2.3 直线的交点坐标与距离公式(5个常考题型)专题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【2.3直线的交点坐标与距离公式】 总览 题型梳理 【知识点总览】 1．两条直线的交点坐标 【知识点的认识】 ﹣直线方程：在平面直角坐标系中，两条直线的方程通常为： l1：a1x+b1y+c1＝0 l2：a2x+b2y+c2＝0 ﹣交点的计算：两条直线的交点是同时满足这两个方程的点，可以通过解这个二元一次方程组来找到交点的坐标． 2．两点间的距离公式 【知识点的认识】 ﹣距离公式：两点（x1，y1）和（x2，y2）之间的距离由公式： 这是平面直角坐标系中常用的距离计算公式． 3．点到直线的距离公式 【知识点的认识】 ﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为： 【解题方法点拨】 ﹣计算距离： 1．代入直线方程：将点的坐标代入直线方程． 2．计算绝对值：计算Ax0+By0+C的绝对值． 3．计算模：计算法向量的模． 4．求解距离：将绝对值与模相除，即得距离． 4．两条平行直线间的距离 【知识点的认识】 ﹣平行直线方程：两条平行直线的方程为： 直线Ax+By+C1＝0与 直线Ax+By+C2＝0 它们之间的距离为： 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：两直线的交点坐标】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·河南·阶段练习）已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求出边所在的直线方程，再联立直线，组成的方程组，方程组的解即为顶点的坐标. 【详解】因为，边所在直线的方程为， 设所在直线方程为，因为过， 所以，所以所在直线方程为， 由解得，即顶点的坐标为. 故选：A. 【例题2】（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【详解】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C 【例题3】（24-25高二下·上海徐汇·期中）在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】联立的平分线直线方程和边上的高所在直线方程可求出点坐标，利用角平分线的性质结合点关于直线的对称点的计算可求出直线的方程，再利用边上的高所在直线的斜率以及点坐标求出直线的方程，联立求解即可得到点的坐标. 【详解】由解得，所以. 因为的平分线所在直线方程是，所以点关于直线的对称点在所在直线上， 所以直线的方程为，整理得. 又边上的高所在直线是，其斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得. 由，解得，所以则点的坐标为. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【分析】写出对应直线的方向向量，讨论直线垂直求参数a，再根据所得参数值研究直线的位置情况，即可得答案. 【详解】由题设，的方向向量分别为，，， 若，则， 此时，，，它们交于一点，不符； 若，则或或， 当时，，，，满足题设； 当时，，，，满足题设； 当时，，重合，不符； 若，则或， 当时，，，，满足题设； 当时，同上分析，不符. 综上，、、时满足要求，故有3组. 故选：B 【相似题2】（24-25高二下·上海·阶段练习）在中，已知点边上的中线所在直线的方程为，的角平分线所在直线方程为，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设的坐标为，即可得到的中点坐标，再根据中点在中线上，点在角平分线上得到方程组，解得即可. 【详解】设的坐标为，则的中点坐标为， 则，解得，则点的坐标为. 故答案为： 【相似题3】（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由上的高所在直线方程为，可得，且过点得到直线所在的直线方程，联立方程即可求得顶点的坐标. （2）设点，且的中点，代入所在的直线方程为，求出的表达式再与的方程即可得到点坐标，再用点斜式即可求得方程. 【详解】（1）由于，且的直线方程为， 所以，故， 又的顶点， 所以所在的直线方程为， 由于边上的中线所在的直线方程为， 联立方程，解得， 故点； （2）设点， 则的中点， 由于点在直线上， 所以，整理得， 同时点在直线上， 所以， 故，解得，即点， 所以,故直线方程为. 【题型2:点到直线的距离公式】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 【例题2】（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据直线过的点以及平行关系设出直线方程，再由点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】若直线经过定点且与直线平行可设直线的方程为； 点和到直线的距离相等可知， 解得或. 故选：C 【例题3】（24-25高二下·上海青浦·期末）点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式直接求解. 【详解】 故答案为： 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·湖南·期末）已知，两点到直线的距离相等，则 . 【答案】0或 【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式列式计算得解. 【详解】依题意，，所以或. 故答案为：0或 【相似题2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在直线上，若的最小值为4，则 ． 【答案】或9 【分析】根据的几何意义，结合点线距离公式求参数即可. 【详解】因为点在直线上， 那么的最小值是定点到直线的距离的平方， 所以，解得或9． 故答案为：或9 【相似题3】（24-25高二上·上海·阶段练习）过点且和原点距离是2的直线方程是 . 【答案】或 【分析】通过斜率存在、不存在两类情况讨论即可. 【详解】依题意，当斜率不存在时，直线方程为：，此时原点到直线的距离为2，满足题意， 当斜率存在时， 所以设直线方程为，即，又原点到直线的距离等于2， 所以，解得． 所以直线方程为或． 故答案为：或． 【题型3：点关于直线对称点】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·上海·阶段练习）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解 【例题2】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 【例题3】（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对称关系求得，再由点到线距离公式求解； 【详解】设关于直线的对称点为， 由对称关系可得， 解得． 则点到直线：的距离为． 故选：C． 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则 ， ． 【答案】 【分析】根据直线与关于直线对称，可求的值. 【详解】由题意，直线与直线关于直线对称， 所以直线上的点关于直线的对称点在直线上， 所以，所以， 所以直线上的点关于直线的对称点在直线上，所以，所以． 故答案为：； 【相似题2】（24-25高二上·安徽合肥·期末）一条光线从点射出，经过直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】先求出点关于直线的对称点为，再利用点斜式方程即可得答案. 【详解】点关于直线的对称点为， 根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过，Q的直线， 由直线点斜式方程得直线的方程为：， 化为 故答案为： 【相似题3】 （24-25高二下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直关系得到直线的斜率，再利用点斜式求解即可； （2）设点坐标，利用已知信息求得点坐标，再求点关于直线的对称点，由两点式可求直线方程. 【详解】（1）因，且，则， 因， 则直线的方程为，即. （2）设点，则线段的中点为， 将其代入所在直线方程中，得， 将点代入所在的直线方程中，得， 解得，即， 设点关于直线对称得点， 则，得，即， 因三点共线，则, 直线所在的直线方程为，即. 【题型4：直线关于直线对称】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 【例题2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 【例题3】（24-25高二上·重庆渝中·期末）与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上，即可确定所求的直线. 【详解】若在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上， 显然在A中的直线上，但不在B、C、D中的直线上. 故选：A 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得. 【详解】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 【答案】 【分析】解法一：在直线上取一点，则关于直线的对称点必在上，则在直线l上，且直线与直线l斜率的乘积等于，建立方程组解出，再由经过与的交点，由两点式可得直线的方程，即可得解； 解法二：利用二级结论，直线关于直线对称的直线方程，由式子决定，即可得到直线的方程. 【详解】解法一：在直线上取一点，不妨取，则关于直线的对称点必在上． 设，则，解得即． 设与的交点为，则由，得，即． 又经过点，所以由两点式得直线的方程为， 即． 故答案为：． 解法二：直线：关于直线：对称的直线方程为 ， 即，所以直线的方程为． 故答案为：． 【相似题3】（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程 .（用一般式方程表示）. 【答案】 【分析】联立方程组求出两直线交点坐标，在直线任取一点，设出其关于对称点坐标，由垂直斜率的关系和中点坐标建立方程组，求得对称点坐标，由两点坐标求得对称直线方程. 【详解】联立，得，则两直线的交点为， 在直线上取点，设其关于的对称点为， 则，得，则. 故直线关于直线的对称直线为， 又，所以直线，即. 故答案为：. 【题型5：平行线之间的距离】 例题精选 【例题1】（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可. 【详解】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离， 即所求为. 故选：B. 【例题2】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，结合两平行直线距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，是直线上的点， 是直线上的点，则两直线平行， 的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为. 故选：D 【例题3】（24-25高二上·陕西西安·期末）平行直线与之间的距离是（   ） A．1 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】先根据直线平行求参，再应用平行线间距离公式计算即可. 【详解】因为直线与平行， 所以且不是，所以， 则直线与的距离为. 故选：D. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·江苏盐城·开学考试）已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则 ． 【答案】1 【分析】根据题意画出图形，求出点与的坐标，即可求出的长，进而求出等边三角形的高，由和的面积相等，得到点与点到直线的距离相等，利用平行线距离列出直线方程，把点P代入CP直线方程求解即可． 【详解】如图所示：    因为直线与轴，轴分别交于点，， 所以，，所以. 又和的面积相等， 所以，所以可设直线的方程为. 依题意，得点到直线的距离为，即，所以或（舍）， 所以直线的方程为.又点在直线上， 所以，即. 故答案为：1 【相似题2】（24-25高二下·上海静安·期中）直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】先直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，再利用两直线平行求出的值，最后利用平行直线间距离公式计算. 【详解】直线的斜率为，则直线的方程为，即， 因直线与直线平行，则，得， 则直线与之间的距离为. 故答案为： 【相似题3】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线，直线， (1)若与相交，求实数的值； (2)若与平行.求实数的值并求出此时两直线间的距离. 【答案】(1)且. (2) 【分析】（1）根据给定的直线方程，利用两直线相交的充要条件列式求解. （2）由两直线平行列式求出，再利用平行线间距离公式求解. 【详解】（1）由直线与直线相交， 得，即，解得且， 所以实数的取值为且. （2）由直线与平行，得，即，解得， 此时，即，直线， 所以直线与间距离. 【课后强化练习】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东清远·期末）经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A． B． C．12 D．14 3．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·湖南·阶段练习）直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 二、多选题 6．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知两条直线，的方程分别为与，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．过点 7．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）对于直线，．以下说法错误的有（    ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 三、填空题 8．（24-25高二上·山西吕梁·期末）一条光线从点出发射到直线上的点B，经直线反射后，反射光线恰好经过点，则入射光线所在直线的斜率为 ． 9．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知点，点在轴上，则的最小值为 . 10．（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 四、解答题 11．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知直线：（a为实数），与相交于点M． (1)若过点M，求a的值； (2)设直线过定点N，求． 12．（24-25高二下·全国·开学考试）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程． 13．（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）已知直线与直线． (1)当为何值时，与相交； (2)当为何值时，与平行，并求与的距离；. 14．（24-25高二下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 15．（24-25高二上·安徽·阶段练习）在中，点在直线上，点的坐标为，的平分线所在直线的方程为，且点在直线上. (1)求直线的方程； (2)若直线过点，且点，到的距离相等，求的方程. 16．（24-25高二下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中， 已知矩形的长，宽，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，如下图所示.将矩形折叠，使点落在线段上. (1)若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在直线的方程（用斜率表示）； (2)若折痕和线段、相交，求折痕的长的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C D C C AD AC 1．B 【分析】先求直线与的交点，再根据直线垂直求斜率，利用点斜式可得所求直线方程. 【详解】联立与，得交点坐标为. 又垂直于直线的直线的斜率为， 故所求直线的方程为，即. 故选：B 2．C 【分析】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，则得到答案. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即， 因为直线与直线的距离为， 所以，即，解得或（舍去）， 故． 故选：C 3．D 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D 4．C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 5．C 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】可变为，则两条平行直线间的距离为． 故选：C. 6．AD 【分析】由两直线平行的斜率关系可得A正确，利用平行直线之间的距离公式计算可得B错误，再由垂直关系的斜率表示可得C错误，由直线过定点可得D正确. 【详解】对于A，由可得，解得，经检验两直线不重合，所以A正确； 对于B，由A可知时，此时的方程为， 此时两条平行直线之间的距离为，可知B错误； 对于C，若，可得，解得，即C错误； 对于D，将整理可得， 所以恒过定点，即D正确. 故选：AD 7．AC 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为，， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，故C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时， 到直线的距离最大，最大值为， 故D正确， 故选：AC. 8． 【分析】由对称性，求得关于的对称点，即可求解； 【详解】点关于直线的对称点为， 由题知，入射光线所在的直线经过点和点， 且． 故答案为：． 9． 【分析】依题意作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则，计算即得的最小值. 【详解】如图作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 连接，则，此时即为最小值. 理由：在轴上任取点，连接，易得， 则， 故上述点即是使取得最小值的点. 故答案为：.    10．或 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式求出值. 【详解】直线，即与直线之间的距离为， 则，解得或，经验证，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或 11．(1)； (2). 【分析】（1）联立直线求得交点，代入求参数值即可； （2）根据直线确定直线过定点，再应用两点距离公式求. 【详解】（1）由，得，即， 因为过点，所以，即． （2）因为，所以直线过定点， 所以. 12．(1) (2) 【分析】（1）由直线的斜率得到直线的斜率，结合，得到直线的方程，与直线的方程联立，求出点的坐标； （2）设，由中点坐标公式得到，将其代入直线中，求出，求出，从而结合（1），求出直线的方程. 【详解】（1）由题意得直线的斜率为，所以直线的斜率为． 又因为，所以直线的方程为，即， 因为直线的方程为， 由，解得，所以点的坐标是． （2）由题意，是线段的中点，且在直线上， 设，又，则． 由题意，点在直线上，则． 解得，则． 由（1）得，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 13．(1)且 (2) 【分析】（1）当时与相交，即可求出的值； （2）根据一般式下两直线平行的条件得到方程（不等式）组，求出的值，再由距离公式计算可得. 【详解】（1）因为直线与直线， 当直线与相交，则，解得且. （2）由直线与平行，则，解得， 所以此时直线，， 所以与的距离. 14．(1)； (2)或. 【分析】（1）利用直线方程的点斜式求出方程，再化成一般式即可. （2）利用三角形面积求出点到直线的距离，再结合已知建立方程组求解. 【详解】（1）直线的斜率，直线的方程为， 所以BC边所在直线的一般式方程为. （2）依题意，，设点到直线的距离为， 由的面积等于2，得，解得， 于是，解得或， 所以点的坐标为或. 15．(1) (2)或 【分析】（1）求出点的坐标以及点关于直线的对称点的坐标，即可求解； （2）首先求出点的坐标，然后根据已知得过边的中点，或，分别求解即可. 【详解】（1）由，解得，即， 设点关于直线的对称点为， 因为是的平分线，所以在直线上， 则，解得，即， 于是， 所以直线的方程为，即； （2）联立，解得，即， 因为点，到的距离相等， 所以过边的中点，或， 当过点时，的斜率为， 直线的方程为，即； 当时，直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 16．(1) (2) 【分析】（1）当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程．当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，可知与关于折痕所在的直线对称，得到，从而得到点坐标，可得中点的坐标，利用点斜式求得折痕所在的直线方程． （2）由折痕和线段、相交求出的取值范围，从而求出交点坐标，即可求出折痕长的取值范围． 【详解】（1）①当时，此时点和点重合，折痕所在的直线方程； ②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为， 所以与关于折痕所在的直线对称，有，即，则． 故点坐标为， 从而折痕所在的直线与的交点坐标（即线段的中点）为． 所以折痕所在的直线方程，即． 综上：由①②可得折痕所在的直线方程为． （2）由（1）可知，对于， 令，可得，令可得， 依题意可得，解得， 如下图，折痕所在的直线与线段、的交点坐标为． 所以，因为，所以， 所以，所以， 所以折痕的长的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【2.3直线的交点坐标与距离公式】 总览 题型梳理 【知识点总览】 1．两条直线的交点坐标 【知识点的认识】 ﹣直线方程：在平面直角坐标系中，两条直线的方程通常为： l1：a1x+b1y+c1＝0 l2：a2x+b2y+c2＝0 ﹣交点的计算：两条直线的交点是同时满足这两个方程的点，可以通过解这个二元一次方程组来找到交点的坐标． 2．两点间的距离公式 【知识点的认识】 ﹣距离公式：两点（x1，y1）和（x2，y2）之间的距离由公式： 这是平面直角坐标系中常用的距离计算公式． 3．点到直线的距离公式 【知识点的认识】 ﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为： 【解题方法点拨】 ﹣计算距离： 1．代入直线方程：将点的坐标代入直线方程． 2．计算绝对值：计算Ax0+By0+C的绝对值． 3．计算模：计算法向量的模． 4．求解距离：将绝对值与模相除，即得距离． 4．两条平行直线间的距离 【知识点的认识】 ﹣平行直线方程：两条平行直线的方程为： 直线Ax+By+C1＝0与 直线Ax+By+C2＝0 它们之间的距离为： 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：两直线的交点坐标】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·河南·阶段练习）已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高二下·上海徐汇·期中）在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为 ． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【相似题2】（24-25高二下·上海·阶段练习）在中，已知点边上的中线所在直线的方程为，的角平分线所在直线方程为，则点的坐标为 . 【相似题3】（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程. 【题型2:点到直线的距离公式】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【例题2】（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【例题3】（24-25高二下·上海青浦·期末）点到直线的距离为 . 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·湖南·期末）已知，两点到直线的距离相等，则 . 【相似题2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在直线上，若的最小值为4，则 ． 【相似题3】（24-25高二上·上海·阶段练习）过点且和原点距离是2的直线方程是 . 【题型3：点关于直线对称点】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·上海·阶段练习）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【例题3】（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则 ， ． 【相似题2】（24-25高二上·安徽合肥·期末）一条光线从点射出，经过直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【相似题3】 （24-25高二下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 【题型4：直线关于直线对称】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题3】（24-25高二上·重庆渝中·期末）与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 【相似题3】（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程 .（用一般式方程表示）. 【题型5：平行线之间的距离】 例题精选 【例题1】（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题3】（24-25高二上·陕西西安·期末）平行直线与之间的距离是（   ） A．1 B．4 C．3 D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·江苏盐城·开学考试）已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则 ． 【相似题2】（24-25高二下·上海静安·期中）直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 【相似题3】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线，直线， (1)若与相交，求实数的值； (2)若与平行.求实数的值并求出此时两直线间的距离. 【课后强化练习】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东清远·期末）经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A． B． C．12 D．14 3．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·湖南·阶段练习）直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 二、多选题 6．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知两条直线，的方程分别为与，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．过点 7．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）对于直线，．以下说法错误的有（    ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 三、填空题 8．（24-25高二上·山西吕梁·期末）一条光线从点出发射到直线上的点B，经直线反射后，反射光线恰好经过点，则入射光线所在直线的斜率为 ． 9．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知点，点在轴上，则的最小值为 . 10．（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 四、解答题 11．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知直线：（a为实数），与相交于点M． (1)若过点M，求a的值； (2)设直线过定点N，求． 12．（24-25高二下·全国·开学考试）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程． 13．（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）已知直线与直线． (1)当为何值时，与相交； (2)当为何值时，与平行，并求与的距离；. 14．（24-25高二下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 15．（24-25高二上·安徽·阶段练习）在中，点在直线上，点的坐标为，的平分线所在直线的方程为，且点在直线上. (1)求直线的方程； (2)若直线过点，且点，到的距离相等，求的方程. 16．（24-25高二下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中， 已知矩形的长，宽，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，如下图所示.将矩形折叠，使点落在线段上. (1)若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在直线的方程（用斜率表示）； (2)若折痕和线段、相交，求折痕的长的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$