【分析】二次函数通过配方得到函数值取到最大值时的的值 【解析】，所以当x＝150时，y取最大值． 故选：B 6. 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出对称轴，确定单调性，然后判断各选项即可． 【解析】对称轴为， 则在上单调递减，在上是单调递增， A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确. 故选：D. 7. 函数是定义在上的偶函数，则在区间上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．先减后增函数 【答案】B 【分析析】由偶函数可得定义域对称，可求得，由二次函数的性质即可判断. 【解析】是定义在上的偶函数， ，解得， 的对称轴为轴，开口向下， 在区间上是减函数. 故选：B. 8. 若二次函数在区间上的最大值为6，则（    ） A． B．或5 C．或-5 D． 【答案】C 【分析】讨论二次项系数，利用二次函数的性质即可求解. 【解析】显然，有， 当时，在上的最大值为， 由，解得，符合题意； 当时，在上的最大值为， 由，解得， 所以的值为或-5. 故选：C 9. 若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出二次函数的单调递增区间，再利用集合的包含关系列式求解. 【解析】函数的单调递增区间是， 而函数在上单调递增，则，即，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 10. 已知二次函数的图象与x轴交于，两点，求关于x的不等式的解集. 【答案】 【分析】根据图象与x轴交于，，得到和是方程的两个实数根，把不等式转化为，即可求解. 【解析】因为二次函数的图象与x轴交于，两点 所以和是方程的两个实数根， 所以不等式，可化为，解得或， 即不等式的解集为. 考点2：分段函数（高频考点） 【典例精讲1】已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】直接代入求值即可. 【解析】因为函数， 所有. 故答案为：1. 【易错练】已知函数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的定义域计算可得答案. 【解析】因为， 所以， 所以. 故选：B. 【易错点睛】多层函数的求值一般是从里向外逐层求值即可，根据自变量的范围确定函数解析式，再代入即可求解.掌握运算规则，避免计算错误是该类题的易错点. 【典例精讲2】已知函数，则满足不等式的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出的图象，数形结合得到，且，求出x的取值范围. 【解析】画出的图象，如下： 显然要满足，则要，且， 解得：. 故选：C 【易错练】已知函数，求不等式的解集. 【答案】 【分析】根据分段函数分段求解不等式得解. 【解析】由已知得： 或， 解得或， 所以 所以不等式的解集是. 故得解. 【易错点睛】解关于分段函数的不等式，要根据取值范围确定函数解析式再解不等式，再按交集确定最终的解集.此处容易误解成按照并集取集合. 1. (2024年吉林省高职高专院校单独招生统一考试)已知函数则（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】D 【解析】因为函数 故答案选D 2.(2021年安徽省文化素质分类考试招生和对口招生测试)若函数,则( ) A. B.3 C. . D. . 【答案】A 【解析】根据分段函数的解析式，可知所以 故答案选A 3.(2024年河北省中等职业学校对口升学文化考试)设函数,则 【答案】 【解析】因为，所以,故答案为1 4.( 2023年黑龙江省中等职业学校毕业生专业对口升学考试招生数学试题)已知函数,则 【答案】 【解析】因为,所以故答案为 5. （2021年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）函数，若 则 【答案】 【解析】当时，,所以,解得,因为，所以 当时，,所以无解，综上, .故答案为 1. 函数可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定函数利用绝对值的意义化简，再逐一判断各选项作答. 【解析】当时，，当时，，即，A，B，C都不正确，D正确. 故选：D 2. 已知，则f（4）的值为（    ） A．7 B．3 C．-8 D．4 【答案】A 【分析】根据自变量的范围代入相应解析式直接求解即可. 【解析】因为4>2，所以， 故选：A 3. 已知函数 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据分段函数的解析式计算即可. 【解析】：由已知， 则 故选：C. 4. 已知函数如果，那么实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的性质即可根据函数值求解自变量. 【解析】由可知，且，故， 故选：B 5. 已知 则的值等于（    ） A．-2 B．4 C．2 D．-4 【答案】B 【分析】根据函数解析式直接代入求解. 【解析】因为 所以. 故选：B 6. 函数 ， 则 . 【答案】1 【分析】根据分段函数的特点即可求解. 【解析】因为，所以. 故答案为：1 7. 已知函数，则 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式先求出，再求出即可得解. 【解析】因为， 所以，所以. 故答案为： 8. 已知，则 . 【答案】 【分析】利用函数的解析式可求得的值. 【解析】因为，则. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$