第47期 学业水平测评（二）-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册同步学案（北师大版2019）

高中数学北师大版选择性必修第二册第45~48期 数理括 答案详解 2024~2025学年高中数学北师大版选择性必修第二册第45~48期(2025年6月) 提示： 第45期2版 1.由题得f'(x)=-x2+2x+3, 专项小练一 令f"(x)>0,得-1<x<3,所以增区间为(-1,3). L.C:2.ABC:3.A.4.增：5.(-0,2). 故选(B) 6.解：易知函数∫(x)的定义域为(0，+∞) 2.∫'(x)=3x2+2ax+6,由函数∫(x)在R上存在极值， 由题可得f”(x)=↓-x=1- 则f'(x)有两个不等实数根， 当f'(x)>0,即0<x<1时，函数f(x)单调递增： 得4=4：2-72>0，解得a>32或a<-32, 当∫'(x)<0,即x>1时，函数∫(x)单调递减 又a为正整数，所以a的最小值为5. 所以函数∫(x)的单调递减区间为(1，+)，单调递增区 故选(B) 间为(0,1). 3由题得f'(x)=(2- 专项小练二 1.C;2.D;3.ACD.4.16;5.0. 令f'(x)>0,解得0<x<2, 6.解：由已知得f(x)=x3-x2+b, 令∫'(x)<0,解得x>2或x<0, 又f(0)==1,所以f(x)=x3-x2+1. 故∫(x)在[-1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，在 令f'(x)=3x2-2x=0. (2,3]上单调递减， 解得x=0或x=子 而/(0)=0<f(3)=2 当x变化时了'(x)∫(x)的变化情况如下表： 故∫(x)在[-1,3]上的最小值是0. -1.0】 0 3 故选(C). f(x 0 0 4.若函数f(x)=x-ax在区间(1,2)上单调递减， f(x) 极大值 极小值 则f'(x)=3x2-4≤0在区间(1,2)上恒成立， 由上表，得函数了()的极小值为()=器极大值为 即a≥3x2在区间(1,2)上恒成立. x∈(1,2)时，3x2∈(3,12)，所以a≥12 f(0)=1. 所以“a>12”是“a≥12”的充分不必要条件， 又f(-1)=-1f(1)=1, 即“a>12”是“函数f(x)=x2-ax在区间(1,2)上单调 所以函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值为-1，最大值为1. 递减”的充分不必要条件 第45期3,4版 故选(A). 用导数研究函数的性质， 5.不等式f(x)>x可化为f(x)-x>0, 导数的应用同步核心素养测评 设g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f'(x)-1>0, 一、单项选择题 所以函数g(x)在R上单调递增， 1~4 BBCA 5 ~8 CDAB 又g(1)=f(1)-1=0, 高中数学北师大版选择性必修第二册第45~48期 所以f(x)>x曰g(x)>0白g(x)>g(1), 二、多项选择题 所以x>1. 9.BD:10.BC:11.BD 故选(C). 提示： 6因为f)=字-9h 9.由图象可知，当x<-2时，∫'(x)>0: 当-2<x<3时f'(x)≤0， 该函数的定义域为(0，+：)， 从而∫(x)在(-，-2)上单调递增，在(-2,3)上单调 所以∫”(x)=x-9=-9 递减， 因为x>0,由f'(x)≤0可得0<x≤3， 故∫(x)有极大值点x=-2,故(A)(C)错误，(B)正确： 所以函数∫(x)的单调递减区间为(0,3]， 又由图象可知，∫(0)<0， 因为函数f(x)在区间[a-1,a+1]上单调递减， 从而f(x)的图象在x=0处的切线斜率小于零，故(D)正 则[a-1,a+1]≤(0,3]. 确。 所以-1>0， 故选(B)(D). 解得1<a≤2. a+1≤3. 10.f(x)的定义域为(0，+)， 故选(D). 由f(x)=xnx+x2 7.a≤1：+n对任意的xe[},2]恒成立。 得f'(x)=lnx+2x+1, 所以f'(xo)=ln+2x。+1=0, 即在片2上.(+n≥a 所以2x。=-(lnx。+1)>0, 即ln<-1,即lnx<lne, 令F()=+lnx, 所以0<<。故()错误(B)正确： f(x)+0=xln0+x后+知 在[2，止F(x)<0,在(1,2]上F()>0 =x(ln+x+1) 因此F(x)在x=1处取极小值，也是最小值， =x0(-2xn+x0) 即F(x)ia=F(1)=0. =-x后<0，故(C)正确，(D)错误 所以a≤0，即a的最大值为0. 故选(B)(C). 故选(A) L.由题可得g(x)=()-x e 8.由题意得f'(x)=2ax+e=0有两个不等实根x1, 当x>-1时f'(x)-f(x)>0,g(x）>0, 名<6，显然=0不是方程的根则a=一云 故g(x)在(-1，+∞)上单调递增： 即直线y=a与()=一云的图象有两个不同交点 当x<-1时f'(x)-f(x)<0,g'(x)<0, 故g(x)在(-，-1)上单调递减， 因为h'(x)=二e(x-1 故x=-1是函数g(x)的极小值点，故(A)错误，(B) 2x2 正确： 所以当x<1时，h'(x)>0,h(x)为增函数： 若g(-1)>0,则g(x)没有零点，故(C)错误： 当x>1时.h'(x)<0,h(x)为减函数， 由于g(x)在(-1，+∞）上单调递增， 即h()≤A(1)=-受， 则g2)<g(e),即21< e 所以a<-分，即a的取值范围是(-0，-受) 化简得ef(e)>ef(2),故(D)正确. 故选(B). 故选(B)(D). 高中数学北师大版选择性必修第二册第45~48期 三、填空题 所以f(x)=x”-ax-1+a≤0， 12.ln2+: (-号0 即x°-ax≤1-a. 16.解：(1)由函数f'(x)的图象可知， 14.(-,-1)U(3,+). 当x<0或x>2时， 提示： f'(x)>0: 2由/)=a+台得/'()=a-之 当0<x<2时f'(x)<0. 由题得f(0)=b=1f'(0)=a-b=0, 所以f(x)的单调递增区间是(-，0)，(2，+)， 所以a=b=1,则f(x)=x+ 单调递减区问是(0,2). (2)因为f'(x)=3ax2+2br+c, fm2)=h2+点=1n2+7 1 其图象经过点(0,0)，(1，-2)，(2,0)， c=0, 13.f"(x)=x2+3x, ,c=0 令∫'(x)=0,解得x=0或x=-3, 所以{3a+2b+c=-2,解得 b=-2, 令f'(x)>0,解得x>0或x<-3, 12a+46+c=0, 2 a= 3 令f'(x)<0,解得-3<x<0, 所以()=子-22 所以f(x)在(-，-3)和(0，+∞)上单调递增，在 (-3,0)上单调递减 由(1)可知f(x)在x=0处取得极大值，极大值为f(0)=0: 当x→-时f(x)→-， 在x=2处取得极小值，极小值为了2)。-号 当x→+时f(x)→+， 17.解：(1)因为∫(x)为奇函数，所以∫(-x)=-∫(x) 又由/(-3)=号+e0)=e 即-ar3-bx+c=-ax2-bx-c,得c=0. 要使f(x)有3个不同的零点， 因为f'(x)=3a2+b(a>0)的最小值为-12， 则c<0<号+6，解得-号<e<0 9 所以6=-12. 又直线x-6y-7=0的斜率为6， 所以实数©的取值范是(-号，0） 所以f'(1)=3a+b=-6. 14.y=-x2+2hx-(2b+3). 所以a=2,b=-12,c=0. 要使原函数在R上单调递减，应有y≤0恒成立， (2)由(1)知f(x)=2x3-12x 所以4=462-4(2b+3) f'(x)=62-12=6(x+2)(x-2),列表如下： =4(62-2b-3)≤0， -2 《-2,2 2《2.+ 所以-1≤b≤3，故要使该函数在R上不是单调减函数， (x】 0 、 0 + b的取值范围是(-，-1)U(3,+) f(x) 极大值 极小值 四、解答题 所以函数f(x)的单调增区间是(-.-2)和(2，+) 15,证明：设函数f(x)=x“-ax-1+a, 因为f(-1)=10f(2)=-82f(3)=18. 则f'(x)=ar--a=a(x-1-1) 所以∫(x)在[-1,3)上的最大值是∫(3)=18， 令f'(x)=0,得x=1. 最小值是(2)=-82 所以当x∈(0,1)时∫'(x)>0,函数f(x)单调递增： 18.(I)解：由f(x)=x+ae得∫'(x)=1+ae, 当x∈(1，+)时∫'(x)<0,函数f(x)单调递减 当a≥0时f'(x)>0,则函数f(x)在R上为增函数： 所以∫(x)=x-ax-1+a在区间(0，+)上的最大值 为f(1)=0. 当a<0时，由/()>0可得x<n(-） 高中数学北师大版选择性必修第二册 第45~48期 ()<0可得x>(-） 第46期 则函数f(x)在(-0，血(-。)）上为增函数， 导数及其应用核心素养综合测评 一、单项选择题 在((-)+0）上为诚函数 1~4 BACA 5~8 BDAA (2)证明：令F(x)=x2+(a+1)x-f'(x), 提示： 则F(x)=x2+(a+1)x-x(1+ae）=x(x+a-ae) 1.f'(x)=(2x-x2)e-+a, 令H(x)=x+a-ae,则H'(x)=1-ae, 由题可得f"(1)=1+a=2,解得a=L. 因为x<0,所以0<e<1. 故选(B). 又a≤l,所以1-ae≥1-e>0, 2.函数f(x)=cosx-ax定义域为R, 所以H(x)在(-0,0)上为增函数， 且f"(x)=-sinx-a, 则H(x)<H(0)=0,即x+a-ae<0, 依题意∫"(x)≤0恒成立， 由x<0可得F(x)=x(x+a-ae)>0, 即-sinx-a≤0恒成立， 所以x2+(a+1)x>f'(x): 即a≥-sinx恒成立， 19.(1)解：(x)=3”,定义域为R,则f{(x)=3·ln3是 又-1≤-sinx≤l,所以a≥l, 在R上的严格单调递增函数，则f(x)=3是“T函数”； 即实数a的取值范围是[1，+). f方(x)=x,定义域为R,则fi(x)=3x2不是在R上的严 故选(A). 格单调递增函数，则5(x)=x不是“T函数”. 3.由题意得对任意xeR,e2-x>log2a恒成立， (2)证明：由题可得g'(x)在(0，+)上严格单调递增， 设f(x)=e2-xf'(x)=e2-1, 设G(x)=g(x+1)-g(x), 令f'(x)=e2-1>0,解得x>-2. 则G(x)=g'(x+1)-g'(x)>0, 令∫'(x)=e2-1<0,解得x<-2, 故G(x)在(0，+∞)上单调递增， 则f(x)在(-，-2)上单调递减，在(-2，+)上单调 故G(a)<G(a+2), 递增， 即g(a+1)-g(a)<g(a+3)-g(4+2). 故f(x)≥f(-2)=3, (3)证明：由题可得F”(x)在R上严格单调递增， 所以log2a<3,解得0<a<8. Vx。eR,设G(x)=F(x)-F(xo)x, 故选(C). 则G(x)=F(x)-F"(), 4.当x=0时f(0)=-∫'(0)-f(0), 当xe(-,x）时，G'(x）<0,函数单调递减： 当x∈(，+）时，G(xo)>0,函数单调递增， 所以/0)=-f'0. 故G(x)≥G(o）, 又了()=3x-2'(0)x+"(0)e-1, 即F(x)≥F'(xo)x+F(xo)-F(x)xo, 当x<0时，F(x)<0恒成立， 则f'(0)=/'(0)-1,解得/(0)=-2. 则F'(x)x+F(x)-F'(x)xn<0恒成立， 故F(x)≥0， 由定文可知，m2/c-01。-2"0):4 Ar 若存在1∈R,使F()=0,则当x<1时，F(x)<F(I)=0, 故选(A) 这与HxeR,F"(x)≥0矛盾， 5.'(x)3 +4cos x sin x, 故不存在x。使F"(x)=0,故F(x)>0恒成立， f"(x)=-4sin x cosx, 故F(x)在R上严格增. 所以f"(x0)=-4sinx0+cos0=0, 高中数学北师大版选择性必修第二册第45~48期 因此f(x。)）=3xo, 当a=-2,b=1时f'(x)=3x2-4x+1, 即点M在直线y=3x上 3<x<1时f'(x)<0, 故选(B) x>1时f'(x)>0,即x=1是极小值点，不合题意： 6.由题图∫'(x)为奇函数，可知∫(x)为偶函数，故可排除 当a=-6,b=9时， (B).(C): f'(x）=3x2-12x+9 对于(A),当x一→0时， f'(x)=(e-e)x2+2(e+e)x>0, =3(x-1)(x-3), 与f(x)的图象不符，排除(A): 符合怒意，因此号=一子 对于(D),由f()=2+2s 故选(A) 二、多项选择题 有f"(x）=2x-2sinx 9.ACD:10.BD:11.BCD. 令f"(x)=0,得2=in, 提示： 9.f(1)=g(1)=0,故(A)正确： 作出函数y=2,y=sinx的图象（图略）可知， f'(1)=2,g(1)=1,故(B)错误： 3e（受）使得。=im, f'()=2x后Rg)=士e(0,+ 当xe(0,o)时f'(x)<0: 存在")=g(合) 当e(x,+)时f'(x)>0,与f'(x)的图象相符， 故曲线f(x)=x2-1与曲线g(x)-lnx存在互相平行的 (D)正确 切线，故(C)正确： 故选(D). 7因为f(x)=lnx+3-x- 2(a0)， 令()=)-8.则F()=2x- 所以函数f(x)定义域为(0，+∞)， 放)在(0，号) 上单调递减， r)=是是+ 在（停，+✉）上单调道增。 由题意得方程f'(x)=0,即ax2-3x+1=0有两个不相 等的正根，设为无，为， 面r()=-+h2<0, 4=9-4a>0. F(日）>0.e)=e-2>0. 则+：子>0解得0<a<号 故F(x)有两个零点， x·5=>0, 即曲线∫(x)=x2-1与曲线g(x)=lnx有两个交点，故 (D)正确. 甲a的取值范围为(0，？)） 故选(A)(C)(D) 故选(A) 10.由题可知∫(x)-logx为定值， 8.由已知f'(x)=3x2+2ax+b, 令t=f(x)-1ogx(x>0), f'(1)=3+2a+b=0, 则f(x)=log2x+1, 所以 /(1)=1+a+b-a2-7a=10, 又f()=3, 解得-2,0-6， 所以l0g21+【=3, 或 b=1 6=9, 解得1=2，则f(x)=1ogx+2, 5 高中数学北师大版选择性必修第二册第45~48期 所以了()=2故()错误.（®）正确： 故选(B)(C)(D). 三，填空题 因为f(x)-∫'(x)=2, 12.(0,3):13.(0,1)；1 所以1ogx+2-2=2,g影-n2=0 提示： 令国=®2c>0, 12.函数f(x)的定义域为(0，+0)， 易知g(x)在(0，+)上为增函数， f'()=x-2-3=-2g-3-(x-3)(x+1) 因为g1)=1og,1-n2<0, 由f'(x)=0得x=3,由f'(x)<0得0<x<3, 1 所以∫(x)在区间(0,3)上单调递减. g(2）=log2-21n2=1-n4>0, 13.函数y=ln(x+b)的导数为y= 所以函数g(x)的零点在区间(L,2)内， x+6 即方程(x)-∫'(x)=2的解所在的区间是(1,2)，故(C) 由，十6=1得=1-6，切点为1-6,0 错误，(D)正确. 代入y=x-a,得a+b=1,因为a,b为正实数， 故选(B)(D) 11由题意，构造函数g(x)=）+1,则 所以ae0)则。-是 g(x)='()-2f(x)+1 令go0亡则go)>0 e3 由2f(x)<f'(x)-2可知g'(x)>0, 则西数go)为增函数，所以千6e(0.. 所以g()=）+L在R上单调递增， 14.存在x1,2∈[-2,0]，使得∫()≤g(x）成立， e 等价于f(x)m≤g(x)m, 且g1)=D+1=1, e2 f'(x)=e+xe=(1+x)e, 故g(0)<g(1)=1, 当x<-1时f'(x)<0∫(x)单调递减， 即f(0)+1<1f(0)<0,故(A)错误： 当x>-1时，∫'(x)>0J(x)单调递增， 由g(2)>g(1)=1可得f(2)>e-1,故(B)正确： 所以当x=-1时f(x)取得最小值. 当x>1,g(x)>g(1)=1, f=-)=- 所以+1>1f(x)>0. 当x=-1时，g(x)取得最大值为 所以f(x)<2f(x)<∫'(x)-2, g(x）mm=g(-1)=a, f'(x)-2-f(x)>0, 所以-。≤a,即实数a的取值范围是[-。，+云）月 令h(x)=f)+2,x>1, 四，解答题 15.解：(1)f'(x)=3x2+2ax+b, 则r(x)=()-2->0, e 由题可得")=3+2a+6=8, 所以h(x)单调递增，h(221)>h(220), f(1)=a+b+3=8-2, 即(221)+2>，(220)+2 解得a=2,b=1. (2)由(1)知f(x)=x2+2x2+x+2, 即f(221)-ef(220)>2(e-1),故(C)正确： f'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1), 由g(221)>g(220)可得 f(221)-c2f(220)>c2-1,故(D)正确. 令f(x)=0.解得x=-写或x三-1， 6 高中数学北师大版选择性必修第二册第45~48期 所以在(-，-1)上f'(x)>0f(x)单调递增， 率为 在(-1，-号）上f(x)<0f(x)单调递减。 4-4x号 4 8 =∫'()=需+7++(G+1 在(-行+x）上"()>0()单调递增。 令1+0<1≤1， 所以f(x)大临=f(-1)=2, 则k=0-4=8-)广宁 f)维=(）=器 当1=子时，k=-子，当1=1时6m=4 16.解：令g(x)=(x2-4x+ =6e 所以曲线∫(x)上任意一点切线的斜举的取值范围为 I)ef(x)有三个零点即g(x)与 3 y=a的图象有三个交点，g'(x)= =g(】 [小 e(x2-2x-3)=e'(x-3)(x+1), 当x>3或x<-1时，g'(x)>=-2e (2)由f'()=4-之 (x2+1)2 ≥0，得-1≤x≤1， 0.当-1<x<3时，g'(x)<0, 所以f(x)在[-1,1]上是增函数， 所以g(x)在(-，-1)和(3，+∞)上单调递增，在 又f(x)在(2m-1,m)上单调递增， (-1,3)上单涮递减， m≤1， g(x)的极大值为g(-1)=6e,极小值为g(3)=-2e, 所以{2m-1≥-1，解得0≤m<1. 当x<-1时，g(x)=(x2-4x+1)e>0, 2m-1<m, 当x→+x时，g(x）→+0， 19.(1)解：由题可得f(x)的定义域为(0，+x）, 结合图象，g(x)与y=a有三个交点，即0<a<6e f'()=2x+a-L =2x+a-1 故实数a的取值范围是(0，） 令h(x）=2x2+x-1, 17.解：由题可得∫'(x)=6x2-2ax, 则有 1)50解得a≤-子 lh(2)≤0， 令f"()=0,解得x=0或x=号， 所以实数a的取值范围为(-”，-子] 当x<号或>0时'(x)>0 (2)解：假设存在实数a,使函数g(x)=ar-lnx(xe(0, 当号<x<0时f"(x)<0, e])的最小值是3，令g(x)=4-上=ar-1 所以当x=号时()取得极大值，且/（号）=-易 ①当a≤0时，g(x)在(0，e]上单调递减， g(x)m=g(e）=ae-1=3, 又f(x)=2x-a=-27 解得a=（合去： 即(-号)(2+号）=0， ②当0<是<e时，g()在(0，日)上单调递减，在 解得x=号或￥=-合， (行e]上单调递增，所以()咖=（日）=1+血a=3, 因为)在（受“号） 上有最大值， a=e2,满足条件： 所以号<“告≤- ③当≥e时，g(x)在(0，心】上单调递减， g(x)m=g(e）=ae-1=3, 解得a≤-4，所以a的取值范围是(-，-4]. 18.解：(1)曲线f(x)在任意一点P(f(xo))的切线斜 解得a=（合去)。 7 高中数学北师大版选择性必修第二册第45~48期 综上，存在实数a=e2,使得当xe(0,e]时，函数g(x)的 所以实数a的值为 最小值是3. 故选(A). (3)证明：令F(x)=e2x-lnx,由(2)知，F(x)m=3. 5.函数f(x)=lnx+2x2+br+1的定义域为(0，+∞)， 令e()=+则p()=1-n 2 求导得/"()=士+4红+6， 当0<x≤e时，p'(x)≥0，p(x)在(0，e]上单调递增， 依题意，Hx>0f'(x)>0, 所以e(=(o)=+<+=3 e 面时++6≥2√空板+6=4+6， 所以-h>+号 当且仅当=4，即x=子时取等号， 即e-各>+1hx 因此4+b>0,解得b>-4. 所以实数b的取值范围为(-4，+0). 第47期3,4版 故选(C) 学业水平测评（二） 6.设等差数列1b1的公差为d,d≠0， 一、单项选择题 则s=n+nn,1d, 2 1-4 BCDA 5~8 CBAD 提示： +a少 1.因为a1ao=a3as=9, 2n+2n(2-4 2 所以log3a1+log3ao=log3(a1ao）=log9=2. 8,温=曲品=为常 2+(n-1)d 故选(B). 则(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0, 2.x=1是函数∫(x)的一个极大值点，不一定是函数的零 因为对任意正整数n上式均成立， 点，所以(A)不正确： f(-3)是函数f(x)的一个极小值，不一定是函数f(x)的 4k-1=0, 所以 所以 k三4 最小值，所以(B)错误： (2k-1)(2-d)=0. ld=2, 函数∫(x)在(1,3)上单调递减，所以(C)正确： 则bn=1+2(n-1)=2n-1. x=3为函数f(x)的一个极小值点，所以(D)错误， 故选(B) 故选(C). 7设等差数列a,的公差为d3.=2+(口，-号加， 3由条件知a,be依次成公比为的等比数列，三者之和 √+(a 为50升，即c+2e+4c=50,解得c= 50 7 因为1√S。I是等差数列，则√S是关于n的一次函数， 故选(D). 4由题可得了"()=寸g()=, 则-号=0v√ 则r()=g()小 所以，S的公差为，√层。 即宁·（付）之=是解得a=子 所以√号=d,解得d=0(舍去)或d= 4 13 所以a,- 4“=2+4= 经检验，当a= 子时g(x)=nx,满足题意。 故选(A). 高中数学北师大版选择性必修第二册第45~48期 8.设g(x)=e(2x-1),y=ar-a, 则a1-a=a,(1-g2)>0. 由题意知存在唯一的整数x,使得g(,）在直线y=ax-a 4-4=a,9(1-g)2<0, 的下方， 所以a1>a3,a:<a4 因为g'(x)=e(2x-1)+2e=e(2x+1) 故选(A)(C). 阴以当x<-时g()<0,当x>-时g)>0, 1山.令g(x)=国=lnx,在(0，+x)上是增函数， 所以当x=-子时，8()取最小值-2e, 所以当0<1<x时，g(x）<(), 当x=0时，g(0)=-1,当x=1时，g(1)=e>0, 所以<，即)<( 直线y=ax-a恒过定点(1,0)且斜率为a, 故(A)正确； 故-a>g(0)=-1且g(-1)=-3e≥-a-a, 令h(x）=f(x)+x=xnx+x, 解得品≤a<1 h'(x)=Inx+2, 当x∈(e2,+）时，g'(x)>0,g(x)单周递增： 故选(D). 当xe(0,e2)时，g'(x)<0,g(x)单调递减. 二、多项选择题 所以+∫(x)与书+∫(：)无法比较大小 9.AD;10.AC;11.AD. 故(B)错误： 提示： 要使(C)成立，则(x)-f(x)>0, 9.若k=0,则数列1a,{是常数列，所以分母为0，因此k不 即f(x)>f(x2)恒成立， 可能为0，故(A)正确： 当等差数列是常数列时，分母等于0，不成立，故(B)错误： 即∫(x)单调递减，即f'(x)<0恒成立， 显然f'(x)=Inx+1<0不恒成立，故(C)错误： 当等比数列是常数列时，分母等于0，不成立，故(C)错误： 因为nx>-1,所以f'(x）=nx+1>0恒成立， 因为a。=a·b"+c(a≠0，b0,1). 所以…b2+c-(a·6+c 即f(x)单调递增， a·6+c-(a·b+c) 所以(-x)[f(x)-f(x)]>0, =4·b2-a·6 即xf(,)+f(x2）>xf(2)+xf(x), 4·61-a·60 又因为(A)正确， =:B==b,为常数。 a·b"(b-1) 所以xf(x,）+xf(x2)>2xf(x1),故(D)正确 是等差比数列，故(D)正确。 故选(A)(D). 故选(A)(D) 三，填空题 10.由S=53- 1221.140:142e 则显然等比数列{a,}的公比9≠1， 提示： 则有a,g2=-1 12由题可得/'()=f'(号）sx+i血x, a(1-g)' 1-q 所以'（号）=f'(号）as号+i血骨 1 即a0=1+9+ 即93(1+q9+g)=-1,易知g<0. =(得)+ 当g≤-1时，9≤-1,1+q+g2≥1， 解得（号）=5. 因为a1>1,则aig(1+q+g2)=-1不可能成立， 所以-1<g<0, 所以f(x)=5sinx-cosx=2sin(x-石) 高中数学北师大版选择性必修第二册第45~48期 所以f(x)的最大值为2. s.=m,+n",4=-n+9n, 2 13.设第n天选择A餐厅就餐的学生比例为a。,由题意得， 则易得当n=4或n=5时，5最大， ==+1-am≥2 即数列{0，【的前4项或前5项之和最大， 所以a.-+(n≥2). 最大值为-42+9×4=20. 故a-号=--号)水a≥2 16.(1)证明：由已知S“,2成等差数列， 所以{口，一号}是以品为首项，一为公比的等比数列。 即24=8+分 所以a-号=(） 当a=1时，24=8+之，所拟4，= 当n≥2时S=2a-2,5.=2a4-2 两式相减得a。=2a.-1(n≥2)，又a。≠0， 经过一个学期（约150天）后，估计该学校到A厅就餐的学 生人数为3500×0=350×号=1400（人）. 所以8=2(m≥2)， 14.依题意∫"(x)=x+2a,g(x)=3 因此数列。，是以号为首项，以2为公比的等比数列 (2)解：由(1)可得a.=2-2, 因为两曲线y=∫(x),y=g(x)有公共点，设切点为 所以bn=log2a。+3=n+1, P(xa),所以 1 1 、1 f()=86e7+25=3wn6+6, 6.0m+m+2）1+7中2 所以T。=b,+b2+…+bn V)=gea+山=6=a或5- =(分-号（兮-+(+2） 因为x。>0,a>0,所以x。=a, 1 1 因此6=7+2a-3ln6=-3 haa>0, 2“n+2=2(n+2) 构造函数)=-3nln1>0) 17.(D解：当a=3时(x)=了-3x-3x-3, f'(x)=x2-6x-3. 由h'(t)=2(1-3ln),当0<1<e时，h'()>0,即 h(t)单调递增：当t>e寸时，h'(t)<0,即h(t)单调递减， 令f‘(x)=0,解得x=3-25或x=3+25. 所以6()=Ae)=, 当xe(-,3-23)U(3+25,+)时f'(x)>0: 当x∈(3-23,3+23)时f'(x)<0. 即实数b的最大值为了， 故f(x)在(-，3-25)，(3+23，+)单调递增，在 四解答题 (3-23,3+23)单调递减。 15.解：(1)设等差数列1a,}的公差为d, (2)证明：由于x2+x+1>0, 则由S=S。得a4+a+a6=0, x 即a1+3d+a1+4d+a1+5d=0, 所以f()=0等价于++30=0 又a1=8,解得d=-2, 设g(0=F++3加. 则数列{a!的通项公式为 a。=a+(n-1)d=-2n+10. 则g)=+2+3》≥0. (x2+x+1)2 (2)由(1)得数列{a.|的前n项和 仅当x=0时，g'(x）=0, 10书书书 １７． （１５ 分 ） 已 知 函 数 ｆ （ｘ） ＝ １３ ｘ ３ － ａ （ｘ ２ ＋ ｘ ＋ １ ）． （１ ） 若 ａ ＝ ３ ，求 ｆ （ｘ） 的 单 调 区 间 ； （２ ） 求 证 ：ｆ （ｘ） 只 有 一 个 零 点 ． １８． （１７ 分 ） 已 知 首 项 都 是 １ 的 数 列 ｛ａ ｎ ｝ ，｛ｂ ｎ ｝ （ｂ ｎ ≠ ０ ，ｎ ∈ Ｎ ＋ ） 满 足 ｂ ｎ＋１ ＝ ａ ｎ＋１ ｂ ｎ ａ ｎ ＋ ３ｂ ｎ ． （１ ） 令 ｃ ｎ ＝ ａ ｎ ｂ ｎ ，求 数 列 ｛ｃ ｎ ｝ 的 通 项 公 式 ； （２ ） 若 数 列 ｛ｂ ｎ ｝ 为 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ，且 ｂ ２３ ＝ ４ｂ ２ · ｂ ６ ， 求 数 列 ｛ａ ｎ ｝ 的 前 ｎ 项 和 Ｓ ｎ ． １９． （１７ 分 ） 已 知 函 数 ｆ（ｘ） ＝ ａｘ ３ － ｘ ２ ＋ ｂｘ（ａ ，ｂ∈ Ｒ ） ，ｆ′（ｘ） 为 其 导 函 数 ，且 ｘ ＝ ３ 时 ，ｆ （ｘ） 有 极 小 值 － ９． （１ ） 求 ｆ （ｘ） 的 单 调 递 减 区 间 ； （２ ） 若 不 等 式 ｆ′（ｘ） ＞ ｋ（ｘｌｎ ｘ － １ ） － ６ｘ － ４ （ｋ 为 正 整 数 ） 对 任 意 正 实 数 ｘ 恒 成 立 ， 求 ｋ 的 最 大 值 ． （ 参 考 数 据 ：ｌｎ ７ ≈ １．９５ ，ｌｎ ８ ≈ ２０８ ） ! " # $ % & ' ()*+,-./0123456789:!"#$%& ()*+;-./01234<6789:!"#$%& 书 例１请您设计一个帐 篷，它下部的形状是高为 １ｍ的正六棱柱，上部的形 状是侧棱长为３ｍ的正六棱 锥（如右图所示）．试问当帐 篷的顶点Ｏ到底面中心Ｏ１的距离为多少时，帐 篷的体积最大？ 解析：设ＯＯ１为ｘｍ，则１＜ｘ＜４． 由题设可得正六棱锥底面边长为 ３２－（ｘ－１）槡 ２ ＝ ８＋２ｘ－ｘ槡 ２． 于是帐篷的体积为 Ｖ＝６×槡３４（ ８＋２ｘ－ｘ槡 ２）２［ １ ３（ｘ－１）＋１］ ＝槡３２（１６＋１２ｘ－ｘ ３）． 则Ｖ′（ｘ）＝槡３２（１２－３ｘ ２）． 令Ｖ′（ｘ）＝０，解得ｘ＝－２（舍去）或ｘ＝２． 当１＜ｘ＜２时，Ｖ′（ｘ）＞０，Ｖ（ｘ）为增函数； 当２＜ｘ＜４时，Ｖ′（ｘ）＜０，Ｖ（ｘ）为减函数． 所以当ｘ＝２时，Ｖ（ｘ）最大． 故当ＯＯ１为２ｍ时，帐篷的体积最大， 最大体积为 槡１６３ｍ ３． 例２某市要在半径为 Ｒ的圆形花园中心 竖建一高杆顶灯，若地面各点的亮度与光线 与地面所成角的正弦值成正比，与该点到灯 距离的平方成反比，问高杆顶灯的灯柱设计 多高时，沿花园周边小路上的亮度最大？ 解析：设高杆顶灯的柱高为 ｘ（即灯到地面 的距离为ｘ），光线与地面所成的角为α， 依题意，花园周边小路上的亮度为 ｙ＝ｋ· ｓｉｎα ｘ２＋Ｒ２ （ｋ为正常数），又ｓｉｎα＝ ｘ ｘ２＋Ｒ槡 ２ ， 所以ｙ＝ｋｘ·（ｘ２＋Ｒ２）－ ３ ２（ｘ＞０）． 所以 [ｙ′＝ｋ（ｘ２＋Ｒ２）－３２＋ｘ· －( )３２·（ｘ２ ＋Ｒ２）－ ５ ２·２ ]ｘ ＝ｋ［（ｘ２＋Ｒ２）－５２·（Ｒ２－２ｘ２）］ ＝ｋ（ｘ２＋Ｒ２）－ ５ ２·（Ｒ＋槡２ｘ）（Ｒ－槡２ｘ）． 由ｘ＞０，所以ｋ（ｘ２＋Ｒ２）－ ５ ２·（Ｒ＋槡２ｘ）＞０． 所以当ｘ∈ ０，槡２２( )Ｒ时，ｙ′＞０， 当ｘ∈ 槡２ ２Ｒ，＋( )∞ 时，ｙ′＜０． 所以当且仅当ｘ＝槡２２Ｒ时，ｙ取得最大值． 综上可知，在灯型一定的情况下，该花园中心 的灯柱设计为槡 ２ ２Ｒ时，周边小路上的亮度最大． 例３甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙 方生产需要占用甲方的资源，因此甲方有权向 乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收 入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润 ｘ（元）与年产量ｔ（吨）满足函数关系ｘ＝２０００ 槡ｔ，若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方ｓ元（以 下称ｓ为赔付价格）． （１）将乙方的年利润ｗ（元）表示为年产量 ｔ（吨）的函数；并求出乙方获得最大利润的年产量； （２）甲方每年受乙方生产影响的经济损失 金额ｙ＝０．００２ｔ２（元），在乙方按照获得最大利 润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得 最大净收入，应向乙方要求赔付价格ｓ是多少？ 解析：（１）由题意得： ｗ＝２０００槡ｔ－ｓｔ＝－ｓ槡ｔ－ １０３( )ｓ ２ ＋１０ ６ ｓ（ｔ＞０）． 当槡ｔ＝ １０３ ｓ，即ｔ＝ １０６ ｓ２ （吨）时，ｗ取得最大 值为 １０６ ｓ（元）．所以乙方获得最大利润的年产量 为ｔ＝１０ ６ ｓ２ 吨． （２）设乙方按照获得最大利润的产量进行 生产的前提下，甲方在索赔中获得最大净收入 为ｖ元，则ｖ＝ｓｔ－０．００２ｔ２ ＝１０ ６ ｓ－ ２×１０９ ｓ４ ． 所以ｖ′＝－１０ ６ ｓ２ ＋８×１０ ９ ｓ５ ＝１０ ６ ｓ５ （２０３－ｓ３）． 令ｖ′＝０，得ｓ＝２０． 当ｓ＞２０时，ｖ′＜０，所以ｖ在（２０，＋∞）上单 调递减， 当ｓ＜２０时，ｖ′＞０，所以ｖ在（０，２０）上单 调递增． 所以ｓ＝２０时 ｖ取得极大值，也就是最大 值，所以在乙方按照获得最大利润的产量进行 生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收 入，应向乙方要求的赔付价格ｓ是２０元 ／吨． 书 一、函数思想 例１已知等差数列｛ａｎ｝中，首项ａ１＞０，且Ｓ３ ＝Ｓ１０．问此数列前几项和最大？最大值是多少？ 解：由Ｓ３ ＝Ｓ１０， 得 ３（ａ１＋ａ１＋２ｄ） ２ ＝ １０（ａ１＋ａ１＋９ｄ） ２ ， 所以ｄ＝－１６ａ１， 所以Ｓｎ＝ｎａ１＋ １ ２ｎ（ｎ－１）ｄ＝ｎａ１＋ １ ２ｎ（ｎ －１） －１６ａ( )１ ＝－ １ １２ａ１ ｎ－ １３( )２ ２ ＋１６９４８ａ１． 所以当ｎ＝６或ｎ＝７时，Ｓ６＝Ｓ７＝ ７ ２ａ１为 最大值． 二、方程思想 例２已知等差数列的前ｎ项和为Ｓｎ，且Ｓ１２ ＝８４，Ｓ２０ ＝４６０，求Ｓ２８． 解：由已知条件得： １２ａ１＋ １２（１２－１） ２ ｄ＝８４， ２０ａ１＋ ２０（２０－１） ２ ｄ＝４６０ { ， 解得ａ１ ＝－１５，ｄ＝４． 所以Ｓ２８ ＝２８ａ１＋ ２８（２８－１） ２ ｄ＝１０９２． 三、转化与化归思想 例３已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝１，ａｎ＋１＝２ａｎ ＋１（ｎ≥１）．求数列｛ａｎ｝的通项公式． 解：令ａｎ＋１＋λ＝２（ａｎ＋λ），则ａｎ＋１＝２ａｎ ＋λ． 比较系数得λ＝１， 所以ａｎ＋１＋１＝２（ａｎ＋１）． 令ｂｎ ＝ａｎ＋１，则｛ｂｎ｝是以ｂ１ ＝ａ１＋１＝ ２为首项，２为公比的等比数列． 故ｂｎ ＝２·２ ｎ－１ ＝２ｎ． 从而ａｎ ＝ｂｎ－１＝２ ｎ－１． 四、分类讨论思想 例４在等比数列｛ａｎ｝中，已知 ａ３ ＝ ３ ２，Ｓ３ ＝９２，求公比ｑ． 解：由已知条件得： （１）当ｑ≠１时， ａ１ｑ ２ ＝３２， ａ１（１－ｑ ３） １－ｑ ＝ ９ ２ { ， 消去ａ１得２ｑ ２－ｑ－１＝０， 解得ｑ＝－１２或ｑ＝１（舍）． （２）当ｑ＝１时，ａ１ ＝ａ２ ＝ａ３ ＝ ３ ２， 此时Ｓ３ ＝ａ１＋ａ２＋ａ３ ＝ ９ ２也成立． 综上，公比ｑ＝１或ｑ＝－１２． 五、数形结合思想 例５已知项数为奇数的等差数列，奇数项 的和为４４，偶数项的和为３３，求这个数列的项数 及中间项． 解：设这个数列共有２ｎ＋１项， 由于ｆ（ｎ）＝ Ｓｎ ｎ是关于ｎ的一次函数， 则点 ｎ＋１，４４ｎ＋( )１，ｎ，３３( )ｎ，２ｎ＋１，７７２ｎ＋( )１ 共 线， 由 斜 率 相 等 得 ７７ ２ｎ＋１－ ３３ ｎ ２ｎ＋１－ｎ ＝ ７７ ２ｎ＋１－ ４４ ｎ＋１ ２ｎ＋１－（ｎ＋１）， 故ｎ＝３． 所以该数列共有７项，中间项为１１． ! => ?@A ! BC DEF ! ! ! !"#$%&'()* +,%&-./012' !"#$%#&'$&() +,34-./012' *"#$+#&'$"#$ !"#$ %&' 56789:;< =: !!"#> $%&'? (@ )(ABC>D : > !" BC7G8+HI BC78JKLMNOPQHR *STUVWX9 UYZ[\] ^_`abcX9deZ!"#$%&'()(*f+g hijeZ,-.-/0 !"#$%&' !"#$%&'() *+,-./01 *+ 2345") ,-67 89:1 ;<*=>?@ ABCD,-EFG8 9:;HIJBK)LM NOG*+,-./ 0;P <*QO,-DR S) TJOUVWXH YZ[\1 ]&^_)* `QOabDRS)c 2deCfgDP *hDeCij) klkU) kmnko p)YqqDrs)TY ttDupP Oc)vw BCHxyDRSz{ |}~) €‚c* hZƒ„D1 …†‡ˆ‰:Š)‹ Œ2Ž) ‘’“ *) ”•–—6˜)3 ™) 3™) šc›œ0 1 ;’“*žŸ ¡D RS¢£¤¥)¦A)š §¨©¢ª*D«¬­ ®¯°WBCD=±2 ²1 T‚c]O³D ¤¥) ´y°µ¶·¸ D¹*1 *hƒ„R3)R 3c*hº»D¼½) €*hTcBC¾b) R3D¿ÀTÁÂeC DÃÄP ¼O*ÅÆD ÇÈÉʃ„ËÌeC DR3Í ÎÏÐ) Y*ÑÒ …ÓÔÕÖ:×Ø)’¦ VÙÚÛÜP ;€Ý2Þ ßOQOaàDáâP Gãyäåæçè)¸é êëìíîïð) :ˆ 2¾ãñòP ;]&óô JFõDö÷žø¸D ùú) ?ûcQab üýþÿDR3P !y ³DR3)ƒ„BC) "#³DR3) $£ %2ƒ„&' ()Ð) R3ü* i+PĢ ,-")./ 0)æ1:2*b345 67)*•c)Ú89: ;<P ; c£=D> ?PGó@ABCDE) FGHIRJK) -: 2ž9:L) MN9ý OPQP ;$c£=D RSž@TP HU-V WXYZO;<_Ð G[GF\]õ^_)^ ê_`2a°bc)F \2]õ^_) ^bž ¦d?0TP ;$=@A eÙfghDijP ]&^) BCcR 3DÉÊ) klXmn o)klpp¾q)HB CTr2sR3)l„t bÿÿDR3(ÃÄP BuCB) cli +fR3Dvw) cl xyfR3D ½)¢ fR3)¶zG2S{ò |+};)$Y£~' 书书书 学 业 水 平 测 评 （ 二 ） ◆ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 第 Ⅰ 卷 选 择 题 （ 共 ５８ 分 ） 一 、 单 项 选 择 题 ： 本 题 共 ８ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 ４０ 分 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １． 在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ｛ ａ ｍ ｝ 中 ， 若 ａ ３ ａ ８ ＝ ９， 则 ｌｏ ｇ ３ ａ １ ＋ ｌｏ ｇ ３ ａ １ ０ ＝ （ 　 　 ） （ Ａ ） １ （ Ｂ） ２ （ Ｃ） ３ （ Ｄ ） ４ ２． 函 数 ｆ（ ｘ） 的 导 函 数 ｆ′ （ ｘ） 的 图 象 如 图 所 示 ，则 （ 　 　 ） （ Ａ ） ｘ ＝ １ 为 函 数 ｆ（ ｘ） 的 零 点 （ Ｂ） ｆ（ － ３） 是 函 数 ｆ（ ｘ） 的 最 小 值 （ Ｃ） 函 数 ｆ（ ｘ） 在 （ １， ３） 上 单 调 递 减 （ Ｄ ） ｘ ＝ ３ 为 函 数 ｆ（ ｘ） 的 极 大 值 点 ３． 中 国 古 代 数 学 名 著 《 九 章 算 术 》 中 有 这 样 一 个 问 题 ： 今 有 牛 、 马 、羊 食 人 苗 ， 苗 主 责 之 粟 五 斗 ， 羊 主 曰 ： “ 我 羊 食 半 马 ．” 马 主 曰 ： “ 我 马 食 半 牛 ．” 今 欲 衰 偿 之 ， 问 各 出 几 何 ？ 此 问 题 的 译 文 是 ： 今 有 牛 、 马 、 羊 吃 了 别 人 的 禾 苗 ，禾 苗 主 人 要 求 赔 偿 ５ 斗 粟 ．羊 主 人 说 ： “ 我 羊 所 吃 的 禾 苗 只 有 马 的 一 半 ．” 马 主 人 说 ：“ 我 马 所 吃 的 禾 苗 只 有 牛 的 一 半 ．” 打 算 按 此 比 例 偿 还 ， 他 们 各 应 偿 还 多 少 ？ 已 知 牛 、 马 、 羊 的 主 人 各 应 偿 还 ａ 升 ，ｂ 升 ，ｃ 升 ，１ 斗 为 １０ 升 ，则 下 列 判 断 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） ａ， ｂ， ｃ依 次 成 公 比 为 ２ 的 等 比 数 列 ，且 ａ ＝ ５０ ７ （ Ｂ） ａ， ｂ， ｃ依 次 成 公 比 为 ２ 的 等 比 数 列 ，且 ｃ ＝ ５０ ７ （ Ｃ） ａ， ｂ， ｃ依 次 成 公 比 为 １ ２ 的 等 比 数 列 ，且 ａ ＝ ５０ ７ （ Ｄ ） ａ， ｂ， ｃ依 次 成 公 比 为 １ ２ 的 等 比 数 列 ，且 ｃ ＝ ５０ ７ ４． 已 知 函 数 ｆ（ ｘ） 槡 ＝ ｘ， ｇ（ ｘ） ＝ ａｌ ｎ ｘ， 若 在 ｘ ＝ １ ４ 处 函 数 ｆ （ ｘ） 与 ｇ（ ｘ） 的 图 象 的 切 线 平 行 ，则 实 数 ａ 的 值 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） １ ４ （ Ｂ） １ ２ （ Ｃ） １ （ Ｄ ） ４ ５． 若 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ ｌｎ ｘ ＋ ２ ｘ ２ ＋ ｂｘ ＋ １ 的 图 象 上 任 意 一 点 的 切 线 的 斜 率 都 大 于 ０， 则 实 数 ｂ 的 取 值 范 围 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） （ － ∞ ， － ４） （ Ｂ） （ － ∞ ，４ ） （ Ｃ） （ － ４， ＋ ∞ ） （ Ｄ ） （ ４， ＋ ∞ ） ６． 设 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 的 前 ｎ 项 和 为 Ｓ ｎ ，若 Ｓ ｎ Ｓ ２ ｎ 为 常 数 ，则 称 ｛ ａ ｎ ｝ 为 “ 吉 祥 数 列 ” ．已 知 等 差 数 列 ｛ ｂ ｎ ｝ 的 首 项 为 １， 公 差 不 为 ０， 若 数 列 ｛ ｂ ｎ ｝ 为 “ 吉 祥 数 列 ” ，则 数 列 ｛ ｂ ｎ ｝ 的 通 项 公 式 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） ｂ ｎ ＝ ｎ － １ （ Ｂ） ｂ ｎ ＝ ２ｎ － １ （ Ｃ） ｂ ｎ ＝ ｎ ＋ １ （ Ｄ ） ｂ ｎ ＝ ２ｎ ＋ １ ７． 已 知 正 项 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 的 前 ｎ 项 和 为 Ｓ ｎ ，若 ｛ ａ ｎ ｝ 和 ｛ Ｓ 槡 ｎ ｝ 都 是 等 差 数 列 ，且 公 差 相 等 ，则 ａ ２ ＝ （ 　 　 ） （ Ａ ） ３ ４ （ Ｂ） １ （ Ｃ） ４ ３ （ Ｄ ） １ ２ ８． 设 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ ｅｘ （ ２ｘ － １） － ａｘ ＋ ａ， 其 中 ａ ＜ １， 若 存 在 唯 一 的 整 数 ｘ ０ ，使 得 ｆ（ ｘ ０ ） ＜ ０， 则 ａ 的 取 值 范 围 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） － ３ ２ｅ ， [ )１ （ Ｂ） － ３ ２ ｅ ， [ ) ３ ４ （ Ｃ [ ） ３ ２ｅ ， ) ３ ４ （ Ｄ [ ） ３ ２ｅ ， ) １ 二 、 多 项 选 择 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ６ 分 ， 共 １８ 分 ． ９． 在 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 中 ， 对 任 意 ｎ ∈ Ｎ ＋ ， 都 有 ａ ｎ ＋２ － ａ ｎ ＋１ ａ ｎ ＋１ － ａ ｎ ＝ ｋ（ ｋ 为 常 数 ） ，则 称 ｛ ａ ｎ ｝ 为 “ 等 差 比 数 列 ” ．下 面 对 “ 等 差 比 数 列 ” 的 判 断 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） ｋ 不 可 能 为 ０ （ Ｂ） 等 差 数 列 一 定 是 等 差 比 数 列 （ Ｃ ） 等 比 数 列 一 定 是 等 差 比 数 列 （ Ｄ ） 通 项 公 式 为 ａ ｎ ＝ ａ· ｂｎ ＋ ｃ（ ａ ≠ ０， ｂ ≠ ０， １） 的 数 列 一 定 是 等 差 比 数 列 １０ ．设 等 比 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 的 前 ｎ 项 和 为 Ｓ ｎ ，且 Ｓ ４ ＝ Ｓ ３ － １ Ｓ ３ ．若 ａ １ ＞ １， 则 （ 　 　 ） （ Ａ ） ａ １ ＞ ａ ３ （ Ｂ） ａ １ ＜ ａ ３ （ Ｃ） ａ ２ ＜ ａ ４ （ Ｄ ） ａ ２ ＞ ａ ４ １１ ．已 知 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ ｘｌ ｎ ｘ， 若 ０ ＜ ｘ １ ＜ ｘ ２ ，则 下 列 结 论 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） ｘ ２ ｆ（ ｘ １ ） ＜ ｘ １ ｆ（ ｘ ２ ） （ Ｂ） ｘ １ ＋ ｆ（ ｘ １ ） ＜ ｘ ２ ＋ ｆ（ ｘ ２ ） （ Ｃ） ｆ（ ｘ １ ） － ｆ（ ｘ ２ ） ｘ １ － ｘ ２ ＜ ０ （ Ｄ ） 当 ｌｎ ｘ ＞ － １ 时 ，ｘ １ ｆ（ ｘ １ ） ＋ ｘ ２ ｆ（ ｘ ２ ） ＞ ２ｘ ２ ｆ（ ｘ １ ） 第 Ⅱ 卷 非 选 择 题 （ 共 ９２ 分 ） 三 、 填 空 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 １５ 分 ． １２ ．函 数 ｆ（ ｘ） ( ＝ ｆ′ π ) ３ ｓｉ ｎ ｘ － ｃｏ ｓｘ 的 最 大 值 为 ． １３ ．某 学 校 有 Ａ， Ｂ 两 家 餐 厅 ，通 过 调 查 发 现 ： 开 学 第 一 天 的 中 午 ， 有 一 半 的 学 生 到 Ａ 餐 厅 就 餐 ，另 一 半 的 学 生 到 Ｂ 餐 厅 就 餐 ； 从 第 二 天 起 ，在 前 一 天 选 择 Ａ 餐 厅 就 餐 的 学 生 中 ， 次 日 会 有 １ ４ 的 学 生 继 续 选 择 Ａ 餐 厅 ，在 前 一 天 选 择 Ｂ 餐 厅 就 餐 的 学 生 中 ， 次 日 会 有 １ ２ 的 学 生 继 续 选 择 Ｂ 餐 厅 ． 该 学 校 共 有 学 生 ３ ５０ ０ 人 ，经 过 一 个 学 期 （ 约 １５ ０ 天 ） 后 ， 估 计 该 学 校 到 Ａ 餐 厅 就 餐 的 学 生 人 数 为 人 ．（ 用 整 数 作 答 ） １４ ．已 知 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ １ ２ ｘ２ ＋ ２ａ ｘ， ｇ（ ｘ） ＝ ３ａ ２ ｌｎ ｘ ＋ ｂ， 设 两 曲 线 ｙ ＝ ｆ（ ｘ） ，ｙ ＝ ｇ（ ｘ） 有 公 共 点 ， 且 在 该 点 处 的 切 线 相 同 ， 则 ａ ∈ （ ０， ＋ ∞ ） 时 ，实 数 ｂ 的 最 大 值 是 ． 四 、 解 答 题 ： 本 题 共 ５ 小 题 ， 共 ７７ 分 ． １５ ．（ １３ 分 ） 已 知 等 差 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 中 ，Ｓ ｎ 为 其 前 ｎ 项 和 ，且 ａ １ ＝ ８， Ｓ ３ ＝ Ｓ ６ ． （１ ） 求 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 的 通 项 公 式 ； （ ２） 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 的 前 多 少 项 之 和 最 大 ？并 求 出 最 大 值 ． １６ ．（ １５ 分 ） 已 知 正 项 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 的 前 ｎ项 和 为 Ｓ ｎ ，且 Ｓ ｎ ，ａ ｎ， １ ２ 成 等 差 数 列 ． （ １） 求 证 ：数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 是 等 比 数 列 ； （ ２） 若 ｂ ｎ ＝ ｌｏ ｇ ２ ａ ｎ ＋ ３， 求 数 列 １ ｂ ｎ ｂ ｎ ＋ { } １ 的 前 ｎ 项 和 Ｔ ｎ ． ! " # $ % & ' ( ) * + , - . / 0 1 2 3 ! " # $ % & 4 " # $ % & ' ( 5 * + , - 6 7 0 1 2 8 ! " # $ % & ! " " ! # " # 书 专项小练一 １．Ｃ；　２．ＡＢＣ；　３．Ａ．　４．增；　５．（－∞，２）． ６．解：易知函数ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋∞）． 由题可得ｆ′（ｘ）＝ １ｘ－ｘ ２ ＝１－ｘ ３ ｘ ． 当ｆ′（ｘ）＞０，即０＜ｘ＜１时，函数ｆ（ｘ）单调递增； 当ｆ′（ｘ）＜０，即ｘ＞１时，函数ｆ（ｘ）单调递减． 所以函数ｆ（ｘ）的单调递减区间为（１，＋∞），单调 递增区间为（０，１）． 专项小练二 １．Ｃ；　２．Ｄ；　３．ＡＣＤ．　４．１６；　５．０． ６．解：由已知得ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｘ２＋ｂ， 又ｆ（０）＝ｂ＝１，所以ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｘ２＋１． 令ｆ′（ｘ）＝３ｘ２－２ｘ＝０， 解得ｘ＝０或ｘ＝ ２３． 当ｘ变化时，ｆ′（ｘ），ｆ（ｘ）的变化情况如下表： ｘ －１ （－１，０） ０ ０，( )２３ ２３ ２３，( )１ １ ｆ′（ｘ） ＋ ０ － ０ ＋ ｆ（ｘ） －１  极大值  极小值  １ 由上表，得函数ｆ（ｘ）的极小值为ｆ( )２３ ＝ ２３ ２７，极大 值为ｆ（０）＝１． 又ｆ（－１）＝－１，ｆ（１）＝１， 所以函数ｆ（ｘ）在区间［－１，１］上的最小值为－１，最大 值为１． 一、单项选择题 １～４　ＢＢＣＡ　５～８　ＣＤＡＢ 二、多项选择题 ９．ＢＤ；　１０．ＢＣ；　１１．ＢＤ． 三、填空题 １２．ｌｎ２＋１２；　１３ (． －９２， )０ ； １４．（－∞，－１）∪（３，＋∞）． 四、解答题 １５．证明：设函数ｆ（ｘ）＝ｘａ－ａｘ－１＋ａ， 则ｆ′（ｘ）＝ａｘａ－１－ａ＝ａ（ｘａ－１－１）． 令ｆ′（ｘ）＝０，得ｘ＝１． 所以，当ｘ∈（０，１）时，ｆ′（ｘ）＞０，函数ｆ（ｘ）单调 递增； 当ｘ∈（１，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＜０，函数ｆ（ｘ）单调递减． 所以ｆ（ｘ）＝ｘａ－ａｘ－１＋ａ在区间（０，＋∞）上的 最大值为ｆ（１）＝０．所以ｆ（ｘ）＝ｘａ－ａｘ－１＋ａ≤０， 即ｘａ－ａｘ≤１－ａ． １６．解：（１）由函数ｆ′（ｘ）的图象可知，当ｘ＜０或ｘ ＞２时，ｆ′（ｘ）＞０；当０＜ｘ＜２时，ｆ′（ｘ）＜０． 所以ｆ（ｘ）的单调递增区间是（－∞，０），（２，＋∞）， 单调递减区间是（０，２）． （２）因为ｆ′（ｘ）＝３ａｘ２＋２ｂｘ＋ｃ， 其图象经过点（０，０），（１，－２），（２，０）， 所以 ｃ＝０， ３ａ＋２ｂ＋ｃ＝－２， １２ａ＋４ｂ＋ｃ＝０ { ， 解得 ｃ＝０， ｂ＝－２， ａ＝ ２３ { ． 所以ｆ（ｘ）＝ ２３ｘ ３－２ｘ２． 由（１）可知ｆ（ｘ）在ｘ＝０处取得极大值，极大值为 ｆ（０）＝０；在ｘ＝２处取得极小值，极小值为ｆ（２）＝－８３． １７．解：（１）因为 ｆ（ｘ）为奇函数，所以 ｆ（－ｘ）＝ －ｆ（ｘ）． 即－ａｘ３－ｂｘ＋ｃ＝－ａｘ３－ｂｘ－ｃ，得ｃ＝０． 因为ｆ′（ｘ）＝３ａｘ２＋ｂ（ａ＞０）的最小值为 －１２， 所以ｂ＝－１２．又直线ｘ－６ｙ－７＝０的斜率为 １６， 因此ｆ′（１）＝３ａ＋ｂ＝－６．所以ａ＝２，ｂ＝－１２， ｃ＝０． （２）由（１）知ｆ（ｘ）＝２ｘ３－１２ｘ． ｆ′（ｘ）＝６ｘ２－１２＝６（ｘ＋槡２）（ｘ－槡２），列表如下： ｘ （－∞，－槡２） －槡２ （－槡２，槡２） 槡２ （槡２，＋∞） ｆ′（ｘ） ＋ ０ － ０ ＋ ｆ（ｘ）  极大值  极小值  所以函数 ｆ（ｘ）的单调增区间是（－∞，－槡２）和（槡２， ＋∞）． 因为ｆ（－１）＝１０，ｆ（槡２）＝－ 槡８２，ｆ（３）＝１８． 所以ｆ（ｘ）在［－１，３］上的最大值是ｆ（３）＝１８，最小值是 ｆ（槡２）＝－ 槡８２． １８．（１）解：由ｆ（ｘ）＝ｘ＋ａｅｘ，可得ｆ′（ｘ）＝１＋ａｅｘ， 当ａ≥０时，ｆ′（ｘ）＞０，则函数ｆ（ｘ）在Ｒ上为增函数； 当ａ＜０时，由 ｆ′（ｘ）＞０可得 ｘ＜ｌｎ －１( )ａ ，由 ｆ′（ｘ）＜０可得ｘ＞ｌｎ －１( )ａ ，则函数ｆ（ｘ） (在 －∞， (ｌｎ －１ ) )ａ 上为增函数， (在 (ｌｎ －１ )ａ ，＋ )∞ 上为 减函数． （２）证明：令Ｆ（ｘ）＝ｘ２＋（ａ＋１）ｘ－ｘｆ′（ｘ）， 则Ｆ（ｘ）＝ｘ２＋（ａ＋１）ｘ－ｘ（１＋ａｅｘ） ＝ｘ（ｘ＋ａ－ａｅｘ）． 令Ｈ（ｘ）＝ｘ＋ａ－ａｅｘ，则Ｈ′（ｘ）＝１－ａｅｘ， 因为ｘ＜０，所以０＜ｅｘ ＜１， 又ａ≤１，所以１－ａｅｘ≥１－ｅｘ ＞０， 所以Ｈ（ｘ）在（－∞，０）上为增函数， 则Ｈ（ｘ）＜Ｈ（０）＝０，即ｘ＋ａ－ａｅｘ ＜０， 由ｘ＜０可得Ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ＋ａ－ａｅｘ）＞０， 所以ｘ２＋（ａ＋１）ｘ＞ｘｆ′（ｘ）． １９．（１）解：ｆ１（ｘ）＝３ ｘ，定义域为 Ｒ，则 ｆ′１（ｘ）＝ ３ｘ·ｌｎ３是在Ｒ上的严格单调递增函数，则ｆ１（ｘ）＝３ ｘ是 “Ｔ函数”； ｆ２（ｘ）＝ｘ ３，定义域为Ｒ，则ｆ′２（ｘ）＝３ｘ ２不是在Ｒ上 的严格单调递增函数，则ｆ２（ｘ）＝ｘ ３不是“Ｔ函数”． （２）证明：由题可得ｇ′（ｘ）在（０，＋∞）上严格单调 递增， 设Ｇ（ｘ）＝ｇ（ｘ＋１）－ｇ（ｘ）， 则Ｇ′（ｘ）＝ｇ′（ｘ＋１）－ｇ′（ｘ）＞０， 故Ｇ（ｘ）在（０，＋∞）上单调递增，故Ｇ（ａ）＜Ｇ（ａ＋２）， 即ｇ（ａ＋１）－ｇ（ａ）＜ｇ（ａ＋３）－ｇ（ａ＋２）． （３）证明：由题可得Ｆ′（ｘ）在Ｒ上严格单调递增， ｘ０∈Ｒ，设Ｇ（ｘ）＝Ｆ（ｘ）－Ｆ′（ｘ０）ｘ， 则Ｇ′（ｘ）＝Ｆ′（ｘ）－Ｆ′（ｘ０）， 当ｘ∈（－∞，ｘ０）时，Ｇ′（ｘ０）＜０，函数单调递减； 当ｘ∈（ｘ０，＋∞）时，Ｇ′（ｘ０）＞０，函数单调递增， 故Ｇ（ｘ）≥Ｇ（ｘ０）， 即Ｆ（ｘ）≥Ｆ′（ｘ０）ｘ＋Ｆ（ｘ０）－Ｆ′（ｘ０）ｘ０， 当ｘ＜０时，Ｆ（ｘ）＜０恒成立， 则Ｆ′（ｘ０）ｘ＋Ｆ（ｘ０）－Ｆ′（ｘ０）ｘ０ ＜０恒成立， 故Ｆ′（ｘ０）≥０， 若存在ｔ∈Ｒ，使Ｆ′（ｔ）＝０，则当ｘ＜ｔ时，Ｆ′（ｘ）＜ Ｆ′（ｔ）＝０，这与ｘ０∈Ｒ，Ｆ′（ｘ０）≥０矛盾，故不存在ｘ０ 使Ｆ′（ｘ０）＝０，故Ｆ′（ｘ０）＞０恒成立， 故Ｆ（ｘ）在Ｒ上严格增． 一、单项选择题 １～４　ＢＡＣＡ　５～８　ＢＤＡＡ 二、多项选择题 ９．ＡＣＤ；　１０．ＢＤ；　１１．ＢＣＤ． 三、填空题 １２．（０，３）；　１３．（０，１）；　１４． －１ｅ，＋[ )∞ ． 四、解答题 １５．解：（１）ｆ′（ｘ）＝３ｘ２＋２ａｘ＋ｂ， 由题可得 ｆ′（１）＝３＋２ａ＋ｂ＝８， ｆ（１）＝ａ＋ｂ＋３＝８－２{ ，解得ａ＝２， ｂ＝１． （２）由（１）知ｆ（ｘ）＝ｘ３＋２ｘ２＋ｘ＋２， ｆ′（ｘ）＝３ｘ２＋４ｘ＋１＝（３ｘ＋１）（ｘ＋１）， 令ｆ′（ｘ）＝０得ｘ＝－１３或ｘ＝－１， 所以在（－∞，－１）上ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增， (在 －１，－ )１３ 上ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减， (在 －１３，＋ )∞ 上ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增， 所以ｆ（ｘ）极大值 ＝ｆ（－１）＝２， ｆ（ｘ）极小值 (＝ｆ － )１３ ＝５０２７． １６．解：令ｇ（ｘ）＝（ｘ２－ ４ｘ＋１）ｅｘ，ｆ（ｘ）有三个零点 即ｇ（ｘ）与ｙ＝ａ的图象有三 个交点，ｇ′（ｘ）＝ｅｘ（ｘ２－２ｘ －３）＝ｅｘ（ｘ－３）（ｘ＋１）， 当ｘ＞３，或ｘ＜－１时， ｇ′（ｘ）＞０，当 －１＜ｘ＜３时， ｇ′（ｘ）＜０， 所以ｇ（ｘ）在（－∞，－１）和（３，＋∞）上单调递增， 在（－１，３）上单调递减， ｇ（ｘ）的极大值为 ｇ（－１）＝６ｅ－１，极小值为 ｇ（３） ＝－２ｅ３， 当ｘ＜－１时，ｇ（ｘ）＝（ｘ２－４ｘ＋１）ｅｘ ＞０， 当ｘ→＋∞时，ｇ（ｘ）→＋∞， 结合图象，ｇ（ｘ）与ｙ＝ａ有三个交点，即０＜ａ＜６ｅ－１． 故实数ａ (的取值范围是 ０，６ )ｅ ． １７．解：由题可得ｆ′（ｘ）＝６ｘ２－２ａｘ， 令ｆ′（ｘ）＝０，解得ｘ＝０或ｘ＝ ａ３， 当ｘ＜ ａ３或ｘ＞０时，ｆ′（ｘ）＞０； 当 ａ ３ ＜ｘ＜０时，ｆ′（ｘ）＜０， 所以当ｘ＝ ａ３时，ｆ（ｘ）取得极大值，且 (ｆ ａ)３ ＝－ａ ３ ２７， 又ｆ（ｘ）＝２ｘ３－ａｘ２ ＝－ａ ３ ２７， (即 ｘ－ａ)３ ( ２ ２ｘ＋ａ)３ ＝０， 解得ｘ＝ ａ３或ｘ＝－ ａ ６， 因为ｆ（ｘ） (在 ａ２，ａ＋６)３ 上有最大值， 所以 ａ ３ ＜ ａ＋６ ３ ≤－ ａ ６， 解得ａ≤－４，所以ａ的取值范围是（－∞，－４］． １８．解：（１）曲线ｆ（ｘ）在任意一点Ｐ（ｘ０，ｆ（ｘ０））的 切线斜率 ｋ＝ｆ′（ｘ０） ＝ ４－４ｘ２０ （ｘ２０＋１） ２ ＝－ ４ ｘ２０＋１ ＋ ８ （ｘ２０＋１） ２， 令ｔ＝ １ ｘ２０＋１ ，０＜ｔ≤１，则ｋ＝８ｔ２－４ｔ＝ (８ ｔ－ )１４ ２ －１２，当ｔ＝ １ ４时，ｋｍｉｎ＝－ １ ２，当ｔ＝１时，ｋｍａｘ＝４， 所以曲线ｆ（ｘ）上任意一点切线的斜率的取值范围 [为 －１２， ]４ ． （２）由ｆ′（ｘ）＝４（１－ｘ ２） （ｘ２＋１）２ ≥０，得 －１≤ｘ≤１， 所以ｆ（ｘ）在［－１，１］上是增函数， 又ｆ（ｘ）在（２ｍ－１，ｍ）上单调递增， 所以 ｍ≤１， ２ｍ－１≥－１， ２ｍ－１＜ｍ { ， 解得０≤ｍ＜１． １９．（１）解：由题可得ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋∞）， ｆ′（ｘ）＝２ｘ＋ａ－１ｘ ＝ ２ｘ２＋ａｘ－１ ｘ ， 令ｈ（ｘ）＝２ｘ２＋ａｘ－１， 则有 ｈ（１）≤０， ｈ（２）≤０{ ，解得ａ≤ － ７ ２． 所以实数ａ (的取值范围为 －∞，－ ]７２ ． （２）解：假设存在实数ａ，使函数ｇ（ｘ）＝ａｘ－ｌｎｘ（ｘ ∈（０，ｅ］）的最小值是３，令ｇ′（ｘ）＝ａ－１ｘ ＝ ａｘ－１ ｘ ， ①当ａ≤０时，ｇ（ｘ）在（０，ｅ］上单调递减，ｇ（ｘ）ｍｉｎ ＝ｇ（ｅ）＝ａｅ－１＝３，ａ＝ ４ｅ（舍去）； ②当０＜１ａ＜ｅ时，ｇ（ｘ） (在 ０，１ )ａ 上单调递减， (在 １ａ， ]ｅ 上单调递增，所以ｇ（ｘ）ｍｉｎ (＝ｇ １ )ａ ＝１＋ ｌｎａ＝３，ａ＝ｅ２，满足条件； ③当 １ａ≥ｅ时，ｇ（ｘ）在（０，ｅ］上单调递减，ｇ（ｘ）ｍｉｎ ＝ｇ（ｅ）＝ａｅ－１＝３，ａ＝ ４ｅ（舍去）， 综上，存在实数ａ＝ｅ２，使得当ｘ∈（０，ｅ］时，函数 ｇ（ｘ）的最小值是３． （３）证明：令Ｆ（ｘ）＝ｅ２ｘ－ｌｎｘ，由（２）知，Ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝３． 令φ（ｘ）＝ｌｎｘｘ ＋ ５ ２，则φ′（ｘ）＝ １－ｌｎｘ ｘ２ ， 当０＜ｘ≤ｅ时，φ′（ｘ）≥０，φ（ｘ）在（０，ｅ］上单调递增， 所以φ（ｘ）ｍａｘ＝φ（ｅ）＝ １ ｅ＋ ５ ２ ＜ １ ２＋ ５ ２ ＝３， 所以ｅ２ｘ－ｌｎｘ＞ｌｎｘｘ ＋ ５ ２，即ｅ ２ｘ２－５２ｘ＞（ｘ＋ １）ｌｎｘ． !" ! 9:;<= !# !$ #$%!"" 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