第4章 指数函数与对数函数检测卷-【三清必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

— 50 — 第四章 指数函数与对数函数检测卷 (时间:120分钟 满分:150分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 备考组长推好题 第8题.本题为新定义题型,主要考查函数的图像与性质等问题,综合性较 强,值得推荐. 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.(2025·浙江温州·质量检测)函数f(x)= 1-xlnx 的定义域为 ( ) A.(0,1) B.(0,1] C.(1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞) 2.(2025·天津·专题练习)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.3,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 3.(2025·江西景德镇·质量检测)已知log2a+log2b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)= ax 与g(x)=logb 1 x 的图象可能是 ( ) 4.(2025·宁夏银川·质量检测)著名数学家、物理学家牛顿曾提出:物体在空气中冷却,如果物体 的初始温度为θ1℃,空气温度为θ0℃,则t分钟后物体的温度θ(单位:℃)满足:θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt. 若常数k=0.05,空气温度为30℃,某物体的度从120℃下降到40℃以下,至少大约需要的时间 为(参考数据:ln3≈1.1) ( ) A.36分钟 B.40分钟 C.44分钟 D.48分钟 5.(2025·山西大同·质量检测)已知实数a>0,且满足不等式log3(3a+2)>log3(4a+1),若ax- ay<x-y,则下列关系式一定成立的是 ( ) A.x+y>0 B.x+y>1 C.x-y>0 D.x-y>1 6.(2025·江西吉安·质量检测)下列区间内存在方程|x3|=2x 的根的是 ( ) A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 7.(2025·陕西安康·质量检测)已知函数f(x)= - 14x-4 ,x≤34 loga(4x)-1,x> 3 4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 是 R上的单调函数,则实数 a的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(1,3] C.(1,3) D.(1,3) 8.(2025·全国·专题练习)若直角坐标系内A、B 两点满足:(1)点A、B 都在f(x)图象上,(2)点 A、B 关于原点对称,则称点{A,B}对是函数 f(x)的一个“孪生点对”;已知函数 f(x)= 12 x ,x≥0, -|x2+2x|,x<0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 则f(x)的“孪生点对”有 ( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.(2025·上海·课前预习)若函数y=ax-(b+1)(a>0且a≠1)的图像过第二象限,则必有 ( ) A.0<a<1 B.0<a<1且b>0 C.a>1且b>0 D.a>1且b<0 — 49 — — 52 — 10.(2025·全国·专题练习)下列关于函数f(x)=log12(x 2+x+1)的说法中,不正确的是 ( ) A.有最大值2-log23,在 -∞,-12 上为增函数 B.有最大值2-log23,在 -∞,-12 上为减函数 C.有最小值2-log23,在 -12,+∞ 上为增函数 D.有最小值2-log23,在 -12,+∞ 上为减函数 11.(2025·吉林长春·阶段练习)关于x 的一元二次方程(x-1)(x-4)=a有实数根x1,x2,且 x1<x2,则下列结论中错误的说法是 ( ) A.当a=0时,x1=1,x2=4 B.当a>0时,1<x1x2<4 C.当a>0时,x1<1<4<x2 D.当-94<a<0 时,4<x1x2< 25 4 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.(2025·湖南邵阳·质量检测)设a<0,若f(x)=ln (1+ax)-ln(1+x) x 为偶函数,则a= . 13.(2025·上海·质量检测)不等式2x+log3x>9的解集为 . 14.(2025·江西九江·质量检测)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王 子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈ R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,如:[1.2]=1,[-1.2]=-2.若函 数f(x)= [x] x +a (x>0)有且仅有2个零点,则实数a的取值范围是 . 四、解答题:本题共5小题,其中第15题13分,第16,17题15分,第18,19题17分,共77分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(2025·天津·阶段练习)计算: (1) 238 0 +2-2·(-0.064) 1 3- 214 1 2; (2)(log32+log92)(log43+log83)+(log3 3)2+lne-lg100. — 51 — — 54 — 16.(15分)(2025·天津和平·质量检测)已知函数f(x)=a 2x+b-1 ax (a>0且a≠1)是定义在R上 的奇函数. (1)求b的值; (2)若f(1)>0,且对于∀x∈[0,1],不等式f(4x2)+f(1-tx)>0成立,求实数t的取值范围. 17.(15分)(2025·上海·随堂练习)某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起 的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示;西红柿的种植成本与 上市时间的关系用图(2)的抛物线表示. (1)写出图(1)中表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t); (2)写出图(2)中表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t); (3)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位:元/100kg;时间单位:天) — 53 — — 56 — 18.(17分)(2025·云南昆明·质量检测)已知函数f(x)=ax- 1a x (a>0且a≠1). (1)讨论f(x)的单调性(不需证明); (2)若a=2,(ⅰ)解不等式f(x)≤32x ; (ⅱ)若g(x)=22x+1-f(2x)+2tf(x)在区间[-1,1]上的最小值为-74 ,求t的值. 19.(17分)(2025·山西吕梁·质量检测)定义一种新的运算“􀱇”:∀x,y∈R,都有x􀱇y=lg(10x+ 10y). (1)对于任意实数a,b,c,试判断(a􀱇b)-c与(a-c)􀱇(b-c)的大小关系; (2)若关于x的不等式(x-1)2>[(a2x2)􀱇(a2x2)]-lg2的解集中的整数恰有2个,求实数a的 取值范围; (3)已知函数f(x)=lg(x+4- 2x+3),g(x)=(1􀱇x)􀱇(-x),若对任意的x1∈R,总存在 x2∈ -32,+∞ ,使得g(x1)=lg|3m-2|+f(x2),求实数m 的取值范围. — 55 — —98 — 综上所述,实数m 的取值范围是[-4,+∞); (2)∵y=f(x)为奇函数,在[0,+∞)上,f(x)=x2-2x ∴当x<0时,-x>0, f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x, 作出f(x)的图象如图: 当x<0时,可得f(-1)=1, 当x≥0时,由f(x)=x2-2x=1,得x2- 2x-1=0, ∴x=1+ 2, ∵函数y=f(x)在区间(-∞,t]上存在最大 值 M, ∴当t≤-1时,y=f(x)为增函数, 则最大值为 M=f(t)=-t2-2t, 当-1<t<1+ 2时,函数的最大值为 M=f(-1)=1, 当t≥1+ 2时,函数的最大值为 M=f(t)=t2-2t, 综上得 M=g(t)= -t2-2t,t≤-1 1,-1<t<1+ 2 t2-2t,t≥1+ 2 (3)证明:若y=f(x)在定义域 R上是严格增函数, 则函数y=f(x)在区间(-∞,t]上也为增函数, 则f(t)也随着t的增大而增大,所以 M=g(t)=f(t), 故函数g(t)在定义域 R上是严格增函数; 即“y=f(x)在定义域 R上是严格增函数” ⇒“M=g(t)在定义域 R上是严格增函数”; 若函数 M=g(t)在 R上严格单调递增, 任取t∈R,则存在x0≤t,使得g(t)=f(x0), 因为(-∞,x0]⊆(-∞,t],则当x≤t时,f(x)max=f(x0), 且当x≤x0 时,f(x)max=f(x0),则g(x0)=f(x0),所以g(x0)=g(t), 因为函数 M=g(t)在 R上严格单调递增, 所以x0=t,即,g(t)=f(t),故f(t)随着t的增大而增大,故函数 f(x)在 R上严格单调递增. 即“y=f(x)在定义域 R上是严格增函数”⇐“M=g(t)在定义域 R上是严格增函数”. 综上所述,“y=f(x)在定义域 R上是严格增函数”的充要条件是 “M=g(t)在定义域 R上是严格增函数”. 高中期考测控卷 期中考试测控卷 1.C [由题意知A={x|(3-x)(x+2)≥0,x+2≠0,x∈Z}={-1, 0,1,2,3},B={x|-1≤x<3},则 A∩B={-1,0,1,2},所 以 ∁U(A∩B)={-2,3,4}.故选C.] 2.A [因为x>0,x+ 4x+1=x+1+ 4 x+1-1≥2 (x+1)· 4x+1- 1=3,当且仅当x+1= 4x+1 时去等号,即x=1时取等号;所以使 得∀x>0,a≤x+ 4x+1 的充要条件为a≤3,而充分不要条件应该 为a≤3的真子集,所以应选a≤2.故选A.] 3.B [因为x2-x>0,解得x>1或x<0,x+1x-2>0 即(x+1)(x- 2)>0,解得x>2或x<-1,所以“x2-x>0”是“x+1x-2>0 ”的必要 不充分条件,故选B.] 4.A [依题意,f(-1)=2,f(2)=2+42+1=2 ,所以f(f(f(-1)))= f(f(2))=f(2)=2.故选A.] 5.A [∵ax2-bx-1≥0的解集为 x -12≤x≤-13 ,∴a<0 且方程ax2-bx-1=0的两根为:-13 和-12. ∴ b a =- 1 3+ -12 =-56, -1a= -13 × -12 =16 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得:a=-6b=5 .∴x2-bx-a =x2-5x+6,即x2-5x+6<0,解得:2<x<3.∴x2-bx-a<0 的解集为{x|2<x<3}.故选A.] 【规律方法】 本题考查一元二次不等式的求解,关键是能够根 据一元二次不等式的解集和一元二次方程的根的关系求得a,b 的值. 6.C [由 条 件 可 知, 2a-3<0 a>0 3(2a-3)+2>a4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ⇒ 0<a<32 a>2823 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ⇒2823<a< 3 2 ,故选C.] 7.A [因为函数f(x)= x 4-x2 的定义域为4-x2>0,解得:-2< x<2,故B错 误.f(-x)= -x 4-x2 =-f(x),则 函 数f(x)= x 4-x2 为奇函数,故C,D错误;故选A.] 8.A [因为f(x)=(m+1)x2+(m-1)x+7是定义在(-2n,3n- 3)上的偶函数,所以-2n+3n-3=0,得到n=3,显然 m≠-1,由 y=f(x)图象关于y轴对称,得到m-1=0,解得m=1,所以f(x) =2x2+7,满足要求,得到f(n)+f(m)=f(3)+f(1)=25+9= 34.故选A.] 9.AB [由题意,方程x2+ax+b=0(a>0)有且只有一个根,所以 Δ=a2-4b=0,即a2=4b>0,对A:a2-b2≤4等价于b2-4b+4≥ 0,显然(b-2)2≥0,所以 A选项正确;对B:a2+1b =4b+ 1 b ≥ 2 4b×1b =4 ,故B选项正确;对C:因为不等式x2+ax-b<0的 解集为(x1,x2),所以x1x2=-b<0,所以C选项错误;对D:因为 不等式x2+ax+b<c的解集为(x1,x2),且|x1-x2|=4,则方程 x2+ax+b-c=0 的 两 根 为 x1,x2,所 以|x1 -x2|= (x1+x2)2-4x1x2= a2-4(b-c)= 4c=2c=4,所以c=4, 故D选项错误.故选AB.] 【破题技巧】 由题意,方程x2+ax+b=0(a>0)有且只有一个 根,所以Δ=a2-4b=0,即a2=4b>0,再利用基本不等式和不 等式的性质,即可求解. 10.BD [当b≤0时,由(ax+3)(x2-b)≤0得 到ax+3≤0在x∈(0,+∞)上恒成立,则a 不存在,当b>0时,由(ax+3)(x2-b)≤0 可设f(x)=ax+3,g(x)=x2-b,又g(x) 与f(x)的大致图象如图,那么由题意可知: a<0 -3a=b ,再 由 a,b 是 整 数 得 到 a=-1, b=9, 或 a=-3,b=1, 因此a+b=8或-2.故选BD.] 11.ABC [对于A,Δ(X)=1-(-1)=2,当b≥0时,Δ(Y)=b,故得 b=2;当b<0时,Δ(Y)=-b,故得b=-2,即b=±2,故A错误; 对于B,取f(x)=|x|,g(x)=1,则 M=1,m=-1,满足Δ(X)= 2,但对于任意x∈[-1,1],不能保证f(x)≥g(x)恒成立,故B 错误;对于C,假设存在实数a,使得Δ(Y)<1,若a≥0,则Δ(Y)= (a+2)2-a2=4(a+1)≥4,矛 盾;若a+2≤0,即a≤-2时, Δ(Y)=a2-(a+2)2=-4(a+1)≥4,矛 盾;若-1<a<0,则 Δ(Y)=(a+2)2>1,矛盾;若-2<a<-1,则Δ(Y)=a2>1,矛 盾,若a=-1,则Δ(Y)=1,矛盾.故C错误;对于D,对任意的实 数a,只要b满足[a,a+2]是[b,b+3]的子集,就有 X∪Y=Y,于 是,Δ(X∪Y)=Δ(Y)=3≤3,故D正确.故选ABC.] 【规律方法】 本题主要考查函数新定义的应用,对于函数新定 义选择题型,必须准确把握定义要求,根据信息利用具体函数排 除法,反证法,分类讨论法以及数形结合法一一判断选项即可. 12.λ>8或λ<0 [由题意得:当λ=0时,2>0,不符题意;当λ>0 时,y=λx2-λx+2的对称轴为x=12 ,所以,只需Δ=λ2-8λ> 0,解得:λ>8;当λ<0时,显然满足题意,综上,λ的取值范围为 λ>8或λ<0.故答案为:λ>8或λ<0.] 13.3 [因为α∈ -1,12,2,3 ,所以当幂函数f(x)=xα 为奇函数 时,α=-1或3;而幂函数f(x)=xα 又在(0,+∞)上单调递增 知,所以α=3,故答案为:3.] 14.(0,1) [因为y=f(x)是定义域为(-3,3)的偶函数,f(a-2)< f(3a-2)成立,所以 -3<a-2<3-3<3a-2<3 ,f(|a-2|)<f(|3a-2|), 则-13<a< 5 3 ,又因为f(x)在(0,3)上严格减函数, 所以|a-2|>|3a-2|,平方得(a-2)2>(3a-2)2,解得0<a< 1,所以0<a<1.故答案为:(0,1).] 15.解 (1)由题意可得A={x|x2-2x-3=0}={-1,3}. 因为A=B,所以B={-1,3},则 -1+3=a-1×3=-a2+1 ,解得a=2 (2)因为A∩B≠⌀,所以-1∈B,3∉B 或-1∉B,3∈B 或-1∈ B,3∈B. 若-1∈B,3∈B,则B={-1,3},由(1)知,a=2; 若-1∈B,3∉B,1+a-a2+1=0,即a2-a-2=0,解得a=-1 或a=2(舍去); 若-1∉B,3∈B,9-3a-a2+1=0,即a2+3a-10=0,解得a= -5或a=2(舍去). 综上,a的取值集合为{-5,-1,2}. 16.解 (1)f(x)= (a2-1)x 1+x2 为奇函数,理由如下: f(x)= (a2-1)x 1+x2 的定义域为 R, 又f(-x)=- (a2-1)x 1+(-x)2 =- (a2-1)x 1+x2 =-f(x), 故f(x)= (a2-1)x 1+x2 为奇函数; (2)当a>1时,f(x)= (a2-1)x 1+x2 单调递减, 当0<a<1时,f(x)= (a2-1)x 1+x2 单调递增, ∀x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)= (a2-1)x1 1+x21 - (a2-1)x2 1+x22 = (a2-1)(x1+x1x22)-(a2-1)(x2+x2x21) (1+x21)(1+x22) = (a2-1)(1-x1x2)(x1-x2) (1+x21)(1+x22) , 因为x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,所以1-x1x2<0,x1-x2<0, 当a>1时, (a2-1)(1-x1x2)(x1-x2) (1+x21)(1+x22) >0,即f(x1)>f(x2), 故f(x)= (a2-1)x 1+x2 单调递减, 当0<a<1时, (a2-1)(1-x1x2)(x1-x2) (1+x21)(1+x22) <0, 即f(x1)<f(x2),故f(x)= (a2-1)x 1+x2 单调递增. 17.解 (1)设x>0,则-x<0,因为当x≤0时,f(x)=-x2+2x, 所以f(-x)=-x2-2x,又函数f(x)是定义在R 上的奇函数, 所以f(x)=-f(-x)=x2+2x(x>0); (2)函数g(x)=f(x)-2ax+2=x2+(2-2a)x+2, 其对称轴方程为x=a-1, 当a-1≤1时,[g(x)]min=g(1)=5-2a=2,解得a= 3 2 ,成立; 当a-1≥2时,[g(x)]min=g(2)=10-4a=2,解 得a=2,不 成立; 当1<a-1<2时,[g(x)]min=g(a-1)=-(a-1)2+2=2,解得 a=1,不成立;故a的值为32. 18.解 (1)由题意知,x∈[1,100],x∈N* P(x)=R(x)-C(x)=3000x-20x2-(500x+4000) =-20x2+2500x-4000=-20 x-1252 2 +74125, 易得P(x)的对称轴为x=1252 , 所以当x=62或x=63时,P(x)取得最大值为74120(元). 所以利润函数P(x)=-20x2+2500x-4000,最大值为74120(元); (2)依题意,得 Q(x)=P (x)-500 x =-20x- 4500 x +2500≤ -2 20x·4500x +2500=1900 (元). 当且仅当20x=4500x 时等号成立,即x=15时,等号成立. 所以当x=15台时,每台产品的利润Q(x)取得最大值1900元. 19.解 (1)由函数f(x)= x2-2ax+a,x∈[1,+∞) 2x+ax ,x∈(0,1) , 要使得函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,则满足 a≤1 a<0 1-a≥2+a , 解得a≤-12 ,所以实数a的取值范围为 -∞,-12 . (2)令g(x)=f(x)-(x-2a) = x2-(2a+1)x+3a,x∈[1,+∞) x+ax +2a ,x∈(0,1) , 要使得函数f(x)≥x-2a恒成立,则g(x)≥0恒成立, 只需g(1)≥0,可得a≥0, ①当a=0时,g(x)= x2-x,x∈[1,+∞) x,x∈(0,1) ,符合题意; ②当a>0时,当x∈(0,1)时,g(x)=x+ax +2a>0 恒成立, 只需g(x)=x2-(2a+1)x+3a≥0在x∈[1,+∞)时,恒成立, i)当0<a≤12 时,g(x)=x2-(2a+1)x+3a在[1,+∞)上单调 递增,则g(1)=a≥0,所以0<a≤12 ; i)当a>12 时,g(x)=x2-(2a+1)x+3a在(1,a+12 )上单调 递减,在(a+12 ,+∞)上单调递增,则g(a+12 )≥0,可得1- 32≤ a≤1+ 32 ,所以1 2<a≤1+ 3 2 , 综上可得,实数a的取值范围为 0,1+ 32 . 【破题技巧】 (1)根据题意,结合分段函数的单调性的判定方 法,列出不等式组,即可求解; (2)根据题意,转化为g(x)≥0恒成立,得到g(1)≥0,求得a≥ 0,分a=0和a>0,结合二次函数的图象与性质,列出不等式, 即可求解. 第四章 指数函数与对数函数检测卷 1.A [由 1-x≥0 lnx≠0 x>0 ,解得0<x<1,即函数f(x)的定义域为(0,1). 故选A.] 2.B [y=4.2x 在 R上递增,且-0.3<0<0.3,所以0<4.2-0.3< 4.20<4.20.3,所以0<4.20.3<1<4.20.3,即0<a<1<b,因为y= log4.2x在(0,+∞)上递增,且0<0.3<1,所以log4.20.3<log4.21= 0,即c<0,所以b>a>c,故选B.] 3.B [由log2a+log2b=0,即为log2ab=0,即有ab=1;当a>1时, 0<b<1,函数f(x)=ax 在 R上为增函数,g(x)=logb 1 x 在(0, +∞)为增函数,选项B满足;当0<a<1时,b>1,函数f(x)=ax 在 R上为减函数,g(x)=logb 1 x 在(0,+∞)为减函数,四个图象 均不满足,在同一坐标系中的图象只能是B.故选B.] 【破题技巧】 由对数的运算性质可得ab=1,讨论a,b的范围, 结合指数函数和对数函数的图象的单调性,即可得到答案. 4.C [由题知θ0=30,θ1=120,θ=40, 所以40=30+(120-30)e-0.05t,可得e-0.05t=19 , 所以-0.05t=ln19=-2ln3 ,∴t=40ln3≈44,即某物体的度从 120℃下降到40℃以下,至少大约需要分钟.故选C.] 5.C [因为a>0,又函数y=log3x单调递增,所以3a+2>4a+1, 即0<a<1,对于不等式ax-ay<x-y,移项整理得ax-x<ay- y,构造函数h(x)=ax-x,由于h(x)单调递减,所以x>y,即x- y>0,故选C.] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 97 — —100 — 6.C [令F(x)=|x3|-2x,显然函数F(x) 在 R上连续,因 F(1)F(2)=(-1)×4= -4<0,故F(x)在区间(1,2)上存在零点, 即方程|x3|=2x 在区间(1,2)上有实数根. 如图,作出函数y=|x3|和y=2x 的图象, 由图可知y=|x3|和y=2x 有两个交点,因 x=-1,|x3|=1>2x=12 ,x=0,|x3|= 0<2x=1,即F(-1)F(0)<0,所以F(x)在区间(-1,0)上存在零 点,即方程|x3|=2x 在区间(-1,0)上有实数根,由选项可知只有 C项符合题意.故选C.] 7.B [根据题意,当x≤34 时,f(x)=- 14x-4= -14 x-1 ,可得f(x)在 -∞,34 上递增,要使得函数f(x)= - 14x-4 ,x≤34 , loga(4x)-1,x> 3 4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 是 R 上的单调函数,则满足a>1,且loga 4×34 -1≥- 14×34-4 , 解可得1<a≤ 3,所以实数a的取值范围为(1,3].故选B.] 8.C [作 出f(x)的 图 象,再 作 出 函 数y= 12 x ,(x≥0),关于原点对称的图象如图 所示.函数y= 12 x ,x≥0,关于原点对 称的图象与y=-|x2+2x|,x<0,图象有 三个交点,故f(x)图象上“孪生点对”有3对.故选C.] 9.AD [y=ax-(b+1)(a>0且a≠1)的图像过第二象限,则0<a<1 或 a>1 b+1<1 ,故0<a<1或 a>1b<0 ,故选AD.] 10.BCD [令u=x2+x+1= x+12 2 +34≥ 3 4 ,则y=log1 2 u,所 以y=log1 2 u≤log1 2 3 4=log 1 2 3-log1 2 4=2-log23,所以f(x)有 最大值2-log23,所以CD错误,因 为u=x2+x+1在 -∞, -12 上递减,在 -12,+∞ 上递增,而y=log12u在定义域内 递减,所以f(x)在 -∞,-12 上递增,在 -12,+∞ 上递 减,所以A正确,B错误,故选BCD.] 【破题技巧】 利用换元法,令u=x2+x+1,则y=log1 2 u,然后 求出u=x2+x+1的值域,再利用对数函数的单调性可求出 f(x)的最值,求出u=x2+x+1的单调区间,再利用复合函数 单调性的求法可求出f(x)的单调区间. 11.B [对于A,当a=0时,方程(x-1)(x-4)=0的二实根为x1= 1,x2=4,A正确;对于B,方程(x-1)(x-4)=a,即x2-5x+ 4-a=0,Δ=25-4(4-a)>0,解得a>-94 ,当a>0时,x1x2= 4-a<4,B错 误;对 于C,令f(x)=(x-1) (x-4),依题意,x1,x2 是函数y=f(x)的图 象与直线y=a交点的横坐标,在同一坐标系 内作出函数y=f(x)的图象与直线y=a,如 图,观察图象知,当a>0时,x2<1<4<x2,C 正确;对于D,当-94<a<0 时,x1x2=4-a ∈ 4,254 ,D正确.故选B.] 12.-1 [因f(x)为偶函数, 则f(x)=ln (1+ax)-ln(1+x) x =f (-x) =ln (1-ax)-ln(1-x) -x . 注意到ln(1-ax)-ln(1-x) -x = ln(1-x)-ln(1-ax) x , 与ln(1+ax)-ln(1+x) x . 相比较,得a=-1.故答案为:-1.] 13.(3,+∞) [f(x)=2x+log3x单调递增,f(3)=23+log33=8+ 1=9,则原不 等 式 为f(x)>f(3),所 以x>3,所 以 解 集 为(3, +∞).故答案为:(3,+∞).] 14. -34,-23 [由f(x)=0,得-a= [x] x ,因为x>0,所以[x]=-ax, 令g(x)=[x](x>0),u=ax,画出两图 象如图所示, 由图象 结 合 题 意 得 2 3 <-a≤ 3 4 ,即 -34≤a<- 2 3 ,即a的取值范围是 -34,-23 . 故答案为: -34,-23 .] 【技法点拨】 令f(x)=0得到-a= [x] x ,变形得到[x]=-ax, 令g(x)=[x](x>0),y=ax,画出两图象如图所示,数形结合 得到2 3<-a≤ 3 4 ,求出答案. 15.解 (1) 238 0 +2-2·(-0.064) 1 3- 214 1 2 =1+14× [(-0.4)3] 1 3-32 =1+14× -25 -32=-35. (2)(log32+log92)(log43+log83)+(log3 3)2+lne-lg100 =(log32+ 1 2log32 ) 12log23+13log23 + 12 2 +12-2 =32log32× 5 6log23+ 1 4+ 1 2-2 =32× lg2 lg3× 5 6× lg3 lg2+ 1 4+ 1 2-2= 5 4+ 1 4+ 1 2-2=0. 16.解 (1)由f(x)是定义在 R上的奇函数,得f(0)=a 0+b-1 a0 = 0,解得b=0,当b=0时,f(x)=a 2x-1 ax ,f(-x)=a -2x-1 a-x = 1-a2x ax =-f(x),则f(x)为 R上的奇函数,所以b=0. (2)由(1)知f(x)=a 2x-1 ax (a>0,a≠1),由f(1)>0,得a 2-1 a > 0,于是a>1,显然函数f(x)=a 2x-1 ax =ax-1 ax (a>1)是 R上的 单调递增函数,又f(x)是定义在 R上的奇函数,由f(4x2)+f(1 -tx)>0,得f(4x2)>f(tx-1),即4x2>tx-1,因此对∀x∈ [0,1],4x2>tx-1成立,当x=0时,0>-1成立, 则对∀x∈(0,1],4x2>tx-1⇔t<4x+1x , 而4x+1x≥2 4x ·1 x =4 ,当且仅当4x=1x ,即x=12 时取等 号,从而t<4,所以实数t的取值范围(-∞,4). 【破题技巧】 (1)由奇函数的性质得f(0)=0,求出b值并验证 即可. (2)由f(1)>0,求出a的范围并判断f(x)的单调性,再脱去法 则f,参变分离求出函数的最小值即可. 17.解 (1)由已知条件,设f(t)=kt+b, 当0≤t≤200时,b=300,k=-1. 当200<t≤300时,b=-300,k=2. 故图(1)表示的函数关系式为 P=f(t)= -t+300 ,0≤t≤200; 2t-300,200<t≤300. (2)设g(t)=a(t-150)2+100,则150=a(50-150)2+100,所以 a= 1200. 所以图(2)表示的函数关系式为 Q=g(t)= 1200 (t-150)2+100= 1200t 2-32t+ 425 2 ,0≤t≤300. (3)设t时刻的纯收益为h(t),则由题意得h(t)=f(t)-g(t), 即h(t)= - 1200t 2+12t+ 175 2 ,0≤t≤200 - 1200t 2+72t- 1025 2 ,200<t≤300 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , 当0≤t≤200时,配方整理得h(t)=- 1200 (t-50)2+100, 所以当t=50时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值100. 当200<t≤300时,配方整理得h(t)=- 1200 (t-350)2+100, 所以当t=300时,h(t)取得区间(200,300]上的最大值87.5. 综上,由100>87.5可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大 值100. 此时t=50,即从2月1日开始的第50天时,上市的西红柿纯收 益最大. 18.解 (1)若a>1,则f(x)=ax- 1a x 在 R上单调递增; 若0<a<1,则f(x)=ax- 1a x 在 R上单调递减. (2)(ⅰ)f(x)≤32x ,即2x- 12 x -32x≤0 , 设g(x)=2x- 12 x -32x ,则g(1)=0,g(-x)=-g(x),所以 g(x)为奇函数, 当x>0时,g(x)单调递增,由g(x)≤g(1),解得0<x≤1, 根据奇函数的性质,当x<0时,g(x)≤g(1)的解为x≤-1, 综上所述,f(x)≤32x 的解集为(-∞,-1]∪(0,1]. (ⅱ)g(x)=22x+1-f(2x)+2tf(x)=22x+2-2x+2t(2x-2-x), 令2x-2-x=m,因为x∈[-1,1],则m∈ -32,32 , 所以g(x)=h(m)=m2+2tm+2,其图象为开口向上,对称轴为 m=-t的抛物线, ①当-t≤-32 ,即t≥32 时,h(m)min=h -32 =94-3t+2= 17 4-3t=- 7 4 ,解得t=2. ②当-32<-t< 3 2 ,即-32<t< 3 2 时,h(m)min=h(-t)=t2- 2t2+2=-t2+2=74 , 解得t1= 15 2 ,t2=- 15 2 矛盾. ③当-t≥32 ,即t≤-32 时,h(m)min=h 32 =94+3t+2= 17 4+3t=- 7 4 ,解得t=-2.综上所述,t=-2或t=2. 【破题技巧】 (1)根据增函数加增函数是增函数,减函数加减函 数是减函数得出结论; (2)(ⅰ)先考虑x>0,利用函数的单调性得出答案,在根据奇偶 性得出x<0时的答案; (ⅱ)令2x-2-x=m,把问题转化为二次函数含参最值问题,然 后分类讨论求解. 19.解 (1)∵∀x,y∈R,x􀱇y=lg(10x+10y), ∴(a􀱇b)-c=lg(10a+10b)-c, (a-c)􀱇(b-c)=lg(10a-c+10b-c)=lg[10-c(10a +10b)]= lg(10a+10b)-c, ∴(a􀱇b)-c=(a-c)􀱇(b-c); (2)∵(a2x2)􀱇(a2x2)=lg(10a 2x2 +10a 2x2)=lg(2×10a 2x2)= a2x2+lg2, ∴原不等式可化为:(x-1)2>a2x2,即(1-a2)x2-2x+1>0, 为满足题意,必有1-a2<0,即a<-1或a>1①; 令h(x)=(1-a2)x2-2x+1,则对称轴为x= 1 1-a2 <0, 由于h(0)=1>0,h(1)=-a2,结合①可得h(1)<0, ∴h(x)的一个零点在区间(0,1),则另一个零点在区间[-2,-1), 从而 h(-2)≤0 h(-1)>0 , 即 (1-a2)×(-2)2-2×(-2)+1≤0 (1-a2)×(-1)2-2×(-1)+1>0 ②, 由①②可得:-2<a≤-32 或3 2≤a<2 , 综上可得实数a的取值范围为 -2,-32 ∪ 32,2 . (3)因为f(x)=lg(x+4- 2x+3), g(x)=(1􀱇x)􀱇(-x)=lg(10+10x)􀱇(-x)=lg[10lg(10+10 x)+ 10-x]=lg(10x+10-x+10), 设t=x+4- 2x+3,x∈ -32,+∞ , 令 2x+3=r,r∈[0,+∞),则x=12 (r2-3), ∴t=12 (r2-3)+4-r=12r 2-r+52= 1 2 (r-1)2+2≥2, ∴f(x)≥lg2,所以g(x1)=lg|3m-2|+f(x)的值域为 A=[lg|3m-2|+lg2,+∞), ∵10x+10-x+10≥2 10x×10-x +10=12,当且仅当x=0时 取等号,∴g(x)≥lg12, 所以g(x)的值域为B=[lg12,+∞), 根据题意可知:B⊆A,∴lg|3m-2|+lg2≤lg12,即0<|3m-2|≤ 6,解得-43≤m≤ 8 3 且m≠23 , 所以实数m 的取值范围 -43,23 ∪ 23,83 . 【点睛】 关键点点睛:理解函数新定义,用对数运算知识得出函 数解析式是关键,从而用函数的性质、不等式的性质以及零点的 概念解之. 【破题技巧】 (1)根据题意,由函数新定义运算即可得解; (2)由函数新定义运算即可得解,再利用函数零点的概念解不等 式即可; (3)用换元法可判断出f(x)≥lg2,先由g(x1)=lg|3m-2|+ f(x)的值域为A=[lg|3m-2|+lg2,+∞),可得出g(x)的值 域为B=[lg12,+∞),再由B⊆A 可解得实数m 的取值范围. 第三次月考滚动检测卷 1.D [∵A∩B={4},∴4∈A,①若3a+1=4,则a=1;则A={2, -5,4,1},B={6,9,0,4},成立;②若a2=4,则a=2或-2;当a= 2时,A={2,-5,7,4},B={7,9,-1,4},不成立;当a=-2时, 3a+1=-5,不成立;综上所述,a=1,即实数a的取值的集合为 {1},故选D.] 2.B [由题意知,A⊆C,且 B 中一定含 有 不 属 于A 的 元 素,所 以 A⫋C,∴“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件,故选B.] 3.D [对于A,当a=1,b=-2,则1a> 1 b ,故 A不正确;对于B,当 b=0时,由a>b可得ab=b2=0,故B不正确;对于C,当a=2,b= 1,c=0时,b+ca+c= b a ,故C不正确;对于D,因为c2+1>0恒成立, 所以a>b由可得a(c2+1)>b(c2+1),故D正确.故选D.] 4.C [f(x)=x+|x|x = x+1,x>0 x-1,x<0 ,结合图形可知C适合题意.故 选C.] 【破题技巧】 将函数f(x)=x+|x|x 转化为分段函数,再选择 图象即可. 5.A [对于函数f(x)= 1- 12 x ,有1- 12 x ≥0,可得 12 x ≤ 1= 12 0 ,解得x≥0,因此,函数f(x)的定义域为[0,+∞).故 选A.] 6.A [因为y=log2x 在(0,+∞)上单调 递 增,且2<3<4,所 以 log22<log23<log24,所以1<log23<2,即1<a<2,因为y=2x 在 R上递增,且-0.3<0,所以0<2-0.3<20=1,即0<b<1,因为 y=log0.3x在(0,+∞)上单调递减,且1<2,所以log0.31>log0.32, 所以log0.32<0,即c<0,所以c<b<a.故选A.] 7.D [当x>0时,由f(x)=0,可得lnx=0,解得x=1,合乎题意; 当x≤0时,由于k>0,由f(x)=0,可得kx+1=0,解得x=-1k< 0,合乎题意.因此,函数y=f(x)的零点个数为2.故选D.] 8.C [当x≥1时,f(x)=lnx≥ln1=0,又f(x)的值域为 R,故当 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 99 —