精品解析：河北省部分高中2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

2024～2025学年度高一年级6月月考 数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第5节～第7节，必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 3. 若异面直线m，n分别在平面，内，且，则直线l（ ） A. 与直线m，n都相交 B. 可能与m，n都平行 C. 与m，n中的一条相交，另一条平行 D. 至少与m，n中的一条相交 4. “五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台的上、下底面直径长分别为、，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ） A. 1.86 B. 1.88 C. 1.9 D. 1.92 7. 如图，小胡同学为了测量地面上一栋大楼AB的高度（大楼AB垂直于地面），在与楼底同一水平面内选取两个测量基点和，在点测得大楼顶部的仰角是，在点测得大楼顶部的仰角是，测得水平面上的米，则该大楼的高度为（ ） A. 37米 B. 38米 C. 39米 D. 40米 8. 已知函数，若函数为奇函数，且函数在区间上单调，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一次射击决赛中，某位选手射击了一组子弹，得分分别为，，则（ ） A. 该组数据的极差为1.8 B. 该组数据的众数为10.1 C. 该组数据的分位数为9.9 D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等 10. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 是关于的方程的一个根 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点为AB的中点，点是正方形内的一点（包含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 二面角的正切值为 C. 的周长的最小值为 D. 若平面，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为______． 13. 已知角的终边上有一点，则______． 14. 已知中，点，分别是知的重心和外心，且，，则边的长为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）若，求； （2）若，求向量与的夹角. 16. 一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为6组：、、…、、，绘制成频率分布直方图（如图所示）. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； （2）在样本中，从成绩在内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率. 17. 已知函数的部分图象如图所示，且. （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求在上的最大值与最小值. 18. 如图，在三棱柱中，，，侧面为正方形，为棱的中点，点为棱上一点，且平面． （1）证明：平面平面； （2）求的值； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对边分别为，，，且，点为的费马点． （1）求证：是直角三角形； （2）若的面积为，且，求的值； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度高一年级6月月考 数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第5节～第7节，必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据虚数单位的运算性质化简已知等式，再通过复数的除法运算法则求出. 【详解】由可得， 可得. 故选：D. 2. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量垂直的坐标表示列方程，求参数值. 【详解】由题设，可得. 故选：A 3. 若异面直线m，n分别在平面，内，且，则直线l（ ） A. 与直线m，n都相交 B. 可能与m，n都平行 C. 与m，n中的一条相交，另一条平行 D. 至少与m，n中的一条相交 【答案】D 【解析】 【分析】由线面位置关系推理即可得解. 【详解】因为，所以，，则l与m平行或相交，l与n平行或相交， 又m，n为异面直线，所以l不能与m，n同时平行， 即l与m，n可能都相交，也可能与其中一条相交，故A，B，C错误，D正确． 故选：D． 4. “五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析这六场比赛甲的情况为：赢输赢输赢赢，利用独立事件的概率乘法公式计算即得. 【详解】因连胜两场者赢得比赛，故要使比赛6场后甲赢得比赛，则在这六场比赛中，甲的情况依次为：赢输赢输赢赢， 故比赛6场后甲赢得比赛的概率为：. 故选：B. 5. 已知圆台的上、下底面直径长分别为、，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，进而可求出圆台的高，结合台体体积公式可求得该圆台的体积. 【详解】设圆台的母线长为，则该圆台的侧面积为，故， 取圆台的轴截面，则四边形为等腰梯形， 分别过点、在平面内作、，垂足分别为点、，如下图所示： 因为，，，则四边形为矩形，故， 且， 因为，，，故， 所以，故， 故圆台的高为，因此该圆台的体积为. 故选：C. 6. 某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ） A. 1.86 B. 1.88 C. 1.9 D. 1.92 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平均数，再根据方差公式即可得解. 【详解】由题意，总体的平均数为小时， 根据分层随机抽样的性质，可得总体的方差为： ． 故选：D． 7. 如图，小胡同学为了测量地面上一栋大楼AB的高度（大楼AB垂直于地面），在与楼底同一水平面内选取两个测量基点和，在点测得大楼顶部的仰角是，在点测得大楼顶部的仰角是，测得水平面上的米，则该大楼的高度为（ ） A. 37米 B. 38米 C. 39米 D. 40米 【答案】B 【解析】 【分析】设出大楼高度，然后分别表示出相关线段长度，最后在中利用余弦定理列出方程求解. 【详解】设大楼米. 在中，因为在点测得大楼顶部的仰角是，，，所以. 在中，因为在点测得大楼顶部的仰角是，，，所以.  已知在中，，米，根据余弦定理. 将，，代入上式可得：， 即，移项可得，即，解得 得到，（高度不能为负舍去）.  该大楼的高度为38米. 故选：B. 8. 已知函数，若函数为奇函数，且函数在区间上单调，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法求出，再根据对称性求出初相位，最好根据正弦函数的性质可求参数的取值范围. 【详解】令，则，故， 故， 又由函数的图象关于原点对称，得，解得， 则 ， 当时，，若函数在区间上单调， 则，则． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一次射击决赛中，某位选手射击了一组子弹，得分分别为，，则（ ） A. 该组数据的极差为1.8 B. 该组数据的众数为10.1 C. 该组数据的分位数为9.9 D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用极差、百分位数、平均数的概念逐项判断即可. 【详解】对于A项，极差等于，故A正确； 对于B项，该组数据的众数为10.1和，故B错误； 对于C项，，故分位数为，故C正确； 对于D项，平均数等于， 去掉后，这两组数据的平均数相等，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 是关于的方程的一个根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的共轭以及复数的模长、复数的四则运算逐一判断即可. 【详解】，所以 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，即是关于的方程的一个根，D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点为AB的中点，点是正方形内的一点（包含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 二面角的正切值为 C. 的周长的最小值为 D. 若平面，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，确定半径后根据球的表面积公式求解即可；对于选项B，作出辅助线找出二面角的平面角，然后根据边角关系求出正切值；对于选项C，找出点关于平面的对称点为，然后求出三角形周长的最小值；对于选项D，作出辅助线，根据线面平行得到面面平行，然后确定点的轨迹求出长度即可. 【详解】对于选项A：因为正方体的外接球直径等于正方体的体对角线长， 而体对角线长度为，所以外接球半径为. 根据球的表面积公式可得：，A正确. 对于选项B：过点作直线的垂线，垂足为，连接，如图所示. 易得为二面角的平面角，又， 所以，所以， 所以二面角的正切值为，故B错误. 对于选项C：记点关于平面的对称点为， 所以， 当且仅当三点共线时等号成立，所以的周长的最小值为，C正确. 对于选项D：取的中点，的中点，连接， 易得，又不在平面上，平面， 所以平面，又易得，不在平面上， 平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面，所以点在线段上， 所以点的轨迹长度，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则即可求解． 【详解】根据斜二测画法可知，原来的平行四边形为一个矩形，且该矩形的宽为2，长为4， 故原来的平行四边形的面积为， 故答案为：8． 13. 已知角的终边上有一点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义结合三角变换公式可求的值. 【详解】由三角函数的定义，知，所以， ． 故答案为： 14. 已知中，点，分别是知的重心和外心，且，，则边的长为_____. 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，过点作于点，作于点.将用表示，根据向量数量积的几何意义化简已知式，推得，再由利用向量数量积的运算律求得，最后利用和已得结论求即可. 【详解】 如图，延长交于点，过点作于点，作于点. 因点，分别是知的重心和外心，则，, 则，则 ， 即得， 又由和，可得， 整理得，解得， 因， 则， 即边的长为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）若，求； （2）若，求向量与的夹角. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的数乘表示向量共线关系，结合向量模长的坐标公式计算即可； （2）利用垂直向量的数量积为0，结合向量数量积的运算律计算可得，再根据向量间夹角公式计算即可. 【小问1详解】 由题意，是非零向量，则由可设， 因为，所以，解得， 则. 【小问2详解】 因为，所以， 即，解得， 设向量与的夹角为， 所以，， 又因为，所以. 16. 一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为6组：、、…、、，绘制成频率分布直方图（如图所示）. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； （2）在样本中，从成绩在内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和等于1求出的值，再根据平均数计算公式计算即可； （2）先计算出内的人数，分别表示出随机试验和事件所含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，，解得，； 这50名学生的物理成绩的平均数为：； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，成绩在内的学生有人， 其中内有2人，设为，内有3人，设为， “从成绩在内的学生中随机抽取2人”对应的样本空间为： ，而事件 “2人成绩都在内”=， 由古典概型概率公式可得，. 即这2人成绩都在内的概率为. 17. 已知函数的部分图象如图所示，且. （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求在上的最大值与最小值. 【答案】（1）； （2）最大值1；最小值. 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合“五点法”作图依次求出即可. （2）求出函数的解析式，利用正弦函数性质求出最值. 【小问1详解】 由图知，的高为1， 由，得，解得，即， 过作轴，垂足为，则，由，得，解得， 因此函数的最小正周期，解得，函数， 而，则，又，因此， 所以的解析式为. 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 当时，，则当，即时，取得， 当，即时，， 所以函数取的最大值1；最小值. 18. 如图，在三棱柱中，，，侧面为正方形，为棱的中点，点为棱上一点，且平面． （1）证明：平面平面； （2）求的值； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 由，，得，所以， 又侧面为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，故平面平面． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用，证得平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）连接与交于点，根据即可求出； （3）延长交的延长线于，求证为直线与平面所成的角，在中即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接与交于点，连接， 因为面，平面平面，平面， 所以，则， 在正方形中，，D为棱的中点， 所以，所以． 【小问3详解】 设， 由（1）可知，平面，又，所以平面， 由（2）知，，延长交的延长线于， 因为侧面为正方形，且，则， 连接，所以为直线与平面所成的角， 所以，，则， 由得， 在中，根据余弦定理， ，则， 在中，，所以． 故直线与平面所成角的正弦值为． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对边分别为，，，且，点为的费马点． （1）求证：是直角三角形； （2）若的面积为，且，求的值； （3）求的最小值． 【答案】（1）证明：由，得， 即，由正弦定理得， 所以是直角三角形. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式，结合正弦定理边角互化即可求解. （2）根据面积公式可求解，进而根据正弦定理可得，由和差角公式化简即可求解. （3）由余弦定理求解长度，结合勾股定理可得，即可利用不等式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 的面积为，则， 所以在中，， 所以， 由P为的费马点，得， 设，则，， 在中，由正弦定理得， 即， 在中，由正弦定理得，则， 因此，整理得，即， 所以，即. 【小问3详解】 由P为的费马点，得， 设，则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由，得， 化简得，又，则，当且仅当时取等号， 整理得，因此，或（舍去）， 所以的最小值为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $