第4次月考滚动检测卷-【三清必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

— 74 — 第四次月考滚动检测卷 [范围:第一至五章] (时间:120分钟 满分:150分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 教研组长推好题 第18题.该题主要考查三角函数的基本性质、三角恒等变换、三角函数的图 像、方程的根等问题,综合性、灵活性强,值得推荐. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.(2025·安徽阜阳·质量检测)设集合S={x|x<-1或x>5},集合T={x|a<x<a+8},且 S∪T=R,则实数a的取值范围为 ( ) A.(-∞,-3)∪(-1,+∞) B.(-3,-1) C.(-∞,-3]∪[-1,+∞) D.[-3,-1] 2.(2023·山东青岛·质量检测)“不等式ax2+2ax+1>0在实数R上恒成立”的充要条件是 ( ) A.0<a≤2 B.0≤a<1 C.0≤a≤12 D.-1<a≤1 3.(2023·江西·统考质量检测)设x∈R,则“|2x-1|≤x”是“x2+x-2≤0”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2025·广西河池·质量检测)已知函数f(x)= 3x+4,x<1 3x-2,x≥1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,若m<n,且f(m)=f(n),则 mf(n)的取值范围是 ( ) A. -43,7 B.[-1,7] C.[-1,7) D. -43,7 5.(2025·湖北汉阳·阶段练习)函数y=sin 2x+π4 的一个对称中心的是 ( ) A. -π2,0 B.(0,0) C. π8,0 D. 3π8,0 6.(2025·河北保定·质量检测)若函数f(x)=2cos ωx+π3 (ω>0)在 0,π2 上单调,则ω的最大 值为 ( ) A.13 B. 2 3 C.1 D.43 7.(2025·湖南长沙质量检测)已知α,β均为锐角,且cosα= 4 5 ,tan(α-β)=- 1 3. 则cosβ= ( ) A.55 B. 10 50 C.3 1010 D. 9 10 50 8.(2025·贵州黔东南质量检测)若函数f(x)=sin 3x-π4 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度 后,恰好得到函数g(x)=cos 3x+π4 的图象,则φ的值可能为 ( ) A.π6 B. π 4 C.π2 D.π 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.(2025·江苏南通·阶段练习)已知角α的终边经过点P(3,-4),则 ( ) A.sinα=45 B.cos2α=- 7 25 C.tan2α=-247 D.sin2α=- 24 25 — 73 — — 76 — 10.(2025·山东淄博质量检测)已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=15 ,则下列结论正确的是 ( ) A.θ∈ π2,π B.cosθ=-35 C.tanθ=-34 D.sinθ-cosθ= 7 5 11.(2025·湖北武汉质量检测)设函数f(x)=2sin 2x+π3 ,给出下列命题,正确的是 ( ) A.若f(x)取得最大值,则x=π12 B.f(x)的图象关于点 π12,0 对称 C.f(x)最大值与最小值之差为4 D.f(x)的最小正周期为π 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.(2025·上海徐汇质量检测)设函数y= 2cos(2x+φ) 0<φ<π2 的一个对称中心是 π12,0 ,则 φ= . 13.(2025·广东茂名质量检测)函数f(x)= 3sin2x+2cos2x在区间 -π6,π6 上的最大值为 . 14.(2025·安徽芜湖质量检测)已知偶函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图像关于点 π3,0 中心对 称,且在区间 0,π4 上单调,则ω= . 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(2025·上海徐汇质量检测)已知函数y=f(x),其中f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0,0≤φ< 2π) (1)若ω=1,φ=0,在用“五点法”作出函数y=f(x),x∈[0,2π]的大致图象的过程中,第一步需 要将五个关键点列表,请完成下表: x 0 f(x) 0 (2)若ω=2,φ= π 3 ,写出函数y=f(x)的最小正周期和单调增区间; (3)若y=f(x)的频率为1π ,且f(x)≤f π2 恒成立,求函数y=f(x)的解析式. — 75 — — 78 — 16.(15分)(2025·甘肃武威质量检测)设函数f(x)=2cos 2x+π6 + 3. (1)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心的坐标; (2)求f(x)在 π12,5π6 上的最值. 17.(15分)(2025·江西上饶质量检测)已知函数f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x. (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)求f(x)在区间 -π6,5π12 上的最大值、最小值及相应的x的值. — 77 — — 80 — 18.(17分)(2025·山东青岛·质量检测)已知函数f(x)=2cosxsin x+π3 -2 3cos2x+ 32, x∈R. (1)求函数的对称中心与对称轴; (2)当x∈ 0,π2 时,求函数f(x)的最值; (3)当x∈[0,π]时,求函数f(x)的单调递增区间. 19.(17分)(2025·湖北武汉质量检测)已知函数f(x)=sin4x+cos4x. (1)求f(x)的对称中心; (2)将函数y=f(x)的图象上所有的点向下平行移动34 个单位长度,然后保持各点的纵坐标不 变,横坐标变为原来的2倍,得到函数y=g(x)的图象. (ⅰ)求y=f(x)+g x+π4 的值域; (ⅱ)当x∈ -π6,π3 时,2ag x+π6 +g x-π12 >14a-1恒成立,求实数a的取值范围. — 79 — —104 — 3 10 10 ,所 以sinα+cosα= - 1010 + 3 10 10 = 10 5 . 故 答 案 为: 10 5 . ] 13.14 [sin(2α-β)=sin[(α-β)+α]=sin(α-β)cosα+cos(α-β) sinα=sin(α-β)cosα+ 1 3= 5 12 ,所以sin(α-β)·cosα= 1 12 ,所 以sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)= 1 3- 1 12= 1 4. ] 14. π2,4π3 [因为f(x)=cos2x+2sinx+ 3=1-sin2x+2sinx+ 3,x∈ -π3,θ ,令t=sinx,则y=-t2+2t+ 3+1,因为y∈ 14,2+ 3 ,当x=-π3时,t=sinx=- 32,此时y=14;令y =2+ 3即-t2+2t+ 3+1=2+ 3,解得t=1,又t=sinx,x∈ -π3,θ ,结合t=sinx图象可知:π2≤θ≤4π3,所以θ的取值范 围为 π2,4π3 .故答案为: π2,4π3 .] 【破题技巧】 依题意可得f(x)=1-sin2x+2sinx+ 3,令t= sinx,则y=-t2+2t+ 3+1,结合函数的值域,求出所对应的t 的值,再结合正弦函数的性质可得. 15.解 (1)因为sinα=35 ,α∈ 0,π2 ,所以cosα=45,所以sin2α =2sinαcosα=2×45× 3 5= 24 25 ,cos2α=1-2sin2α=725 , 所以sin 2α+π3 =sin2αcosπ3+cos2αsin π3=2425×12+725 × 32= 24+7 3 50 (2)因为角β的终边与角α的终边关于y 轴对称, 所以sinβ=sinα= 3 5 ,cosβ=-cosα=- 4 5 ,所以cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ= 4 5× -45 -35×35=-1. 16.解 (1)∵∠POQ=π3 且OA=OD,∴△AOD 为等边三角形, ∴∠DAO=π3 , 又四边形ABCD 为矩形,∴∠DAB=π2 ,∴∠BAP=π6 ; 在扇形OPQ 中,半径OP=1,过B 作OP 的垂线,垂足为 N, ∴BN=OBsinα=sinα, 在△ABN 中,AB= BNsin∠BAP= BN sinπ6 =2sinα. (2)由(1)可知|AB|=2sinα,|BN|=sinα, |ON|=|OB|cosα=cosα, |AN|=|AB|cosπ6= 3sinα , ∴|OA|=|ON|-|AN|=cosα- 3sinα, ∴S矩形ABCD =|AB|·|AD|=|AB|·|OA| =2sinα(cosα- 3sinα) =sin2α+ 3cos2α- 3=2sin 2α+π3 - 3, ∵α∈ 0,π6 ,∴2α+π3∈ π3,2π3 , ∴当2α+π3= π 2 ,即α=π12 时,矩形ABCD 面积的最大值,最大 值为2- 3. 【破题技巧】 (1)过B 作OP 的垂线,垂足为 N,根据解三角形 可得AB=2sinα; (2)根据解三角形及矩形的面积公式可求S矩形ABCD =2sinα(cosα - 3sinα),再利用三角变换和正弦函数的性质可求面积的最 大值. 17.解 (1)∵f(x)= 1-cos π2+2x - 3cos2x =1+sin2x- 3cos2x=1+2sin 2x-π3 , 令2x-π3∈ -π2+2kπ,π2+2kπ (k∈Z),解得x∈ kπ-π12, kπ+5π12 (k∈Z). f(x)的增区间是 kπ-π12,kπ+5π12 ,k∈Z (2)∵|f(x)-m|<2⇔f(x)-2<m<f(x)+2, ∵x∈ 0,π2 ,2x-π3∈ -π3,2π3 ,∴f(x)∈[1- 3,3] ∴ m-2<1- 3 m+2>3 ⇒1<m<3- 3 即m 的取值范围是(1,3- 3). 18.解 (1)∵f(x)=2sin 2x+π6 , ∴函数f(x)的最小正周期为2π2=π. 令2x+π6=kπ ,k∈Z,则x=-π12+ kπ 2 ,k∈Z, ∴函数f(x)的对称中心为 -π12+kπ2,0 ,k∈Z. (2)令π2+2kπ≤2x+ π 6≤2kπ+ 3π 2 ,k∈Z, 则π 6+kπ≤x≤ 2π 3+kπ ,k∈Z, ∴函数f(x)的单调递减区间为 π6+kπ,2π3+kπ ,k∈Z. (3)∵x∈ -π3,π12 ,∴2x+π6∈ -π2,π3 . ∴-1≤sin 2x+π6 ≤ 32,-2≤f(x)≤ 3. 当2x+π6=- π 2 ,即x=-π3 时,f(x)取得最小值-2; 当2x+π6= π 3 ,即x=π12 时,f(x)取得最大值 3. 19.解 (1)由图象可知A=2,T2= 3π 8- -π8 ,则T=π, 所以2π ω=π ,得ω=2, 所以f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π), 因为f(x)的图象过点 -π8,2 , 所以2sin -π4+φ =2,得-π4+φ=π2+2kπ,k∈Z, 得φ= 3π 4+2kπ ,k∈Z, 因为|φ|<π,所以φ= 3π 4 ,所以f(x)=2sin 2x+3π4 ; (2)由π2+2kπ≤2x+ 3π 4≤ 3π 2+2kπ ,k∈Z,得 -π4+2kπ≤2x≤ 3π 4+2kπ ,k∈Z, 所以-π8+kπ≤x≤ 3π 8+kπ ,k∈Z, 所以f(x)的递减区间为 kπ-π8,kπ+3π8 (k∈Z); (3)由x∈ -3π8,π4 ,得2x∈ -3π4,π2 , 所以2x+3π4∈ 0,5π4 ,所以sin5π4≤sin 2x+3π4 ≤sinπ2, 即- 22≤sin 2x+3π4 ≤1,所以- 2≤2sin 2x+3π4 ≤2, 所以f(x)的值域为[- 2,2]. 【破题技巧】 由图象可知A=2,T2= 3π 8- -π8 ,求出T,从 而可求出ω的值,再将 -π8,2 代入函数中可求出φ的值. 第四次月考滚动检测卷 1.B [因为S={x|x<-1或x>5},T={x|a<x<a+8},且S∪T= R,所以 a<-1a+8>5 ,解 得 -3<a<-1,即 实 数a 的 取 值 范 围 为 (-3,-1).故选B.] 2.B [当a=0时,1>0,该不等式成立; 当 a>0 Δ=4a2-4a<0 ,即0<a<1时,该不等式成立;综上,得当0≤ a<1时,关于x的不等式ax2+2ax+1>0恒成立,所以,关于x 的不等式ax2+2ax+1>0恒成立的充分必要条件是0≤a<1.故 选B.] 3.A [由|2x-1|≤x,得 2x-1≥02x-1≤x 或 2x-1<0-2x+1≤x ,解得13≤x≤ 1.由x2+x-2≤0,解得-2≤x≤1,当13≤x≤1 时,-2≤x≤1 一定成立,反之,不一定成立,所以“|2x-1|≤x”是“x2+x-2≤ 0”的充分不必要条件.故选A.] 4.D [作出f(x)的图象,如图所示:由3m+ 4=3n-2,n∈[1,2),可 得 m=3 n-6 3 ,n∈ [1,2),则mf(n)=3 n-6 3 × (3n-2),n∈[1, 2),令 t=3n,t∈ [3,9),则 mf(n)= (t-6)(t-2) 3 = 1 3 [(t-4)2-4],t∈[3,9), 故mf(n)∈ -43,7 .故选D.] 5.D [令sin 2x+π4 =0,则2x+π4=kπ,x=-π8+kπ2,k∈Z,当 k=1时,对称中心为: 3π8,0 ,结合选项,ABC错误,故选D.] 6.D [x∈ 0,π2 ,则 ωx+ π3 ∈ π3,ωπ2 + π3 ,函 数 f(x)= 2cos ωx+π3 (ω>0)在 0,π2 上单调,所以π3<ωπ2+π3≤π,解 得:0<ω≤43 ,所以ω的最大值为43. 故选D.] 7.D [因为α为锐角,cosα=45 ,∴sinα= 1-cos2α=35 ,tanα= sinα cosα= 3 4.∵tanβ=tan [α-(α-β)]= tanα-tan(α-β) 1+tanαtan(α-β) = 3 4+ 1 3 1+34× -13 =139 ,又β 是 锐 角,∴cosβ= cos2β sin2β+cos 2 β = 1 1+tan2β = 1 1+ 139 2 =9 1050 . 故选D.] 8.D [g(x)=cos 3x+π4 =sin 3x+π4+π2 =sin 3x+3π4 , 将f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,得g(x)=sin 3(x+ φ)- π 4 =sin 3x+3φ-π4 ,所以3φ-π4=3π4+2kπ(k∈Z),即 φ= π 3+ 2kπ 3 (k∈Z),当k=0时,φ= π 3 ,当k=1时,φ=π,当k=2 时,φ= 5π 3 ,所以ABC错误,D正确.故选D.] 【破题技巧】 先对g(x)变形为g(x)=sin 3x+3π4 ,再将 f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度求出解析式等于 g(x),两式对照可求出φ的值. 9.BD [由题意,|OP|= 32+(-4)2=5,对于A项,sinα=-45 , 故A项错误;对于B项,cos2α=1-2sin2α=1-2× -45 2 = -725 ,故B项正确;对于C项,因cosα=35 ,tanα=-43 ,则tan2α= 2tanα 1-tan2α = 2× -43 1- -43 2= 24 7 ,故 C项 错 误;对 于 D项,sin2α= 2sinαcosα=2× -45 ×35=-2425,故D项正确.故选BD.] 10.ABD [因为sinθ+cosθ=15 ,平方可得sin2θ+2sinθcosθ+ cos2θ=1+2sinθcosθ=125 ,解得2sinθcosθ=-2425 ,因为θ∈(0, π),所以sinθ>0,cosθ<0,所以θ∈ π2,π ,所以 A正确;又由 (sinθ-cosθ)2=sin2θ-2sinθcosθ+cos2θ=4925 ,所以sinθ-cosθ =75 ,所以D正确;联立方程组 sinθ+cosθ=15 sinθ-cosθ=75 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得sinθ= 4 5 ,cosθ=-35 ,所以B正确;由三角函数的基本关系式,可得 tanθ=sinθcosθ=- 4 3 ,所以C错误.故选ABD.] 11.CD [对于A,当x=π12 时,f π12 =2sin π6+π3 =2,取得最 大值,而当f(x)取得最大值时,2x+π3= π 2+2kπ ,k∈Z,得x= π 12+kπ ,k∈Z,所以A错误;对于B,由选项A可知x=π12 为f(x) 的一条对称轴,所以B错误;对于C,f(x)的最大值为2,最小值 为-2,所以f(x)最大值与最小值之差为4,所以C正确;对于D, f(x)的最小正周期为2π2=π ,所以D正确.故选CD.] 12.π3 /1 3π [由题意可得2×π12+φ= π 2+kπ ,k∈Z,即φ= π 3+ kπ,k∈Z,又因为0<φ< π 2 ,所以φ= π 3. 故答案为:π 3. ] 13.3 [由题意,f(x)= 3sin2x+2×1+cos2x2 = 3sin2x+cos2x+ 1=2sin 2x+ π6 +1,而 x∈ - π6,π6 ,则 2x+ π6 ∈ -π6,π2 ,所以函数的最大值为2sinπ2+1=3.故答案为:3.] 【破题技巧】 先通过降幂公式和辅助角公式将函数化简为 f(x)=2sin 2x+π6 +1,然后求出2x+π6的范围,最后求出 函数的最大值. 14.32 /1.5 [因为偶函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),所以φ=kπ+ π 2 ,k∈Z,即f(x)=cosωx或f(x)=-cosωx,又f(x)=sin(ωx+ φ)(ω>0)的图像关于点 π3,0 中心对称,所以cosπ3ω=0,即 π 3ω=kπ+ π 2 ,k∈Z,所以ω=3k+32 ,k∈Z,因为x∈ 0,π4 函 数单调,所以0≤ωx≤πω4≤π ,即0<ω≤4,所以当k=0时,ω=32 符合条件.故答案为:32. ] 15.解 (1)若ω=1,φ=0,则f(x)=sinx,x∈[0,2π],五点法列表 如下: x 0 π2 π 3π 2 2π f(x) 0 1 0 -1 0 (2)若ω=2,φ= π 3 ,则f(x)=sin 2x+π3 ,所以f(x)最小正周 期T=2π2=π ,由y=sinx 的单调性可知,2kπ-π2≤2x+ π 3≤ 2kπ+π2 ,即kπ-5π12≤x≤kπ+ π 12 ,k∈Z, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 103 — —106 — 所以y=f(x)的单调增区间为 kπ-5π12,kπ+π12 ,k∈Z. (3)由题意可得y=f(x)的周期T=π,则ω=2, 所以f(x)=sin(2x+φ),又f(x)≤f π2 恒成立, 所以f π2 =1,即sin 2×π2+φ =1,即sinφ=-1, 又0≤φ<2π,所以φ= 3π 2 , 所以f(x)=sin 2x+3π2 =-cos2x. 16.解 (1)因为f(x)=2cos 2x+π6 + 3, 令2x+π6=kπ ,k∈Z,解得x=-π12+ kπ 2 ,k∈Z, 所以f(x)的对称轴方程为x=-π12+ kπ 2 ,k∈Z, 令2x+π6=kπ+ π 2 ,k∈Z,可得x=kπ2+ π 6 ,k∈Z, 可得函数f(x)图象的对称中心的坐标为 kπ2+π6,3 ,k∈Z. (2)因为x∈ π12,5π6 ,所以2x+π6∈ π3,116π , 令2x+π6=π ,解得x=512π , 所以f(x)在 π12,5π12 上单调递减,在 5π12,5π6 上单调递增, 所以f(x)min=f 5π12 =-2+ 3, 又由f π12 =2cosπ3+3=3+1,f 56π =2cos116π+3=23, 所以f(x)max=2 3. 【破题技巧】 (1)因为f(x)=2cos 2x+π6 + 2,根据正弦函 数的图像与性质,即可求解; (2)由x∈ π12,5π6 ,所以2x+π6∈ π3,116π ,得到函数f(x) 的单调性,进而求得函数f(x)的最值. 17.解 (1)f(x)=2 3sinx·cosx+2cos2x= 3sin2x+cos2x+1 =2sin 2x+π6 +1 故T=2π2=π ; 由f(x)=2sin 2x+ π6 +1,令- π2+2kπ≤2x+ π6≤ π2+ 2kπ,k∈Z,则-π3+kπ≤x≤ π 6+kπ ,k∈Z, 故函数f(x)的单调递增区间为 -π3+kπ,π6+kπ ,k∈Z; (2)当x∈ -π6,5π12 时,2x+π6∈ -π6,π , 则sin 2x+π6 ∈ -12,1 ,即f(x)∈[0,3], 即f(x)在区间 -π6,5π12 上的最小值和最大值分别为0,3, 即2x+π6=- π 6 时,即x=-π6 时,f(x)有最小值0, 当2x+π6= π 2 ,即x=π6 时,f(x)有最大值3. 18.解 (1)∵f(x)=2cosx· 12sinx+ 32cosx -2 3cos2x+ 32= sinxcosx-3cos2x+ 32= 1 2sin2x- 3 2cos2x=sin 2x-π3 , 令2x-π3=kπ+ π 2 ,k∈Z,解得x=12kπ+ 5 12π ,k∈Z, 所以对称轴为x=12kπ+ 5 12π ,k∈Z; 令2x-π3=kπ ,k∈Z,解得x=12kπ+ 1 6π ,k∈Z 所以对称中心为 kπ2+π6,0 ,k∈Z. (2)∵0≤x≤π2 ,∴-π3≤2x- π 3≤ 2π 3 , ∴- 32≤sin 2x-π3 ≤1, 所以f(x)=sin 2x-π3 的最大值1,最小值- 32. (3)由(1)得f(x)=sin 2x-π3 , 令-π2+2kπ≤2x- π 3≤ π 2+2kπ ,k∈Z, 得-π12+kπ≤x≤ 5π 12+kπ ,k∈Z,又因为x∈[0,π],所以f(x)的 单调递增区间为 0,5π12 和 11π12,π . 【破题技巧】 (1)用两角和的正弦公式、二倍角公式、降幂公式 及辅助角公式化简为f(x)=sin 2x-π3 ,再用整体的思想求 解函数的对称中心与对称轴; (2)先求2x-π3 的范围,再结合正弦函数的图象求函数f(x)的 最值; (3)先求f(x)在R上的单调递区间,再取与区间[0,π]上的交集 部分即可. 19.解 (1)f(x)=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x =1-12sin 22x=1-12 ·1-cos4x 2 = 1 4cos4x+ 3 4 , 令4x=π2+kπ ,k∈Z,得x=π8+ k 4π ,k∈Z, 所以f(x)的对称中心为 π8+k4π,34 ,k∈Z. (2)由f(x)=14cos4x+ 3 4 , 将函数y=f(x)的图象上所有的点向下平行移动34 个单位长度, 然后保持各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍, 得g(x)=14cos2x , (ⅰ)y=14cos4x+ 3 4+ 1 4cos 2x+π2 =14cos4x- 1 4sin2x+ 3 4 =14 (1-2sin22x)-14sin2x+ 3 4 =14 (-2sin22x-sin2x+4), 令sin2x=t,t∈[-1,1],则y=14 (-2t2-t+4)=-12 t+ 1 4 2 +3332 ,其对称轴为t=-14 , 故当t=-14 时,ymax= 33 32 ;当t=1时,ymin= 1 4 , 所以函数的值域为 14,3332 . (ⅱ)原不等式等价于2a·14cos 2x+π3 +14cos 2x-π6 > 1 4a-1 , 也即2a·14cos 2x+π3 +14sin 2x+π3 >14a-1, 即∀x∈ -π6,π3 ,2acos 2x+π3 +sin 2x+π3 >a-4恒 成立, ①当a=0时,sin 2x+π3 >-4恒成立,显然成立,故a=0符 合题意, ②当a>0时,令t=2x+π3 ,由x∈ -π6,π3 可得t∈[0,π], 此时-1≤cost≤1,0≤sint≤1, 所以2acost+sint≥-1·2a+0=-2a, 当且仅当cost=-1且sint=0即t=π时等号成立, 所以2acos 2x+π3 +sin 2x+π3 的最小值为-2a, 若要满足不等式恒成立则-2a>a-4,得a<43 ,则0<a<43 , ③当a<0时,同理可得2acost+sint≥1·2a+0=2a, 当且仅当cost=1且sint=0即t=0时等号成立, 所以2acos 2x+π3 +sin 2x+π3 的最小值为2a, 若要满足不等式恒成立则2a>a-4,得a>-4, 则-4<a<0,综上所述,a的取值范围为 -4,43 . 【技法点拨】 利用换元法,由二次函数的性质即可求得函数的 值域;分三种情况讨论不等式恒成立的条件,即可得到实数a的 取值范围. 期末考试测控卷 1.D [由题意,A={2,6},因为A∩B=B,所以B⊆A,若a=0,则 B=⌀,满足题意;若a≠0,则B= 1a ,因为B⊆A,所以1a =2 或1 a=6 ,则a=12 或a=16. 综上:a=0或a=12 或a=16. 故 选D.] 2.B [由题知,xx-3≥0 ,所以 x(x-3)≥0 x-3≠0 ,解得x≤0,或x>3,对 于A,能成为 xx-3≥0 的充分必要条件;对于B,能成为 xx-3≥0 的充分不必要条件;对于C,能成为 xx-3≥0 的既不充分也不必要 条件;对于D,能成为 xx-3≥0 的既不充分也不必要条件;故选B.] 3.C [①a=0时,f(x)= x+1,值域为[0,+∞),满足题意;②a≠0 时,若 f (x)= ax2+x+1 的 值 域 为 [0,+ ∞ ),则 a>0 Δ=12-4a≥0 ,解得0<a≤14,综上,0≤a≤14.故选C.] 【破题技巧】 对a分a=0,a≠0两种情况讨论,分别根据一次 函数、二次函数的性质,结合值域求参数取值范围即可. 4.C [因 为y= 3-x2,x∈[-1,1] x2+1,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞) , 可得函数的大致图像如图所示,将其向左、向下分 别平移2个、3个单位长度,所得函数图像为C选 项中的图像.故选C.] 【破题技巧】 根据题意,将函数化为分段函数的形式,得到其大 致图像,即可判断平移之后的函数图像. 5.A [由sin π4 -α = 35,0<α< π2,可 得cos π4 -α = 1-sin2 π4-α =45,又由sin 5π4-α -sin 5π4+α =sin π+ π4-α -sin 3π2- π4-α =-sin π4-α +cos π4-α = -35+ 4 5= 1 5. 故选A.] 【破题技巧】 根据题意,利用三角函数的基本关系式,求得cos π4-α =45,再结合三角函数的诱导公式,化简得到sin 5π4- α -sin 5π4+α =-sin π4-α +cos π4-α ,即可求解. 6.D [由f(-x)+f(x)=0,可得f(x)为R上的奇函数,且f(0)= 0.因为f(x)在(-∞,0)上是减函数,所以f(x)在(0,+∞)上是 减函数.又 f(-1)=0,所 以 f(1)=0.由 f(lnx)<0,可 得 lnx<0 lnx>-1 或 lnx>0lnx>1 ,解 得 1e <x<1或 x>e.所 以 不 等 式 f(lnx)<0的解集为 1e,1 ∪(e,+∞).故选D.] 7.C [由 正 弦 函 数 性 质 有 A - φω ,0 , B(0,sinφ),C π-φω ,0 ,由△ABC 是 直 角三角形,可得 AB⊥BC,结合 BO⊥AC 有|OB|2=|OA|×|OC|,∴ π-φω φω = sin2φ,∴(ωsinφ) 2=(π-φ)φ= 2π 9 ,解得φ= π 3 或φ= 2π 3 (舍去), ∴ω= 2π 3 sinφ = 2π 3 sinπ3 = 2π3 × 2 3 =2 6π9 ,∴f(x)=sin 2 6π9 x+ π 3 ,∴f 3 62 =sin 2 6π9 ×3 62 + π3 =sin 2π+ π3 = sinπ3= 3 2. 故选C.] 【破题技巧】 由正弦函数性质得A,B,C 三点坐标,再由AB⊥ BC,结合BO⊥AC有|OB|2=|OA|×|OC|,建立方程即可求出 ω,φ,最后将x= 3 6 2 代入函数解析式即可得解. 8.B [由图知,A=2,f(0)=-1,则2sinφ=-1,即sinφ=- 1 2 ,因 为-π<φ<- π 2 ,所以φ=- 5π 6. 因为x=5π6 为f(x)的零点,则 5πω 6 - 5π 6=kπ (k∈Z),得ω=1+6k5 (k∈Z).由图知,5π6<T= 2π ω< 2π,则1<ω<125 ,所 以k=1,ω=115 ,从 而f(x)=2sin 115x- 5π 6 .由题设,g(x)=2sin 115×1011x-5π6 =2sin 2x-5π6 ,由 x∈ 0,π2 ,则2x-5π6∈ -5π6,π6 ,-2≤g(x)≤2×12=1,或 观察图形便知A错误;g(x)的最小正周期 T=2π2=π ,所以B正 确;当x=π2 时,2x-5π6= π 6≠ π 2 ,则g(x)的图象不关于直线x= π 2 对称,所以C错误;当x∈ 7π12,π 时,2x-5π6∈ π3,7π6 ,因为 y=sinx在 π3,7π6 上不单调,所以g(x)在 7π12,π 上不单调,所 以D错误.故选B.] 【破题技巧】 由函数图象可知A=2,f(0)=-1,则可求出φ, 由x=5π6 为f(x)的零点,结合ω的范围,可求出ω,从而可求出 f(x)的解析式,再利用三角函数图象变换规律求出g(x),然后 逐个分析判断. 9.ABD [对于A:因为f(x)是 R上的奇函数,故f(0)=20+b=0, 解得b=-1,故A正确;对于BC:f(-3)=-f(3)=-(23+2× 3-1)=-13,故B正确,C错误;对于D:当x>0时,f(x)=2x+ 2x-1;因为y=2x 是增函数,y=2x-1也是增函数,故f(x)在 (0,+∞)上也是单调增函数,f(x)为奇函数,故f(x)在 R上是单 调增函数,至多有一个零点;又f(0)=0,故f(x)仅有一个零点,D 正确;故选ABD.] 10.ABD [对于A,2tanαcosαsinα = 2sinα sinα ,故A正确;对于B, 1-2sin10°·cos10° sin10°- 1-sin210° = (cos10°-sin10°)2 sin10°-cos10° = cos10°-sin10° sin10°-cos10°=- 1,故B正确;对于C,若tanx=12 ,则 2sinx cosx-sinx= 2tanx 1-tanx= 2×12 1-12 =2,故C错误;对于D,若sinθcosθ=12 ,则tanθ+cosθsinθ= sinθ cosθ+ cosθ sinθ= sin2θ+cos2θ sinθcosθ = 1 1 2 =2,故D正确.故选ABD.] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 105 —