第3章 代数式（中等类型）【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑（苏科版2024）

第3章 代数式思维导图 【类型覆盖】 类型一、整体代入求值 【解惑】若，则（   ） A．11 B．13 C．15 D．17 【融会贯通】 1．如果，那么代数式的值为（   ） A．2015 B．2020 C．2025 D．2030 2．已知m为方程的一个根，那么的值为 ． 3．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如： 若，求代数式的值． 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ； (2)如果，求的值； (3)若，求的值． 类型二、同类项的指数对应相等 【解惑】若关于x，y的单项式与的和是单项式，则（   ） A． B．81 C． D．64 【融会贯通】 1．若单项式与是同类项，则（   ） A． B． C． D． 2．已知和是同类项，则 ，此时的值为 ． 3．已知与是关于x、y的单项式，且它们是同类项． (1)求a的值； (2)若，且，求的值． 类型三、不含某项或某项无关 【解惑】若关于，的多项式不含项，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若多项式的值与x无关，则的值为（   ） A．0 B．2 C．6 D．3 2．若关于、的多项式不含项，则k的值为 ． 3．已知代数式，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 类型四、绝对值在数轴中的化简 【解惑】表示三个数的点在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知，两数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简式子的结果为（    ） A． B． C． D． 2．已知数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 3．已知，有理数a、b、c在数轴上对应A、B、C的位置如图所示： (1) 0， 0， 0， 0（填“<”，“>”，“=”）； (2)化简：． 类型五、日历问题 【解惑】如图是2024年11月份的日历，小颖在其中画一个的方框，框住四个数，若设右上角的数字为x，则下列说法正确的是（     ）          A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中四个位置的数相加结果是4的倍数 【融会贯通】 1．如图，用“十“字形框，任意套中年元月份日历中的五个数，则这五个数的和不可能是（ ） A． B． C． D． 2．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2025年1月份的日历．任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，发现结果都是7．若将方框部分的左上角数字设为，用等式表示这一规律为 ． 3．在日历图中有许多奥秘，如图是某月的日历，请仔细观察并思考下列问题： (1)我们用如图所示的“X”字型框架任意框住日历中的5个数（如图中的阴影部分），探究“X”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系． 例如图中“”字型框架框住的五个数和为：______，______；不难发现，“X”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系为______． (2)设“X”字型框架中位置上的数为，请利用所学知识对（1）中的规律加以证明； (3)如图的日历中，求“X”字型框架框住的5个数之和的最大值与最小值的差为______． 类型六、升幂与降幂排列 【解惑】多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．把多项式按的升幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．将整式按x降幂排列为 ． 3．把多项式按要求重新排列： (1)把这个多项式按的降幂重新排列； (2)把这个多项式按的升幂重新排列． 类型七、抄错问题 【解惑】有一道题目是一个多项式A减去多项式，小胡同学将抄成了，计算结果是，这道题目的正确结果是（  ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在计算：时，嘉琪同学将括号前面的“”号抄成了“+”号，得到的运算结果是，你认为多项式M是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，均为多项式，小方同学在计算“”时，误将符号抄错而计算成了“”，得到结果是，其中，，那么 ． 3．数学老师在黑板上抄写了一道题目：“当，时，求多项式的值，甲同学做题时把抄错成，乙同学没抄错题，但他们得出的结果恰好一样，请你通过计算说明理由，并计算出结果． 类型八、程序流程图 【解惑】如图所示，在这个运算程序中，若开始输入x的值为2，结果输出的是1，返回进行第2次运算，结果输出的是，……则第2024次输出的结果是（    ） A． B．3 C． D．8 【融会贯通】 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是（   ） A．156 B．6 C．231 D．21 2．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的的值为，结果输出的是，返回进行第二次运算则输出的是，则 （1）第次输出的结果是 ； （2）第次输出的结果是 ． 3．一道程序问题如图所示：    (1)当分别取4、时，求出输出的结果； (2)爱动脑筋的王华发现对于任意的一个数，经过上面的程序操作后所得结果都相同．你同意他的猜想吗？请说明理由； (3)请你设计一个计算程序图，加、减、乘、除四种运算各使用一次，使得对于任意一个数，经过程序操作后所得结果都是8．    类型九、规律问题——数的规律 【解惑】按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．按一定规律排列的多项式：，，，，，则第个多项式是（    ） A． B． C． D． 2．已知；若、b均为整数)，则 ． 3．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，… 根据以上规律，解决下列问题： (1)写出第5等式：______________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明其正确性． 类型十、规律问题——式的规律 【解惑】用黑、白两种颜色的正方形按下图中的规律拼图案．第1个图中有4个白色正方形，第2个图中有7个白色正方形，第3个图中有10个白色正方形……，则第10个图中有（　　）个白色正方形． A．24 B．27 C．31 D．40 【融会贯通】 1．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中图案①中有5个正方形，图案②中有9个正方形，图案③中有个正方形，图案④中有个正方形，…，按此规律排列下去，若图案ⓝ中有个正方形，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 3．将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第次操作得到的最小的等边三角形的边长，如，． ①______（用含的式子表示）； ②计算______． (3)运用（2）的结论，计算的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 代数式思维导图 【类型覆盖】 类型一、整体代入求值 【解惑】若，则（   ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值，由，得出，将整理变形，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．如果，那么代数式的值为（   ） A．2015 B．2020 C．2025 D．2030 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，先把变形为，然后把整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 2．已知m为方程的一个根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式的变形．根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后利用降次的方法对原式进行化简即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为： ． 3．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如： 若，求代数式的值． 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ； (2)如果，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查代数式求值，利用整体代入思想求解是解题的关键． （1）根据材料提示，，代入计算即可； （2）根据题意可得，再代入计算即可； （3）根据题意可得，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：，且， ∴原式； （3）解：，且， ∴原式． 类型二、同类项的指数对应相等 【解惑】若关于x，y的单项式与的和是单项式，则（   ） A． B．81 C． D．64 【答案】B 【分析】本题考查同类项，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型．如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，据此可得a，b的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：关于x，y的单项式与的和是单项式， ， ∴． 故选：B． 【融会贯通】 1．若单项式与是同类项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项，代数式求值，根据同类项的定义可得，，进而求出的值，再代入到代数式计算即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 2．已知和是同类项，则 ，此时的值为 ． 【答案】 2 13 【分析】本题考查同类项定义及去绝对值，解题的关键是根据字母及字母指数都相同的项列式解出x的值．然后代入去绝对值即可得到答案． 【详解】解：∵和是同类项， ∴， 将代入得， ， 故答案为：2，． 3．已知与是关于x、y的单项式，且它们是同类项． (1)求a的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了同类项的定义，解题关键是明确同类项所含字母相同，相同的字母的指数也相同； （1）根据同类项相同的字母的指数相同列出方程即可求解； （2）根据同类项合并为0，得出系数和为0，求出字母的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵与是关于x、y的单项式，且它们是同类项， ∴ 解得． （2）解：∵， ∴， ∴． 类型三、不含某项或某项无关 【解惑】若关于，的多项式不含项，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不含项即含项的系数为0，据此求解即可， 本题考查了整式加减中的无关型问题，根据在多项式中不含哪一项，则哪一项的系数为0，由此建立方程，解方程即可求得待定系数的值． 【详解】解：依题意， ∵关于，的多项式不含项， ∴， ∴， 故选B． 【融会贯通】 1．若多项式的值与x无关，则的值为（   ） A．0 B．2 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减法中与x无关的问题， 先去括号，再根据整式的加减法整理得出x的系数，然后根据系数等于0求出m,n,可得答案. 【详解】解：原式 . 因为该多项式的值与x无关， 所以， 解得， 所以. 故选：C. 2．若关于、的多项式不含项，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，掌握合并同类项法则是解题关键．原式利用合并同类项法则计算，根据结果不含项，确定出k的值即可． 【详解】解：， 多项式不含项， ， ， 故答案为：． 3．已知代数式，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）利用整式加减的运算法则计算即可； （2）由（1）得，，结合题意得，解出的值即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）得，， 的值与y的取值无关， ， 解得：， x的值为． 类型四、绝对值在数轴中的化简 【解惑】表示三个数的点在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的化简，整式加减运算．判断，是负数，是正数，根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0，进行化简； 【详解】解：由数轴知，，，， ∴ ． 故选：B． 【融会贯通】 1．已知，两数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简式子的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的意义及合并同类项，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的意义及合并同类项是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴； 故选D． 2．已知数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值．由数轴上的点的位置及有理数的加减法则判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并是解题的关键． 【详解】解：有数轴可知：，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．已知，有理数a、b、c在数轴上对应A、B、C的位置如图所示： (1) 0， 0， 0， 0（填“<”，“>”，“=”）； (2)化简：． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了由点在数轴上的位置判断式子的符号，绝对值化简，整式加减等； （1）由数轴得，，，逐一进行判断，即可求解； （2）由（1）得去绝对值，再进行整式加减运算，即可求解； 能根据点在数轴上的位置判断式子的符号，并能熟练进行绝对值化简是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴得 ，，， ， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）得 原式 ． 类型五、日历问题 【解惑】如图是2024年11月份的日历，小颖在其中画一个的方框，框住四个数，若设右上角的数字为x，则下列说法正确的是（     ）          A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中四个位置的数相加结果是4的倍数 【答案】D 【分析】此题考查了列代数式和整式的加减运算，数字的变化规律，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据右上角的数字为，可知右上角的数字比左上角的数字大，左下角的数字比右上角的数字大，右下角的数字比右上角的数字大，由此即可作判断． 【详解】解：A．左上角的数字为，故此项不正确； B．左下角的数字为，故此项不正确； C．右下角的数字为，故此项不正确； D．方框中个位置的数相加，结果是的倍数，故此项正确． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，用“十“字形框，任意套中年元月份日历中的五个数，则这五个数的和不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式加减的应用，设这五个数最小的数为，列式求出五个数的和为，可知和一定是的倍数，据此判断即可求解，掌握整式的加减运算是解题的关键． 【详解】解：设这五个数最小的数为，则这五个数的和为 ， ∴和一定是的倍数， ∴和不可能是， 故选：． 2．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2025年1月份的日历．任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，发现结果都是7．若将方框部分的左上角数字设为，用等式表示这一规律为 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式．根据题意用含n的式子表示其余三个数，表达规律即可． 【详解】解：设日历中所示的方框左上角数字为n， 则其余三个数从小到大依次是：， ∴用含x的式子可表示为． 故答案为：． 3．在日历图中有许多奥秘，如图是某月的日历，请仔细观察并思考下列问题： (1)我们用如图所示的“X”字型框架任意框住日历中的5个数（如图中的阴影部分），探究“X”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系． 例如图中“”字型框架框住的五个数和为：______，______；不难发现，“X”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系为______． (2)设“X”字型框架中位置上的数为，请利用所学知识对（1）中的规律加以证明； (3)如图的日历中，求“X”字型框架框住的5个数之和的最大值与最小值的差为______． 【答案】(1)50；65；“X”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍 (2)见解析 (3)70 【分析】本题主要考查了有理数加法计算，整式的加减计算： （1）先根据有理数加法计算法则求出两个式子的和，可以发现式子的和都是对应C位置上的数字的5倍； （2）设设“X”字型框架中位置上的数为，则位置上的数为，位置上的数为，位置上的数为，位置上的数为，再根据整式的加减计算法则求出这五个数字的和即可证明结论； （3）根据日历可得和的最大值时，，和取最小值为40时，，由此根据（2）的结论求出最大值和最小值得，进而求差． 【详解】（1）解： ，， “X”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍； 故答案为：；；“X”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍. （2）证明： 设“X”字型框架中位置上的数为， 则位置上的数为，位置上的数为， 位置上的数为，位置上的数为， ， “X”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍； （3）当位上的数是24时，“X”字型框架中的五个数的和取最大值，和为， 当位上的数是9时，“X”字型框架中的五个数的和取最小值，和为， “X”字型框架框住的5个数之和的最大值与最小值的差为． 类型六、升幂与降幂排列 【解惑】多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了将多项式按某个字母降幂排列，熟练掌握多项式的项与次数的定义“多项式中每一个单项式称为该多项式的项（带符号）；次数最高的项的次数即为该多项式的次数”是解题关键．求出多项式的每一项中字母的次数，由此即可得． 【详解】解：在多项式中，中字母的次数是2，中字母的次数是0，中字母的次数是1，中字母的次数是4， 则这个多项式按字母的降幂排列为， 故选：C． 【融会贯通】 1．把多项式按的升幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．根据x的次数从小到大排列即可． 【详解】解：多项式按的升幂排列为． 故选：C． 2．将整式按x降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键．先分清各项，再根据多项式幂的排列的定义解答． 【详解】解：按x降幂排列：． 故答案为：． 3．把多项式按要求重新排列： (1)把这个多项式按的降幂重新排列； (2)把这个多项式按的升幂重新排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的相关定义． （1）按x的指数从大到小的顺序排列即可； （2）按y的指数从小到大的顺序排列即可． 【详解】（1）解：多项式按的降幂重新排列如下：； （2）解：多项式按的升幂重新排列如下：． 类型七、抄错问题 【解惑】有一道题目是一个多项式A减去多项式，小胡同学将抄成了，计算结果是，这道题目的正确结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． 直接利用整式的加减运算法则得出A，进而利用整式的加减运算法则得出这道题目的正确结果． 【详解】解：由题意可得：， 则 ， 故这道题目的正确结果是： ． 故选：B． 【融会贯通】 1．在计算：时，嘉琪同学将括号前面的“”号抄成了“+”号，得到的运算结果是，你认为多项式M是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出算式，去括号后求出即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的加减，能根据题意列出算式是解此题的关键． 2．已知，，均为多项式，小方同学在计算“”时，误将符号抄错而计算成了“”，得到结果是，其中，，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式的加减运算．先根据，求出B，再求出，即可． 【详解】解：根据题意得： ， ∴， 故答案为：． 3．数学老师在黑板上抄写了一道题目：“当，时，求多项式的值，甲同学做题时把抄错成，乙同学没抄错题，但他们得出的结果恰好一样，请你通过计算说明理由，并计算出结果． 【答案】理由见解析，结果为-3 【分析】原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断，从而计算正确结果． 【详解】解：原式= = ∵结果与x的值无关，故甲同学做题时把x=2抄错成x=-2，乙同学没抄错题，但他们得出的结果恰好一样． ∴正确结果是：==-3． 【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 类型八、程序流程图 【解惑】如图所示，在这个运算程序中，若开始输入x的值为2，结果输出的是1，返回进行第2次运算，结果输出的是，……则第2024次输出的结果是（    ） A． B．3 C． D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；根据题意进行有理数的运算，进而找到一般规律，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：第一次输出的是1，第二次输出的是，第三次输出的是，第四次输出的是，第五次输出的是，第六次输出的是，第七次输出的是，第八次输出的是；……； 由上可知：从第二次开始，每六次一循环， ∵， ∴第2024次输出的是； 故选C． 【融会贯通】 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是（   ） A．156 B．6 C．231 D．21 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是理解如图的程序，根据程序进行三次输入计算即可得结果． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，． 故选：C． 2．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的的值为，结果输出的是，返回进行第二次运算则输出的是，则 （1）第次输出的结果是 ； （2）第次输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类、求代数式的值，根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果，从而可以发现结果的变化特点，从而可以得到第次输出的结果，本题得以解决．解题的关键是明确题意，发现输出结果的变化特点，写出所求次数的输出结果． 【详解】解：由题意可得， 第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为， …， 由上可得，从第二次输出结果开始，以，，，，，依次循环出现， ∵， ∴第次输出的结果是． 故答案为：；． 3．一道程序问题如图所示：    (1)当分别取4、时，求出输出的结果； (2)爱动脑筋的王华发现对于任意的一个数，经过上面的程序操作后所得结果都相同．你同意他的猜想吗？请说明理由； (3)请你设计一个计算程序图，加、减、乘、除四种运算各使用一次，使得对于任意一个数，经过程序操作后所得结果都是8．    【答案】(1)2，2 (2)同意，理由见解析 (3)见解析（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握题目所给运算程序的运算顺序． （1）把，分别代入题目所给运算程序进行计算即可； （2）根据题目所给运算程序，得出代数式，将其化简可得该程序的取值与x无关，即可解答 （3）按照题意设计程序，然后验证结果即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； （2）解：同意，理由如下： 根据题意可得：， ∴该运算程序输出的结果与x无关． （3）解：设计程序如下，   ， ∴该运算程序输出的结果与x无关，结果都是8． 类型九、规律问题——数的规律 【解惑】按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类规律探究，找出次数变化的规律是解答本题的关键． 根据所给多项式次数总结出每个多项式前后两项次数变化的规律即可解答． 【详解】解：∵多项式的x项的系数依次为1、、、、，……，多项式的x项的次数依次为2、3、4、5、6，……， y项的次数依次为1、2、3、4、5，……， ∴第n个多项式的x项的系数为，x项的次数为，y项次数， ∴第个多项式是． 故选：D． 【融会贯通】 1．按一定规律排列的多项式：，，，，，则第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是寻找多项式的规律的知识，解题关键是通过归纳总结从特殊到一般找到规律． 从两个方面（系数、指数）总结规律，即可求解． 【详解】解：通过观察即可发现： 的系数规律为：， 的指数的规律为：， 的系数规律为：， 的指数的规律为：， 综合后，第个多项式为：． 故选：． 2．已知；若、b均为整数)，则 ． 【答案】109 【分析】本题考查了数字类规律探索，找到规律是解题的关键； 根据前几个等式可以得到规律：，进而求解． 【详解】解：因为， ， ， ……， 所以第n个等式为：， 所以若、b均为整数)，则， 所以； 故答案为：109． 3．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，… 根据以上规律，解决下列问题： (1)写出第5等式：______________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明其正确性． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算的规律探索，正确理解题意是解题的关键． 根据题目给出的4个等式，找到规律，即可解答． 【详解】（1）解：根据规律，第5等式为， 故答案为． （2）第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，… 根据以上规律，第n个等式为． 故答案为． 类型十、规律问题——式的规律 【解惑】用黑、白两种颜色的正方形按下图中的规律拼图案．第1个图中有4个白色正方形，第2个图中有7个白色正方形，第3个图中有10个白色正方形……，则第10个图中有（　　）个白色正方形． A．24 B．27 C．31 D．40 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形规律探索，能够根据图形的不同找出规律是解题的关键．对比两个相邻的图的不同之处，发现后一个图是在前一个图的右侧再添上了1个黑色正方形和3个白色正方形．因此第n个图中的白色正方形的个数是，即，据此求解． 【详解】解：根据分析，第n个图中的白色正方形的个数是： ， 当时，， ∴第10个图中有31个白色正方形． 故选：C． 【融会贯通】 1．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中图案①中有5个正方形，图案②中有9个正方形，图案③中有个正方形，图案④中有个正方形，…，按此规律排列下去，若图案ⓝ中有个正方形，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化得出第个图形中有个正方形是解题的关键． 根据图形变化的规律得出第个图形中有个正方形即可解答． 【详解】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有个正方形，第④个图案中有个正方形，…，第n个图案中有个正方形， ∵第ⓝ个图案中正方形有个数， ∴，解得：， 故选：D． 2．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 【答案】31 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第5个图形中共有个正方形， 故答案为：31． 3．将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第次操作得到的最小的等边三角形的边长，如，． ①______（用含的式子表示）； ②计算______． (3)运用（2）的结论，计算的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题z主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键． （1）观察发现：每操作一次，等边三角形的个数增加4，据此进行作答即可； （2）①依次求出等边三角形的边长，根据发现的规律即可解答；②运用①中的结论进行解答即可； （3）先提取，然后运用（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知： 操作1次，共得到的等边三角形个数为：； 操作2次，共得到的等边三角形个数为：； 操作3次，共得到的等边三角形个数为：； 操作4次，共得到的等边三角形个数为：； 故答案为：． （2）解：①∵原等边三角形的边长为1， ∴操作1次所得的小等边三角形的边长为：； ∴操作2次所得的小等边三角形的边长为：； ∴操作3次所得的小等边三角形的边长为：； …， ∴第n次所剪出的小等边三角形的边长为：，即， 故答案为：； ②由①题可知： ； 令①， 则②， 得： ， 即． 故答案为：． （3）解： 6 学科网（北京）股份有限公司 $$