2.5.1直线和圆的位置关系【9个题型】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【2.5.1直线和圆的位置关系】 总览 题型梳理 【知识点总览】 1．点到直线的距离公式 【知识点的认识】 ﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为： 2．圆的切线方程 【知识点的认识】 圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线． 圆的切线方程的类型： （1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程 （2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程． 【命题方向】 本考点也是比较重要的一个知识点，但解题方法很死板，希望大家都能准确的掌握，确保不丢分． 3．过圆上一点的圆的切线方程 【知识点的认识】 ﹣切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和圆上的点（x1，y1），切线的方程为： 【解题方法点拨】 ﹣求切线方程： 1．代入点坐标：将圆上的点（x1，y1）代入切线方程公式． 2．简化方程：得到切线的方程形式． 4．过圆外一点的圆的切线方程 【知识点的认识】 ﹣外切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和外点（x0，y0），可以使用切线公式： 其中R是与圆外切的圆的半径． 【解题方法点拨】 ﹣求切线方程： 1．计算切点：找到外点到圆的距离，即切线半径． 2．应用公式：使用切线方程公式计算得到切线方程． 5．切点弦及所在直线的方程 【知识点的认识】 ﹣切点弦的方程：给定圆和切线的方程，可以找到切点弦的方程． 【解题方法点拨】 ﹣求弦方程： 1．计算切点：通过切线方程和圆的交点得到切点坐标． 2．求弦方程：根据切点和圆的几何性质计算弦的方程． 6．直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长 【知识点的认识】 ﹣弦长公式：给定直线方程和圆的方程，可以计算直线截得圆的弦长． 【解题方法点拨】 ﹣计算弦长： 1．求交点：计算直线和圆的交点． 2．弦长公式：用交点坐标计算弦的长度． 7．过圆内一点的弦及弦长的最值 【知识点的认识】 ﹣弦长的最值：给定圆和圆内点，可以通过优化方法求弦长的最大值和最小值． 【解题方法点拨】 ﹣最值计算： 1．利用几何性质：圆内点到圆的弦长最大为直径． 2．应用最值理论：通过几何分析或导数法计算弦长的最值． 8．根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系 【知识点的认识】 ﹣位置关系：直线与圆的位置关系取决于直线到圆心的距离与圆半径的比较： ﹣相交：距离小于半径 ﹣切线：距离等于半径 ﹣外离：距离大于半径 9．根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系 【知识点的认识】 ﹣解的情况：联立直线和圆的方程，解的个数和性质决定了直线与圆的位置关系： ﹣两个交点：相交 ﹣一个交点：切线 ﹣无交点：外离 10．由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数 【知识点的认识】 ﹣求方程或参数：根据直线与圆的位置关系，可以推导直线的方程或圆的方程的参数． 11．圆上的点到定点的距离及其最值 【知识点的认识】 ﹣最值问题：圆上的点到定点的距离范围是最小和最大值，分别是圆心到定点距离减去半径和加上半径． 12．圆上的点到直线的距离及其最值 【知识点的认识】 ﹣最值问题：圆上的点到直线的距离的最小值是圆心到直线的距离减去半径，最大值是圆心到直线的距离加上半径． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断直线和圆的位置关系】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【分析】根据直线过定点，且点在圆内，可得直线与圆相交，即可得解. 【详解】直线， 即， 令，解得， 即直线过点， 又， 则点在圆内， 所以直线与圆相交，有个公共点， 故选：C. 【例题2】（2025·浙江·模拟预测）已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先判断点在圆外的条件，然后判断直线与圆O相交的条件，最后对这两个条件进行对比，即可得到答案. 【详解】因为点在圆外，说明点与圆心距离大于半径， 即. 直线与圆O相交，说明圆心到直线的距离小于半径，即 ，化简得. 所以，但是后者不能推出前者. 也就是说，点在圆外，那么直线与圆O相交， 但是直线与圆O相交，点不一定在圆外. 所以“点在圆外”是“直线与圆O相交”的充分不必要条件. 故选：A. 【例题3】（2025·湖北恩施·模拟预测）直线，圆，则圆上的点到直线的距离等于的点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据圆心到直线的距离和半径之间的长度关系，可确定所求点的个数. 【详解】因为直线，圆， 所以，， 由于圆的半径为2，所以恰好有3个对应的点到直线的距离等于. 故选：D. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·浙江·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】首先确定圆心和半径，再应用点线距离公式求圆心与直线的距离，即可判断. 【详解】由，即圆心，半径， 所以到的距离， 所以直线与圆相交. 故选：B 【相似题2】多选题（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）能使圆：恰有四个点到直线：距离等于1，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【分析】首先根据圆的方程求出圆心坐标和半径大小，然后根据条件判断圆心到直线的距离条件，列出不等式，求出的取值范围，得出答案选项. 【详解】因为圆的方程为：， 所以圆心，半径. 若圆上恰有4个点到直线的距离为1，则 圆心到直线的距离等于. 即，解得. 显然0和1在该区间内. 故选：AB. 【相似题3】【多选】（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知圆：（），直线，则（    ） A．对任意满足条件的实数与，直线与圆始终相切 B．对任意满足条件的实数与，直线与圆有公共点 C．对任意实数，必存在满足条件的实数，使得直线与圆相切 D．对任意满足条件的实数，必存在实数，使得直线与圆相切 【答案】BD 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得圆心为，半径为，利用点到直线的距离公式，得到圆心到直线为，即可判断选项A和B，再利用直线和圆相切的条件，对C，取，即可判断，对于D，因为存在确定的角，使，即可求解. 【详解】因为圆：（）的标准方程为，圆心为，半径为， 又圆心到直线的距离为，其中， 因为，所以选项A错误，选项B正确， 若直线与圆相切，则有，得到，则， 对于选项C，当，显然不存在实数，使，所以选项C错误， 对于选项D，因为对任意满足条件的实数，总有确定的角，使， 则必然实数存在，使，所以选项D正确， 故选：BD. 【题型2：直线和圆的位置关系的基础最值题型】 例题精选 【例题1】（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断圆与直线的位置关系为相离，可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离， 所以直线与该圆相离， 所以的最小值为. 故选：A. 【例题2】（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】可知圆的圆心为原点，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值. 【详解】设点的坐标为，由圆的圆心坐标为，有， 由圆的几何性质可得， 又由， 所以当时，取得最小值． 故选：C. 【例题3】（2025·江苏苏州·三模）已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，，，为切点，当的最大值为时，的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】当时最小，最小，求出最小值即得的值. 【详解】 如图， 当的最大值为时，， 当时，最小时，最大. 由题得， 所以，则； 故选：A. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·云南西双版纳·期中）已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为 【答案】2 【分析】根据题意可得Q在以为圆心，1为半径的圆上，求的最小值，转化为求的最小值即可. 【详解】由题意，圆可化为, ∴圆C是以为圆心，半径的圆， ∵，点Q为线段中点， ∴， 即Q在以为圆心，1为半径的圆上， ∴求的最小值，转化为求的最小值， ∵圆心到直线距离， ∴， ∴， 故答案为：2. 【相似题2】（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知点M，N在直线上运动，且，点P在圆上，则的面积的最大值为 ． 【答案】15 【分析】设圆心C到直线的距离为d，P到直线l的距离为，当最大时，则，最后由三角形的面积公式即可求解. 【详解】设圆心C到直线的距离为d，P到直线l的距离为， 又圆心坐标为，所以， 又半径为，则当最大时，， 此时的面积也最大，最大值为． 故答案为：15. 【相似题3】（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值是，最小值为 (2)最小值，最大值． 【分析】（1）先把圆方程化为标准式，得到圆心和半径．设，它代表圆上点与原点连线斜率．利用圆心到直线距离小于等于半径，列出不等式求解，得出的范围，即的最值． （2）方法一：将圆方程用参数表示，令，，得到关于的式子，根据三角函数取值范围求最值． 方法二：设，与圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程．因为直线与圆有公共点，所以方程有解，通过判别式得出的范围，即的最值． 【详解】（1）    圆即为， 可得圆心为，半径为， 设，即， 则圆心到直线的距离，即， 平方得，解得：， 故的最大值是，最小值为， （2）方法1：圆即为， 令， 则， ∵，∴， ∴的最大值为，最小值为． 方法2：设，则， 化简整理得到， ，解得， 故的最小值，最大值． 【题型3：直线和圆的位置关系的中等最值题型】 例题精选 【例题1】（云南省2025届高三下学期5月新高考自主命题冲刺金卷数学试卷）在平面直角坐标系中，点是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据当直线与此圆相切时，的值最大，算出此时的，，，利用直角三角形的角的正切公式，算出最大正切值即可. 【详解】因为点是圆上的任意点， 当直线与此圆相切时，的值最大，又，， 则，则. 故选：C． 【例题2】（2025·河南许昌·模拟预测）已知点，，点P是圆上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出相应图形，可知当运动到与圆E相切时，取得最小值，分别求出，即可求解． 【详解】 如图，当与圆相切于点时，取得最小值，连接. 由题意得，，圆半径为，则， 所以，故. 过点E作x轴的垂线，垂足为N，则，所以， 所以，即的最小值为． 故选：B． 【例题3】多选题（2025·广西来宾·模拟预测）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为的中点，若，则的可能取值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】AD 【分析】不妨设，，根据图形关系求出点的轨迹方程，利用坐标法计算的取值范围. 【详解】如图，圆的方程为，由于圆的对称性，不妨设， 因，则，则， 因，则点的轨迹为以为直径的圆，且位于圆内部， 中点为，，则以为直径的圆方程为， 设，则，则， 又与的交点坐标为， 则，则， 故AD正确，BC错误. 故选：AD 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·上海·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据直线与圆相切时满足的关系，以及点到直线的距离公式，准确画出曲线方程所表示曲线形状解决问题. 【详解】曲线即, 如图所示，当即时，直线与曲线有两个公共点， 直线向左上移动，当直线与曲线相切时，有一个公共点， 原点到直线的距离为半径，即，解得， 所以，当有两个公共点时. 故答案为：. 【相似题2】（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有 条. 【答案】9 【分析】确定直线过定点，进而求得弦长最大、最小值，即可求解. 【详解】直线：可化为，由可得，即直线过定点， 因为，所以点在圆C内， 当点为直线被圆C截得的弦的中点时，弦长最短，点到圆心的距离， 所以直线被圆C截得的最短弦长为， 最长的弦为直径，长度为10， 所以弦长的取值范围是.又弦长为6，7，8，9的直线各两条，弦长为10的直线有一条， 又直线被圆C截得弦长为，不是整数， 所以截得的弦中长度为整数的直线共有9条. 故答案为：9 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）已知点P是直线l：上的动点，若对于圆O：上的任意两点A，B，都有，则点P横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由条件可得的范围，然后结合直线的方程，设出点的坐标，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】 如图，在直线上任选一点P，过P作圆O的切线PM，PN，切点分别为M，N， 连接OP，OM，ON， 则对于圆O：上的任意两点A，B，都有， 又，所以， 此时有，解得． 因为点P在直线l：上，所以设点P的坐标为， 由，得，解得或， 故点P横坐标的取值范围为． 故答案为： 【题型4：求圆的切线方程】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·上海·阶段练习）圆的过点的切线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】由点在圆上，所以过点的切线和(圆心) 垂直，求出斜率，用点斜式求出方程. 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径， 点在圆上,则， 则切线的斜率， 则切线的方程为,变形可得; 故答案为: 【例题2】（24-25高二上·天津·阶段练习）过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】或 【分析】分斜率存在与不存在进行讨论，当斜率不存在时，符合要求，当直线斜率存在时，设出斜率，借助点到直线的距离公式与切线性质计算即可得. 【详解】由题意可知，，故P在圆外， 则过点P做圆O的切线有两条， 由圆心到直线的距离为， 且点在直线上，故符合要求； 当切线的斜率存在时，设为， 设切线为，即， 则圆心到直线的距离， 解得，故切线方程为. 故答案为：或. 【例题3】（24-25高二上·重庆长寿·期末）在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为，已知圆是以以为直径的圆． (1)求圆的方程． (2)求以点为切点的圆的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以线段为直径的圆，圆心是线段中点，半径是线段长度的一半，分别求出在得到圆的方程； （2）根据圆心与切点的连线和切线垂直，利用斜率关系来求解斜率，再用点斜式可解. 【详解】（1）已知点，点，根据中点坐标公式，圆心的坐标为. 根据两点间距离公式，则直径长度为， 所以圆的半径. 所以圆的方程为. （2）根据斜率公式，圆心与切点连线的斜率. 因为圆心与切点的连线和切线垂直，若两条垂直直线的斜率都存在，则它们斜率之积为. 设切线的斜率为，则，即，解得. 已知切线过点，斜率为，根据直线的点斜式方程,则切线方程为， 整理得. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解； （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可； （3）由弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即，     半径，     所以圆的标准方程为. （2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件；     当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得，     此时切线的方程为：， 即，     综上所述：过的切线方程为或. （3）圆心到直线的距离为，     所以弦长. 【相似题2】（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知圆C的方程为：； (1)过点作圆的切线，求切线的方程. (2)已知圆C上有2个点到直线：的距离为1，求m的取值范围. 【答案】(1)或 (2)且 【分析】（1）先判断点和圆的位置关系，如果在圆外，分切线的斜率不存在和切线的斜率存在两种情况进行讨论； （2）先求临界位置，即分别求圆上有1个点到的距离为1，圆上有3个点到的距离为1时m的值，取中间范围即圆上有2个点到的距离为1. 【详解】（1）由题可知圆心， 因为， 所以P在圆外，过圆外一点作圆的切线有2条. ①当k存在时，设切线方程：，即. 则圆心C到的距离d＝， 此时切线： ②当k不存在时，过点的直线方程为， 圆心到直线的距离为2， 所以直线与圆相切， 此时切线方程： 综上：切线的方程为：或 （2）圆心到的距离 ， 当圆上有1个点到的距离为1，则 当圆上有3个点到的距离为1，则， 所以当圆上有2个点到的距离为1，则， 所以，即，， 的取值范围为且 【题型5：与切线长有关的问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·上海松江·阶段练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】圆的圆心为，结合等面积法可知，由此可知只需求的最小值即可，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】设圆的圆心为，半径为1， 由切线长定理可得， 又因为，，则，所以， 所以，则四边形面积为， 所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心到直线的距离， 所以，所以． 故答案为：. 【例题2】（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知直线与垂直，则 ；过上一动点向圆作切线，切点为，则 . 【答案】 2 4 【分析】由直线垂直的充要条件求出，再由圆的性质得当最小时，CP连线与直线垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得， 所以， 因为圆的圆心为，半径为， 由题意得当最小时，连线与直线垂直， 所以， 由勾股定理得， 所以的最小值为， 故答案为：；4. 【例题3】（24-25高三上·天津·阶段练习）已知圆 与直线 相交所得圆的弦长是 ，若过点 作圆 的切线，则切线长为 . 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再由弦，弦心距和半径的关系列方程可求出，然后求出圆心与间的距离，再利用勾股定理可求得结果. 【详解】由，得， 则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为圆与直线相交所得圆的弦长是， 所以，解得或（舍去）， 所以圆心为，半径为， 所以与间的距离为， 所以所求的切线长为， 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）若过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，且，则 ． 【答案】2或4 【分析】根据圆的切线性质可求出相关线段的长，利用，即可求出答案. 【详解】如图，记圆的圆心为与交于点，圆的半径为r， 由题意可得， ，所以， 即，解得或16，即或4， 经检验，都满足题意． 故答案为：2或4 【相似题2】（24-25高二下·上海·期中）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则 ． 【答案】/0.96 【分析】根据圆的切线的求解方法可求得切线斜率，利用直线夹角公式可求得，再结合同角三角函数关系可求得结果. 【详解】由得：，则圆心为，半径； 则过点作圆的切线，切线斜率必存在，可设切线方程为：，即， 圆心到切线的距离，解得：，， ，又，. 故答案为：. 【题型6：与切点弦有关的问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】①由点到直线的距离求出半径，写出圆的方程；②讨论斜率是否存在，当斜率不存在时切好相切求出切点，由圆切线的性质可知两切点连线与圆心和两切线交点连线垂直，从而求出切点直线的斜率，由点斜式写出直线方程. 【详解】①点到直线距离等于半径， ∴，∴圆的标准方程为 ②当斜率不存在时，切线：，与圆相切与点； 由圆的切线的性质可知，， ∴ ∴，即 故答案为：①② 【例题2】（24-25高二上·江苏南京·期中）已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 【答案】 【分析】先设，然后求出直线的方程，计算定点即可. 【详解】设,，易知 由平面向量数量积的几何意义可知， 所以有 所以点在直线上 故直线的方程为，过定点 故答案为： 【例题3】（2024高三·全国·专题练习）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据题设条件得到时，最小，从而得到的方程为，进而得到，即可求出结果. 【详解】由，得到，所以圆心，半径， 如图，， 所以四边形的面积， 所以当最小时，也最小，此时，， 故的方程为，即， 联立解得：，，即， 所以直线的方程为， 化简得：. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，的中点为Q，若点T的坐标为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用圆外一点引圆的切线对应切点弦直线方程的二级结论可确定直线过定点，结合垂径定理确定Q轨迹，数形结合计算即可. 【详解】圆心，半径， 设，则切点弦所在直线的方程为， 化简得：， 所以直线过定点， 如图，显然，所以点Q的轨迹是以为直径的圆， 其圆心为，， 因为，所以. 故答案为： 【相似题2】（2024·广东湛江·一模）已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据意义可设，求出直线的方程为，且恒过定点，所以点M到直线AB的距离的最大值为. 【详解】设，则满足； 易知圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径，如下图所示： 易知，所以，即，整理可得； 同理可得， 即是方程的两组解， 可得直线的方程为，联立，即； 令，可得，即时等式与无关， 所以直线恒过定点，可得； 又在圆内，当，且点为的延长线与圆的交点时，点到直线的距离最大； 最大值为； 故答案为： 【相似题3】（22-23高二下·贵州·阶段练习）已知圆，点A是直线上的一个动点，过点A作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为 ；直线过定点 . 【答案】 【分析】第一空，，结合圆的几何性质推出，即可知当垂直于直线时，d最小，即可求得答案；第二空，设，表示出以为直径的圆的方程，和圆的方程相减，可得直线的方程，分离参数，即可求得直线所过的定点坐标. 【详解】由题意过点A作圆的两条切线，切点分别为， 连接,则, 设，则, 故, 当垂直于直线时，d最小， 所以，所以； 由于点A是直线上的一个动点，设点， 线段的中点设为P，则，且， 所以以线段为直径为圆的方程为 ， 即， 将方程与作差可得， 即直线的方程为，可得， 由于,故， 因此，直线恒过定点， 故答案为：； 【题型7：最短弦长的问题】 例题精选 【例题1】（23-24高二上·重庆·期中）已知动直线：若直线与直线平行，则的值为 ；若动直线被圆所截，则截得的弦长最短为 ． 【答案】 【分析】根据直线平行分，时，计算求解参数，再应用几何法计算弦长即可求解. 【详解】当时，显然不符合题意， 当时，由两直线平行，得，解得或， 当时，两直线重合，不符合，所以． 由得，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 截得的弦长为， 当且仅当时，取等号． 故截得的弦长最短为． 故答案为：；. 【例题2】（24-25高二下·山西长治·阶段练习）已知直线和圆C：交于A、B两点，则的最小值为 【答案】4 【分析】求出直线过的定点并判断与圆的位置关系，再求出最短弦长. 【详解】直线恒过定点，圆圆心，半径 ，即点在圆内，当且仅当时，长最短， 所以. 故答案为：4 相似练习 【相似题1】（2025·辽宁沈阳·一模）已知直线被圆截得的最短弦长为，则 ． 【答案】 【分析】根据定点及两点间距离公式得出圆心到直线距离的最大值，进而结合圆的弦长公式，得到弦长，计算即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心，半径， 过定点 则圆心到直线的距离为， 可得截得弦长为， 弦长取得最小值时，. 故答案为：. 【相似题2】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据中点关系可得，即可由数量积的坐标运算得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，即可根据求解. 【详解】由于直线恒过定点，圆心， 设，则，故， 即，化简可得， 故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 由于在圆外，, 故，即， 故答案为：    【题型8：利用韦达定理解决直线和圆的相关问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知圆：和直线交于，两点，定点，若，则的值 ． 【答案】 【分析】设，根据，可得，联立方程，结合韦达定理即可求出参数. 【详解】由题知，设， 因为， 所以 ， 联立， 可得， 所以， 所以，. 故答案为： 【例题2】（24-25高二上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）1；（ⅱ）过定点. 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据已知条件代入求即可； （2）（i）由可得，且，根据三角形面积公式和基本不等式求最大值即可；（ⅱ）设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理和斜率公式代入求出与的关系进而可得定点. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 由已知可得：，解得：，，， 所以圆的标准方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，因为，所以， 从而直线经过圆心，是直角三角形，且， 设，，则， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以. （ⅱ）由已知得：直线的斜率必存在， 设直线的方程为，，， 由，消去得：， 当时，，，（※） 又， 即， 代入（※）得：， 即，解得：，或， 当时，此时直线的方程为，过定点（舍去）， 当时，此时直线的方程为，过定点， 故当，动弦过定点. 【例题3】（24-25高二上·广东韶关·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点.以原点为圆心的圆与线段都相切. (1)求圆的方程及的值； (2)若直线与圆相交于两点且，求的值； (3)在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)圆，， (2) (3)， 【分析】（1）因为、已知，所以通过到的距离求半径，即可得到圆的方程，再根据半径求点坐标，注意到点坐标的特殊性，这条直线是垂直于轴的． （2）将、点坐标设出来，数量积坐标化，将直线方程与圆的方程联立，韦达定理代入即可求解． （3）假设、的坐标，根据两点距离公式与建立等式，再根据A、P分别满足直线和圆的方程化简等式，最后根据等式恒成立的条件求解. 【详解】（1）因为， 因为圆与相切，所以半径等于到的距离． 又直线，所以圆的半径，所以圆． 圆与相切，又过点与圆相切的直线有或， 所以直线，所以．即， 所以直线， 又到的距离为，所以，解得或（舍）， 所以． （2）设，，则. 由，可得， ，解得. 所以，， 故. 所以，所以. 故. （3）设. 则，. 若在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点， 都有为常数, 等价于对圆上任意点恒成立. 即. 整理得. 因为点在直线上，所以. 由于在圆上，所以. 故对任意恒成立. 所以显然，所以. 故， 因为，解得或. 当时，，此时重合，舍去. 当时，， 综上，存在满足条件的定点，此时. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知满足圆的方程. (1)求的取值范围； (2)若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将问题化为直线与圆有公共点，应用点线距离公式求范围； （2）设坐标分别为，，联立直线与圆，应用判别式、韦达定理及求参数k范围. 【详解】（1）由，即， 设直线，即该直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离小于等于半径，即， 解得，则． （2）设的坐标分别为，， 将直线代入，整理，得， 则，，且，即， 当为锐角时， ，解得，又， 综上，可得的取值范围为． 【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知圆为坐标原点，过点作直线交圆于点，过点分别作圆的切线，两条切线相交于点． (1)若直线的斜率为1，求的值； (2)若两条切线与轴分别交于点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据弦长公式即可求解， （2）根据垂直满足的斜率关系，结合点斜式方程，可得，，即可得求解. 【详解】（1）直线l为，圆的半径，圆心到直线的距离，所以. （2）设直线l为, 联立与可得， 设,则， ，故的斜率为， 故直线的方程为， 令，， 同理可得， 则 . 当时，最小值为.此时直线l为，. 【相似题3】（24-25高二上·四川广安·期中）平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于P，Q两点，且P，Q不在y轴上, ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E，F两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线，相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】(1)； (2)①最大值为7；②点N在定直线上. 【分析】（1）设圆的标准方程，根据所过的点列方程求参数，即可得圆的方程； （2）①法一：设直线为，直线为，应用几何法求弦长，结合得到关于k的表达式，应用基本不等式求最值； 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，应用几何法得弦长关于、的表达式，结合、基本不等式求最值； ②设，，联立直线与圆得一元二次方程，应用韦达定理并结合直线的方程为，直线的方程为求点N坐标. 【详解】（1）设圆的方程为， 则，解得， 所以圆M的标准方程为； （2）①设直线为，即， 则圆心到直线距离，所以， 若，则直线斜率不存在，则，，则， 若，则直线为，即， 则圆心到直线距离，所以， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 综上所述，因为，所以S的最大值为7； 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，则，， 又直线与直线垂直，所以，， 当且仅当时取等，所以S的最大值为7；    ②设，，联立， 消y得，则，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得， 则， 所以，所以点N在定直线上. 【点睛】关键点点睛：第二问，一小问中利用圆弦长的几何求法及得到关于某个参数的表达式为关键 【题型9：直线和圆的位置关系实际应用】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【答案】(1)作图见解析 (2)不会有触礁危险，理由见解析 【分析】（1）根据方位角的概念直接在图中标出即可. （2）建立平面直角坐标系，求出航线的直线方程及圆的方程，利用判别式法判断直线与圆的位置关系，即可判断. 【详解】（1） （2）以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为， 轮船所在位置坐标为， 则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线的方程为即， 由，得， 由，可知方程组无解． 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 【例题2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险． 【分析】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【详解】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【答案】(1)游客不在该摄像头监控范围内 (2)观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米 【分析】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线方程，判断直线与圆的位置关系即可； （2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点的直线与圆相切时的直线方程即可. 【详解】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系 则，观景直道所在直线的方程为， 依题意得：游客所在点为， 则直线的方程为，化简得， 所以圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所以游客不在该摄像头监控范围内. （2）由图易知：过点的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡， 所以设直线过且恰与圆相切， ①若直线垂直于轴，则不可能与圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 设这两条直线与交于， 由，解得，由，解得， 所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米. 【相似题2】（24-25高二上·广西南宁·期中）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系. (1)试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离； (2)试求经过三点的圆的标准方程； (3)某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 【答案】(1)，， (2) (3)轮船会进入安全预警区，在安全预警区内会行驶小时 【分析】（1）根据实际意义可得坐标，利用两点间距离公式可得； （2）假设圆的一般方程，代入三点坐标可求得方程，进而整理得到标准方程； （3）根据直线与圆位置关系的判定可知直线与圆相交，由此得到轮船会进入该区域；根据垂径定理可得弦长，由此可求得行驶时长. 【详解】（1）由题意知：，，， ，，. （2）设经过三点的圆的方程为：， ，解得：， 所求圆的一般方程为：， 则经过三点的圆的标准方程为：. （3）由题意知：，则轮船航向所在直线方程为：，即， 由（2）知：经过三点的圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 直线与圆相交，即轮船会进入安全预警区； 设直线与圆的交点为，则， 则轮船在安全预警区内会行驶小时. 【课后强化练习】 一、单选题 1．（23-24高二下·贵州黔西·期中）若直线与圆相切，则b的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）直线被圆C：截得的弦长为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（24-25高二下·贵州黔南·期中）今年春晚中合唱节目《玉盘》至今令人印象深刻，银幕上的“月亮”元素惟妙惟肖，若将“月亮”的平面形象看作圆，当动点在圆C上运动时，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·吉林·模拟预测）已知圆，过点的直线与圆交于、两点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）关于下列命题，正确的是（   ） A．若点在圆外，则或 B．已知圆与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 C．已知圆与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 D．已知点是直线上一动点，PA、PB是圆的两条切线，A、B是切点，则四边形的面积的最小值为 7．（24-25高二下·云南·期中）已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·广西南宁·期中）若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（    ） A． B．2 C．4 D． 二、多选题 9．（24-25高二上·云南大理·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（   ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 10．（24-25高二下·广东惠州·期中）已知直线，则下列说法错误的是（    ） A．直线l的纵截距是1 B．点在直线l上，则 C．直线l与圆相切 D．直线l与直线间的距离为 三、填空题 11．（24-25高二下·湖北宜昌·期中）若圆与直线相交于点A，B，且，则k的值为 ． 12．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 13．（24-25高二下·福建福州·期中）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 14．（24-25高一下·浙江·期中）已知为坐标原点，圆在直线上运动，则的最小值为 . 15．（24-25高二下·上海宝山·期中）若直线 上有且仅有一点 ，使得 ，则直线 被圆 截得的弦长为 16．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是 ． 17．（24-25高三下·云南·期中）已知圆 ，在圆上至少存在三个点到直线 的距离为 ，则实数 的取值范围为 . 四、解答题 18．（23-24高二上·江苏镇江·开学考试）已知圆经过、两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程. 19．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，直线恒过定点． (1)求点的坐标； (2)若过的直线与圆交于，两点，且为正三角形，求直线的方程． 20．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知圆的圆心在直线上，且过点. (1)求圆的方程； (2)已知点是圆上的一点，求的取值范围； (3)已知直线与圆交于两点，求的最小值. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D D A C C B ABD AC 1．A 【分析】根据题意，利用直线与位置关系，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 因为直线与圆相切，则满足，解得. 故选：A. 2．D 【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆方程可知圆心坐标，半径为2， 圆心到直线的距离为：， 所以弦长为， 故选：D 3．D 【分析】设，则，则直线与圆有交点，所以圆心到直线的距离，解不等式即可. 【详解】设，则，因点在圆上运动，且在直线上， 则直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离，解得或， 故的取值范围是. 故选：D． 4．D 【分析】根据题意，设，，由向量关系可得，代入圆的方程即可得到，再由两点间距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设，，且， 由可得，即， 将代入圆方程可得， 即，化简可得， 将代入可得，解得， 则， 所以. 故选：D 5．A 【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积最小值. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离， ， 此时. 故选：A 6．C 【分析】对于A，由圆的一般方程可判断；求出到直线的距离，可判断B与C；求出圆心C到直线的距离，即可求出的最小值，从而四边形的面积的最小值可求. 【详解】对于A：若点在圆外， 所以或，故A错误； 对于B：圆心，所以圆心到直线的距离为， 当时，，所以， 即此时不存在使直线与圆相切，故B错误； 对于C：对于任意的，令， 所以，即对于任意的，总存在使直线与圆相切，故C正确； 对于D：圆心，半径，圆心到直线的距离为， 即的最小值，由，所以的最小值为， 四边形的面积最小值为，故D错误， 故选：C. 7．C 【分析】由圆的方程可得圆的半径，利用三角形面积计算，求得圆心到直线的距离，可得答案. 【详解】由圆可知圆心，半径， 由，解得， 则圆心到直线的距离为，则，解得. 故选：C． 8．B 【分析】由直线方程可得直线恒过定点，由圆的几何性质可得当时，周长最小，由此可求的值，即而得出圆心到直线的距离及弦长，求出面积即可. 【详解】由可得， 故圆心，半径， 直线的方程可化为， 所以直线恒过定点， 因为 所以点在圆内， 由圆的性质可得当时，最小，周长最小， 又， 所以，此时，即直线， 所以圆心到直线的距离， 所以， 所以， 故选：B 9．ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为，的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 【详解】对于A，若点在圆上，则，所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切，故A正确； 对于B，若点在圆内，则，所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，故B正确； 对于C，若点在圆外，则， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，故C不正确； 对于D，因为点在直线上，所以，圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切，D正确． 故选：ABD. 10．AC 【分析】令即可判断；将点代入直线方程即可判断；根据圆心到直线的距离与半径比较即可判断；根据平行线的距离公式即可判断. 【详解】因为直线，当时，，所以直线l的纵截距是，故错误； 因为点在直线l上，所以，故正确； 因为直线，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线l与圆不相切，故错误； 因为直线，即， 所以直线与直线平行， 所以两直线的距离为，故正确. 故选：. 11． 【分析】由圆的方程得出圆心与半径，根据已知及点到直线的距离公式列出方程求解即可． 【详解】由得，，圆心，半径， 所以，又， 所以圆心到直线的距离为，解得， 故答案为：． 12． 【分析】根据题给条件写出圆的圆心和方程，求得圆心到直线得距离，再根据圆截直线的弦长公式即可计算的值. 【详解】根据圆的方程可得圆心为，半径. 圆心到直线的距离， 圆截直线的弦长公式为，解得 因为，所以. 故答案为：. 13． 【分析】求出直线所过的定点并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质求出范围. 【详解】由直线l：，得直线l恒过定点， 由圆C：，得，圆心，半径为， 又，即点在圆内， 当直线l经过圆心时，， 当直线时，，则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14． 【分析】求出原点关于直线的对称点的坐标，可得出，进而可得出，再结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为，如下图所示： 设原点关于直线的对称点为， 而直线的斜率为，且线段的中点在直线上， 由题意可得，解得，即点， 由对称性可得， 所以，， 当且仅当三点共线，故取最小值. 故答案为：. 15． 【分析】先根据直线上有且仅有一点使得，得出圆心到直线的距离，再利用圆的弦长计算公式求出弦长. 【详解】因为直线上有且仅有一点，使得，这意味着直线与以原点为圆心，半径为的圆相切. 则原点到直线的距离为： 由于直线与以原点为圆心，半径为的圆相切，所以，即. 已知圆，其圆心为，半径. 由前面可知圆心到直线的距离. 根据圆的弦长计算公式，可得直线被圆截得的弦长为： . 故答案为：. 16． 【分析】画出图象，数形结合，求出直线与半圆恰好相切时的值，再求出临界值，即可得解. 【详解】由，则，且， 所以表示以为圆心，为半径的圆在及直线右侧部分， 直线是与平行的直线， 如图所示： 当直线与曲线相切时，则（正值舍去）， 当直线过点时，，结合图形分析得的取值范围是. 故答案为：. 17． 【分析】由题意，分析可得圆心到直线的距离小于等于，故可求参数的取值范围. 【详解】由题，当圆心到直线的距离为时，圆上恰好有三个点到直线的距离为， 则，所以． 故答案为：. 18．(1) (2)或 【分析】（1）设圆的标准式方程，代入计算，即可得到结果； （2）由向量数量积的定义可得，从而可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） 设圆的标准方程为，可知其圆心为， 由题意可得，解得， 所以圆的标准方程为. （2）由题意，过点的直线与圆相交于、两点， 且，则， 所以，所以， 所以圆心到直线的距离， 由题意直线的斜率存在，设直线为，即， 所以，化简得， 解得或，所以直线的方程为或. 19．(1) (2)或 【分析】（1）依题意可得，令，解得即可求出定点坐标； （2）首先得到圆心坐标与半径，依题意可得圆心到直线的距离，分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出，即可得解. 【详解】（1）直线， 即，令，解得， 所以直线恒过定点； （2）圆的圆心，半径， 因为为正三角形，所以圆心到直线的距离； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 此时直线的方程为，即； 综上可得直线的方程为或. 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）先设，再根据点在圆上得出距离相等，计算求参即可得出圆心及半径，最后得出圆的标准方程即可； （2）设，又点是圆上的一点，再应用直线和圆有公共点即圆心到直线距离小于等于半径即可求参； （3）根据直线恒过定点（1，2），且该点在圆内.设圆心到直线的距离为，根据，当最大时，最小，易知当直线与圆心和定点的连线垂直时最大，进而得到答案. 【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，可设， 又圆过点 所以解得，所以 所以圆的半径 所以圆的方程为 （2）设，又点是圆上的点， 所以直线与圆有公共点，所以 解得，即的取值范围是. （3）直线可以化为，则直线恒过定点（1，2） 且该点在圆内.设圆心到直线的距离为，又题意得 当最大时，最小，易知当直线与圆心和定点的连线垂直时最大， 此时， 则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【2.5.1直线和圆的位置关系】 总览 题型梳理 【知识点总览】 1．点到直线的距离公式 【知识点的认识】 ﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为： 2．圆的切线方程 【知识点的认识】 圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线． 圆的切线方程的类型： （1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程 （2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程． 【命题方向】 本考点也是比较重要的一个知识点，但解题方法很死板，希望大家都能准确的掌握，确保不丢分． 3．过圆上一点的圆的切线方程 【知识点的认识】 ﹣切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和圆上的点（x1，y1），切线的方程为： 【解题方法点拨】 ﹣求切线方程： 1．代入点坐标：将圆上的点（x1，y1）代入切线方程公式． 2．简化方程：得到切线的方程形式． 4．过圆外一点的圆的切线方程 【知识点的认识】 ﹣外切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和外点（x0，y0），可以使用切线公式： 其中R是与圆外切的圆的半径． 【解题方法点拨】 ﹣求切线方程： 1．计算切点：找到外点到圆的距离，即切线半径． 2．应用公式：使用切线方程公式计算得到切线方程． 5．切点弦及所在直线的方程 【知识点的认识】 ﹣切点弦的方程：给定圆和切线的方程，可以找到切点弦的方程． 【解题方法点拨】 ﹣求弦方程： 1．计算切点：通过切线方程和圆的交点得到切点坐标． 2．求弦方程：根据切点和圆的几何性质计算弦的方程． 6．直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长 【知识点的认识】 ﹣弦长公式：给定直线方程和圆的方程，可以计算直线截得圆的弦长． 【解题方法点拨】 ﹣计算弦长： 1．求交点：计算直线和圆的交点． 2．弦长公式：用交点坐标计算弦的长度． 7．过圆内一点的弦及弦长的最值 【知识点的认识】 ﹣弦长的最值：给定圆和圆内点，可以通过优化方法求弦长的最大值和最小值． 【解题方法点拨】 ﹣最值计算： 1．利用几何性质：圆内点到圆的弦长最大为直径． 2．应用最值理论：通过几何分析或导数法计算弦长的最值． 8．根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系 【知识点的认识】 ﹣位置关系：直线与圆的位置关系取决于直线到圆心的距离与圆半径的比较： ﹣相交：距离小于半径 ﹣切线：距离等于半径 ﹣外离：距离大于半径 9．根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系 【知识点的认识】 ﹣解的情况：联立直线和圆的方程，解的个数和性质决定了直线与圆的位置关系： ﹣两个交点：相交 ﹣一个交点：切线 ﹣无交点：外离 10．由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数 【知识点的认识】 ﹣求方程或参数：根据直线与圆的位置关系，可以推导直线的方程或圆的方程的参数． 11．圆上的点到定点的距离及其最值 【知识点的认识】 ﹣最值问题：圆上的点到定点的距离范围是最小和最大值，分别是圆心到定点距离减去半径和加上半径． 12．圆上的点到直线的距离及其最值 【知识点的认识】 ﹣最值问题：圆上的点到直线的距离的最小值是圆心到直线的距离减去半径，最大值是圆心到直线的距离加上半径． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断直线和圆的位置关系】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 【例题2】（2025·浙江·模拟预测）已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题3】（2025·湖北恩施·模拟预测）直线，圆，则圆上的点到直线的距离等于的点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·浙江·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【相似题2】多选题（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）能使圆：恰有四个点到直线：距离等于1，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C． D． 【相似题3】【多选】（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知圆：（），直线，则（    ） A．对任意满足条件的实数与，直线与圆始终相切 B．对任意满足条件的实数与，直线与圆有公共点 C．对任意实数，必存在满足条件的实数，使得直线与圆相切 D．对任意满足条件的实数，必存在实数，使得直线与圆相切 【题型2：直线和圆的位置关系的基础最值题型】 例题精选 【例题1】（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【例题3】（2025·江苏苏州·三模）已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，，，为切点，当的最大值为时，的值为（    ） A．1 B． C． D．2 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·云南西双版纳·期中）已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为 【相似题2】（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知点M，N在直线上运动，且，点P在圆上，则的面积的最大值为 ． 【相似题3】（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【题型3：直线和圆的位置关系的中等最值题型】 例题精选 【例题1】（云南省2025届高三下学期5月新高考自主命题冲刺金卷数学试卷）在平面直角坐标系中，点是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·河南许昌·模拟预测）已知点，，点P是圆上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例题3】多选题（2025·广西来宾·模拟预测）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为的中点，若，则的可能取值为（   ） A． B． C． D．1 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·上海·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是 . 【相似题2】（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有 条. 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）已知点P是直线l：上的动点，若对于圆O：上的任意两点A，B，都有，则点P横坐标的取值范围是 ． 【题型4：求圆的切线方程】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·上海·阶段练习）圆的过点的切线的一般式方程为 . 【例题2】（24-25高二上·天津·阶段练习）过点作圆的切线，则切线方程为 . 【例题3】（24-25高二上·重庆长寿·期末）在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为，已知圆是以以为直径的圆． (1)求圆的方程． (2)求以点为切点的圆的切线方程． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 【相似题2】（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知圆C的方程为：； (1)过点作圆的切线，求切线的方程. (2)已知圆C上有2个点到直线：的距离为1，求m的取值范围. 【题型5：与切线长有关的问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·上海松江·阶段练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ． 【例题2】（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知直线与垂直，则 ；过上一动点向圆作切线，切点为，则 . 【例题3】（24-25高三上·天津·阶段练习）已知圆 与直线 相交所得圆的弦长是 ，若过点 作圆 的切线，则切线长为 . 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）若过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，且，则 ． 【相似题2】（24-25高二下·上海·期中）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则 ． 【题型6：与切点弦有关的问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 【例题2】（24-25高二上·江苏南京·期中）已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 【例题3】（2024高三·全国·专题练习）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 . 相似练习 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，的中点为Q，若点T的坐标为，则的最小值为 . 【相似题2】（2024·广东湛江·一模）已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为 ． 【相似题3】（22-23高二下·贵州·阶段练习）已知圆，点A是直线上的一个动点，过点A作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为 ；直线过定点 . 【题型7：最短弦长的问题】 例题精选 【例题1】（23-24高二上·重庆·期中）已知动直线：若直线与直线平行，则的值为 ；若动直线被圆所截，则截得的弦长最短为 ． 【例题2】（24-25高二下·山西长治·阶段练习）已知直线和圆C：交于A、B两点，则的最小值为 相似练习 【相似题1】（2025·辽宁沈阳·一模）已知直线被圆截得的最短弦长为，则 ． 【相似题2】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的取值范围是 . 【题型8：利用韦达定理解决直线和圆的相关问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知圆：和直线交于，两点，定点，若，则的值 ． 【例题2】（24-25高二上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【例题3】（24-25高二上·广东韶关·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点.以原点为圆心的圆与线段都相切. (1)求圆的方程及的值； (2)若直线与圆相交于两点且，求的值； (3)在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知满足圆的方程. (1)求的取值范围； (2)若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求实数的取值范围. 【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知圆为坐标原点，过点作直线交圆于点，过点分别作圆的切线，两条切线相交于点． (1)若直线的斜率为1，求的值； (2)若两条切线与轴分别交于点，求的最小值． 【相似题3】（24-25高二上·四川广安·期中）平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于P，Q两点，且P，Q不在y轴上, ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E，F两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线，相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【题型9：直线和圆的位置关系实际应用】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【例题2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【相似题2】（24-25高二上·广西南宁·期中）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系. (1)试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离； (2)试求经过三点的圆的标准方程； (3)某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 【课后强化练习】 一、单选题 1．（23-24高二下·贵州黔西·期中）若直线与圆相切，则b的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）直线被圆C：截得的弦长为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（24-25高二下·贵州黔南·期中）今年春晚中合唱节目《玉盘》至今令人印象深刻，银幕上的“月亮”元素惟妙惟肖，若将“月亮”的平面形象看作圆，当动点在圆C上运动时，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·吉林·模拟预测）已知圆，过点的直线与圆交于、两点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）关于下列命题，正确的是（   ） A．若点在圆外，则或 B．已知圆与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 C．已知圆与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 D．已知点是直线上一动点，PA、PB是圆的两条切线，A、B是切点，则四边形的面积的最小值为 7．（24-25高二下·云南·期中）已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·广西南宁·期中）若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（    ） A． B．2 C．4 D． 二、多选题 9．（24-25高二上·云南大理·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（   ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 10．（24-25高二下·广东惠州·期中）已知直线，则下列说法错误的是（    ） A．直线l的纵截距是1 B．点在直线l上，则 C．直线l与圆相切 D．直线l与直线间的距离为 三、填空题 11．（24-25高二下·湖北宜昌·期中）若圆与直线相交于点A，B，且，则k的值为 ． 12．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 13．（24-25高二下·福建福州·期中）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 14．（24-25高一下·浙江·期中）已知为坐标原点，圆在直线上运动，则的最小值为 . 15．（24-25高二下·上海宝山·期中）若直线 上有且仅有一点 ，使得 ，则直线 被圆 截得的弦长为 16．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是 ． 17．（24-25高三下·云南·期中）已知圆 ，在圆上至少存在三个点到直线 的距离为 ，则实数 的取值范围为 . 四、解答题 18．（23-24高二上·江苏镇江·开学考试）已知圆经过、两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程. 19．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，直线恒过定点． (1)求点的坐标； (2)若过的直线与圆交于，两点，且为正三角形，求直线的方程． 20．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知圆的圆心在直线上，且过点. (1)求圆的方程； (2)已知点是圆上的一点，求的取值范围； (3)已知直线与圆交于两点，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$