11.3 一元一次不等式组（第1课时）教案 2024-2025学年 人教版（2024）七年级数学下册

11.3　一元一次不等式组（第1课时） 教学目标 　　1．了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组的解集的意义，会结合数轴找出各个不等式的解集的公共部分． 　　2．经历解出不等式组中的每个不等式，利用数轴得到不等式组的解集的过程，掌握不等式组的解法，体会数形结合思想． 教学重点 　　理解一元一次不等式组的解集的意义；掌握一元一次不等式组的解法． 教学难点 　　一元一次不等式组解集的理解；借助数轴找各个不等式解集的公共部分． 教学过程 新课导入 　　某工程队用每小时可抽30 t水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过1 200 t而不足1 500 t，求将污水抽完所用时间的范围． 　　【师生活动】教师引导学生分析题意，得到两个必须同时满足的条件：抽出的污水要超过1 200 t且不足1 500 t． 　　学生独立思考，设未知数列式表达这两个不等关系． 　　【答案】解：设用x h将污水抽完，则x同时满足不等式： 　　30x＞1 200，30x＜1 500． 　　【设计意图】从抽取污水的问题说起，列出两个不等式，引出本节课学习的“一元一次不等式组”，激发学生的学习兴趣． 新知探究 一、探究学习 　　【新知】把x＋y＝10，x－y＝6这两个方程合在一起，写成就组成了一个方程组．类似方程组，把30x＞1 200，30x＜1 500这两个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组，记作 　　实际上，两个或更多的一元一次不等式合起来，都可以组成一个一元一次不等式组． 　　【设计意图】类比方程组得出一元一次不等式组的概念，借助对已学知识的认识学习新知识，让学生感受到研究本节课题是一个自然的研究过程． 　　【问题】怎样确定不等式组中x的取值范围呢？ 　　【师生活动】学生自由发言，教师提示：类比方程组的解，不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组中x的取值范围． 　　学生根据提示，独立解不等式30x＞1 200，30x＜1 500，并把它们的解集在数轴上表示出来． 　　解： 　　由不等式①，解得x＞40． 　　由不等式②，解得x＜50． 　　把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示． 　　教师追问：观察数轴，你能找出这两个不等式的解集的公共部分吗？ 　　学生小组讨论，得到答案：不等式组中x的取值范围是40＜x＜50． 　　这就是说，将污水抽完所用时间多于40 h而少于50 h． 　　【新知】一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集，解不等式组就是求它的解集． 　　“公共部分”是指解集中同时满足不等式组中每一个不等式的那部分解集． 　　如果不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组无解． 　　【设计意图】类比方程组得出一元一次不等式组的解集的概念，结合数轴探究一元一次不等式组的解集，让学生初步感受求不等式组的解集的方法，体会数形结合思想． 　　【问题】利用数轴确定下列不等式组的解集： 　　（1） （2） （3） （4） 　　【师生活动】学生独立完成，请4名学生代表板演，教师讲评、总结． 　　【答案】解：（1） 　　把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示． 　　由图可知，不等式组的解集是x＞2． 　　（2） 　　把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示． 　　由图可知，不等式组的解集是x≤－3． 　　（3） 　　把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示． 　　由图可知，不等式组的解集是－1＜x≤3． 　　（4） 　　把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示． 　　由图可以看到这两个不等式的解集没有公共部分，所以不等式组无解． 　　【归纳】一元一次不等式组的解集的四种情况： 　　设a＞b，则 　　（1）关于x的不等式组的解集是x＞a． 　　不等式组的解集在数轴上的表示（阴影部分）如图所示． 　　（2）关于x的不等式组的解集是x＜b． 　　不等式组的解集在数轴上的表示（阴影部分）如图所示． 　　（3）关于x的不等式组的解集是b＜x＜a． 　　不等式组的解集在数轴上的表示（阴影部分）如图所示． 　　（4）关于x的不等式组无解． 　　不等式组的解集在数轴上的表示（阴影部分）如图所示． 　　以上四种情况可简记为：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找． 　　【设计意图】通过具体例子把解集在数轴上表示出来，让学生能熟练地利用数轴找公共部分，进一步感受数形结合的数学思想． 　　【问题】解不等式组 　　【师生活动】学生独立思考完成，教师给出答案，师生一起总结解一元一次不等式组的一般步骤． 　　【答案】解： 　　解不等式①，得x＞1． 　　解不等式②，得x≤4． 　　把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示． 　　由图可知，不等式组的解集是1＜x≤4． 　　【归纳】解一元一次不等式组的一般步骤： 　　第1步：分别解出不等式组中各个不等式的解集． 　　第2步：在同一条数轴上表示出这几个不等式的解集，并找到它们的公共部分． 　　第3步：用表示不等关系的式子表示出公共部分，得到不等式组的解集；若无公共部分，则不等式组无解． 　　【设计意图】通过解不等式组，进一步加深学生对不等式组的解集以及解不等式组的认识．让学生总结并掌握解一元一次不等式组的一般步骤，进一步体会化归思想． 二、典例分析 　　【例1】下列不等式组： 　　①②③④⑤ 　　其中是一元一次不等式组的有（　　）． 　　A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 　　【师生活动】学生独立完成作答，教师给出答案和解析． 　　【答案】B 　　【解析】根据一元一次不等式组的概念，知①②④都是一元一次不等式组；③含有同一个未知数，但未知数的最高次数是2，⑤含有两个未知数，所以③⑤都不是一元一次不等式组．故共有3个一元一次不等式组． 　　【归纳】判断一个不等式组是否为一元一次不等式组，要注意两方面： （1）看有没有唯一相同的未知数； （2）看每一个不等式是不是一元一次不等式． 　　【设计意图】借助例1，让学生加深对一元一次不等式组的概念的理解． 　　【例2】解下列不等式组： 　　（1） 　　（2） 　　【师生活动】学生独立完成作答，请两名学生代表板演，教师讲评． 　　【答案】解：（1） 　　解不等式①，得x＞2． 　　解不等式②，得x＞3． 　　把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示． 　　所以不等式组的解集为x＞3． 　　（2） 　　解不等式①，得x≥8． 　　解不等式②，得x＜． 　　把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示． 　　所以不等式组无解． 　　【设计意图】借助例2，让学生巩固对一元一次不等式组的解法的掌握． 　　【例3】已知关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 　　【师生活动】学生独立思考，尝试作答，教师给予指导． 　　【答案】解：解不等式①，得x≤3． 　　解不等式②，得x＞a． 　　因为该不等式组无解， 　　所以不等式①和②的解集在数轴上的表示如图所示（示意图）． 　　所以a＞3． 　　当a＝3时，代入不等式组，得x≤3，且x＞3， 　　此时，不等式组也无解，满足题意， 　　所以a的取值范围为a≥3． 　　【归纳】当一元一次不等式（组）化简后未知数的系数中含有字母时，比较已知解集，列不等式（组）或方程（组）来确定字母的值或取值范围是一种常用的基本方法． 　　【设计意图】借助例3，让学生能根据不等式组的解集求字母的值或取值范围． 课堂小结 课后任务 　　完成教材第140页练习第1题． 学科网（北京）股份有限公司 $$