第3章 代数式（优质类型）【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑（苏科版2024）

第3章 代数式思维导图 【类型覆盖】 类型一、特殊值代入求值 【解惑】已知，则的值为（　　） A．356 B．1 C．3 D．365 【融会贯通】 1．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．已知，求 ． 3．已知，则 ． 类型二、用代数式表示阴影面积 【解惑】如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠的放在一个底面为长方形（长方形长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（   ）cm． A．24 B．35 C．50 D．38 【融会贯通】 1．将两边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式放置于长方形中，（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中阴影部分的周长为，则与满足的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．将边长分别为a和b（a＞b）的两张正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式置于同一个长方形中（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中阴影部分的周长为，则的值为 3．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、B、C、D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形C的边长为，正方形D的边长为，则图2中阴影部分的周长与正方形A的周长之比为 ． 类型三、代数式中新定义运算 【解惑】已知且，我们定义，记为；，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；；则的值为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．新趋势·新定义用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和， （为常数），如：．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行．例如：取（如图所示），第1次，第2次，第3次，…．若取，则第2025次“”运算的结果是 ． 3．我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．已知多项式（a为常数），，M是N的“雅常式”，则M关于N的“雅常值”为 ． 类型四、代数式中操作问题 【解惑】将多项式中的项（）的符号改为“-”后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对操作”．例如：当时，对多项式进行“绝对操作”后得到代数式：，去掉绝对值则得到“绝对操作”的最终结果．下列关于对多项式的“绝对操作”的最终结果说法： ①所有最终结果的乘积非负； ②当时，若，则“绝对操作”的所有最终结果的和为0； ③若，则共有8种不同的最终结果． 正确的有几项（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【融会贯通】 1．有一列数，将这列数的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，称为一次操作，记为，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到以此类推，得出下列说法中：①；②，③，正确的有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 2．有依次排列的4个数：3，9，11，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差在这两个数之间，可产生一个新数串：这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可以产生一个新数串：，，继续依次操作下去，问：从数串3，9，11，8，开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 ． 3．如图，将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的点处，称为第1次操作，折痕到的距离记为；还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的点处，称为第2次操作，折痕到的距离记为，按上述方法不断操作下去，经过第2024次操作后得到的折痕到的距离记为，若，则的值为 ． 类型五、代数式中的行列排序 【解惑】观察图中数字的排列规律．按照此规律继续排列，若数字2025出现在第m列第n行的位置，则m和n的值分别是（    ） 第1列 第2列 第3列 第4列 … 第1行 1 2 9 10 … 第2行 4 3 8 11 … 第3行 5 6 7 12 … 第4行 16 15 14 13 … 第5行 17 … … … … A．1，45 B．45，1 C．44，2 D．2，44 【融会贯通】 1．将偶数按下表排成5列（   ） 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 第4行 32 30 28 26 …… 根据上面排列规律，2008应在（   ） A．251行，第五列 B．251行，第四列 C．251行，第三列 D．502行，第一列 2．观察下面一列数：，，，，，，，，……将这列数排成下列形式：                               …… 按照上述规律排下去，那么数是第 行从左边数第 个数． 3．将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第1列第9行的数为 ，再根据第1行的偶数列的规律，写出第3行第6列的数为 ，判断2024所在的位置是第 行，第 列． 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 … 第1行 1 4 5 16 17 … 第2行 2 3 6 15 18 第3行 9 8 7 14 19 第4行 10 11 12 13 20 第5行 25 24 23 22 21 第6行 26 … 类型六、整除问题 【解惑】综合与实践 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，……这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，则通常记这个两位数为．于是． 显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． (1)一个三位数6□4的十位数字未知，请从2、6、7中找出“□”中合适的取值，使得这个三位数能被3整除，“□”可能等于_________； (2)请你用类似的方法模拟划线部分说明三位数能被3整除的道理； (3)证明：三个连续的正整数之和能被3整除． 【融会贯通】 1．如果把一个正整数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的正整数叫做“完美数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一中数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“完美数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“完美数”． (1)若由a、b(a、b均为1-9的正整数)组成的两位数、，与的和一定能被一个常数n整除(n为大于1的正整数)，则常数______； (2)现有一个四位数，若它是“完美数”，这个“完美数”一定能被一个常数m整除(m为大于1的正整数)，则常数______；请说明理由． 2．数学兴趣小组开展探究活动：研究一个判断正整数能否被7整除的规律． 观察归纳： ；；． ；；． ；；． ；；． … 规律发现：对于一个正整数x，有如下判断正整数x能否被7整除的方法：划掉该数的最后一位数字，将剩下的数与划掉的数字的两倍相减得到它们的差．若该差能被7整除，则正整数x能被7整除．否则，正整数x不能被7整除． 规律应用： (1)请用上述方法验证266能否被7整除． (2)兴趣小组的同学按规律把一些三位数整理成如下表格，请你填写表格中横线上的内容： x x的表示 按（2）中操作得到的差，记为M（x） 217      945 ______ ______ … … … (3)表示，其中，，，且a，b，c均为整数．利用以上信息说明：当能被7整除时，也能被7整除． 3．在小学，我们知道像12，227，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除，事实上，我们可以证明这个结论的正确性．以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是．显然，9a能被3整除，因此，若能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除．根据上述材料，解答下列问题： (1)下列各数中，能被3整除的有 （填序号）； ①13；②45；③525；④2024． (2)设是一个三位数，试探究这个数能被3整除的条件； (3)若能被11整除，试判断能否被11整除，并加以说明． 类型七、整体思想 【解惑】阅读材料： “整体思想”是数学中一种重要的思想方法，已知．若把看作一个整体，则． 尝试应用 (1)化简． (2)已知，求的值． 【融会贯通】 1．我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，化简：； (2)①若，求的值； ②已知当时，代数式，求当时，代数式的值． 2．【问题背景】 在同类项中，，类似的．整体思想是中学数学解题中一种重要思想，在多项式求值与化简中应用很广泛． 去括号法则的逆向运用就是添括号，将整体放入“（   ）”就变为，将整体放入“（   ）”就变为． 【问题再现】 （1）若将看做一个整体，化简 【问题推广】 （2）已知，求的值． 【拓展提升】 （3）已知，求的值． 3．“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法．它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材的部分内容． 把和各看成一个整体，对下列各式进行化简： （1）； （2）． 【问题解决】 （1）对上面方框中（2）的式子进行化简，写出化简过程； 【简单应用】 （2）①已知，则______； ②已知，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，求整式的值． 类型八、整体换元 【解惑】阅读与应用 计算时，若把与分别各看成一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式．请用上面方法计算： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．学科素养·整体思想（广东二模）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式． 请用上面的方法计算： (1)； (2)． 2．学科素养．整体思想 阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为为，则原式． 请用上面的方法计算： (1) (2)． 3．【阅读理解】 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为，则原式． 请用上面方法计算： (1)； (2)． 类型九、代数式的值的变化情况 【解惑】代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： x … 0 1 2 3 … … m 0 2 … … 8 7 6 5 4 3 n … … 10 7 4 1 4 7 10 … (1)根据表中信息可知：_________，_________． (2)表中的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就随之增加2．类似的，的值随着x的变化而变化的规律是：_________． (3)观察表格，下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中所有正确结论的序号是_________． (4)比较和的大小，并说明理由． 【融会贯通】 1．根据下表，回答问题： … 0 1 2 3 … … 4 3 2 1 0 … … 9 4 1 0 1 9 … (1) ， ； (2)①代数式的值随着的值增大而 （填“增大”或“减小”）； ②观察的值随取值变化的规律，写一个具有相同变化规律的多项式 ； (3)比较和的大小，直接写出结果． 2．综合与实践：请同学们用数学的眼光认真观察下面表格中两个代数式及其相应的值，通过数学的思维进行思考，并用数学的语言表达下列问题． x … 0 1 2 … … m 2 5 … … 8 5 2 n … (1)【初步感知】根据表中信息可知：_________，_________； (2)【归纳规律】表中代数式的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加3．类似地，代数式的值的变化规律是什么？ (3)【拓展应用】当x的值每增加2时，猜想代数式的值会怎样变化，并说明理由． 3．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： (1)【初步感知】 ； ； (2)【归纳规律】表中的值的变化规律是：的值每增加，的值就减少．类似的，的值的变化规律是：的值每增加，的值就 ； (3)【问题解决】请直接写出一个含的代数式，要求的值每增加，代数式的值就减小： ；若要求的值每增加，代数式的值就增加，且当时，代数式的值为．你能找到这样的满足条件的代数式吗？请直接写出这个代数式 ； (4)【计算验证】当的值从增加到时，猜想关于的代数式（为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 类型十、代数式中的新定义应用 【解惑】综合与实践： 【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”． 一般地，把记作，读作“a的下n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ________（a为有理数且），________． 【归纳结论】 （3）一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：________． 【结论应用】 （4）计算：． 【融会贯通】 1．如图1，点Z将线段分成和两部分．若或，则称点Z是线段的“分”点． 【理解定义】                                             （1）若线段，Z是线段的“分”点，且，则 ； 【解决问题】 如图2，有一张半径为个单位长度的圆形纸片，将该纸片边上的某点与数轴上表示1的点重合，并把该纸片沿数轴向右无滑动地滚动1周，使该点到达点D的位置． （2）若不重合的两点M、N均为线段的“分”点，求线段的长度； （3）在图2中，点P从点O出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动；同时，点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，运动时间为t秒．在点P、D、Q三个点中，当点D和P分别为其余两点所构成线段的“分”点时，直接写出t的值． 2．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为，如：数对，，都是“共生有理数对”． (1)判断数对是不是“共生有理数对”，并说明理由． (2)若是“共生有理数对”，求a的值． (3)请再写出两对符合条件的“共生有理数对”为：（4， ）和（ ，2）． (4)若是“共生有理数对”，则 “共生有理数对”（填“是”或“不是”）． 3．定义：若，则称与互为“和偶数”．例如，，则称与3互为“和偶数”． (1)4与__________互为“和偶数”， 与互为“和偶数”．（用含的代数式表示） (2)若，判断与是否互为“和偶数”，并说明理由． (3)若，且与互为“和偶数”，请直接写出的取值范围． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$第3章 代数式思维导图 【类型覆盖】 类型一、特殊值代入求值 【解惑】已知,则的值为( ) A.356 B.1 C.3 D.365 【答案】A 【分析】本题考查的代数式求值,分别取和求出代数式的值,再相加除以2即可. 【详解】解:当时,, ∴,① 当时,, ∴,② ①②得:, ∴, 故选:A. 【融会贯通】 1.若,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值,取特殊值是解题的关键. 把分别代入等式,即可求出的值,①,②,①+②即可求出答案. 【详解】解:令,则, 令,则, ∴①, 令,则, ∴②, ①+②,得, ∴, 故选:D. 2.已知,求 . 【答案】 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值,掌握令,求的值,令,求的值是解题的关键.首先令,求出的值,再令,求的值,再用减即可求出的值. 【详解】已知, 当时,, 即, 当时,, 即, , 故答案为:. 3.已知,则 . 【答案】30 【分析】当时,得,当,,根据已知x的系数为1,则,得到,计算即可. 本题考查了求代数式的值,取合理的x的值,构造所需的代数式是解题关键. 【详解】当时,得, 当,, 根据已知x的系数为1,则, 得到, 故. 故答案为:30. 类型二、用代数式表示阴影面积 【解惑】如图,把六张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠的放在一个底面为长方形(长方形长为,宽为)的盒子底部(如图②),盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,则图②中两块阴影部分的周长和是( )cm. A.24 B.35 C.50 D.38 【答案】A 【分析】本题考查用代数式表示相关量的能力,关键是利用代数式的整体思想求解. 设小长方形的长为x,宽为y.用x,y表示出阴影的宽即可求解. 【详解】解:设小长方形的长为x,宽为y. ∴, ∵阴影部分两个长方形长的和是, 阴影部分两个长方形宽的和为, ∴两块阴影部分的周长和为, 故选:A. 【融会贯通】 1.将两边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式放置于长方形中,(图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠),长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图1中阴影部分的周长为,图2中阴影部分的周长为,则与满足的数量关系正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减等知识点,掌握整式的加减的法则是解题的关键. 先根据周长公式列代数式,然后根据长方形的性质化简,然后比较即可解答. 【详解】解:由题意知,, 因为四边形是长方形, 所以, 所以, 所以,即. 故选D. 2.将边长分别为a和b(a>b)的两张正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式置于同一个长方形中(图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠),长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图1中阴影部分的周长为,图2中阴影部分的周长为,则的值为 【答案】0 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减等知识点,掌握整式的加减的法则是解题的关键. 先根据周长公式列代数式,然后根据长方形的性质化简,然后比较即可解答. 【详解】解:由题意知,, ∵四边形是长方形, ∴, ∴, ∴,即. 故答案为0. 3.把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、B、C、D和一张长方形纸片E,并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中.设正方形C的边长为,正方形D的边长为,则图2中阴影部分的周长与正方形A的周长之比为 . 【答案】/ 【分析】本题主要考查代数式的化简及求值,整式的混合运算的应用,解本题的关键在于结合图形正确列出代数式. 根据题意表示出正方形A、B的边长,长方形E的长和宽,通过图1的周长得到x、y的关系,在表示出阴影部分的周长求解即可得出结论. 【详解】解:长方形E的宽为, 正方形A的边长为, 正方形B的边长为, 长方形E的长为, ∴, ∴, 如图2: 由题意得: , ∴, ∴阴影部分的周长 . 正方形的周长. . 故答案为:. 类型三、代数式中新定义运算 【解惑】已知且,我们定义,记为;,记为;;,记为.若将数组中的各数分别作的变换,得到的数组记为;将作的变换,得到的数组记为;;则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律变化问题,根据题意可得,,,每三次变换为一个循环,据此解答即可求解,掌握变化规律是解题的关键. 【详解】解:由题意得,, ∴, , ∴, , ∴, , ∴每三次变换为一个循环, ∵, ∴, 故选:. 【融会贯通】 1.新趋势 新定义用“ ”定义一种新运算:对于任意有理数和, (为常数),如:.若,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查了求代数式的值,利用整体代入思想解答是解题的关键. 根据新运算可得,再根据,把代入,即可求解. 【详解】解:因为, 所以, 所以, 所以. 故选:A 2.定义一种对正整数的“”运算:①当为奇数时,;②当为偶数时,(其中是使为奇数的正整数),两种运算交替重复进行.例如:取(如图所示),第1次,第2次,第3次,….若取,则第2025次“”运算的结果是 . 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的混合运算和数字的规律探究.解题的关键在于理解新定义中的运算法则,掌握有理数混合运算的计算方法. 根据题意,写出前几次的运算结果,可推导规律,通过计算得出从第2次开始,结果就只有两个数循环出现,进而观察规律即可得结论. 【详解】解:由题意知,当时,第1次,, 第2次,, 第3次,, 第4次,, 第5次,, ∴从第2次开始,每两次运算为一个循环,结果分别为1,4, , ∴第2025次“”运算的结果是4, 故答案为:4. 3.我们定义:如果两个多项式A与B的差为常数,且这个常数为正数,则称A是B的“雅常式”,这个常数称为A关于B的“雅常值”.如多项式,,则A是B的“雅常式”,A关于B的“雅常值”为9.已知多项式(a为常数),,M是N的“雅常式”,则M关于N的“雅常值”为 . 【答案】4 【分析】本题考查了整式的加减运算,注意计算的准确性即可.计算,令含未知数的项的系数为零即可求解. 【详解】解: , M是N的“雅常式”, , , , ∴M是N的“雅常式”是4. 故答案为:4. 类型四、代数式中操作问题 【解惑】将多项式中的项()的符号改为“-”后得到一个新多项式,再写出新多项式的绝对值,这样的操作称为对多项式的“绝对操作”.例如:当时,对多项式进行“绝对操作”后得到代数式:,去掉绝对值则得到“绝对操作”的最终结果.下列关于对多项式的“绝对操作”的最终结果说法: ①所有最终结果的乘积非负; ②当时,若,则“绝对操作”的所有最终结果的和为0; ③若,则共有8种不同的最终结果. 正确的有几项( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值,整式的加减,理解“绝对操作”的定义是解题的关键. 根据“绝对操作”的定义,对多项式进行“绝对操作”逐项判断即可. 【详解】解:①根据绝对值的非负性可得,所有最终结果的乘积非负,说法正确; ②当时,若,绝对操作”的所有最终结果:, ∴“绝对操作”的所有最终结果的和为8,不为0; 故②错误; ③若,则共有10种不同的最终结果, 分别为:,, ,, , , . 故③错误. 故选:B. 【融会贯通】 1.有一列数,将这列数的每个数求其相反数得到,再分别求与1的和的倒数,得到,称为一次操作,记为,第二次操作是将再进行上述操作,得到;第三次将重复上述操作,得到以此类推,得出下列说法中:①;②,③,正确的有( )个. A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【分析】本题主要考查数字的变化规律,解答的关键是求出前面的几个数,发现其存在的规律.根据所给的操作方式,求出前面的数,再分析存在的规律,从而可求解. 【详解】解:由题意得:,,,, ,,,,故①正确; ,,,, ,,,, ∵, ∴与相同, ∴,故②正确; 由上可知:每3次操作,相应的数会重复出现, , , .故③正确; 故选:D. 2.有依次排列的4个数:3,9,11,8,对任意相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得之差在这两个数之间,可产生一个新数串:这称为第一次操作;做第二次同样的操作后也可以产生一个新数串:,,继续依次操作下去,问:从数串3,9,11,8,开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 . 【答案】531 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索,求出原数串和前两次操作后的新数串的和,可得每经过一次操作,得到的新数串的和增加5,据此规律求解即可. 【详解】解:根据题意: 第0次操作,可知原数串的和为, 第一次操作后,可知新数串的和为, 第二次操作后,可知新数串的和为, ……, 以此类推可知,每经过一次操作,得到的新数串的和增加5, 这样下去,第100次操作后得到的一串数的和是. 故答案为:531. 3.如图,将沿着过中点的直线折叠,使点落在边上的点处,称为第1次操作,折痕到的距离记为;还原纸片后,再将沿着过中点的直线折叠,使点落在边上的点处,称为第2次操作,折痕到的距离记为,按上述方法不断操作下去,经过第2024次操作后得到的折痕到的距离记为,若,则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查图形的变化类,解答本题的关键是明确题意,发现数字的变化特点,利用数形结合的思想解答.先证明,由折叠的性质,得,得出,同理可得进而可得出答案. 【详解】由题意,得, , , . 由折叠的性质,得, , , , 同理可得 故答案为: 类型五、代数式中的行列排序 【解惑】观察图中数字的排列规律.按照此规律继续排列,若数字2025出现在第m列第n行的位置,则m和n的值分别是( ) 第1列 第2列 第3列 第4列 … 第1行 1 2 9 10 … 第2行 4 3 8 11 … 第3行 5 6 7 12 … 第4行 16 15 14 13 … 第5行 17 … … … … A.1,45 B.45,1 C.44,2 D.2,44 【答案】B 【分析】本题是对数字变化规律的考查,观察出奇数列、偶数行的数的变化规律是解题的关键. 由表格得:第奇数列的第一行的数为所在列数的平方,然后向下每一行递减一个数至与列数相同的行止,第偶数行的第一列的数是所在行数的平方,然后向右每一列递减1至与行数相同的列止,因为,根据此规律即可得到,,即可得到答案. 【详解】解:由表格得,第一行的第1、3、5列的数分别为1、9、25,为所在列数的平方,然后向下每一行递减1至与列数相同的行止,第一列的第2、4、6行的数分别为4、16、36,为所在行数的平方,然后向右每一列递减1至与行数相同的列止, , 数字2025出现在第行第列的位置, , 故选:B. 【融会贯通】 1.将偶数按下表排成5列( ) 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 第4行 32 30 28 26 …… 根据上面排列规律,2008应在( ) A.251行,第五列 B.251行,第四列 C.251行,第三列 D.502行,第一列 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化类,解答本题的关键是明确题意,发现数字的变化特点,求出2008所在的位置.根据表格中的数字,可以发现数字的变化特点,从而可以得到2008在第几行第几列. 【详解】解:由表格可得,每行都有4个偶数, 奇数行按照从小到大排列,空着第一列, 偶数行按照从大到小排列,空着第5列, ∵, ∴2008是第251行最后一个数字, ∴2008应在第251行第5列, 故选:A. 2.观察下面一列数:,,,,,,,,……将这列数排成下列形式: …… 按照上述规律排下去,那么数是第 行从左边数第 个数. 【答案】 【分析】本题是对数字变化规律的考查,观察出每一行的最后一个数的绝对值等于行数的平方是解题的关键. 根据数的排列,每一行的最后一个数的绝对值等于行数的平方,并且奇数都是负数,偶数都是正数,每行数的个数是奇数为个数,即可得解. 【详解】解:通过观察奇数的符号是负,偶数的符号是正,每行数的个数是奇数为个数, , ,, 数是第行从左边数第个数; 故答案为:,. 3.将除去零以外的自然数按以下规律排列,根据第一列的奇数行的数的规律,写出第1列第9行的数为 ,再根据第1行的偶数列的规律,写出第3行第6列的数为 ,判断2024所在的位置是第 行,第 列. 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 … 第1行 1 4 5 16 17 … 第2行 2 3 6 15 18 第3行 9 8 7 14 19 第4行 10 11 12 13 20 第5行 25 24 23 22 21 第6行 26 … 【答案】 81 34 45 2 【分析】本题主要考查了数字类规律题,明确题意,准确得到规律是解题的关键. 根据题意得到第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方;根据题意第1行第6列的数为,且第6列的数向下依次减小,可得第3行第6列的数为34;又由,可得2024在第45行,向右依次减小,即可求解. 【详解】解:根据题意得:第1列第1行的数为, 第1列第3行的数为, 第1列第5行的数为, 由此得到第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方, ∴第1列第9行的数为9的平方,即:; 根据题意得:第1行第2列的数为, 第1行第4列的数为, 第1行第6列的数为, ∵第6列的数向下依次减小, ∴第3行第6列的数为34; ∵, ∴2025在第1列第45行, 而奇数行的数往后在递减, ∴2024在2025的后面,即第2列第45行, 故答案为:81;34;45;2. 类型六、整除问题 【解惑】综合与实践 在小学,我们知道像12,27,36,45,108,……这样的自然数能被3整除.一般地,如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除,那么这个自然数就能被3整除.你能说出其中的道理吗? 先来看两位数的情形. 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为,,则通常记这个两位数为.于是. 显然能被3整除,因此,如果能被3整除,那么就能被3整除,即能被3整除. (1)一个三位数6 4的十位数字未知,请从2、6、7中找出“ ”中合适的取值,使得这个三位数能被3整除,“ ”可能等于_; (2)请你用类似的方法模拟划线部分说明三位数能被3整除的道理; (3)证明:三个连续的正整数之和能被3整除. 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减和数的整除,熟练掌握相关知识是解题的关键. (1)将2、6、7中代入“ ”中计算即可求解; (2)类比题干可知,即可求解; (3)设三个连续的正整数为,,(为正整数,且),计算,即可证明结论. 【详解】(1)解:∵,,, ∴“ ”等于2, 故答案为:2; (2), 显然能被3整除,因此,如果能被3整除, 那么就能被3整除 ,即能被3整除. (3)证明:设三个连续的正整数为,,(为正整数,且) ∵ , 又∵为正整数,且 ∴能被3整除, 即:三个连续的正整数之和能被3整除. 【融会贯通】 1.如果把一个正整数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的正整数叫做“完美数”.例如:自然数64746从最高位到个位排出的一中数字是:6、4、7、4、6,从个位到最高位排出的一串数字也是:6、4、7、4、6,所以64746是“完美数”.再如:33,181,212,4664,…,都是“完美数”. (1)若由a、b(a、b均为1-9的正整数)组成的两位数、,与的和一定能被一个常数n整除(n为大于1的正整数),则常数_; (2)现有一个四位数,若它是“完美数”,这个“完美数”一定能被一个常数m整除(m为大于1的正整数),则常数_;请说明理由. 【答案】(1)11 (2)11,理由见解析 【分析】本题考查的是新定义运算,数的整除,有理数的乘法分配律的逆应用,整式的加减运算的应用,理解题意,列出正确的运算式是解本题的关键. (1)先分别表示,,再求和,结合乘法的分配律变形可得答案; (2)由题意可得这个四位的完美数为,其中a,b为一位正整数,再表示这个完美数即可得到答案. 【详解】(1)解:∵a、b(a、b均为1~9的正整数)组成的两位数,, ∴,, ∴, ∴与的和一定能被11整除, ∴, 故答案为:11; (2)解:. 理由:∵一个四位数,它是“完美数”, ∴这个四位数为,其中a,b为一位正整数, ∴这个四位数为:, ∴这个“完美数”一定能被11整除, ∴. 2.数学兴趣小组开展探究活动:研究一个判断正整数能否被7整除的规律. 观察归纳: ;;. ;;. ;;. ;;. … 规律发现:对于一个正整数x,有如下判断正整数x能否被7整除的方法:划掉该数的最后一位数字,将剩下的数与划掉的数字的两倍相减得到它们的差.若该差能被7整除,则正整数x能被7整除.否则,正整数x不能被7整除. 规律应用: (1)请用上述方法验证266能否被7整除. (2)兴趣小组的同学按规律把一些三位数整理成如下表格,请你填写表格中横线上的内容: x x的表示 按(2)中操作得到的差,记为M(x) 217 945 _ _ … … … (3)表示,其中,,,且a,b,c均为整数.利用以上信息说明:当能被7整除时,也能被7整除. 【答案】(1)见解析; (2),; (3)见解析. 【分析】本题考查了整式的加减运算,数字规律类探索,掌握相关知识是解题的关键. (1)根据题意给出的方法即可解答; (2)根据题意给出的规律即可解答; (3)由题意得,得到,由,则,当能被7整除时,也是的倍数,即是的倍数,即可得出结论. 【详解】(1)解:由题意可得:, , ∴能被整除; (2)解:由题意可得: , , 故答案为:,; (3)解:由题意得:, ∴, ∵, ∴, 当能被7整除时,也是的倍数,即是的倍数, ∴也是的倍数,能被整除, ∴当能被7整除时,也能被7整除. 3.在小学,我们知道像12,227,36,45,108,…这样的自然数能被3整除.一般地,如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除,那么这个自然数就能被3整除,事实上,我们可以证明这个结论的正确性.以两位数为例,若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a,b,则通常记这个两位数为,于是.显然,9a能被3整除,因此,若能被3整除,那么就能被3整除,即能被3整除.根据上述材料,解答下列问题: (1)下列各数中,能被3整除的有 (填序号); ①13;②45;③525;④2024. (2)设是一个三位数,试探究这个数能被3整除的条件; (3)若能被11整除,试判断能否被11整除,并加以说明. 【答案】(1)②③ (2)能被3整除的条件为能被3整除 (3)能被11整除,见解析 【分析】(1)仿照示例,所有数位上的数字之和能否被3整除,来判断各数能否被3整除,得到结果; (2)先表示出这个三位数,化简整理为,从而得到结果; (3)根据题意,把三位数表示为,从而得到结果. 本题考查列代数式以及数的整除,整式加减的应用,正确掌握相关性质内容是解题的关键. 【详解】(1)解:①,4不能被3整除,故13不能被3整除, ②,9能被3整除,故45能被3整除, ③,12能被3整除,故525能被3整除, ④,8不能被3整除,故2024不能被3整除, 故答案为:②③; (2)解:设是一个三位数, ∴, ∵能被3整除, ∴若能被3整除,那么就能被3整除, 即能被3整除的条件为能被3整除; (3)解:若能被11整除,能否被11整除,理由如下: ∵ 又∵和都能被11整除, ∴能被11整除. 类型七、整体思想 【解惑】阅读材料: “整体思想”是数学中一种重要的思想方法,已知.若把看作一个整体,则. 尝试应用 (1)化简. (2)已知,求的值. 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用,已知式子的值求代数式的值,正确掌握相关性质内容是解题的关键. (1)模仿题干的解题思路,把看作一个整体,再进行合并同类项,即可作答. (2)先去括号再合并同类项得,再把代入进行计算,即可作答. 【详解】(1)解: . (2)解: , ∵, ∴. 【融会贯通】 1.我们知道,,类似地,我们把看成一个整体,则.“整体思想”是中学数学中一种重要的思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛. (1)把看成一个整体,化简:; (2)①若,求的值; ②已知当时,代数式,求当时,代数式的值. 【答案】(1) (2)①;②2015 【分析】本题考查整式的加减混合运算,代数式求值,掌握整体代入的思想是解题关键. (1)仿照题干,将看成一个整体,计算即可; (2)①根据整式的加减混合运算法则化简成,再将代入求值即可; ②将代入,得:.将,代入,得:,最后将代入中求值即可. 【详解】(1)解: ; (2)解:① . 因为, 所以原式. ②因为当时,代数式, 所以, 所以, 所以当时,代数式 . 2.【问题背景】 在同类项中,,类似的.整体思想是中学数学解题中一种重要思想,在多项式求值与化简中应用很广泛. 去括号法则的逆向运用就是添括号,将整体放入“( )”就变为,将整体放入“( )”就变为. 【问题再现】 (1)若将看做一个整体,化简 【问题推广】 (2)已知,求的值. 【拓展提升】 (3)已知,求的值. 【答案】(1)(2)1(3) 【分析】本题主要考查了合并同类项,代数式求值. (1)根据合并同类项法则进行计算即可; (2)将看作一个整体,代入求值即可; (3)先进行变形,然后整体代入求值即可. 【详解】解:(1) , (2)∵, ∴. (3) , ∵,,, ∴原式. 3.“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法.它在多项式的化简与求值中应用极为广泛. 【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材的部分内容. 把和各看成一个整体,对下列各式进行化简: (1); (2). 【问题解决】 (1)对上面方框中(2)的式子进行化简,写出化简过程; 【简单应用】 (2)①已知,则_; ②已知,求的值; 【拓展提高】 (3)已知,求整式的值. 【答案】(1)(2)①1;②24;(3) 【分析】本题考查化简求值,灵活运用各种化简的方法是本题的关键. (1)先分别将和看成一个整体化简即可; (2)①将整体代入计算; ②将看成一个整体后化简,并将代入计算; (3)将原式写成形式,将整体代入计算即可. 【详解】解:(1) ; (2)①∵, ∴ , 故答案为:1; ②∵, ∴ ; (3) , ∵, ∴原式. 类型八、整体换元 【解惑】阅读与应用 计算时,若把与分别各看成一个整体,再利用分配律进行运算,可以大大简化难度.过程如下: 解:设为,为, 则原式.请用上面方法计算: (1); (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算,乘法分配律的应用; (1)根据例题的方法设为,为,进而根据分配律进行计算即可求解; (2)根据发现的规律将所求式子变形,同(1)的方法,利用分配律进行运算,即可求解. 【详解】(1)设为,为, 原式 ; (2)设为,为, 原式 . 【融会贯通】 1.学科素养 整体思想(广东二模)阅读理解: 计算时,若把与分别各看作一个整体,再利用分配律进行运算,可以大大简化难度.过程如下: 解:设为,为, 则原式. 请用上面的方法计算: (1); (2). 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的乘法,整式的加减运算,熟练掌握阅读理解中的解题方法是解本题的关键. (1)根据题意设为,为,原式变形后计算即可求出值; (2)根据题意设为,为,原式变形后计算即可求出值. 【详解】(1)解:设为,为, 则原式; (2)解:设为,为, 则原式. 2.学科素养.整体思想 阅读理解: 计算时,若把与分别各看作一个整体,再利用分配律进行运算,可以大大简化难度.过程如下: 解:设为为,则原式. 请用上面的方法计算: (1) (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法和整体思想的应用,并考查学生观察分析的能力,熟练掌握阅读理解中的解题方法是解答本题的关键. (1)根据题意设为为,原式变形后计算即可求出值; (2)根据题意设设为为,原式变形后计算即可求出值. 【详解】解:(1)设为为, 则原式; (2)设为为, 则原式. 3.【阅读理解】 计算时,若把与分别各看作一个整体,再利用分配律进行运算,可以大大简化难度.过程如下: 解:设为,为,则原式. 请用上面方法计算: (1); (2). 【答案】(1) (2) 【分析】考查了有理数的混合运算; (1)根据发现的规律得出结果即可; (2)根据发现的规律将所求式子变形,约分即可得到结果. 【详解】(1)设为,为, 原式; (2)设为,为, 原式. 类型九、代数式的值的变化情况 【解惑】代数式是表示数量变化规律的重要形式.一般地,代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化,观察表格: x … 0 1 2 3 … … m 0 2 … … 8 7 6 5 4 3 n … … 10 7 4 1 4 7 10 … (1)根据表中信息可知:_,_. (2)表中的值随着x的变化而变化的规律是:x的值每增加1,的值就随之增加2.类似的,的值随着x的变化而变化的规律是:_. (3)观察表格,下列结论:①当时,;②当时,;③当时,;④当时,.其中所有正确结论的序号是_. (4)比较和的大小,并说明理由. 【答案】(1) (2)的值每增加1,的值就随之减小1. (3)②④ (4)理由见解析 【分析】本题考查代数式求值,代数式的值的变化规律探究,比较代数式的大小: (1)把和代入对应的代数式,求出的值即可; (2)根据表格,得出规律作答即可; (3)根据表格数据,逐一进行判断即可; (4)根据表格数据,比较大小即可. 【详解】(1)解:当时,, ∴; 当时,; ∴; 故答案为:; (2)观察表格可知:的值随着x的变化而变化的规律是:的值每增加1,的值就随之减小1. (3)由表格可知:当时,;故①错误; 当时,;故②正确; 当时,或;故③错误; 当时,.故④正确; 故答案为:②④; x … 0 1 2 3 … … 0 2 … … 8 7 6 5 4 3 2 … … 10 7 4 1 4 7 10 (4),理由如下: 由表格可知,当时,,, ∴, 当时,每增加1,的值随之增加2,随着增加3,且当时,, ∴; 综上:. 【融会贯通】 1.根据下表,回答问题: … 0 1 2 3 … … 4 3 2 1 0 … … 9 4 1 0 1 9 … (1) , ; (2)①代数式的值随着的值增大而 (填“增大”或“减小”); ②观察的值随取值变化的规律,写一个具有相同变化规律的多项式 ; (3)比较和的大小,直接写出结果. 【答案】(1) (2)减小,(答案不唯一) (3)当或时,;当或时,,当时, 【分析】本题考查代数式求值,数字类规律探究: (1)分别求出时,的值和时,的值,即可求出的值; (2)根据表格数据,得到相应规律进行作答即可; (3)根据表格比较大小即可. 【详解】(1)解:当时,; 当时, ; 故答案为:; (2)①由表格可知:代数式的值随着的值增大而减小; ②由表格可知,的值随值的增大先减小,后增大,故具有相同变化规律的多项式可以为:(答案不唯一); (3)由表格可知:当或时,, 当或时,, 当时,. 2.综合与实践:请同学们用数学的眼光认真观察下面表格中两个代数式及其相应的值,通过数学的思维进行思考,并用数学的语言表达下列问题. x … 0 1 2 … … m 2 5 … … 8 5 2 n … (1)【初步感知】根据表中信息可知:_,_; (2)【归纳规律】表中代数式的值的变化规律是:x的值每增加1,的值就增加3.类似地,代数式的值的变化规律是什么? (3)【拓展应用】当x的值每增加2时,猜想代数式的值会怎样变化,并说明理由. 【答案】(1) (2)x的值每增加1,值就减少3 (3)当x的值每增加2时,代数式的值减少10 【分析】(1)根据求代数式的值的基本步骤计算解答即可; (2)根据整式的加减,计算解答即可. (3)根据整式的加减,计算解答即可. 本题考查了求代数式的值,整式的加减,熟练掌握计算方法是解题的关键. 【详解】(1)解:当时,,此时; 当时,,此时; 故答案为:. (2)解: , 故变化规律是:x的值每增加1,值就减少3. (3)解:当x的值每增加2时,代数式的值会减少10; 理由如下:当时,; 当时,; , 当x的值每增加2时,代数式的值减少10. 3.观察下列表格中两个代数式及其相应的值,回答问题: (1)【初步感知】 ; ; (2)【归纳规律】表中的值的变化规律是:的值每增加,的值就减少.类似的,的值的变化规律是:的值每增加,的值就 ; (3)【问题解决】请直接写出一个含的代数式,要求的值每增加,代数式的值就减小: ;若要求的值每增加,代数式的值就增加,且当时,代数式的值为.你能找到这样的满足条件的代数式吗?请直接写出这个代数式 ; (4)【计算验证】当的值从增加到时,猜想关于的代数式(为一次项的系数,且)的值会怎样变化,并通过计算加以说明. 【答案】(1);; (2)增加; (3),; (4)的值从增加到时,关于的代数式的值增加,说明见解析. 【分析】本题考查了代数式的值,解题关键是根据题意,发现规律. 把代入相应的代数式求值即可; 从表中观察的值的变化规律可得结果; 根据要求写出符合条件的代数式即可; 分别把和代入代数式,通过计算得出结果. 【详解】(1)解:当时,, 当时,; 故答案为:,; (2)解:的值的变化规律是:的值每增加,的值就增加, 故答案为:; (3)解:要求的值每增加,代数式的值就减小的代数式为:(答案为唯一); 要求的值每增加,代数式的值就增加,且当时,代数式的值为的代数式为; 故答案为:,; (4)解:当时,, 当时,, , 当的值从增加到时,关于的代数式的值增加. 类型十、代数式中的新定义应用 【解惑】综合与实践: 【概念学习】定义:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,如、等.类比有理数的乘方,我们把记作,读作“2的下3次方”, 记作,读作“的下4次方”. 一般地,把记作,读作“a的下n次方”. 【初步探究】 (1)直接写出计算结果:_,_. 【深入探究】我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢? 例如: (2)仿照上面的算式,将下列运算写成幂的形式: _(a为有理数且),_. 【归纳结论】 (3)一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是:_. 【结论应用】 (4)计算:. 【答案】(1);(2);(3);(4) 【分析】(1)分别按公式计算即可; (2)根据发现的规律解答即可; (3)根据发现的规律解答即可; (4)根据发现的规律解答即可. 本题考查了有理数的乘除混合运算,含有乘方的混合运算,解题的关键是根据新定义的计算公式逐步计算. 【详解】解:(1),, 故答案为:; (2); , 故答案为:; (3) , 故答案为:. (4)解:原式 . 【融会贯通】 1.如图1,点Z将线段分成和两部分.若或,则称点Z是线段的“分”点. 【理解定义】 (1)若线段,Z是线段的“分”点,且,则 ; 【解决问题】 如图2,有一张半径为个单位长度的圆形纸片,将该纸片边上的某点与数轴上表示1的点重合,并把该纸片沿数轴向右无滑动地滚动1周,使该点到达点D的位置. (2)若不重合的两点M、N均为线段的“分”点,求线段的长度; (3)在图2中,点P从点O出发,以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动;同时,点Q从点D出发,以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动,运动时间为t秒.在点P、D、Q三个点中,当点D和P分别为其余两点所构成线段的“分”点时,直接写出t的值. 【答案】(1)4;(2);(3), ,, 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题,数轴上两点之间的距离,解一元一次方程, 对于(1),先设,则,根据题意得出方程,求出解即可; 对于(2),先求出点D表示的数,可得,再根据新定义得,,最后根据得出答案; 对于(3),设当运动时间为t秒时,点P表示的数是,点Q表示的数是, 再分两种情况:当点D是线段的“分”点时,当点P是线段的“分”点时,列出方程,求出解即可. 【详解】解:(1)设,则,根据题意,得 , 解得, ∴; 故答案为:4; (2)∵点D表示的数是, ∴. ∵不重合的两点M,N均为线段的“分”点,假设点M在点N的左边, ∴,, ∴; (3)当运动时间为t秒时,点P表示的数是,点Q表示的数是, 当点D是线段的“分”点时, 或, 解得或; 当点P是线段的“分”点时, 或, 解得或. 所以,t的值为或或得或. 2.观察下列两个等式:,,给出定义如下:我们称使等式的成立的一对有理数a,b为“共生有理数对”,记为,如:数对,,都是“共生有理数对”. (1)判断数对是不是“共生有理数对”,并说明理由. (2)若是“共生有理数对”,求a的值. (3)请再写出两对符合条件的“共生有理数对”为:(4, )和( ,2). (4)若是“共生有理数对”,则 “共生有理数对”(填“是”或“不是”). 【答案】(1)是“共生有理数对”,理由见解析 (2) (3) (4)是 【分析】本题考查有理数的混合运算、“共生有理数对”的定义,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题. (1)根据题目所给“共生有理数对”的定义进行判断即可; (1)根据题目所给“共生有理数对”的定义,列出方程求解即可; (3)设是“共生有理数对”, 是“共生有理数对”, 根据题目所给“共生有理数对”的定义,列出方程求解即可; (4)分别求出和,再根据是“共生有理数对”,得出,即可得出结论. 【详解】(1)解:∵,, ∴, ∴是“共生有理数对”. (2)解:∵是“共生有理数对”, ∴, 解得:. (3)解:设是“共生有理数对”, 是“共生有理数对”, 则,, 解得:, 故答案为:. (4)解:, , ∵是“共生有理数对”, ∴, ∴是“共生有理数对”, 故答案为:是. 3.定义:若,则称与互为“和偶数”.例如,,则称与3互为“和偶数”. (1)4与_互为“和偶数”, 与互为“和偶数”.(用含的代数式表示) (2)若,判断与是否互为“和偶数”,并说明理由. (3)若,且与互为“和偶数”,请直接写出的取值范围. 【答案】(1); (2)a与b互为“和偶数”;理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查新定义,整式的加减,绝对值的意义,解题的关键是理解并掌握“和偶数”的定义及整式加减运算顺序和法则. (1)根据“和偶数”定义可得答案; (2)列出算式,去括号、合并同类项得出其结果,判断结果是否等于2即可; (3)由c与d互为“和偶数”知,据此可得,然后分类讨论,进一步求解可得答案. 【详解】(1)解:∵, ∴4与互为“和偶数”, ∵, ∴与互为“和偶数”. (2)解:a与b互为“和偶数”, 理由:∵ , ∴a与b互为“和偶数”; (3)解:∵c与d互为“和偶数”, ∴, 即, 当时,,不符合题意; 当时,,不符合题意; 当时,,符合题意; ∴当时,c与d互为“和偶数”. 【点睛】 6 学科网(北京)股份有限公司 $$