第3章 圆锥曲线与方程综合测试-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第3章 圆锥曲线与方程综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．下列抛物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知为抛物线的焦点，过的直线交于，两点，若弦的中点的横坐标为4，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 5．已知双曲线.若直线与有公共点，则的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 7．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，若，则的面积为（      ） A．1 B． C．2 D． 8．设点F为椭圆E：（）的右焦点，M是圆O：与x轴正半轴的交点，过点M作圆O的切线，交椭圆E于A，B两点，若△ABF的周长是4b，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆，则（    ） A．C的长轴长为8 B．C的焦点坐标为 C．C的离心率为 D．C上的点到焦点的最大距离为 10．已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．面积的最小值为2. C． D．可能为直角. 11．已知双曲线 与动圆. 恰有两个交点，则（   ） A．双曲线C的离心率为2 B．双曲线C的渐近线被圆M截得的弦长为 C．双曲线 C上存在一条弦，该弦的中点坐标为 D．过双曲线C的一个焦点 F作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 13．在平面直角坐标中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为上一点，记在点处的切线，过点作于点，则的长为 ． 14．如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 16．（15分） 过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点． (1)若线段中点的横坐标为1，求的值； (2)求的取值范围． 17．（15分） 已知双曲线E的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线E的标准方程； (2)点Q为双曲线E上一点，证明点Q到两渐近线的距离之积为定值，并求出该定值； (3)双曲线E的两个顶点分别为，点M在直线上，直线与双曲线E分别交于（异于）两点，且直线与x轴垂直，求点M的坐标及直线的方程． 18．（17分） 已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知点，设过点的直线与交于两点． ①若的斜率分别为，证明：； ②若点在线段上，且．证明：轴． 19．（17分） 已知曲线，对坐标平面上任意一点，定义．若两点，满足，称点在曲线同侧；若，称点在曲线两侧． (1)直线过原点，线段上所有点都在直线同侧，其中、，求直线的斜率的取值范围； (2)已知曲线，为坐标原点，求点集的面积； (3)记到点与到轴距离和为的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点在曲线两侧，求曲线的方程与实数的取值范围． 第2页，共5页 第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 圆锥曲线与方程综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在双曲线中，，所以， 所以，所以离心率. 故选：C. 2．下列抛物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于抛物线，，可得，故， 所以，抛物线的焦点坐标为， 同理可知，抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为，， 抛物线的焦点坐标为. 故选：C. 3．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为该椭圆的焦点在轴上，所以，解得， 故选：B. 4．已知为抛物线的焦点，过的直线交于，两点，若弦的中点的横坐标为4，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【解析】设， 则，所以， 由抛物线的焦点弦公式可得. 故选：C. 5．已知双曲线.若直线与有公共点，则的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】双曲线的一条渐近线为， 因为直线与双曲线有公共点，故有，即， 所以，所以.所以， 所以的离心率的范围为. 故选：C. 6．已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】因为直线是双曲线的渐近线， 所以，所以. 故选：B. 7．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，若，则的面积为（      ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】根据题意，可知， 因为，所以由抛物线的定义可得点的横坐标为，故， 所以的面积为， 故选：B. 8．设点F为椭圆E：（）的右焦点，M是圆O：与x轴正半轴的交点，过点M作圆O的切线，交椭圆E于A，B两点，若△ABF的周长是4b，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，易知，， 将代入椭圆E：得：，解得 不妨设，则， 因为，所以，所以， ， 因为的周长是4b，所以， 即，所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆，则（    ） A．C的长轴长为8 B．C的焦点坐标为 C．C的离心率为 D．C上的点到焦点的最大距离为 【答案】ACD 【解析】对于椭圆，，则， 则， 对于A，椭圆的长轴长为，故A正确； 对于B，椭圆的焦点在轴上，且， 则焦点坐标为，故B错误； 对于C，离心率，故C正确； 对于D，椭圆上的点到焦点的最大距离为，故D正确； 故选：ACD 10．已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．面积的最小值为2. C． D．可能为直角. 【答案】BC 【解析】 对于A，由题意，，所以无最小值，故A错误； 对于B，因直线的斜率不可能为0，故可设， 与联立消元得：， 显然，设，则， 则， 点到直线的距离为， 则的面积为， 则当时，即时，取得最小值2，故B正确； 对于C，设直线的倾斜角为，则， 则，故C正确； 对于D，由B选项可得， 则， 故与所夹的角为钝角，故D错误. 故选：BC. 11．已知双曲线 与动圆. 恰有两个交点，则（   ） A．双曲线C的离心率为2 B．双曲线C的渐近线被圆M截得的弦长为 C．双曲线 C上存在一条弦，该弦的中点坐标为 D．过双曲线C的一个焦点 F作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则 【答案】ACD 【解析】对于A，联立C与M的方程，消去x，得， 即， 由题意得， 由m的任意性，解得，则，离心率，A项正确； 对于B，直线是双曲线C的一条渐近线， 圆心到该渐近线的距离为， 圆M的半径为，则该渐近线被圆M截得的弦长为，B项错误； 对于C，设中点为的弦所在的直线与C交于，两点， 则，，且， 两式相减可得 化简得， 所以中点弦所在直线方程为，即， 联立，得， ， 所以存在，故C项正确； 不妨设，圆心，半径， ， 在中，， 所以，则，故D正确； 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 13．在平面直角坐标中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为上一点，记在点处的切线，过点作于点，则的长为 ． 【答案】 【解析】由条件可知，，解得：，， 所以椭圆，所以在点处的切线方程为，即， 因为，所以直线， 联立，解得：，，即，且 所以. 故答案为： 14．如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为 . 【答案】4 【解析】如图，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为点A，B，设，所以，所以，所以 ，在中，，， 又，所以，记准线与对称轴交于点C， 因为，解得，即F到抛物线的准线的距离为4. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 【解析】（1）因为椭圆C的离心率为，且过点， 所以，， 又，解得，，则椭圆C的方程. （2）设直线l的方程为， 联立，消去y并整理得，， 由韦达定理得，， 因为以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，所以， 即， 整理得， 因为，， 所以， 即，解得或， 因为， 所以当或时，满足条件， 则直线的方程为或. 16．（15分） 过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点． (1)若线段中点的横坐标为1，求的值； (2)求的取值范围． 【解析】（1）抛物线的焦点，设， 由线段中点的横坐标为，得，由抛物线定义得， 所以. （2）由直线过点，设直线的方程为， 由消去并整理得， 由，得，且， 则， 所以的取值范围为. 17．（15分） 已知双曲线E的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线E的标准方程； (2)点Q为双曲线E上一点，证明点Q到两渐近线的距离之积为定值，并求出该定值； (3)双曲线E的两个顶点分别为，点M在直线上，直线与双曲线E分别交于（异于）两点，且直线与x轴垂直，求点M的坐标及直线的方程． 【解析】（1）由渐近线方程为，可设双曲线方程为， 将点代入方程可得，即. 故双曲线方程为. （2）证明：设Q， 因为点Q在双曲线E上，所以，即， 双曲线E的渐近线方程为， 点Q到两渐近线的距离之积为， 故点Q到两渐近线的距离之积为定值，定值为. （3）由（1）得，则双曲线E的两个顶点分别为， 不妨设， 由三点共线可得，即 由三点共线可得，即 则，代入双曲线方程得，即， 把，代入方程得， 所以，直线的方程为. 18．（17分） 已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知点，设过点的直线与交于两点． ①若的斜率分别为，证明：； ②若点在线段上，且．证明：轴． 【解析】（1）设，动点满足直线和直线的斜率乘积为， 所以，即，即，. 所以曲线的方程为. （2）①由题意，直线的斜率不为0，设直线， 联立直线与椭圆E的方程消去x整理得， 则，即，可得：或，则， 所以，所以 ． 综上，． ②因为点在线段上，且，所以，且D为内比分点， 由题意在轴的上方或下方，根据对称性不妨取在轴的上方，如图， 所以存在实数，使得，设， 所以，化简得， 由①知，所以， 所以，即，所以轴. 19．（17分） 已知曲线，对坐标平面上任意一点，定义．若两点，满足，称点在曲线同侧；若，称点在曲线两侧． (1)直线过原点，线段上所有点都在直线同侧，其中、，求直线的斜率的取值范围； (2)已知曲线，为坐标原点，求点集的面积； (3)记到点与到轴距离和为的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点在曲线两侧，求曲线的方程与实数的取值范围． 【解析】（1）由题意知：直线斜率存在，可设其方程为，即， ，解得：， 直线斜率的取值范围为. （2），， ，即， 点集表示圆在直线下方的部分（不含边界），如下图阴影部分所示， 设直线与圆交于两点， 则圆心到直线的距离为，， ，， 阴影部分面积， 即点集的面积为. （3）设曲线上的动点为，则， 化简得曲线的方程为：和，其轨迹为两段抛物线弧； 由得：； 设曲线上的点，点到点的距离为， 则； 当时，； 当时，； 则曲线上的点到的距离的范围是， 曲线上总存在两点在曲线两侧， ，解得：，即实数的取值范围为. 答案第12页，共15页 答案第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$