第5章 三角函数检测卷-【三清必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

— 66 — 第五章 三角函数检测卷 (时间:120分钟 满分:150分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 备考组长推好题 第16题.该题以扇形的内接矩形为载体,主要考查三角恒等变换、三角函数 的最值等,综合性较强,值得推荐. 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.(2025·四川德阳·阶段练习)若π<θ<3π2 ,则点 M(cosθ,tanθ)位于第 象限. ( ) A.一 B.二 C.三 D.四 2.(2025·广西·质量检测)为了得到函数y=cos x-13 的图象,只需将正弦函数y=sinx图象上 各点 ( ) A.横坐标向右平移π2- 1 3 个单位长度,纵坐标不变 B.横坐标向左平移π2- 1 3 个单位长度,纵坐标不变 C.横坐标向左平移π6 个单位长度,纵坐标不变 D.横坐标向右平移π6 个单位长度,纵坐标不变 3.函数y=sin 2x+π3 0≤x≤π2 的值域为 ( ) A.[0,1] B. -12,1 C. - 32,1 D. - 32,32 4.(2025·江苏扬州·质量检测)1626年,阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号:sin、tan、sec (正割),1675年,英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号:cos、cot、csc(余割),但直到1748 年,经过数学家欧拉的引用后,才逐渐通用起来,其中secθ= 1cosθ ,cscθ= 1sinθ ,若α∈ 0,π2 ,且 3 cscα+ 1 secα=2 ,则tanα= ( ) A.1 B.33 C.3 D.2 3 5.(2025·全国·专题练习)函数y=3cos x+π2 的单调递减区间为 ( ) A. kπ,kπ+π2 ,k∈Z B.[2kπ,2kπ+π],k∈Z C. 2kπ-π2,2kπ+π2 ,k∈Z D. kπ-π2,kπ+π2 ,k∈Z 6.(内蒙古巴彦淖尔市质量检测数学试题)已知函数f(x)=2cos 2ωx+π3 (ω>0)在[0,π]上有且仅 有2个零点.则ω的取值范围为 ( ) A. 56,43 B. 53,83 C. 712,1312 D. 76,136 7.(2025·北京延庆·质量检测)对于函数y=f(x),y=g(x)其定义域均为D,若存在x1,x2∈D, 使得f(x1)+g(x2)=m(m∈R),则称f(x)与g(x)在D 上具有“m 关联”性质.若f(x)=sinx+ cos2x与g(x)=3sinx+4cosx在[0,π]上具有“m 关联”性质,则m 的取值范围是 ( ) A.[-5,7] B. -5,498 C.[-4,7] D. -4,498 8.(2025·陕西榆林·质量检测)将函数f(x)=cos ωx+π6 (ω>0)的图象向右平移π3个单位,到得 函数g(x)=sin ωx-π4 的图象,则ω的最小值为 ( ) A.114 B. 7 4 C. 5 2 D.4 — 65 — — 68 — 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.(2025·山东潍坊·质量检测)下列选项正确的是 ( ) A.-150°是第二象限角 B.π12rad=15° C.经过4小时,时针转了-120° D.若一扇形的弧长为2,圆心角为60°,则该扇形的面积为6π 10.(2025·安徽芜湖质量检测)已知函数f(x)=tan 2x-π4 ,则下列说法正确的是 ( ) A.函数f(x)的定义域为 xx≠3π8+ kπ 2 ,k∈Z B.函数|f(x)|的周期与函数g(x)=|sinx|的周期相同 C.函数f(x)图象的对称中心为 3π8+kπ2,0 ,k∈Z D.函数f(x)的单调递增区间为 -π8+kπ2,3π8+kπ2 ,k∈Z 11.(2025·江西省九江市质量检测)已知f(x)=cos ωx-π2 - 3cosωx,ω>0,若函数f(x)的图 象关于x=-π3 对称,且函数f(x)在 0,4π3 上单调,则 ( ) A.f(x)的最小正周期为2π B.f(π)=1 C.f x+5π3 为偶函数 D.f(x)≤f 4π3 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.(2025·北京延庆·质量检测)已知角α的终边经过点P(3,-1),则sinα+cosα= . 13.(2025·四川凉山·质量检测)已知α,β满足sin(2α-β)= 5 12 ,cos(α-β)sinα= 1 3 ,则sinβ的值 为 . 14.(2025·湖北荆州质量检测)若函数f(x)=cos2x+2sinx+ 3在 -π3,θ 上的值域为 14,2+ 3 ,则θ的取值范围为 . 四、解答题:本题共5小题,其中第15题13分,第16,17题15分,第18,19题17分,共77分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(2025·上海嘉定质量检测)已知sinα=35 ,α∈ 0,π2 . (1)求sin 2α+π3 的值; (2)在平面直角坐标系xOy中,以Ox为始边,已知角β的终边与角α 的终边关于y 轴对称,求 cos(α+β)的值. — 67 — — 70 — 16.(15分)(2025·四川泸州·阶段练习)如图,在扇形OPQ 中,半径OP=1,圆 心角∠POQ=π3 ,B 是PQ︵上的动点,矩形ABCD 内接于扇形OPQ,且OA= OD,设∠BOP=α. (1)用α表示线段AB 的长; (2)求矩形ABCD 面积的最大值. 17.(15分)(2025·四川泸州·阶段练习)已知函数f(x)=2sin2 π4+x - 3cos2x (1)求f(x)的单调增区间; (2)若不等式|f(x)-m|<2在x∈ 0,π2 上恒成立,求实数m 的取值范围. — 69 — — 72 — 18.(17分)(2025·四川眉山·阶段练习)已知函数f(x)=2sin 2x+π6 . (1)求函数f(x)的最小正周期和对称中心; (2)求函数f(x)的单调递减区间; (3)当x∈ -π3,π12 时,求函数f(x)的最值及此时x的值. 19.(17分)(2025·广东中山·阶段练习)已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, |φ|<π)的一段图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的单调减区间; (3)x∈ -3π8,π4 ,求函数f(x)的值域. — 71 — —102 — x<1时,f(x)的值域包含(-∞,0).故 1-2a>01-2a+3a≥0 ,解得-1≤ a<12. 故选C.] 9.ABC [根据指数函数,对数函数及幂 函数的 性 质 结 合 图 象 可 知 在 区 间(0, +∞)上,f(x)= 12 x 递减速度越来 越慢,故 A正确;g(x)=log1 2 x 递减速 度越来越慢,故B正确;h(x)=x- 1 2 递 减速度越来越慢,故C正确;h(x)的递 减速度慢于g(x)递减速度,故D错误. 故选ABC.] 10.AB [因为y=1x 在区间(1,e)上单调递减,y=lnx在区间(1,e) 上单调递增,所以f(x)=1x-lnx+a 在区间(1,e)上单调递减, 若 函 数 f(x)在 区 间 (1,e)内 存 在 零 点,则 f (1)>0 f(e)<0 ,即 1+a>0 1 e-1+a<0 ,解得-1<a<1-1e,故 AB符合题意,CD不符 合题意.故选AB.] 【破题技巧】 先判断函数单调性,再根据零点存在性定理列出 不等式求解,结合充分条件定义即可判断各选项. 11.AD [A:f(x)=2 x-1 2x+1 =1- 2 2x+1 ,由|f(x)|<13 ,得-13< 1- 2 2x+1 <13 ,即1 3< 1 2x+1 <23 ,得3 2<2 x+1<3,解得-1< x<1,即原不等式的解集为(-1,1),故 A正确;B:f(-x)=1- 2 2-x+1 =1-2 x+1 2x+1 ≠f(x),故B错误;C:f(1)=1-23= 1 3< 3 5=1- 2 5=f (2),所以f(x)在 R 上单调递减不成立,故C错 误;D:由0< 2 2x+1 <2知-1<1- 2 2x+1 <1,即函数f(x)的值域 为(-1,1),故D正确.故选AD.] 12.0 [设t=x2-4x+5,则t=(x-2)2+1≥1,∴y=log2(x2-4x+ 5)的定义域为 R,所以函数t=x2-4x+5,在x∈(-∞,2)上单 调递减,在x∈(2,+∞)上单调递增,由复合函数的同增异减可 得:y=log2(x2-4x+5)在区间x∈(-∞,2)上单调递减,在x∈ (2,+∞)上单调递增,y=log2(x2-4x+5)≥log2(22-4×2+5)= 0,最小值是0.故答案为:0.] 13.(0,1] [关于x的方程f(x)=a恰有三个实数根等价于函数y =f(x)与y=a的图象的交点个数为3,y=f(x)的图象如图所 示,由图可知当0<a≤1时,两函数图象有3个交点,所以a的取 值范围为(0,1],故答案为:(0,1].] 【破题技巧】 将问题转化为函数y=f(x)与y=a的图象的交 点个数为3,作出函数图象,结合图象求解即可. 14.3或13 [∵f(x)=a2x+ax+1,令ax=t,则t>0,则y=t2+t+ 1= t+12 2 +34 ,其对称轴为t=-12. 该二次函数在 -12, +∞ 上是增函数.①若a>1,由x∈[-1,1],得t=ax∈ 1a, a ,故当t=a,即x=1时,ymax=a2+a+1=13,解得a=3(a= -4舍去).②若0<a<1,由x∈[-1,1],可得t=ax∈ a,1a , 故当t=1a ,即x=-1时,ymax= 1a 2 +1a+1=13.∴a= 1 3 或 -14 (舍去).综上可得a=3或13. ] 【破题技巧】 令ax=t,讨论a>1或0<a<1,求出t的取值范 围,再利用二次函数的单调性即可求解. 15.解 (1)由函数f(x)=a- 21+2x 为奇函数, 得f(x)+f(-x)=2a- 21+2x - 2 1+2-x =2a- 2 1+2x -2 ·2x 1+2x = 2a-2=0,解得a=1,所以a=1. (2)由(1)知,f(x)=1- 21+2x ,当x>0时,1+2x>2,则0< 2 1+2x <1,因此0<f(x)<1, 令t=f(x),t∈(0,1),不等式k[f(x)]2+(6k-2)f(x)+4k≥0, 等价于kt2+(6k-2)t+4k≥0,即(t2+6t+4)k≥2t,而t2+6t+4>0, 因此∀t∈(0,1),k≥ 2t t2+6t+4 = 2 t+4t+6 ,而函数y=t+4t +6 在(0,1)上单调递减, 即t+4t+6>11 ,从而 2 t+4t+6 <211 恒成立,则k≥211 , 所以正实数k的取值范围是k≥211. 16.解 (1)设2x=t∈[2,4],则y=at2-2at+1-b, 因为a>0,对称轴为t=1,所以当t=2,ymin=4a-4a+1-b=1 ①, 当t=4,ymax=16a-8a+1-b=9 ②,由①②解得a=1,b=0. (2)由(1)知f(x)=4x-2x+1+1,所以f(x)-k·2x=0, 即4x-2x+1-k·2x=0,设2x=t∈ 12,4 ,得到t2-2t+1-kt= 0,即k=t+1t-2 , 又函数y=t+1t-2 在 12,1 单调递减,在[1,4]上单调递增, 当t=1时,ymin=0,又当t= 1 2 时,y=12 ,当t=4时,y=94 , 所以要使方程有两个不同的实数解,则0<k≤12. 【破题技巧】 (1)令2x=t∈[2,4],得到y=at2-2at+1-b,再 利用二次函数的性质及条件,即可求出结果; (2)由(1)及条件得到4x-2x+1+1-k·2x=0,令2x=t,分离常 量得到k=t+1t-2 ,再利用函数y=t+1t -2 的单调性,即可 求出结果. 17.解 (1)当-5<x<0时,由log5x单调递增,知f(x)在(-5,0) 上单调递增; 当-5<x<0时,有f(x)=log5(x+5)+1<log55+1=2= f(0),所以f(x)在(-5,0]上单调递增; 当x>0时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1是二次函数,最小值 点是x=1,故f(x)在(0,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. 综上,f(x)在(-5,0]和[1,+∞)上 单 调 递 增,在(0,1)上单调递减. (2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x) 的图象与直线y=k的图象,如图所示, 由图可知若关于x 的方程f(x)-k=0有三 个不同的实根, 当且仅当k的取值范围是1<k<2. 18.解 (1)由表格数据可知,函数单调递减且递减速度逐渐变慢, 模型③y=loga(t+b)+c(b>0,a>1)为单调递增的函数,不符合, 模型①y=at+b(a<0)为直线型,不符合递减速度逐渐变慢, 故模型①③不符合,选模型②y=a·bt+c(a>0,0<b<1), 则 a+c=95 ab+c=88 ab2+c=81.7 ,解得 a=70 b=0.9 c=25 , 所以y=70·0.9t+25(t≥0); (2)令70·0.9t+25=60,则0.9t=12 , 所以t=log0.9 1 2= lg12 lg0.9= -lg2 2lg3-1= 1-lg5 1-2lg3≈6.5 , 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为6.5min. 19.解 (1)若a=4,则f(x)=logm(x+4),g(x)=logm(2-x), 由f(x)<g(x),可得logm(x+4)<logm(2-x). 因为0<m<1,所以x+4>2-x>0,解得-1<x<2. 所以不等式f(x)<g(x)的解集为{x|-1<x<2}. (2)(ⅰ)若a=2,则h(x)=f(x)+g(x)=logm(x+2)+logm(2-x), 由 x+2>0 2-x>0 ,可得-2<x<2,即函数h(x)的定义域为(-2,2), 关于原点对称,又h(-x)=logm(-x+2)+logm(2+x)=h(x), 所以函数h(x)为定义在(-2,2)上的偶函数. (ⅱ)当a=4时,h(x)=logm(x+4)+logm(2-x), 令 x+4>0 2-x>0 ,解得-4<x<2,即函数h(x)的定义域为(-4,2). 又h(x)=logm(x+4)+logm(2-x)=logm[(x+4)(2-x)] =logm(-x2-2x+8)=logm[-(x+1)2+9]. 因为x∈(-4,2),所以x+1∈(-3,3),所以(x+1)2∈[0,9), 所以-(x+1)2+9∈(0,9]. 因为m>0且m≠1, 所以当0<m<1时,h(x)∈[logm9,+∞), 因为h(x)的最小值为-1,所以logm9=-1,解得m= 1 9. 当m>1时,h(x)∈(-∞,logm9],不存在最小值,舍去. 综上所述,m=19. 第五章 三角函数检测卷 1.B [由π<θ<3π2 ,得cosθ<0,tanθ>0,所以点 M(cosθ,tanθ)位 于第二象限.故选B.] 2.B [把y=sinx=cos x-π2 上的所有点向左平移π2-13个单 位长度,得到函数y=cos x-13 的图象.故选B.] 3.C [由0≤x≤π2 ,得π 3≤2x+ π 3≤ 4π 3 ,则y=sin 2x+π3 ∈ - 32,1 .故选C.] 4.C [由题意α∈ 0,π2 ,且 3cosα+ 1secα=2,可得 3sinα+cosα =2,两 边 平 方, 可 得 3sin2α +cos2α + 2 3sinαcosα =3sin 2α+cos2α+2 3sinαcosα sin2α+cos2α 即3tan 2α+1+2 3tanα tan2α+1 =4,可得tan2α-2 3tanα+3=0,解得 tanα= 3.故选C.] 5.C [因为y=3cos x+π2 =-3sinx,且y=sinx的单调递增区 间为 2kπ-π2,2kπ+π2 ,k∈Z,所以函数y=3cos x+π2 的单 调递减区间为 2kπ-π2,2kπ+π2 ,k∈Z.故选C.] 6.C [当x∈[0,π]时,2ωx+π3∈ π3,2πω+π3 .因为f(x)在[0, π]上有且仅有2个零点,所以3π2≤2πω+ π 3< 5π 2 ,解得7 12≤ω< 13 12. 故选C.] 7.D [f(x1)=sinx1+cos2x1=-2sin2x1+sinx1+1=-2 sinx1 -14 2 +98 ,当x1∈[0,π]时,0≤sinx1≤1,当sinx1= 1 4 时, f(x1)取得最大值 9 8 ,当sinx1=1时,f(x1)取得最小值0,所以 f(x1)的值域为 0,98 ,g(x2)=3sinx2+4cosx2=5sin(x2+φ), 其中sinφ= 4 5 ,cosφ= 3 5 ,∵x2∈[0,π],可得x2+φ∈[φ,π+φ], ∴sin(x2+φ)∈ -45,1 ,所以g(x2)的值域为[-4,5],由题意, f(x)与g(x)在[0,π]上具有“m 关联”的性质,所以0+(-4)≤ m≤5+98 ,即m 得取值范围是 -4,498 .故选D.] 8.A [由题意得g(x)=f x-π3 =cos ω x-π3 +π6 =cos ωx-ωπ3+π6 =sin ωx-π4 ,又sin ωx-π4 =cos π2- ωx-π4 =cos ωx-π4 -π2 =cos ωx-3π4 ,所以cos ωx-3π4 =cos ωx-ωπ3+π6 ,所以 -ωπ3+ π 6=- 3π 4+2kπ ,k∈Z,⇒ω=-6k+114 ,k∈Z,又因为ω> 0,所以ω的最小值为114. 故选A.] 【技法点拨】 根据平移理论结合已知条件得g(x)=cos ωx- ωπ 3+ π 6 =sin ωx-π4 ,再利用诱导公式得sin ωx-π4 = cos ωx-3π4 ,进而得到-ωπ3+π6=-3π4+2kπ,k∈Z,从而求 出ω,再结合已知条件即可求出ω的最小值. 9.BCD [选项A,-150°在第三象限,故 A错误;选项B,π12rad= π 12× 180° π =15° ,故B正确;选项C,时针按顺时针方向转,所以转 过的角是负角,每经过1小时转-30°,所以经过4小时,时针转了 -120°,故C正确;选项D,若一扇形的弧长为2,圆心角为60°= π 3 ,则该扇形的半径r=lα = 6 π ,该扇形的面积S=12lr= 1 2× 2×6π= 6 π ,故D正确.故选BCD.] 10.AD [对于A,令2x-π4≠kπ+ π 2 ,k∈Z,则x≠kπ2+ 3π 8 ,k∈Z, ∴函数f(x)的 定 义 域 为 x x≠3π8+ kπ 2 ,k∈Z ,A正 确;对 于 B,∵函数|f(x)|的周期与f(x)的周期相同,为T=π2 ,g(x)= |sinx|的周期 T'=π,即 函 数|f(x)|的 周 期 与 函 数 g(x)= |sinx|的周期不相同,B错误;对于C,令2x-π4= kπ 2 ,k∈Z,则 x=kπ4+ π 8 ,k∈Z,∴函数f(x)图象的对称中心为 kπ4+π8,0 , k∈Z,C错误;对于D,令kπ-π2<2x- π 4<kπ+ π 2 ,k∈Z,则 -π8+ kπ 2<x< 3 8π+ kπ 2 ,k∈Z,∴函数f(x)的单调递增区间为 -π8+kπ2,3π8+kπ2 ,k∈Z,D正确.故选AD.] 11.BC [由题设f(x)=sinωx- 3cosωx=2sin ωx-π3 的图象 关于x=-π3 对 称,可 得-πω3- π 3=kπ- π 2 ,k∈Z,所 以ω= -3k+12 ,k∈Z,由x∈ 0,4π3 ,ω>0,可得ωx-π3∈ -π3, 4πω 3 - π 3 ,又 由 函 数 f(x)在 0,4π3 上 单 调,所 以 4πω 3 - π 3≤ π 2 ω>0 ,解得0<ω≤58,当k=0时,ω=12,此时f(x)= 2sin 12x-π3 ,可得f(x)的最小正周期为4π,所以A不正确; 由f(π)=2sinπ6=1 ,所以B正确;由f x+5π3 =2sin 12× x+5π3 - π3 =2sin x2+ π2 =2cosx2,所 以 C正 确;由 f 4π3 =2sin 12×4π3-π3 =2sinπ3= 3<2,所以D错误.故 选BC.] 12. 105 [因为角α的终边经过点P(3,-1),则r= 32+(-1)2= 10,所 以sinα= yr = -1 10 = - 1010 ,cosα= xr = 3 10 = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 101 — —104 — 3 10 10 ,所 以sinα+cosα= - 1010 + 3 10 10 = 10 5 . 故 答 案 为: 10 5 . ] 13.14 [sin(2α-β)=sin[(α-β)+α]=sin(α-β)cosα+cos(α-β) sinα=sin(α-β)cosα+ 1 3= 5 12 ,所以sin(α-β)·cosα= 1 12 ,所 以sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)= 1 3- 1 12= 1 4. ] 14. π2,4π3 [因为f(x)=cos2x+2sinx+ 3=1-sin2x+2sinx+ 3,x∈ -π3,θ ,令t=sinx,则y=-t2+2t+ 3+1,因为y∈ 14,2+ 3 ,当x=-π3时,t=sinx=- 32,此时y=14;令y =2+ 3即-t2+2t+ 3+1=2+ 3,解得t=1,又t=sinx,x∈ -π3,θ ,结合t=sinx图象可知:π2≤θ≤4π3,所以θ的取值范 围为 π2,4π3 .故答案为: π2,4π3 .] 【破题技巧】 依题意可得f(x)=1-sin2x+2sinx+ 3,令t= sinx,则y=-t2+2t+ 3+1,结合函数的值域,求出所对应的t 的值,再结合正弦函数的性质可得. 15.解 (1)因为sinα=35 ,α∈ 0,π2 ,所以cosα=45,所以sin2α =2sinαcosα=2×45× 3 5= 24 25 ,cos2α=1-2sin2α=725 , 所以sin 2α+π3 =sin2αcosπ3+cos2αsin π3=2425×12+725 × 32= 24+7 3 50 (2)因为角β的终边与角α的终边关于y 轴对称, 所以sinβ=sinα= 3 5 ,cosβ=-cosα=- 4 5 ,所以cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ= 4 5× -45 -35×35=-1. 16.解 (1)∵∠POQ=π3 且OA=OD,∴△AOD 为等边三角形, ∴∠DAO=π3 , 又四边形ABCD 为矩形,∴∠DAB=π2 ,∴∠BAP=π6 ; 在扇形OPQ 中,半径OP=1,过B 作OP 的垂线,垂足为 N, ∴BN=OBsinα=sinα, 在△ABN 中,AB= BNsin∠BAP= BN sinπ6 =2sinα. (2)由(1)可知|AB|=2sinα,|BN|=sinα, |ON|=|OB|cosα=cosα, |AN|=|AB|cosπ6= 3sinα , ∴|OA|=|ON|-|AN|=cosα- 3sinα, ∴S矩形ABCD =|AB|·|AD|=|AB|·|OA| =2sinα(cosα- 3sinα) =sin2α+ 3cos2α- 3=2sin 2α+π3 - 3, ∵α∈ 0,π6 ,∴2α+π3∈ π3,2π3 , ∴当2α+π3= π 2 ,即α=π12 时,矩形ABCD 面积的最大值,最大 值为2- 3. 【破题技巧】 (1)过B 作OP 的垂线,垂足为 N,根据解三角形 可得AB=2sinα; (2)根据解三角形及矩形的面积公式可求S矩形ABCD =2sinα(cosα - 3sinα),再利用三角变换和正弦函数的性质可求面积的最 大值. 17.解 (1)∵f(x)= 1-cos π2+2x - 3cos2x =1+sin2x- 3cos2x=1+2sin 2x-π3 , 令2x-π3∈ -π2+2kπ,π2+2kπ (k∈Z),解得x∈ kπ-π12, kπ+5π12 (k∈Z). f(x)的增区间是 kπ-π12,kπ+5π12 ,k∈Z (2)∵|f(x)-m|<2⇔f(x)-2<m<f(x)+2, ∵x∈ 0,π2 ,2x-π3∈ -π3,2π3 ,∴f(x)∈[1- 3,3] ∴ m-2<1- 3 m+2>3 ⇒1<m<3- 3 即m 的取值范围是(1,3- 3). 18.解 (1)∵f(x)=2sin 2x+π6 , ∴函数f(x)的最小正周期为2π2=π. 令2x+π6=kπ ,k∈Z,则x=-π12+ kπ 2 ,k∈Z, ∴函数f(x)的对称中心为 -π12+kπ2,0 ,k∈Z. (2)令π2+2kπ≤2x+ π 6≤2kπ+ 3π 2 ,k∈Z, 则π 6+kπ≤x≤ 2π 3+kπ ,k∈Z, ∴函数f(x)的单调递减区间为 π6+kπ,2π3+kπ ,k∈Z. (3)∵x∈ -π3,π12 ,∴2x+π6∈ -π2,π3 . ∴-1≤sin 2x+π6 ≤ 32,-2≤f(x)≤ 3. 当2x+π6=- π 2 ,即x=-π3 时,f(x)取得最小值-2; 当2x+π6= π 3 ,即x=π12 时,f(x)取得最大值 3. 19.解 (1)由图象可知A=2,T2= 3π 8- -π8 ,则T=π, 所以2π ω=π ,得ω=2, 所以f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π), 因为f(x)的图象过点 -π8,2 , 所以2sin -π4+φ =2,得-π4+φ=π2+2kπ,k∈Z, 得φ= 3π 4+2kπ ,k∈Z, 因为|φ|<π,所以φ= 3π 4 ,所以f(x)=2sin 2x+3π4 ; (2)由π2+2kπ≤2x+ 3π 4≤ 3π 2+2kπ ,k∈Z,得 -π4+2kπ≤2x≤ 3π 4+2kπ ,k∈Z, 所以-π8+kπ≤x≤ 3π 8+kπ ,k∈Z, 所以f(x)的递减区间为 kπ-π8,kπ+3π8 (k∈Z); (3)由x∈ -3π8,π4 ,得2x∈ -3π4,π2 , 所以2x+3π4∈ 0,5π4 ,所以sin5π4≤sin 2x+3π4 ≤sinπ2, 即- 22≤sin 2x+3π4 ≤1,所以- 2≤2sin 2x+3π4 ≤2, 所以f(x)的值域为[- 2,2]. 【破题技巧】 由图象可知A=2,T2= 3π 8- -π8 ,求出T,从 而可求出ω的值,再将 -π8,2 代入函数中可求出φ的值. 第四次月考滚动检测卷 1.B [因为S={x|x<-1或x>5},T={x|a<x<a+8},且S∪T= R,所以 a<-1a+8>5 ,解 得 -3<a<-1,即 实 数a 的 取 值 范 围 为 (-3,-1).故选B.] 2.B [当a=0时,1>0,该不等式成立; 当 a>0 Δ=4a2-4a<0 ,即0<a<1时,该不等式成立;综上,得当0≤ a<1时,关于x的不等式ax2+2ax+1>0恒成立,所以,关于x 的不等式ax2+2ax+1>0恒成立的充分必要条件是0≤a<1.故 选B.] 3.A [由|2x-1|≤x,得 2x-1≥02x-1≤x 或 2x-1<0-2x+1≤x ,解得13≤x≤ 1.由x2+x-2≤0,解得-2≤x≤1,当13≤x≤1 时,-2≤x≤1 一定成立,反之,不一定成立,所以“|2x-1|≤x”是“x2+x-2≤ 0”的充分不必要条件.故选A.] 4.D [作出f(x)的图象,如图所示:由3m+ 4=3n-2,n∈[1,2),可 得 m=3 n-6 3 ,n∈ [1,2),则mf(n)=3 n-6 3 × (3n-2),n∈[1, 2),令 t=3n,t∈ [3,9),则 mf(n)= (t-6)(t-2) 3 = 1 3 [(t-4)2-4],t∈[3,9), 故mf(n)∈ -43,7 .故选D.] 5.D [令sin 2x+π4 =0,则2x+π4=kπ,x=-π8+kπ2,k∈Z,当 k=1时,对称中心为: 3π8,0 ,结合选项,ABC错误,故选D.] 6.D [x∈ 0,π2 ,则 ωx+ π3 ∈ π3,ωπ2 + π3 ,函 数 f(x)= 2cos ωx+π3 (ω>0)在 0,π2 上单调,所以π3<ωπ2+π3≤π,解 得:0<ω≤43 ,所以ω的最大值为43. 故选D.] 7.D [因为α为锐角,cosα=45 ,∴sinα= 1-cos2α=35 ,tanα= sinα cosα= 3 4.∵tanβ=tan [α-(α-β)]= tanα-tan(α-β) 1+tanαtan(α-β) = 3 4+ 1 3 1+34× -13 =139 ,又β 是 锐 角,∴cosβ= cos2β sin2β+cos 2 β = 1 1+tan2β = 1 1+ 139 2 =9 1050 . 故选D.] 8.D [g(x)=cos 3x+π4 =sin 3x+π4+π2 =sin 3x+3π4 , 将f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,得g(x)=sin 3(x+ φ)- π 4 =sin 3x+3φ-π4 ,所以3φ-π4=3π4+2kπ(k∈Z),即 φ= π 3+ 2kπ 3 (k∈Z),当k=0时,φ= π 3 ,当k=1时,φ=π,当k=2 时,φ= 5π 3 ,所以ABC错误,D正确.故选D.] 【破题技巧】 先对g(x)变形为g(x)=sin 3x+3π4 ,再将 f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度求出解析式等于 g(x),两式对照可求出φ的值. 9.BD [由题意,|OP|= 32+(-4)2=5,对于A项,sinα=-45 , 故A项错误;对于B项,cos2α=1-2sin2α=1-2× -45 2 = -725 ,故B项正确;对于C项,因cosα=35 ,tanα=-43 ,则tan2α= 2tanα 1-tan2α = 2× -43 1- -43 2= 24 7 ,故 C项 错 误;对 于 D项,sin2α= 2sinαcosα=2× -45 ×35=-2425,故D项正确.故选BD.] 10.ABD [因为sinθ+cosθ=15 ,平方可得sin2θ+2sinθcosθ+ cos2θ=1+2sinθcosθ=125 ,解得2sinθcosθ=-2425 ,因为θ∈(0, π),所以sinθ>0,cosθ<0,所以θ∈ π2,π ,所以 A正确;又由 (sinθ-cosθ)2=sin2θ-2sinθcosθ+cos2θ=4925 ,所以sinθ-cosθ =75 ,所以D正确;联立方程组 sinθ+cosθ=15 sinθ-cosθ=75 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得sinθ= 4 5 ,cosθ=-35 ,所以B正确;由三角函数的基本关系式,可得 tanθ=sinθcosθ=- 4 3 ,所以C错误.故选ABD.] 11.CD [对于A,当x=π12 时,f π12 =2sin π6+π3 =2,取得最 大值,而当f(x)取得最大值时,2x+π3= π 2+2kπ ,k∈Z,得x= π 12+kπ ,k∈Z,所以A错误;对于B,由选项A可知x=π12 为f(x) 的一条对称轴,所以B错误;对于C,f(x)的最大值为2,最小值 为-2,所以f(x)最大值与最小值之差为4,所以C正确;对于D, f(x)的最小正周期为2π2=π ,所以D正确.故选CD.] 12.π3 /1 3π [由题意可得2×π12+φ= π 2+kπ ,k∈Z,即φ= π 3+ kπ,k∈Z,又因为0<φ< π 2 ,所以φ= π 3. 故答案为:π 3. ] 13.3 [由题意,f(x)= 3sin2x+2×1+cos2x2 = 3sin2x+cos2x+ 1=2sin 2x+ π6 +1,而 x∈ - π6,π6 ,则 2x+ π6 ∈ -π6,π2 ,所以函数的最大值为2sinπ2+1=3.故答案为:3.] 【破题技巧】 先通过降幂公式和辅助角公式将函数化简为 f(x)=2sin 2x+π6 +1,然后求出2x+π6的范围,最后求出 函数的最大值. 14.32 /1.5 [因为偶函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),所以φ=kπ+ π 2 ,k∈Z,即f(x)=cosωx或f(x)=-cosωx,又f(x)=sin(ωx+ φ)(ω>0)的图像关于点 π3,0 中心对称,所以cosπ3ω=0,即 π 3ω=kπ+ π 2 ,k∈Z,所以ω=3k+32 ,k∈Z,因为x∈ 0,π4 函 数单调,所以0≤ωx≤πω4≤π ,即0<ω≤4,所以当k=0时,ω=32 符合条件.故答案为:32. ] 15.解 (1)若ω=1,φ=0,则f(x)=sinx,x∈[0,2π],五点法列表 如下: x 0 π2 π 3π 2 2π f(x) 0 1 0 -1 0 (2)若ω=2,φ= π 3 ,则f(x)=sin 2x+π3 ,所以f(x)最小正周 期T=2π2=π ,由y=sinx 的单调性可知,2kπ-π2≤2x+ π 3≤ 2kπ+π2 ,即kπ-5π12≤x≤kπ+ π 12 ,k∈Z, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 103 —