第5讲 专题强化一 追及和相遇问题-【精讲】2026高考物理一轮复习

第5讲 专题强化一 追及和相遇问题 核心考点 考点一 追及相遇问题 1 考点二 图像中的追及相遇问题 7 考点一 追及相遇问题 基础过关 追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。 追及相遇问题的基本物理模型：(以甲追乙为例) 1.二者距离变化与速度大小的关系 (1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲<v乙，甲、乙间的距离就不断增大。 (2)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲追上乙前，甲、乙间的距离就不断减小。 2.分析思路 可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”。 (1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点； (2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。 3.常见追及情景 (1)初速度小者追初速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大。 (2)初速度大者追初速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间距离有最小值。 物体甲追赶物体乙：开始时，两个物体相距x0，当v甲＝v乙时，若x甲>x乙＋x0，则能追上；若x甲＝x乙＋x0，则恰好追上；若x甲<x乙＋x0，则不能追上。 特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。 【例1】（2025·辽宁·三模）某辆汽车以6m/s的初速度从匝道进入某一条笔直的高速，又以4m/s2的加速度匀加速到30m/s并开启定速巡航模式（开启后汽车会自动保持30m/s的速度匀速行驶，驾驶员无需再踩油门，若驾驶员踩刹车制动，则定速巡航会自动关闭）。（车辆均可视为质点） (1)求汽车加速阶段行驶的距离。 (2)驾驶员在行驶一段时间后发现定速巡航系统无法关闭，于是立即报警，在紧张行驶一段时间后到达距离下一个匝道40m处。此时一辆警车以10m/s的速度从此匝道汇入高速后与失控车保持在同一条车道上，然后进行拦截，要求警车汇入高速后匀加速到与失控车共速时两车刚好相遇，然后对失控车进行紧急逼停，求警车加速度的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，， 汽车做匀加速直线运动 解得汽车加速阶段行驶的距离 （2）已知， 设警车的加速度大小为a1，加速到与汽车共速所用时间为t，由运动学公式 在0~t时间内，警车的位移 失控车的位移 由位移关系 联立解得， 【例2】（2025·山东日照·二模）甲、乙两辆汽车在同一条平直公路上沿同一方向行驶。当甲车在乙车后方60m处时，甲车以10m/s的初速度做匀加速直线运动，加速度大小为1.5m/s2；乙车以20m/s的初速度做匀减速直线运动，加速度大小为1m/s2。当甲车追上乙车后，两车保持各自的速度做匀速直线运动。下列说法正确的是（　　） A．甲车追上乙车所需要的时间为16s B．甲车追上乙车时，乙车的速度大小为8m/s C．甲车追上乙车前，两车之间的最大距离为30m D．甲车追上乙车后，两车之间的距离随时间变化的关系为 【答案】BD 【详解】AB．乙减速至停止过程中所用时间为 假设甲车追上乙车时，乙车还未停止，则 解得 所以，假设成立。此时乙车的速度大小为 故A错误，B正确； C．当两车共速时，两车距离最大，根据 解得， 两车之间的最大距离为 故C错误； D．甲车追上乙车时，甲车的速度大小为 乙车的速度大小为 此后两车之间的距离随时间变化的关系为 故D正确。 故选BD。 【例3】（2025·四川雅安·二模）根据《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》第六十条的规定：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故，妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯并在车后放置三角警告牌（如图所示），以提醒后面司机及时减速。雨夜，在一条平直的公路上，汽车因为故障停车，在它正后方有一货车以20m/s的速度向前驶来，由于视线不好，货车司机只能看清前方40m的物体，他的反应时间为0.6s，该货车制动后最大加速度为。求 (1)从货车司机看清三角警示牌到货车最终停止所用的最短时间； (2)为避免两车相撞，故障车司机应将三角警示牌放置在故障车后的最小距离。 【答案】(1)8.6s (2)52m 【详解】（1）设从刹车到停止时间为，则s=8s 反应时间为0.6s，总时间为0.6s+8s=8.6s （2）反应时间内做匀速运动，则m=12m 从刹车到停止的位移为则m=80m 货车司机看清三角警示牌到货车最终停止全部距离为m 三角警示牌到故障车的距离为m=52m 【例4】（2025·河北石家庄·一模）超车是指后车并道到前车的后侧方，越过前车后，并道，回原车道的过程。如图所示，甲车车长，以车速、加速度正在加速行驶，乙车车长，以车速匀速运动，此时两车相距，内侧车道上乙车前方处，丙车正以车速匀速运动。已知该路段限速，不计车辆变道和转向的时间及车辆的宽度。 (1)求甲车与乙车间距为时所用的最短时间； (2)甲、乙两车间距为时，甲车开始借道超车，当甲、乙两车车头平齐时，求甲车与丙车的距离； (3)若甲车司机感到超车有撞到丙车的危险，当甲、乙两车车头平齐时开始紧急刹车，最终没有出现危险，求甲车刹车的加速度大小。 【答案】(1)8s (2)10m (3)5m/s2 【详解】（1）甲车加速为最大速度25m/s的时间 甲车与乙车间距为时由位移关系 解得 甲车与乙车间距为时所用的最短时间 （2）从甲车与乙车间距为时到甲、乙两车车头平齐时需要的时间 此时甲车与丙车的距离 （3）当甲车和丙车共速时恰不相撞则速度关系 位移关系 解得a1=5m/s2 【例5】（2025·湖北·模拟预测）某次实验中，甲、乙小车上安装有蓝牙设备，该设备的有效通讯距离为d＝10m。甲车在前、乙车在后沿一条直线同向运动，初始距离为。甲车由静止开始做加速度的匀加速直线运动，乙车同时开始做初速度为，加速度为的匀加速直线运动，甲、乙两车大小可忽略。求： (1)甲、乙两车间的最小距离Δx； (2)甲、乙两车维持蓝牙通讯的时长Δt。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设经过时间，甲乙两车达到共速，此时两车之间的距离最小，则有 解得， 则此过程中，甲车的位移 乙车的位移 故两车之间的最小距离 （2）由于，，乙车没有追上甲车，二者之间的通讯仅中断一次，则有 解得 （为负值的解舍去） 精讲考点 1．追及相遇问题的常用分析方法 (1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。 能否追上的判断方法(临界条件法)： 物体甲追赶物体乙，开始时，两个物体相距x0，当v甲＝v乙时，若x甲>x乙＋x0，则能追上；若x甲＝x乙＋x0，则恰好追上；若x甲<x乙＋x0，则不能追上。 (2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系。对于该二次函数关系： ①当Δx＝0时，表示两者相遇。取Δx＝0时，对于关于时间t的一元二次方程，利用根的判别式进行分析。 a．若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次； b．若Δ＝0，有一个解，说明能刚好追上或相遇； c．若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。 ②当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值。 (3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移—时间图像的交点表示相遇，分析速度—时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系。 考点二 图像中的追及相遇问题 基础过关 1.x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题： (1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。 (2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。 2.利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。 3.若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析。 【例6】（2025·河南郑州·模拟预测）为了测试某种遥控玩具小汽车的性能，生产厂家用两辆完全相同的小车a、b进行测试。 t=0时刻让两玩具小车并排同向行驶，其中小车a做匀加速直线运动，其x-t图像如图甲所示，小车b的图像如图乙所示，则（　　） A．t=0时刻a车的速度大小为1m／s B．两车速度相等时相距4m C．两车在途中相遇时，b车的速度大小为2m／s D．b车停止运动时，a车在其前方12m处 【答案】BCD 【详解】A．由于a车做匀加速直线运动，设t=0时刻a车的速度为，加速度大小为，结合图甲，有， m 解得 A 错误； B．由 可知 并结合图乙可知， b车的初速度 加速度 设经过时间两车速度相等，故有 联立解得s 则a车的位移大小为 同理可得b车的位移大小为 此时两车的距离为 B正确； C．设两车相遇所用的时间为，则有 解得 此时b 车的速度大小为 C正确； D．设b车停止运动所需要的时间为，则有 解得 则此时a车的位移大小为 b车的位移大小为 故当b车停止运动时，a车在其前方12m处，D正确。 故选BCD。 【例7】（2025·湖南娄底·二模）某实验小组利用甲、乙两小车的传感器来比较它们的运动情况，如图为测绘出它们在同一平直赛道上运动时的图像，时刻，乙车在甲车前方位置处，时刻，甲车位移为，则下列描述正确的是（　　） A．若它们在第一次相遇，则 B．若它们在第一次相遇，则 C．若它们在第一次相遇，则下次相遇时刻为 D．若它们在第一次相遇，则下次相遇时刻为 【答案】D 【详解】AB．若它们在第一次相遇，甲车位移为，则乙的位移为，则，所以，故AB错误； CD．甲车停止运动的时刻为，根据图像的对称性，可知，若它们在第一次相遇，则下次相遇时刻为，但是若它们在第一次相遇，如果对称，应该在时刻相遇，但到时刻，甲车停止，两边不对称，因此第二次相遇不在时刻，故错误，D正确。 故选D。 【例8】（2025·山东德州·三模）目前机器人研究迅猛发展。在某次测试中，机器人A、B（均可视为质点）同时从原点沿相同方向做直线运动，它们的速度的平方（）随位移（）变化的图像如图所示。下列判断正确的是（　　） A．机器人A的加速度大小为4m/s² B．相遇前机器人A、B最大距离为12m C．经过，机器人A、B相遇 D．机器人A、B分别经过处的时间差是1s 【答案】B 【详解】A．根据匀变速直线运动规律 整理可得 结合图像可知，机器人A的加速度为 解得 即机器人A的加速度大小为，A错误； B．根据上述分析，同理可知A、B两机器人均做匀变速运动，对于机器人A，可得， 对于机器人B，可得， 设经过时间二者速度相等，此时相距最远，则有 代入数据解得 两机器人共同的速度为 机器人A的位移 机器人B的位移 二者之间的最大距离 B正确； C．机器人A停止运动的时间 设经过时间两机器人相遇，则有 代入数据解得 可见两机器人相遇应在机器人A停止运动之后，此时机器人A的位移为 机器人B追上的时间 C错误； D．由题可知，机器人A经过的时间为，机器人B经过的时间为 机器人A则有 整理可得 解得（另一解机器人A已停止运动，舍去） 机器人B则有 解得 机器人A、B分别经过处的时间差 D错误。 故选B。 【例9】（2025·青海海东·模拟预测）某新能源汽车配备了自动驾驶系统，该车在红绿灯启停、无保护左转、避让路口车辆、礼让行人、变道等情形下都能无干预自动驾驶。某次试验时，a、b两车（均可视为质点）从不同地点由静止开始沿同一直线运动的v-t图像如图所示，已知两车在运动过程中不会相遇，图线均为直线，关于两车在0~2t0时间内的运动，下列说法正确的是（　　） A．a车在前，b车在后 B．在2t0时刻两车间的距离最近 C．在t0时刻b车的速度大小为 D．出发时两车间的距离可能为 【答案】BCD 【详解】A．图像与坐标轴围成的面积代表位移，由图可知a车的位移较大，由于两车在运动过程中不会相遇，所以b车始终在前，故A错误； B．由题中图像可知，在2t0时刻两车速度相等，相距最近，故B正确； C．根据数学知识可知，在t0时刻b车的速度大小为，故C正确； D．出发时两车之间的距离大于 故D正确。 故选BCD。 【例10】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向做直线运动，它们的v-t图像如图所示。下列判断正确的是（    ） A．乙车启动时，甲车在其前方100m处 B．乙车启动10s后正好追上甲车 C．运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75m D．乙车超过甲车后，两车会再相遇 【答案】C 【详解】A．根据速度图线与时间轴包围的面积表示位移，可知乙在时启动 此时甲的位移为，即甲车在乙前方50m处，故A错误； B．由于两车从同一地点沿同一方向沿直线运动，当位移相等时两车才相遇，由图可知，乙车启动10s后乙车的位移为 甲车的位移为 故乙车的位移小于甲车的位移，还没有追上甲，故B错误； C．当两车的速度相等时相遇最远，最大距离为，故C正确； D．乙车超过甲车后，由于乙的速度大，所以不可能再相遇，故D错误。 故选C。 精讲考点 1．追及和相遇问题的求解方法 (1)解题思路 ⇒⇒⇒ (2)解题技巧 ①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。 ②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。 ③若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解的讨论分析。 2．若为x－t图像，图像相交即代表两物体相遇。 3．若为v－t图像，利用图像与坐标轴围成的面积进行分析。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5讲 专题强化一 追及和相遇问题 核心考点 考点一 追及相遇问题 1 考点二 图像中的追及相遇问题 7 考点一 追及相遇问题 基础过关 追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。 追及相遇问题的基本物理模型：(以甲追乙为例) 1.二者距离变化与速度大小的关系 (1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲<v乙，甲、乙间的距离就不断增大。 (2)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲追上乙前，甲、乙间的距离就不断减小。 2.分析思路 可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”。 (1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点； (2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。 3.常见追及情景 (1)初速度小者追初速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大。 (2)初速度大者追初速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间距离有最小值。 物体甲追赶物体乙：开始时，两个物体相距x0，当v甲＝v乙时，若x甲>x乙＋x0，则能追上；若x甲＝x乙＋x0，则恰好追上；若x甲<x乙＋x0，则不能追上。 特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。 【例1】（2025·辽宁·三模）某辆汽车以6m/s的初速度从匝道进入某一条笔直的高速，又以4m/s2的加速度匀加速到30m/s并开启定速巡航模式（开启后汽车会自动保持30m/s的速度匀速行驶，驾驶员无需再踩油门，若驾驶员踩刹车制动，则定速巡航会自动关闭）。（车辆均可视为质点） (1)求汽车加速阶段行驶的距离。 (2)驾驶员在行驶一段时间后发现定速巡航系统无法关闭，于是立即报警，在紧张行驶一段时间后到达距离下一个匝道40m处。此时一辆警车以10m/s的速度从此匝道汇入高速后与失控车保持在同一条车道上，然后进行拦截，要求警车汇入高速后匀加速到与失控车共速时两车刚好相遇，然后对失控车进行紧急逼停，求警车加速度的大小。 【例2】（2025·山东日照·二模）甲、乙两辆汽车在同一条平直公路上沿同一方向行驶。当甲车在乙车后方60m处时，甲车以10m/s的初速度做匀加速直线运动，加速度大小为1.5m/s2；乙车以20m/s的初速度做匀减速直线运动，加速度大小为1m/s2。当甲车追上乙车后，两车保持各自的速度做匀速直线运动。下列说法正确的是（　　） A．甲车追上乙车所需要的时间为16s B．甲车追上乙车时，乙车的速度大小为8m/s C．甲车追上乙车前，两车之间的最大距离为30m D．甲车追上乙车后，两车之间的距离随时间变化的关系为 【例3】（2025·四川雅安·二模）根据《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》第六十条的规定：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故，妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯并在车后放置三角警告牌（如图所示），以提醒后面司机及时减速。雨夜，在一条平直的公路上，汽车因为故障停车，在它正后方有一货车以20m/s的速度向前驶来，由于视线不好，货车司机只能看清前方40m的物体，他的反应时间为0.6s，该货车制动后最大加速度为。求 (1)从货车司机看清三角警示牌到货车最终停止所用的最短时间； (2)为避免两车相撞，故障车司机应将三角警示牌放置在故障车后的最小距离。 【例4】（2025·河北石家庄·一模）超车是指后车并道到前车的后侧方，越过前车后，并道，回原车道的过程。如图所示，甲车车长，以车速、加速度正在加速行驶，乙车车长，以车速匀速运动，此时两车相距，内侧车道上乙车前方处，丙车正以车速匀速运动。已知该路段限速，不计车辆变道和转向的时间及车辆的宽度。 (1)求甲车与乙车间距为时所用的最短时间； (2)甲、乙两车间距为时，甲车开始借道超车，当甲、乙两车车头平齐时，求甲车与丙车的距离； (3)若甲车司机感到超车有撞到丙车的危险，当甲、乙两车车头平齐时开始紧急刹车，最终没有出现危险，求甲车刹车的加速度大小。 【例5】（2025·湖北·模拟预测）某次实验中，甲、乙小车上安装有蓝牙设备，该设备的有效通讯距离为d＝10m。甲车在前、乙车在后沿一条直线同向运动，初始距离为。甲车由静止开始做加速度的匀加速直线运动，乙车同时开始做初速度为，加速度为的匀加速直线运动，甲、乙两车大小可忽略。求： (1)甲、乙两车间的最小距离Δx； (2)甲、乙两车维持蓝牙通讯的时长Δt。 精讲考点 1．追及相遇问题的常用分析方法 (1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。 能否追上的判断方法(临界条件法)： 物体甲追赶物体乙，开始时，两个物体相距x0，当v甲＝v乙时，若x甲>x乙＋x0，则能追上；若x甲＝x乙＋x0，则恰好追上；若x甲<x乙＋x0，则不能追上。 (2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系。对于该二次函数关系： ①当Δx＝0时，表示两者相遇。取Δx＝0时，对于关于时间t的一元二次方程，利用根的判别式进行分析。 a．若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次； b．若Δ＝0，有一个解，说明能刚好追上或相遇； c．若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。 ②当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值。 (3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移—时间图像的交点表示相遇，分析速度—时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系。 考点二 图像中的追及相遇问题 基础过关 1.x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题： (1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。 (2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。 2.利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。 3.若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析。 【例6】（2025·河南郑州·模拟预测）为了测试某种遥控玩具小汽车的性能，生产厂家用两辆完全相同的小车a、b进行测试。 t=0时刻让两玩具小车并排同向行驶，其中小车a做匀加速直线运动，其x-t图像如图甲所示，小车b的图像如图乙所示，则（　　） A．t=0时刻a车的速度大小为1m／s B．两车速度相等时相距4m C．两车在途中相遇时，b车的速度大小为2m／s D．b车停止运动时，a车在其前方12m处 【例7】（2025·湖南娄底·二模）某实验小组利用甲、乙两小车的传感器来比较它们的运动情况，如图为测绘出它们在同一平直赛道上运动时的图像，时刻，乙车在甲车前方位置处，时刻，甲车位移为，则下列描述正确的是（　　） A．若它们在第一次相遇，则 B．若它们在第一次相遇，则 C．若它们在第一次相遇，则下次相遇时刻为 D．若它们在第一次相遇，则下次相遇时刻为 【例8】（2025·山东德州·三模）目前机器人研究迅猛发展。在某次测试中，机器人A、B（均可视为质点）同时从原点沿相同方向做直线运动，它们的速度的平方（）随位移（）变化的图像如图所示。下列判断正确的是（　　） A．机器人A的加速度大小为4m/s² B．相遇前机器人A、B最大距离为12m C．经过，机器人A、B相遇 D．机器人A、B分别经过处的时间差是1s 【例9】（2025·青海海东·模拟预测）某新能源汽车配备了自动驾驶系统，该车在红绿灯启停、无保护左转、避让路口车辆、礼让行人、变道等情形下都能无干预自动驾驶。某次试验时，a、b两车（均可视为质点）从不同地点由静止开始沿同一直线运动的v-t图像如图所示，已知两车在运动过程中不会相遇，图线均为直线，关于两车在0~2t0时间内的运动，下列说法正确的是（　　） A．a车在前，b车在后 B．在2t0时刻两车间的距离最近 C．在t0时刻b车的速度大小为 D．出发时两车间的距离可能为 【例10】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向做直线运动，它们的v-t图像如图所示。下列判断正确的是（    ） A．乙车启动时，甲车在其前方100m处 B．乙车启动10s后正好追上甲车 C．运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75m D．乙车超过甲车后，两车会再相遇 精讲考点 1．追及和相遇问题的求解方法 (1)解题思路 ⇒⇒⇒ (2)解题技巧 ①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。 ②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。 ③若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解的讨论分析。 2．若为x－t图像，图像相交即代表两物体相遇。 3．若为v－t图像，利用图像与坐标轴围成的面积进行分析。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$