2025年中考数学真题完全解读（新疆卷）

2025年中考数学真题完全解读（新疆卷） 2025年新疆维吾尔族自治区中考数学试题整卷从题型到结构，都体现了对新课程标准的深度落实与对学生综合数学素养的考查，具有鲜明的区域特色与时代特征。根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，本卷在知识覆盖、难度分布与能力考查等方面，都作出了较为合理的安排，从而有助于引导教学突出主干知识与核心素养的培养。 本试卷共包含选择题、填空题与解答题三大部分，题量适中，题型丰富。与往年本地区中考相比，今年更强调对学生在真实情境下运用数学思想方法解决复杂问题的能力要求。例如，计算与因式分解等基础性知识占据了一定比重，但也通过情境化、综合化的设问方式，让学生在一次函数，二次函数或关于一次、二次方程等题目中灵活应用所学知识。再者，反比例函数及几何图形综合题明显带有“数学建模”导向，引导学生从现实背景中抽象问题，进而利用图象特征或几何性质进行分析与推理。 观察整卷题目的组配，可以发现其顺序大体由易到难，选择题部分侧重基础概念与运算技能，如相反数概念、同分母分式的运算、平行线性质、轴对称与函数图象判别等；填空题部分紧扣概率、不等式组、几何性质等较常考查的中档题型，为学生提供进一步展现解题思路的机会。最后的解答题，既包含对基础运算、数形结合的巩固，如题、题，也融入反比例函数、圆相关定理、平行四边形及相似三角形等中考常见综合点，逐步提高对逻辑推理及综合能力的要求。值得强调的是，像最后一题将等腰直角三角形与几何构造相结合，需要学生对几何图形做适当的旋转或平移处理，这既锻炼了学生的几何直观与构造方法，也对白描推理提出了更高要求。 从难易程度与计算量上看，本卷整体难度曲线平稳。其中约有的试题考查基础与中档知识，对应综合型、思考量偏大的试题约占，保证了对不同层次学生的区分度，难度控制符合本地区学生实际学情。尤其是函数与几何综合题的部分小问环环相扣、条理严谨，不仅注重运算过程的准确性，还引导学生用代数方法或几何推理相结合的多视角思维去探索问题。计算量总体适中，几何题中注重基本定理运用与图形变换；代数题则兼顾因式分解、方程求解与函数应用等。 本卷在命题方面充分考虑到了新疆地区教材使用及学情、教情、校情的特点，适度融合了一些具有生活化与区域特色的素材，如“围栏”“校徽高度测量”及“交通隧道”等实用情境，强调对数学建模意识的培养。 综上所述，2025年新疆维吾尔族自治区中考数学试题在继承本地常规考试风格的同时，又呼应了新课标“强化实践意识、关注核心素养”的导向。它有效地检验了学生的基础运算与知识储备，同时在思维过程与实际应用方面的考查力度明显加强；题型设置综合度高，注重过程性与思维的灵活度，既体现了对学生数学核心素养的关注，也为今后教学指明了方向：强化知识应用、突出数形结合和模型建构，以更好地提升学生的数学思维品质与创新意识。 根据对比2024年与2025年新疆维吾尔自治区中考数学真题可知，题型仍分为： ❆选择题（9道） ❆填空题（6道） ❆解答题（8道） 在题量上与2024年保持一致，整体难度分布也未出现明显增加，试卷分值仍保持不变。 1.情境设置更贴近现实 2025年真题中，多个小题将数学与生活实践相结合，如“体重管理年”活动、“高速公路隧道建设”等情境融入题目，考查学生对数学模型的应用与对实际数据的分析能力；与2024年相比，应用类场景题有所增多。 2.知识融合度提升 ❆多题出现了对二次函数、反比例函数、统计概率等综合考查，要求学生在分析图像、计算概率的同时，还要结合几何或方程思想； ❆解答题中，常规几何与函数的综合程度更高，如利用平面几何性质解决函数交点坐标等问题，相比2024年更强调数学思想的迁移。 3.考查深度略有增加 尤其在最后一两道解答题，依旧保持了较高区分度，部分题目通过相似三角形、平行四边形、勾股定理等多知识点链接来提高思维要求，与2024年相比，在“构造辅助线、旋转与变换”的探究性方面更突出。 4.对学生能力要求 ❆要求学生对基本概念与几何定理熟练掌握，凝练解题过程； ❆强调数形结合与模型思想，如对概率统计题的图表分析、对函数与几何综合运算的辨析、对旋转和相似变换的灵活运用； ❆强调阅读理解和信息获取，通过阅读题设文字与图表，挖掘有效数据并作合理推理。 综上可见，2025年的题型数量和分值虽未变化，但在情境设计、知识融合与思维过程引导方面更具挑战，要求学生具有更全面的分析与综合能力。通过熟悉新情境、多知识点交汇以及合理建模，将能更好地应对这些变化。 下面从整体结构、题型分布、知识点考查情况和难度层级等方面，详细分析本套试卷的考情。 本卷共有 23 道题，题型包括单选题、填空题、解答题。各题型数量及其占比情况如下 · 单选题（第1～9题）：共9题，每题分，合计分，占全卷总分约。 · 填空题（第10～15题）：共6题，每题分，合计分，占全卷总分约。 · 解答题（第16～23题）：共8题，每题分，合计分，占全卷总分约。 下面以表格形式，按试题顺序逐一列出题号、分值、题型、考查内容与难易分析，供参考。 题号 分值 题型 考查内容 难易分析 1 单选题 有理数及其相反数 易 2 单选题 轴对称图形的判断 易 3 单选题 分式运算（同分母分式的加减） 易 4 单选题 平行线的性质（同位角、内错角） 易 5 单选题 一次函数图象与性质（ 的判断） 易 6 单选题 一元二次方程的判别式（无实数根的判定） 中 7 单选题 一元二次方程的应用（围地问题） 中 8 单选题 圆的基本性质（垂径定理、圆周角定理） 中 9 单选题 函数图象与实际问题（两车相遇模型） 中 10 填空题 因式分解（提公因式等常规方法） 易 11 填空题 随机摸球的概率（古典概率公式） 易 12 填空题 一元一次不等式组的解集 易 13 填空题 平行四边形的性质（对边平行且相等、角平分线） 中 14 填空题 反比例函数与几何综合（坐标系、勾股定理等） 中 15 填空题 多项式新运算及不含某项系数为0的探究 难 16 解答题 实数运算综合（零指数、平方差、合并同类项等） 易 17 解答题 二元一次方程组求解与简单几何证明（全等） 中 18 12 解答题 BMI与数据统计分析（样本估计总体） 易 19 解答题 四边形与尺规作图（垂直平分线、菱形判定） 中 20 解答题 实际测量应用（视角测量、直角三角形） 中 21 解答题 抛物线函数与实际应用（隧道截面） 中 22 解答题 圆几何综合（切线判定、相似与和差线段） 难 23 解答题 等腰直角三角形综合（相似、平行四边形、旋转） 难 1.总体难度分布 ❆易：题号 （共10题） ❆中：题号 （共10题） ❆难：题号 （共3题） 以题量计，易：中：难 =；以总分计算也大体呈现相近分布（易、中的分值占比较大，难题分值相对适中，有利于区分高水平考生）。 2.不同难度层级题目的特点 ❆易：多为基础计算、基本概念或简单应用题，如第题（相反数）、第题（轴对称图形）等，解答过程中只要熟悉基本概念或运算规律即可得分。 ❆中：多为基础知识与简单综合应用的结合，如第题（判别式求无实数根）、第题（函数图象与行驶问题）等，需要一定的知识迁移和运算能力。 ❆难：往往是多知识点联结或具有一定的创新性与技巧性，如第题（构造多项式新运算）、第题（圆综合：切线判定、相似三角形、弦分段关系）和第题（等腰直角三角形综合），需较强的综合分析与几何构造能力。 从整体来看，本套试卷在容易、中等、较难三个层次间分配比较合理，既能考查考生的基础掌握程度，又能检验其综合运用数学知识解决问题的能力。易题注重对基础知识点的巩固与运算熟练度要求；中档题适度联系实际场景；难题在综合分析、空间想象以及多环节推理上对考生提出更高要求，能很好地起到区分作用。通过本试卷，可较全面地评估考生对初中数学的理解与应用水平。 同学们在复习过程中，需要对整套试卷进行系统分析，针对重点、难点与易错点进行有针对性的突破。以下从知识板块、题型策略、心理调适和命题趋势四个方面给出建议，希望能帮助大家更有效地备考。 1.代数基础 ❆继续稳固有理数与实数运算的概念，尤其要注意零指数、负指数及分数指数等易混点。 ❆对于因式分解要系统梳理：提公因式、平方差公式、完全平方公式及分组分解等几大方法。 ❆不等式（组）的解法要精准：一元一次不等式组的解集区间表示应掌握，同大取大、同小取小、大小小大中间找的口诀可帮助快速判断解集。 2.函数与图象 ❆一次函数、正反比例函数与二次函数是命题重点。对于一次函数，需熟练识别出斜率 的正负及截距 与图象位置、增减性的关系。 ❆反比例函数的图象识别和“坐标乘积为常数”的特征要灵活运用。同时注意与几何问题（如三角形、矩形或梯形）相结合的综合题型。 ❆二次函数不仅要掌握顶点式 的求法，也要关注利用象限、对称轴或点的坐标来确定解析式的常见题型。 3.几何图形与证明 ❆平行四边形、菱形以及它们与圆、相似三角形的综合往往是大题的热点。要熟练掌握判定与性质，如“对角线互相平分”、“一组邻边相等即为菱形”等常见判定定理。 ❆圆中切线、弦、直径等基本概念要复习扎实，尤其关注“切线垂直于半径”以及“同圆或等圆中圆心角、圆周角、弦心距”等基本定理。 ❆直角三角形、等腰直角三角形的性质常在综合题中出现，需要与勾股定理、相似三角形等知识巧妙结合，形成多步推导。 1.选择题 ❆注意先判断题干中关键信息，若能直接排除明显错误选项要果断排除。 ❆对于一些概率、图形判断类（如轴对称图形）的选择题，可结合定义或简单实例迅速定位答案。 ❆若无法快速求解，也可尝试“代入法”或“特殊值检验法”，如在函数类选择题中，代入典型的自变量值（0、1、-1等）进行比对。 2.填空题 ❆先关注结构：部分填空题往往比选择题仅多一步运算或推理。 ❆答案形式要规范，涉及分式、根式、坐标的填写，需确保与题意相符。若出现结果为分数或根式，记得不可随意小数化，除非题目要求。 3.解答题 ❆审题时要划定好已知与所求，先写出对应的公式、定理或基本事实（如“某线段为角平分线”“两条相交直径的性质”等）。 ❆解方程、证明几何时，注意关键步骤要写清楚，如判定两三角形相似应先明确“角角对应”或“边比相等”等判定条件，避免只写结论不写依据。 ❆若涉及较为复杂的二次函数或几何综合题，建议分步标注，先得出中间结论后再递推下去；书写工整、步骤清晰，有利于拿到完整过程分。 1.阶段性复习 ❆第一阶段（打牢基础）：梳理概念与公式，查漏补缺，尤其要复习基本运算、代数式转换的过程，确保不失不等式解集、分式运算等基础分。 ❆第二阶段（专项突破）：对函数综合、几何证明、应用题（如三角测量、工程问题等）进行重点训练。 ❆第三阶段（综合模拟）：模拟实战，限时完成整套试卷，提高做题速度与准确率，熟悉解题节奏并及时查找漏洞。 2.良好心态培养 ❆要认识到适度的紧张感能帮助激发潜能，但过度焦虑则会影响思维发挥。 ❆考前不宜熬夜刷难题，应多重视错题回顾与典型题归纳，规律作息、保证足够的休息时间。 ❆信心来自日常扎实复习，当遇到一两道难题出现卡顿时，不要自乱阵脚，可先放一放，做完其他题后再回头思考。 1.综合性与情境化 ❆近年中考趋向结合真实情境出题，如测量校徽高度、交通主题、生活中的统计案例等，需要将数学知识灵活运用到现实问题。因此，需特别关注对应用题情境的理解和对关键数据的提取、建模。 ❆统计与概率常与函数或几何背景结合，要求将抽样、事件概率等概念融入图表分析中。 2.创新考查核心能力 ❆可能通过“小综合”“大综合”形式考察数形结合、运算求解与逻辑推理。例如，一道几何大题可能串联相似三角形、圆周角、平行四边形等多模块内容，要求学生步步论证。 ❆函数类题目往往注重与图形变换、图象特点的结合，增加阅读理解的难度。如果出现坐标几何综合题，要注意虚线辅助、构造特殊点等方法。 3.细节与学科素养 ❆注意答题的严谨性：书写清晰、理由充分，能体现逻辑思维与数学表达能力。 ❆对一些常用数据如 、、 等要熟记，避免在临场匆忙中出现错算。 ❆命题中可能继续强化学生对环境保护、社会生活等主题的关注，所以阅读与审题的耐心和准确度也十分关键。 综上所述，复习需注重系统性、计划性与针对性。通过稳固基础、分专题强化和模拟冲刺三步走，辅以良好的考试心态调适，才能在考场上发挥出最佳水平。保持充分的自信、良好的作息、合理的学习方法，就一定能在中考时取得理想的数学成绩！祝大家都能稳扎稳打，考出佳绩。 2025年新疆维吾尔族自治区中考数学试题 考生须知：1．本试卷分为试题卷和答题卷两部分，试题卷共4页，答题卷共2页． 2．满分150分，考试时间120分钟． 3．考生不得使用计算器；必须在答题卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1．的相反数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选D． 2．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3．计算：（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同分母分式的减法运算．根据分式减法法则，分母相同时，分子直接相减，分母保持不变，再约分计算即可． 【详解】解： 故选：A． 4．如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质．直接根据平行线的性质作答即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故选：B． 5．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是(   ) A．B．C．D． 【答案】C 【分析】观察一次函数解析式，确定出k与b的符号，利用一次函数图象及性质判断即可． 【详解】解：∵一次函数y=x+1，其中k=1>0，b=1>0， ∴图象过一、二、三象限， 故选C． 【点睛】此题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 6．若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ < 0时，方程无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 7．如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可. 【详解】解：设矩形的宽为，则矩形的宽为， ∴ 故选：A. 8．如图，是的直径，是弦，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理． 先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理即可得到． 【详解】解：连接． ∵是的直径，是弦，， ∴， ∴， 故选：C． 9．一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．两车出发后相遇 B．A，B两地相距 C．快车比慢车早到达目的地 D．快车的速度为，慢车的速度为 【答案】C 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据时，，时，可判断A、B；根据函数图象可得快车出发到达目的地，慢车出发到达目的地，据此根据速度等于路程除以时间求出两车的速度，即可判断C、D． 【详解】解：∵时，， ∴A，B两地相距，故B结论正确，不符合题意； ∵时，， ∴两车出发后相遇，故A结论正确，不符合题意； 由函数图象可得快车出发到达目的地，慢车出发到达目的地， ∴快车比慢车早到达目的地，故C结论错误，符合题意； ，， ∴快车的速度为，慢车的速度为，故D结论正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法解答即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 11．不透明袋子中有3个红球、2个白球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查求概率，根据概率公式直接进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 12．不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式的解集为：， 故答案为：． 13．如图，在中，的平分线交于点E，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质，等角对等边，根据平行四边形的性质，得到，得到，角平分线的定义，得到，进而得到，进而得到即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交x轴于点C，连接，则的面积是 ． 【答案】20 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，求出的值，设，根据，利用勾股定理求出的值，进而求出的长，进而求出的面积即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点， ∴， ∴， ∴， 设， 则：，，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积是； 故答案为：20． 15．对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据，令，求出相应的结果，进而推导出当时的结果，利用新定义，求出，再根据新定义求出，根据不含项，得到项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵均为的整数幂，为偶数， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，平方差公式和单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和零指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（1）解方程组：； （2）如图，，求证：． 【答案】 （1） （2）证明过程见详解 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，全等三角形的判定和性质，掌握加减消元法，全等三角形的判定和性质是关键． （1）运用加减消元法求解即可； （2）根据题意证明，即可求解． 【详解】解：（1）； 得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程组的解为； （2）证明：∵， ∴， ∴． 18．根据国家卫生健康委等16个部门联合印发的《“体重管理年”活动实施方案》有关要求，2025年将持续推进“体重管理年”活动．目前，国际上常用身体质量指数（）来衡量胖瘦程度，其计算公式是，数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖； 为肥胖．某单位随机抽取50名员工，测得他们的身高、体重数据，将所得数据进行了整理、描述． 【整理数据】 根据样本的数据分成A，B，C，D四个组进行整理，如下表： 组别 A B C D BMI 人数 8 m n 12 【描述数据】根据数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 【分析数据】 (1)填空：______，______； (2)补全条形统计图； (3)扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是______°； (4)该单位总人数为300人，请估计其中体重偏胖（）的人数是多少？ 【答案】(1)20；10(2)见解析(3)72（4)60人 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图信息关联，样本估计总体等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先由抽取的50名员工乘以的占比即可求解，再由50减去的人数即可求解； （2）根据（1）中求出的数据即可补全条形统计图； （3）由乘以的占比即可求解圆心角； （4）用样本估计总体的方法即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：20；10； （2）解：补全条形统计图如图： （3）解：， 故答案为：72； （4）解：（人）， 答：其中体重偏胖（）的人数是60人． 19．如图，在四边形中，，是对角线． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别以B、D为圆心，以大于长的一半画弧，二者交于M、N，连接分别与与边分别交于点E，F，则点E和点F即为所求； （2）由线段垂直平分线的定义打得到，，，再由等边对等角和平行线的性质可推出，则可证明，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：如图所示， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 20．某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角． 实验图示 测量数据 1． 2． 3． 4． 5． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，，； ，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确找到直角三角形进行解直角三角形是解题的关键． 由题意得，四边形，四边形为矩形，则，，然后分别解求出，解求出，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，四边形，四边形为矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：校徽的高度为． 21．天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过，见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：能安全通过，理由如下： 如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 22．如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，得到，即可证明结论； （2）证明，求出，得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：连接， ∵于点F， ∴, ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， 即 ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵为的直径， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 解得， ∵ ∴ 解得， ∴ ∴， ∴ 【点睛】此题考查了解直角三角形、切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握切线的判定、相似三角形的判定和性质是关键． 23．如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）勾股定理求出的长，中点求出的长，的长，根据，求出的值即可； （2）设，得到，，进而得到，分和两种情况进行讨论，列出比例式进行求解即可； （3）作于点，连接，易得为等腰直角三角形，得到，，进而得到四边形为平行四边形，得到，将绕点旋转90度得到，连接，证明，得到，进而得到，得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形中，，，，， ∴， ∵点D和点N分别是和的中点， ∴，， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， 设，则：，， ∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 当点C，D，N为顶点的三角形与相似时，分两种情况： ①当时，则：， ∴， 此方程无解，不符合题意； ②当时，则：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或； ∴； 综上：； （3）∵，， ∴， 作于点，连接， 则：， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， 将绕点旋转90度得到，连接，则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，求线段和的最小值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 20 学科网（北京）股份有限公司 $$