1.4.2 用空间向量研究距离，夹角问题【7个题型】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【1.4.2用空间向量研究距离，夹角问题】 总览 题型梳理 【知识点总览】 1．空间向量法求解直线与平面所成的角 【知识点的认识】 直线与平面所成角的求法： 向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|． 2．空间向量法求解二面角及两平面的夹角 【知识点的认识】 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角﹣﹣ 在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O． 3、二面角的平面角求法： 向量法：用空间向量求平面间夹角的方法： 设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则 （1）当0，，θ，， 此时cosθ＝cos，． （2）当，π时，θ＝π，， cosθ＝﹣cos，． 3．空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离 【知识点的认识】﹣点到直线的距离：点P到直线l的距离为： 其中是点P到直线上的点A的向量，是直线的方向向量． 两平行直线间的距离：两平行直线的距离是它们之间任意一点到另一条直线的距离． 4.点到平面的距离 （1）定义：过该点作平面的垂线，此点与垂足之间线段的长度即为点到平面的距离。 （2）向量求法步骤 · 确定平面相关向量：设平面的法向量为，平面上一点，平面外一点，求出向量 。 · 计算投影：根据向量点积与模长关系，在法向量方向上的投影的绝对值，此值就是点到平面的距离。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：异面直线的夹角问题】 例题精选 【例题1】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，点，分别在上、下底面圆周上，且，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二下·湖南·阶段练习）如图，在四面体ABCD中，与为等边三角形，且，E，F分别为棱AD，AB的中点，则异面直线BE，CF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·江苏苏州·三模）如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【题型2：直线与平面的夹角】 例题精选 【例题1】（2025·河北石家庄·三模）如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形．O是边AB的中点，PO⊥平面ABC，． (1)在直线PB上是否存在一点M，使得直线平面MOC？ (2)若平面平面PAC，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值． 【例题2】（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习）如图，在四棱柱中，四边形是菱形，点P在线段上，，平面平面. (1)证明：； (2)已知，，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【例题3】（海南省三亚市2024-2025学年高三下学期学业水平诊断数学试题）在多面体中，为平行四边形，平面，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)已知多面体的体积为，求与平面所成角的正弦值. 相似练习 【相似题1】（2025·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥的底面是矩形，，，是等边三角形，平面平面，，分别是，的中点，与交于点． (1)求证：平面； (2)平面与直线交于点，求直线与平面所成角的余弦值． 【相似题2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在三棱台中，平面，且，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【相似题3】（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【题型3：二面角的求法】 例题精选 【例题1】（2025·北京·三模）如图，在四棱柱 中， 侧面和底面均为菱形， 且   为的中点，与平面 交于点， (1) 求证: 为的中点； (2) 若平面平面，求二面角 的余弦值. 【例题2】（山西省部分学校2025届高三下学期5月模拟联考数学试题）如图，在三棱柱中，所有的棱长均相等，是的中点，在上底面的投影为的重心． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 【例题3】（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，，，． (1)求证：平面； (2)若点满足，求平面与平面的夹角的余弦值． 相似练习 【相似题1】（2025·河北保定·二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点． (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【相似题2】（24-25高二下·广东湛江·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面底面．其中底面为直角梯形且，，，；是边长为的等边三角形且为的中点，点是棱上的点．    (1)若点是棱的中点，求证：平面； (2)若，求二面角的大小． 【相似题3】（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在三棱锥和中，和均是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面平面. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【题型4：点（直线）到直线的距离】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·福建莆田·期中）已知，，，则点C到直线的距离为 . 【相似题2】已知棱长为1的正方体，若点在正方体内部且满足，则点到的距离为 ． 【相似题3】（24-25高二下·福建漳州·期中）已知直三棱柱中，，，则点到直线的距离为 . 【题型5：点（线面）到平面的距离】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高二下·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则平面到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·江苏·阶段练习）若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（上海市宝山区2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷）已知三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且，，.顶点到平面的距离是 . 【相似题3】（2025·天津·二模）如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【题型6：异面直线的距离】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高二上·四川·期中）在长方体中，，，，则异面直线与的距离是（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（23-24高二下·甘肃武威·期末）已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 【相似题2】（24-25高二上·湖北宜昌·期中）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为 . 【相似题3】（24-25高二上·辽宁·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为 . 【题型7：存在性最值问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·广东深圳·期中）图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【例题2】（2025·辽宁·二模）如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点.现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点. (1)求证：； (2)若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正切值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由. 【例题3】（2025·广西桂林·一模）如图，梯形中，为上一点，，且，将沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，得到四棱锥为的中点.    (1)若为的中点，证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得，若存在，求直线与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，点在线段上，点在棱上（与点不重合）. (1)证明：直线平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的长度. 【相似题2】（24-25高二上·山东临沂·阶段练习）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【相似题3】（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面所成的角为， （I）求三棱锥的体积； （II）试问在侧面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出点到直线的距离；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【1.4.2用空间向量研究距离，夹角问题】 总览 题型梳理 【知识点总览】 1．空间向量法求解直线与平面所成的角 【知识点的认识】 直线与平面所成角的求法： 向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|． 2．空间向量法求解二面角及两平面的夹角 【知识点的认识】 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角﹣﹣ 在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O． 3、二面角的平面角求法： 向量法：用空间向量求平面间夹角的方法： 设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则 （1）当0，，θ，， 此时cosθ＝cos，． （2）当，π时，θ＝π，， cosθ＝﹣cos，． 3．空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离 【知识点的认识】﹣点到直线的距离：点P到直线l的距离为： 其中是点P到直线上的点A的向量，是直线的方向向量． 两平行直线间的距离：两平行直线的距离是它们之间任意一点到另一条直线的距离． 4.点到平面的距离 （1）定义：过该点作平面的垂线，此点与垂足之间线段的长度即为点到平面的距离。 （2）向量求法步骤 · 确定平面相关向量：设平面的法向量为，平面上一点，平面外一点，求出向量 。 · 计算投影：根据向量点积与模长关系，在法向量方向上的投影的绝对值，此值就是点到平面的距离。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：异面直线的夹角问题】 例题精选 【例题1】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，点，分别在上、下底面圆周上，且，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过的母线为，连接，则，以为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求与所成角的余弦值. 【详解】过的母线为，连接，则，又因为，所以，    以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以与所成角的余弦值为. 故选：A. 【例题2】（24-25高二下·湖南·阶段练习）如图，在四面体ABCD中，与为等边三角形，且，E，F分别为棱AD，AB的中点，则异面直线BE，CF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作平面于点，证点为斜边的中点，且，建立空间直角坐标系，设，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】如图，作平面于点， 因，则为的外心， 又，故点为斜边的中点，且． 故可以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图． 设，则，则， ， 则有， 因E，F分别为棱AD，AB的中点，故，， 则，， 设直线所成的角为， 则， 故选：A.． 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】思路一：利用几何法求异面直线所成角时，往往结合平行四边形的对边或三角形的中位线寻找平行线，将异面直线转化到同一个三角形中，进而利用正、余弦定理求解；思路二：两直线所成角为锐角或直角，若利用向量法求出余弦值为负，注意取相反数. 【详解】方法一：如图2，分别取，，的中点，连接， 则，， 从而或其补角为异面直线与所成的角，易知,， 则由余弦定理得， 从而直线与直线夹角的余弦值为，故选：D． 方法二：以为坐标原点，过且与平面垂直的直线为轴，，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图3， 则，，，，，，， 故所求两直线夹角的余弦值为， 故选：D． 【相似题2】（2025·江苏苏州·三模）如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连结交于点，连结，证明四边形是正方形，证明平面，证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解. 【详解】（1）连结交于点，连结， 因为正四棱锥，所以平面， 又平面， 所以，因为正四棱锥， 所以四边形是正方形， 所以，因为，，，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2） 因为，，， 所以以为原点建立空间直角坐标系， ，，，， 所以， ， 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为. 【题型2：直线与平面的夹角】 例题精选 【例题1】（2025·河北石家庄·三模）如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形．O是边AB的中点，PO⊥平面ABC，． (1)在直线PB上是否存在一点M，使得直线平面MOC？ (2)若平面平面PAC，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值． 【答案】(1)存在 (2)． 【分析】（1）存在M点是PB的中点，由题意可证得，进而可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，由题意可求出直线PB的方向向量与平面PAC法向量的坐标，求出这两个向量的夹角的余弦值，进而可得线面所成角的正弦值． 【详解】（1）存在，M点是PB的中点．理由如下： 当M点是PB的中点时，OM是三角形PBA的中位线，所以， 又面MOC，平面MOC， 所以平面MOC； （2）过A作于D，若D与C不重合，因为平面平面PAC， 所以平面POC，所以， 因为平面ABC； 所以，所以平面PAC， 所以，矛盾， 故D与C重合，平面POC，， 以C为原点，过C作OP的平行线为z轴，以CA，CO所在的直线分别为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ， ，，， 设平面PAC的法向量为， ，即，令，可得， 可得，，， 所以， 设直线PB与平面PAC所成的角为，则． 即直线PB与平面PAC所成角的正弦值是． 【例题2】（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习）如图，在四棱柱中，四边形是菱形，点P在线段上，，平面平面. (1)证明：； (2)已知，，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由面面垂直推出线面垂直，得到平面，即得，再由菱形性质，得到，由线线垂直推出线面垂直得平面，即得结论； （2）由图建系，求出相关点和相关向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得. 【详解】（1）连接，设，因平面平面， 平面平面，，且平面， 则平面，又平面，则， 因四边形是菱形，则， 因平面，故平面， 因平面，则； （2）设，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 因，则为正三角形，故， 依题意可得：， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成角为， 则. 【例题3】（海南省三亚市2024-2025学年高三下学期学业水平诊断数学试题）在多面体中，为平行四边形，平面，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)已知多面体的体积为，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面； （2）由，利用锥体的体积公式，求得，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为平面且面，所以， 又因为，可得 因为且面，则平面 又因平面面，所以平面平面. （2）解：因为，由（1）可知三棱锥中，由面， 则解得， 由（1）可知，，两两相互垂直， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴和轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 由（1）可知，，可得， 则， 设面的法向量，则， 令，可得，所以， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 相似练习 【相似题1】（2025·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥的底面是矩形，，，是等边三角形，平面平面，，分别是，的中点，与交于点． (1)求证：平面； (2)平面与直线交于点，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明平面，可得，再利用向量法证明，然后由线面垂直判定定理可证； （2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可解. 【详解】（1）因为为正三角形，是中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， ， ，．又，在平面内且相交， 故平面 （2），分别为，的中点，， 又平面过且不过，平面， 又平面交平面于，故，进而， 因为是中点，所以是的中点． 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面法向量为， 则，即，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以， 故直线与平面所成角的余弦值为． 【相似题2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在三棱台中，平面，且，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）由题可得，据此可得，由是的中点，可得，据此可完成证明； （2）由平面，可如图建立空间直角坐标系，据此可得平面的法向量，据此可得答案. 【详解】（1）证明：连接，则四边形为矩形. 因为， 所以， 又，所以， 所以，故. 因为是的中点，所以. 因为平面平面，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为平面，所以平面. （2）因为平面平面， 所以， 因为，所以， 又平面，所以平面. 由（1）知，故以为坐标原点， 以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 因为，所以由棱台的性质得， 所以， 所以. 设平面的法向量为， 则，取， 则，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【相似题3】（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； （2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 【题型3：二面角的求法】 例题精选 【例题1】（2025·北京·三模）如图，在四棱柱 中， 侧面和底面均为菱形， 且   为的中点，与平面 交于点， (1) 求证: 为的中点； (2) 若平面平面，求二面角 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面平行可得，根据中位线的性质可得； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量法求解二面角的余弦值. 【详解】（1）在四棱柱 中， 平面平面， 又因为平面CDE 平面ABCD=CD， 所以， 又因为，所以， 又因为E为的中点，所以F为的中点 （2）取AD的中点O，连接， 在四棱柱 中， 四边形，四边形均为菱形， 又 所以均为等边三角形， 所以， 又因为平面平面ABCD，平面平面ABCD=AD， 平面，所以平面ABCD， 平面ABCD，所以， 如图建立空间直角坐标系， 所以， 所以即为平面的一个法向量， ， 设平面的一个法向量为， 所以，令得， 所以， 所以， 因为二面角 为锐角， 所以二面角 的余弦值为， 【例题2】（山西省部分学校2025届高三下学期5月模拟联考数学试题）如图，在三棱柱中，所有的棱长均相等，是的中点，在上底面的投影为的重心． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质定理证明即可. （2）解法一：延长交于点，则为平面与平面的夹角，然后利用直角三角形知识求解，再结合利用诱导公式求解即可； 解法二：建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法及同角三角函数关系求出正弦值. 【详解】（1）在上底面的投影为的重心． 平面，平面，， ，， 是等边三角形，是的中点，故， ，平面，平面，平面， 又因为平面，. （2）解法一：延长交于点，如图所示， 由（1）知平面，故为平面与平面的夹角， ，， 设棱长为1，则，为重心，，，， 平面与平面的夹角的正弦值为. 解法二：设，有，，，可求得， 由，，可得， 又由平面，以为坐标原点， ，，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 有，，，，， 可得，， 设平面的一个法向量为， 有，取，，，可得， 又由平面的一个法向量为，有，，， 有， 故平面与平面的夹角的正弦值为． 【例题3】（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，，，． (1)求证：平面； (2)若点满足，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，根据勾股定理证明和，即可证明线线垂直； （2）根据（1）的结果建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，利用法向量求夹角的余弦值. 【详解】（1）因为，，，所以， 所以， 因为，且，所以，又，， 所以，，，平面， 所以平面； （2）如图，以点为原点，为轴和轴的正方向，在平面中，作， ，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 平面与平面的夹角为， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 相似练习 【相似题1】（2025·河北保定·二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点． (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过线线平行即可证得线面平行； （2）建系后，写出相关点的坐标，出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1） 取的中点，连接，， 因为为的中点， 所以， 因为， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面， 所以平面． （2） 因为平面，即两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 因为，所以， 所以．   设平面的法向量为， 则 取，得， 所以． 因为平面， 所以平面． 所以为平面的一个法向量．   设平面与平面的夹角为， 则． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【相似题2】（24-25高二下·广东湛江·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面底面．其中底面为直角梯形且，，，；是边长为的等边三角形且为的中点，点是棱上的点．    (1)若点是棱的中点，求证：平面； (2)若，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，连接交于O，连接，可得，从而证明平面． （2）由面面垂直得到线面垂直，进而证明，建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量．进而求解二面角的大小． 【详解】（1）由且， 则四边形为平行四边形， 连接交于O，∴O为的中点，连接， 由M为的中点得，为的中位线， ∴． 又平面且平面， ∴平面． （2）∵是边长为的等边三角形且为的中点， ∴， 又平面底面且平面底面，平面， ∴底面． 又由且，则四边形为平行四边形， 又，∴四边形为矩形． ∴以为坐标原点，、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图的空间直角坐标系，    则由题意有：，，，，， ，， 设，又由， 又，故， 故， ∴．， 设平面的一个法向量为， 则由， ∴，取，则． ∴平面的一个法向量为． 又平面的一个法向量为． 设二面角的平面角为， 又由图可知为锐角，∴， ∴， 即二面角的大小为． 【相似题3】（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在三棱锥和中，和均是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面平面. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取的中点为，连接，利用面面垂直的性质得到平面，结合已知可得，进而结合已知可得，可证结论； （2）方法一：连接，可得两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面与平面的法向量，利用向量法可求二面角的正弦值； 方法二：连接，设，可证为正三角形.，取的中点为，连接，与的夹角为二面角的平面角，求解即可； 方法三：设二面角为，二面角为，则，取的中点为，连接，设，可得即为二面角的平面角，求解即可. 【详解】（1）取的中点为，连接， 则由是以为斜边的等腰直角三角形可知， 平面平面，平面平面平面， 所以有平面， 由已知平面，可得， 出是以为斜边的等腰直角三角形亦可知， 又，所以， 从而可得四边形为平行四边形，因此有， 又平面平面，所以平面. （2）（方法一）连接，由是以为斜边的等腰直角三角形可知， 由（1）知平面，知两两垂直，以为正交基底 ，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则， 于是. 设平面的一个法向量为，则 由，得，令，得； 设平面的一个法向量为，则 由，得，令，得. 于是， 设二面角为，则 即二面角的正弦值为. （方法二）连接，设，由和均是以为斜边的等腰直角三角形可得1. ，由（1）知平面，所以为直角三角形，从而， 故，即为正三角形. 取的中点为，连接，则，又， 平面平面，平面平面， 所以与的夹角为二面角的平面角， 由（1）亦知，于是与的夹解为二面角的平面角， 即为的补角，从而二面角的正弦值就等于. 连接，在中，， 即二面角的正弦值为. （方法三）因为平面平面，所以平面平面， 设二面角为二面角为，则， 取的中点为，连接， 设，由和均是以为斜边的等腰直角三角形可得 ， 由（1）知平面，所以为直角三角形，从而， 故，即为正三角形，从而， 在中，，所以， 平面平面，平面平面， 所以即为二面角的平面角， 在中，， 从而， 即二面角的正弦值为. 【题型4：点（直线）到直线的距离】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得点到直线的距离的表达式，再由二次函数性质可求得最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，可得， 设，所以可得； 因此， 因此点到直线的距离为 . 当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为. 故选：A 【例题2】（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间中点到直线的距离的向量求法求解即可. 【详解】依题意，得，． 因此在上得投影长为， 所以点到直线的距离为． 故选：B． 【例题3】（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何体特征，建立空间直角坐标系，根据空间点到线的距离公式计算即可. 【详解】根据题意，以正方体的顶点为坐标原点，以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，所以，， 设与的夹角为，则， 所以， 所以点到直线的距离为. 故选：D. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·福建莆田·期中）已知，，，则点C到直线的距离为 . 【答案】 【分析】先求出与同方向的单位向量，再求，代入点到直线的距离公式计算即得. 【详解】因为，，， 所以，， 则与同方向的单位向量为， 又，则，， 故点到直线的距离为：. 故答案为：. 【相似题2】已知棱长为1的正方体，若点在正方体内部且满足，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到，求出在上的投影向量的长度，利用点到直线向量距离公式得到答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 则． 在上的投影向量的长度为， 点到的距离为 故答案为： 【相似题3】（24-25高二下·福建漳州·期中）已知直三棱柱中，，，则点到直线的距离为 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间点到直线距离公式进行计算. 【详解】 如图，以点为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以， 所以直线的方向向量为，而， 则，在上的投影长为. 所以点B到直线的距离. 故答案为：. 【题型5：点（线面）到平面的距离】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点面距的向量公式，可得答案. 【详解】由题意可得. 故选：C. 【例题2】（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，设，连接，证明平面，再以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】连接，设，连接， 由，得，所以， 因为底面是菱形，所以， 又因为，且，在平面内， 所以平面， 在中，，，所以， 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 故，，， 设平面的法向量为， 则有，令，得， 所以点到平面的距离. 故选：C. 【例题3】（24-25高二下·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则平面到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用线面与面面平行的判定定理可证得平面平面，根据线面平行的性质可得平面，确定平面到平面的距离为到平面的距离，结合空间向量法求解点到平面的距离即可. 【详解】由且知，四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； 由且知，四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面.又平面， 所以平面， 则到平面的距离即为平面到平面的距离. 建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以，则点到平面的距离为， 即平面到平面的距离为. 故选：A 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·江苏·阶段练习）若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，利用点到面的距离公式可求点到平面的距离. 【详解】因为点，点，所以， 又平面的一个法向量为， 所以点到平面 【相似题2】（上海市宝山区2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷）已知三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且，，.顶点到平面的距离是 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面BCD的法向量，利用点到平面的距离公式求解. 【详解】因为AB、AC、AD两两垂直，以点A为坐标原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面BCD的一个法向量为， ， 令，则， 则顶点A到平面BCD的距离， 即顶点A到平面BCD的距离为． 故答案为： 【相似题3】（2025·天津·二模）如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3). 【分析】（1）连接交于点，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由（2）得平面的法向量为，再由， 结合点面距的向量计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：连接，交于点，可得是的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面. （2）解：以为原点，以正方向分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，， 可得，， 设平面的法向量为，则有， 取，可得，，所以， 又由，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 则， 故平面与平面夹角余弦值为. （3）解：由（2）知：平面的法向量为， 又由， 则， 所以点到平面的距离为. 【题型6：异面直线的距离】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，可得且交于，再由面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影， 所以面， 连接，，则且交于. 因为 面， 所以，. 所以以，，为 ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 则，，，，， 所以，. 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有 ，即，取. 又因为， 所以异面直线与的距离. 所以异面直线与的距离为. 故选：B 【例题2】（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和的公垂线的方向向量，求出，再由可求出. 【详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 则，， 设和的公垂线的方向向量， 则，即，令，则， ， . 故选：D. 【例题3】（24-25高二上·四川·期中）在长方体中，，，，则异面直线与的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求解直线与的公垂线的方向向量，利用异面直线距离的向量公式求解即可. 【详解】如图，以为原点，分别以，，为，，轴的正向建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设直线与的公垂线的方向向量为， 则，取，则，， ，又， 异面直线与的距离是. 故选：A. 相似练习 【相似题1】（23-24高二下·甘肃武威·期末）已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与间的距离. 【详解】因平面，且平面，故， 又，故可以为坐标原点，以所在直线 分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则，， 所以，令，则. 设异面直线与之间的距离为d， 则. 故答案为： 【相似题2】（24-25高二上·湖北宜昌·期中）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为 . 【答案】 【分析】求得与，都垂直的一个向量，利用可求直线与之间的距离. 【详解】以为轴，为轴，为轴建立空间直线坐标系，    则，，， 设与，都垂直的一个向量， 则，取，则，， 所以与BD1，CD都垂直的一个向量， 所以直线与之间的距离为. 故答案为： 【相似题3】（24-25高二上·辽宁·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为 . 【答案】/ 【分析】连接，，设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 求出与，都垂直的向量为，利用即可求. 【详解】    连接，，设， 由题意，以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，， ，，. 设与，都垂直的向量为， 则，即， 令，则，， 所以为与，都垂直的一个向量， 则线段的长度的最小值为. 故答案为： 【题型7：存在性最值问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·广东深圳·期中）图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且 【分析】（1）利用勾股定理可证得，，利用线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）假设在线段上存在点，使平面与平面所成的角为，以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，即可得出结论. 【详解】（1）翻折前，是边长为的等边三角形， 因为，，． 由余弦定理得． 因为，所以，折叠后有． 在四棱锥中，连接，如下图所示： 在中，，，， 由余弦定理可得， 因为，，所以，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故平面平面. （2）翻折前，翻折后，则有，又平面， 以为原点，以点、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 过作交于点， 设，则，，， 易知，，，所以. 因为平面，所以平面的一个法向量为， 因为直线与平面所成的角为， 所以，解得. 所以，满足，符合题意. 所以在线段上存在点P，使直线与平面所成的角为，此时. 【例题2】（2025·辽宁·二模）如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点.现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点. (1)求证：； (2)若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正切值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且三棱锥的体积为 【分析】（1）证明出平面，结合可得出平面，可得出，推导出，利用线面垂直的判定定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）分析可知二面角的平面角为，即，取的中点，连接，推导出平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，再利用锥体的体积公式可得出的值. 【详解】（1）在图①中，由题意可知，四边形为正方形，且， 在②中，，，且，、平面， 所以平面， 因为，所以平面，因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）由（1）知，平面， 因为平面，所以平面平面， 因为、平面，所以，， 所以，二面角的平面角为，即， 因为，所以为等边三角形，所以， 取的中点，连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，且， 设为的中点，则可以以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 则，，，， 设，则， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 记直线与平面所成角为，则， 由可得， 则， 即，， 因为，解得，故， 所以. 【例题3】（2025·广西桂林·一模）如图，梯形中，为上一点，，且，将沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，得到四棱锥为的中点.    (1)若为的中点，证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得，若存在，求直线与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）利用中位线的性质证得线线平行，从而证得线面平行，再证得面面平行，利用面面平行的性质定理证得线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用向量线性运算的坐标表示求出点坐标，再利用向量法求线面角即可. 【详解】（1）    取的中点，连接. 三点分别为的中点 在平面中，， 又平面平面平面 同理，，平面平面，所以平面， 又平面平面， 平面平面， 平面平面. （2）    因为平面平面，平面平面，平面, 所以，平面. 过作的平行线，过作交于点. 以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 梯形中，，， 所以，则. 所以. 假设在上存在点使得，设， 设，则，解得. 因为， 所以，解得. ， 因为平面平面，故取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则 . 所以，线段上存在点使得，直线与平面所成角的正弦值为. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，点在线段上，点在棱上（与点不重合）. (1)证明：直线平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）先根据线面平行判定定理证明平面，平面，   由此证明平面平面，再根据面面平行的性质证明平面； （2）建立空间直角坐标系，设的坐标，求平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求两平面的夹角余弦值，列方程可求的坐标，由此可得结论. 【详解】（1）如图，连接，，由题意知，且， ∴四边形是平行四边形，    ∴，又平面，平面，∴平面.    ∵，分别为，的中点，所以，， 又，，所以，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面，∴平面，    又，平面， ∴平面平面， 又平面，∴平面.    （2）∵三棱柱是直三棱柱，且， ∴可以，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设，， 则，，    设平面的法向量为， 则， 取，可得，， 所以为平面的一个法向量.    由题意可取平面的一个法向量为.   设平面与平面的夹角为， 则，解得或（舍去）. 故的长度为. 【相似题2】（24-25高二上·山东临沂·阶段练习）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在 ， 【分析】（1）根据线面垂直先证得，再结合可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得点B到平面的距离. （3）设，根据平面与平面的法向量垂直建立等量关系求得即可． 【详解】（1）证明：，， 又平面平面， 所以平面， 平面，， 又平面平面， 平面； （2）平面， ∴ 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，， ，设平面的法向量为， 则，故可设.， 所以点B到平面的距离为. （3）存在，理由如下： 假设在线段上存在一点，使得平面平面， 设， 则，， ， 设平面的法向量， 由， 得， 令，得． 设平面的法向量为， ， 故， 取，得． 因为平面平面， 所以， 解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且． 【相似题3】（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面所成的角为， （I）求三棱锥的体积； （II）试问在侧面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出点到直线的距离；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（I）8；（II）存在， 【分析】（1）通过证明平面可完成证明； （2）（I）在平面内作于，连接，由面面垂性质可得平面， 据此可得，，即可得体积； （II）方法1，以OB，OC，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 假设在侧面内存在点，设，由平面，可得点N坐标，然后由向量知识可得答案； 方法2，由题可得点B在三角形内的射影N为等腰锐角三角形的外心，由（I） 可得，然后由图及勾股定理可得答案. 【详解】（1）由四边形是直角梯形，，， 可得，，从而是等边三角形， ，BD平分.∵E为的中点，，， 又，，平面，平面 平面，平面，所以平面平面. （2）（I）在平面内作于，连接，由（1）有平面， 又平面，∴平面平面. 因为平面平面，平面，平面 为与平面所成的角，则， 由题意得，，，为的中点， .又， 所以三棱锥P-BDC的体积为； （II）方法一：（向量法）以OB，OC，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标 系， 则，，，， 假设在侧面内存在点，使得平面成立， 设， 由题意得， ，， ，由，得， 解得，， 满足题意，，点N存在. ，，， 所以，，， 所以点到直线PC的距离 方法二：（传统方法）由条件可知，， 且三角形为，的等腰锐角三角形， 所以点B在三角形内的射影N为等腰锐角三角形的外心， 所以点N必在侧面PCD的内部. 由（I）知三棱锥的体积为，， 由体积转化可得，， 在直角中，由勾股定理可得， E为PC的中点， 所以点到直线PC的距离 1 学科网（北京）股份有限公司 $$