2.3 用公式法求解一元二次方程 教学设计 -2024-2025学年北师大版数学九年级上册

教案 课题 用公式法求解一元二次方程（教学设计）-2024-2025学年北师大版数学九年级上册 授课日期 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过推导一元二次方程的求根公式，理解数学公式在解决实际问题中的普遍性和重要性，培养从数学角度观察和描述现实世界的能力。 （2）会用数学的思维思考现实世界：掌握公式法解一元二次方程的步骤，理解数学逻辑在问题解决中的应用，提升运用数学思维分析和解决问题的能力。 （3）会用数学的语言表达现实世界：熟练运用求根公式解决具体问题，能够用数学语言清晰表达解题过程和结果，增强数学表达和沟通能力。 教学重点 （1）理解并掌握一元二次方程求根公式的推导过程，能够通过配方法将其转化为一般形式，并熟练应用公式法求解方程。 （2）在真实情境中，运用公式法解决实际问题，培养数学建模能力和逻辑推理能力，提升数学核心素养。 教学难点 （1）一元二次方程求根公式的推导过程及其理解。 （2）公式法在解决一元二次方程中的应用与实践。 教法学法 讲授法、实验法 教具学具准备 （1）多媒体投影仪，用于展示一元二次方程的求根公式推导过程及例题解析，增强学生的直观理解。 （2）黑板及彩色粉笔，以便教师在课堂上进行板书，突出重点和难点，如求根公式的推导步骤和公式法的应用。 （3）《北师大版数学九年级上册》课本，确保学生能够跟随教学进度，特别是在复习引入和巩固练习环节。 教学内容设计 个性化调整 （二次备课） 一、复习引入 （老师）：同学们，上节课我们学习了如何用配方法解一元二次方程。大家还记得具体的步骤吗？今天，我们将通过两个具体的例子来温习一下这些步骤。 （学生活动） 请用配方法解下列方程： （老师点评） 对于方程 ： 首先，将常数项移到等号右边： 然后，将二次项系数化为 1： 接下来，配方使左边成为完全平方形式： 这样就能得到 最后，开平方并求得方程的解：，从而 和 。 （学生总结，老师点评） 同学们，用配方法解一元二次方程的步骤可以总结如下： 移动方程中的常数项到等式一边； 将二次项的系数变为 1； 在方程两边都加上一次项系数的一半的平方； 把左边写成完全平方式； 如果右边的结果是非负数，就可以直接进行开方操作以求解。 二、探索新知 （老师） 接下来，我们要探讨一种更普遍的情况 —— 当我们面对一个一般形式的一元二次方程 （其中 且 ）时，我们同样能够用配方法来推导出它的根。你们觉得应该怎样处理呢？ 问题 假设 并满足 ，请尝试推导该方程的两个根 和 。 分析 既然之前已经做了很多具体数字的例子，现在我们可以把 、 和 当作未知数，按照相同的思路去解决这个问题。 解 首先，根据配方法的步骤，从 开始，先移项： 再次让二次项系数变成 1： 接着添加一次项系数一半的平方至两边： 得到 由于题目条件给出了 ，因此可以直接开方： 化简得 ，即为我们所求的根。 由此可见，对于任意满足条件的一元二次方程，其根可以通过公式 来计算。 （老师） 通过上述推导可以得出一个重要结论：当给定一个一元二次方程 （这里 ），只要 成立，则该方程的根可以用公式 直接求得，这种方法称为 “公式法”。 例题 现在，请运用刚刚学到的知识来解答以下几个方程： 解释 在开始解题前，请确保每道题目都已经被转换成了标准的一元二次方程格式 ，这样才便于应用我们刚学的求根公式。 解 对于方程 ： 已知 ，此时 应用公式 因此，解为 ，。 方程 可重写为 ： 这里 ，进而 利用公式 解得 或 。 原始方程 扩展后为 ： 其中 并且 根据公式 结果是 或 。 最后看方程 ： 给定参数 ，于是 由判别式的值小于零可知，这个方程没有实数解。 （老师） 通过今天的课程，我们不仅巩固了配方法的基础，还进一步掌握了利用公式法解决问题的能力。希望大家能够熟练地将这两种技能应用于实际问题当中！ 课后作业布置 （1）根据一元二次方程的求根公式，解出以下方程的两个根，并比较与配方法得出的结果是否一致： 方程 1：2x - 4x - 1 = 0 方程 2：5x + 2 = 3x （2）探讨一元二次方程 ax + bx + c = 0 中，当 b - 4ac < 0 时，方程的根的情况，并举例说明。 学科网（北京）股份有限公司 $$