专题10 概率、统计及随机变量分布列-【好题汇编】2025年高考数学三模试题分类汇编（新高考通用）

专题10 概率、统计及随机变量分布列 题型概览 题型01 随机抽样及频率分布直方图 题型02 样本的数字特征 题型03 一元线性回归模型 题型04 列联表与独立性检验 题型05 古典概型、条件概率及全概率公式 题型06 离散型随机变量期望、方差及其分布列 ( 题型0 1 )随机抽样及频率分布直方图 1．（2025年山东威海市三模）某校从高二年级随机抽取部分学生参加交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则可估计该校高二年级学生的交通安全知识测试成绩的中位数为（    ） A．87.5 B．85 C．82.5 D．80 2．（2025·辽宁沈阳·三模）近日，数字化构建社区服务新模式成为一种趋势．某社区为了优化数字化社区服务，通过问卷调查的方式调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分）进行统计，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，图中，则满意度计分的第一四分位数约为（   ） A．87.5 B．85 C．70 D．62.5 3．（多选）（2025·广东揭阳·二模）洛阳是我国著名的牡丹之乡，以“洛阳地脉花最宜，牡丹尤为天下奇”流传于世.某种植基地通过植株高度研究牡丹的生长情况，从同一批次牡丹中随机抽取100株的植株高度（单位：）作为样本，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（   ）    A．基地牡丹植株高度的极差的估计值大于50 B．基地牡丹植株高度不高于70的频率估计值为30% C．基地牡丹植株高度的众数与中位数的估计值相等 D．基地牡丹植株高度的第75百分位数的估计值小于80 4．（多选）（2025·四川省自贡市·三模）为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对、两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、.则下列判断正确的有（    ）. A．且. B．且. C．且. D．. 5．（2025年河北石家庄三模）某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如下频率分布直方图. (1)估计这100名志愿者年龄的中位数（结果精确到0.01）和平均数； (2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量表示代表年龄在的志愿者人数，求的分布列及期望. 6．（2025年广东省广州市天河区三模）为减少环境污染，保护生态环境，某校进行了“垃圾分类知识普及活动”，并对高一、高二全体学生进行了相关知识测试．现从高一、高二各随机抽取了20名学生，对他们的成绩（百分制）进行了整理和分析后得到如下信息： 高一年级成绩分布表 成绩 人数 1 2 3 4 10 高二年级成绩频率分布直方图 (1)从高一和高二样本中各抽取一人，求这两人成绩都不低于90分的概率； (2)用频率估计概率，分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取两人，随机变量表示这三人中成绩不低于90分的人数，求的分布列和数学期望． ( 题型0 2 )样本的数字特征 1．（2025·河北省张家口·三模）某同学记录了自己升入高三以来8次的数学考试成绩，分别为125，117，129，132，115，119，126，130，则该同学这8次的数学考试成绩的第40百分位数为（    ） A．119 B．122 C．125 D．132 2．（2025·湖南省郴州市·三模）马拉松爱好者小丽月份每个月的跑步里程（单位：公里）如下表所示，则小丽7月份每个月的跑步里程的分位数为（    ） 月份 7月 8月 9月 10月 11月 12月 跑步里程 310 254 220 210 248 300 A．210公里 B．251公里 C．254公里 D．248公里 3．（2025·陕西省安康市·三模）有一组样本数据，其平均数为，方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025年山东省泰安市三模）在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学第一个解答题的得分情况如下：7，9，5，8，4，1，则这组数据的平均数和极差分别为（   ） A． B． C． D． 5．（2025年江苏如皋市三模）已知9个数据：，，，，的均值为，方差为2，现将加入，则新数据的方差为（   ） A． B．2 C． D．18 6．（多选）（2025·浙江省金华市义乌市·三模）有两组数据，数据A：1，3，5，7，9和数据B：1，2，4，8，16，则（    ） A．数据A的平均数小于数据B的平均数 B．数据A的方差小于数据B的方差 C．数据A的极差小于数据B的极差 D．数据A的中位数小于数据B的中位数 7．（2025·四川省绵阳市·三模）某家电公司生产了两种不同型号的空调，公司统计了某地区2024年的前6个月这两种型号空调的销售情况，得到销售量的折线统计图如图所示，分析这6个月的销售数据，下列说法不正确的是（    ） A．型号空调月销售量的极差比型号空调月销售量的极差大 B．型号空调月平均销售量比型号空调月平均销售量大 C．型号空调月销售量的上四分位数比型号空调销售量的上四分位数大 D．型号空调月销售量的方差比型号空调月销售量的方差小 8．（多选）（2025·湖南省永州市·三模）下列说法中，正确的有（   ） A．具有相关关系的两个变量x，y的相关系数r越大，则x，y之间的线性相关程度越强 B．已知随机变量服从正态分布，且，则 C．数据27，30，37，39，40，50的第30百分位数是30 D．若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 9．（多选）（2025年广东省广州市天河区三模）某次测验中，高三（1）班m位同学参加考试，平均分为，方差为，高三（2）班n位同学参加考试，平均分为，方差为，两个班总的平均分为，方差为，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（2025年湖北武汉市武昌区三模）某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的下四分位数为 ． ( 题型0 3 )一元线性回归模型 1．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）已知变量x，y线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（   ） A． B． C．0.1 D．0.2 2．（2025年山西省吕梁市三模）已知变量x和变量y，根据最小二乘法估计得到成对数据组的经验回归方程，成对数据组的经验回归方程，记，则（   ） （参考公式，对于一组成对数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：） A．直线经过点 B．直线不经过点 C． D． 3．（2025年山东省泰安市三模）对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.将某公司新产品自上市起的月份与该月的对应销量（单位：万件）整理成如下表格： 月份x 1 2 3 4 5 销量y 0.5 1 1.4 建立y与x的线性回归方程为，则第2个月和第4个月的残差和为（   ） A．-0.919 B．-0.1 C．0.1 D．0.919 4．（多选）（2025·四川省攀枝花·三模）小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了右表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为，若成等差数列，则（   ） x 4 6 8 10 12 y a 2 b c 6 A．变量x与y的样本相关系数 B． C．当时，残差为 D．当时，y的预测值为 5．（2025·四川省成都市·三模）随着粤港澳大湾区建设、黄河流域生态保护和高质量发展等区域重大战略实施取得新成效，城乡融合和区域协调发展继续推进，年末全国常住人口城镇化率增长至.下图为年年末常住人口城镇化率的折线图. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合常住人口城镇化率与年份代码的关系.请建立关于的回归方程； (2)从这年中任取年，记常住人口城镇化率超过的年数为，求的分布列与数学期望. 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为：，. ( 题型0 4 )列联表与独立性检验 1．（2025·湖南省郴州市·三模）某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时. (1)根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？ 单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 每周的锻炼时间不超过5小时 合计 (2)正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率. 参考公式与数据：，其中. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 2．（2025·四川省自贡市·三模）2025年4月24日，搭载“神舟二十号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“航天爱好者”，否则称为“非航天爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取200人进行分析，得到下表（单位：人）： 航天爱好者 非航天爱好者 合计 女 40 60 100 男 70 30 100 合计 110 90 200 (1)能否有99%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关？ (2)现从这100名男生与100名女生中，按“航天爱好者”和“非航天爱好者”这两种类型分别进行分层抽样抽取男生10人，女生5人.将这15人中航天爱好者记为A组，非航天爱好者记为B组.现从这两组中各任意选取一人进行交换，求经过一次交换后，A组中女生人数的分布列和数学期望. 附：，其中， 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 3．（2025·四川省攀枝花·三模）一家调查机构在某地随机抽查800名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下列联表： 倾向于购买新能源车 倾向于购买燃油车 合计 女性居民 80 男性居民 400 合计 800 已知从这800名居民中随机抽取1人，这个人倾向于购买燃油车的概率为0.8 (1)完成列联表； (2)依据小概率值的独立性检验，分析对新能源车与燃油车的购买倾向是否存在性别差异； (3)从上述倾向于购买燃油车的居民中用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中抽取3人调查其倾向于购买燃油车的原因，用表示3人中女性居民的人数，求的分布列及数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4．（2025·重庆市·三模）随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果： 职业 买食品时是否看营养说明 合计 不看营养说明 看营养说明 从事与医疗相关行业 12 28 40 从事与医疗无关行业 18 22 40 合计 30 50 80 (1)从这80名受访者中随机抽出1人，已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业的概率； (2)依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？参考公式： 独立性检验中常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 5．（2025年四川宜宾市三模）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行小白鼠试验.现将300只小白鼠分为甲、乙两组，甲组200只，乙组100只.研究人员将疫苗注射到甲组的200只小白鼠体内，一段时间后检测小白鼠的某项指标值.检测发现有150只小白鼠体内产生抗体，其中该项指标值不小于60的占；没有产生抗体的小白鼠中该项指标值不小于60的占.假设各小白鼠注射疫苗后是否产生抗体是相互独立的. (1)填写如下列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关； 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 (2)用甲组中小白鼠产生抗体的频率估计概率，记乙组小白鼠在注射疫苗后产生抗体的只数为，当取最大值时，求. 参考公式：（其中为样本容量） 参考数据： 0.1 0.05 0.005 0.001 2.706 3.841 7.879 10.828 6．（2025·河南省安阳市·三模）某工厂引进两条智能化生产线，从这两条生产线生产的产品中各随机抽取100件进行检验，得到的数据如下表： 优质品 合格品 总计 A生产线 90 10 100 B生产线 80 20 100 总计 170 30 200 (1)依据小概率值的独立性检验，分析A，B两条智能化生产线的优质品率是否存在差异； (2)用样本的频率估计概率，若B生产线的生产效率是A生产线的2倍，现从A，B两条生产线同一时间段内生产的均匀混合放置的产品里任取一件产品，求其是优质品的概率； (3)用样本的频率估计概率，若从B生产线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中优质品的件数，求X的分布列和数学期望． 附． α 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ( 题型0 5 )古典概型、条件概率及全概率公式 1．（2025·河南省安阳市·三模）某校从2名女生和4名男生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025年江西省萍乡市三模）从双不同品牌的筷子中任取两根，若其中一根为品牌的筷子，则另一根筷子也属于品牌的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025年河北石家庄三模）已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（    ） A．事件A与B一定是对立事件 B． C． D．若事件A、B相互独立，则 4．（多选）（2025·河南省焦作市·三模）如图，一个圆形仓鼠笼被分为A，B，C，D四个区域，相邻区域之间用通道相连，开始时将一只仓鼠放入区域，仓鼠每次随机选择一个通道进入相邻的区域，设经过次随机选择后仓鼠在区域的概率为，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025年广东省广州市天河区三模）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件A：，事件B：，事件C：，则（    ） A．A，B互斥 B． C． D．A，B，C两两独立 6．（多选）（2025·山东省枣庄市·三模）已知，为随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ） A．若，互斥，则 B．若，相互独立，则 C．若，相互独立，则 D．若，则 7．（2025年江西九江市三模）某校选拔乒乓球队队员，选拔时选手与教练对局．若选手连胜两局则成功入选，若连负两局则落选．已知某选手每局测试中（无平局）获胜的概率为，则该选手成功入选的概率是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（2025·安徽省安庆市·三模）一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（    ） A．事件，为互斥事件 B．事件B，C为独立事件 C． D． 9．（多选）（2025年湖北武汉市武昌区三模）某乒乓球比赛采用单淘汰制，即参赛选手按照随机组合方式逐轮进行比赛，每场比赛负方淘汰，胜方晋级到下一轮，直到最终决出冠亚军．现有运动员（且）名，随机编号到对阵位置，且所有运动员在任何一场比赛中获胜的概率均为．若甲、乙是其中的两名运动员，则下列结论中正确的有（   ） A．若，则甲、乙在第1轮比赛中相遇的概率为 B．若，则甲、乙在第2轮比赛中相遇的概率为 C．若（且），则甲、乙两人在第4轮比赛中相遇的概率为 D．若，则甲、乙两人在比赛中相遇的概率为 10．（多选）（2025·陕西省安康市·三模）在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上､下､左､右四个方向移动1个单位长度，移动6次，则（    ） A．蚂蚁始终未远离原点超过1个单位长度的概率是 B．蚂蚁移动到点的概率为 C．蚂蚁回到原点的概率为 D．蚂蚁移动到直线上的概率为 11．（2025年四川宜宾市三模）从集合中任取4个不同的数，组成无重复数字的四位数.若该四位数能被3整除的概率为；若取出的4个数按从小到大排列，中间两个数的和为7的概率为，则 . 12．（2025年山东威海市三模）有甲、乙两袋，甲袋中有4个白球，1个红球；乙袋中有2个白球，2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为 ． 13．（2025·四川省德阳市·三模）根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅皆为阴数”意为九官格中5位于居中位置，四个顶角填偶数，其余位置填奇数（用完1到9九个数字）.按洛书的填写方法，记事件“满足图案中每行、每列及对角线上的三个数字和都相等，且”，则 .     5 14．（2025·山东省枣庄市·三模）箱子中装有4个红球，2个黄球（除颜色外完全相同），掷一枚质地均匀的骰子1次，如果点数为，则从该箱子中一次性取出个球.规定：依据个球中红球的个数，判定甲的得分，每一个红球记1分；依据个球中黄球的个数，判定乙的得分，每一个黄球记2分.比如：若一次性取出了2个红球，2个黄球，则判定甲得分，乙得分.则在1次掷骰子取球的游戏中， . 15．（2025年山东省泰安市三模）乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜.在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球乙同学得分的概率为，且对以后的每一球，若乙同学在本球中得分，则他在下一球的得分概率为，若乙同学在本球中未得分，则他在下一球的得分概率为. (1)求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率； (2)求乙同学最终获胜的概率. ( 题型0 6 )离散型随机变量期望、方差及其分布列 1．（多选）（2025·四川省成都市·三模）已知某地社交媒体用户的日活跃时长（单位：小时）服从正态分布，则（   ） A．， B．若，则 C． D． 2．（多选）（2025年江西九江市三模）已知随机变量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C． D． 3．（2025年山西省吕梁市三模）某企业为了提高生产效率，采用智能监测器对企业的生产设备进行监测．已知该企业的生产设备正常的概率，在生产设备异常的情况下，每台智能监测器出现预警信号的概率为；在生产设备正常的情况下，每台智能监测器出现预警信号的概率为． (1)如果用2台智能监测器进行监测，且每台智能监测器相互独立，已知，在生产设备异常的情况下，求智能监测器出现预警信号的台数X的分布列及数学期望； (2)如果用1台智能监测器进行监测，要使在智能监测器出现预警信号的条件下，生产设备异常的概率超过95%，求的范围． 4．（2025·陕西省安康市·三模）现有一堆除颜色外其他都相同的小球在甲、乙两个袋子中，其中甲袋中有3个红色小球和3个白色小球，乙袋中有2个红色小球和3个白色小球．小明先从甲袋中任取2个球不放回，若这2个球的颜色相同，则再从乙袋中取1个球；若这2个球的颜色不相同，则再从甲袋中取1个球． (1)求小明第二次取到的球是红球的概率； (2)记为小明取到的红球个数，求的分布列及期望值． 5．（2025·辽宁沈阳·三模）甲、乙两个箱子中，各装有个球，其中甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，则从甲箱中随机摸出个球；如果点数为、、、，则从乙箱中随机摸出个球．已知掷次骰子后，摸出的球都是红球的概率是． (1)求的值； (2)记摸到红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望． 6．（2025年江苏如皋市三模）已知一个黑色袋子里装有2个红球，4个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为X． (1)求甲同学取球两次即终止的概率； (2)求随机变量X的分布列及期望． 7．（2025·浙江省金华市义乌市·三模）某手机厂对屏幕进行两项独立检测：亮度检测通过率，色准检测通过率.产品需通过两项检测才算合格.随机抽取3件产品，设合格品数为X. (1)求单件产品为合格品的概率； (2)求X的分布列及数学期望； (3)已知合格品利润100元/件，若改进工艺能使亮度检测通过率提升至，但每件成本增加1元.是否值得改进？ 8．（2025·湖南省永州市·三模）某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了20位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分4个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示： 等级 不及格 及格 良 优 分数 1 2 3 4 人数 3 9 5 3 (1)若从样本中随机选取2位学生，求所选的2位学生分数不同的概率； (2)用样本估计总体，以频率代替概率.若从高三年级学生中随机抽取n位学生，记所选学生分数不小于3的人数为X. （ⅰ）若，求X的分布列与数学期望； （ⅱ）若，当k为何值时，最大？ 9．（2025年江西省萍乡市三模）某数学研究小组对一家商铺进行了研究分析，发现每日客流量X服从正态分布，其密度函数峰值为，均值为100，且商铺规定消费一次可以获得不同数量的积分：获得1分的概率为，获得2分的概率为，获得3分的概率为.每次消费获取积分相互独立. (1)求； (2)记某顾客消费两次累计获得的积分为Z，求Z的分布列与期望. 附：正态密度函数，其中为均值，为标准差.，，. 10．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． (1)若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望； (3)如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得出什么结论． 11．（2025·河南省焦作市·三模）小王参加某机构的招聘面试，要从6道简答题和4道论述题中任意抽取3道进行回答． (1)求小王抽取的3道题中两种题型都有的概率； (2)每道简答题答对得10分，每道论述题答对得20分，假设小王每道题都能答对，记小王答完3道题的总得分为，求的分布列和数学期望． 12．（2025·河北省张家口·三模）为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下：       类别科室 志愿者 医生 护士 A科室 2 3 B科室 3 3 (1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率； (2)设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 13．（2025·安徽省安庆市·三模）已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局． (1)如果约定先净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率； (2)如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局．设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为． ①求甲获胜的概率；②求． 14．（2025年江西九江市三模）箱子中有个小球，标号为1，2，…，，现从中摸2次球，每次摸一个小球，记录标号后放回．已知每次摸出小球的标号服从概率分布，其中，．当不全为0时，该箱子中的小球是不均匀的，否则是均匀的． (1)记第一次摸出的小球标号为，第二次摸出的小球标号为． （i）当时，设事件“”的概率为，试比较与的大小，并说明理由； （ii）设事件“”的概率为，证明：． (2)证明：对于任意的，其中，都有． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 概率、统计及随机变量分布列 题型概览 题型01 随机抽样及频率分布直方图 题型02 样本的数字特征 题型03 一元线性回归模型 题型04 列联表与独立性检验 题型05 古典概型 题型06 条件概率及全概率公式 题型07 离散型随机变量期望、方差及其分布列 ( 题型0 1 )随机抽样及频率分布直方图 1．（2025年山东威海市三模）某校从高二年级随机抽取部分学生参加交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则可估计该校高二年级学生的交通安全知识测试成绩的中位数为（    ） A．87.5 B．85 C．82.5 D．80 【答案】C 【分析】由中位数的定义，列出方程计算可得到结果. 【详解】成绩落在的频率为，成绩落在的频率为， 成绩落在的频率为，因为，，所以中位数落在内，设中位数为，则，解得，故选：C. 2．（2025·辽宁沈阳·三模）近日，数字化构建社区服务新模式成为一种趋势．某社区为了优化数字化社区服务，通过问卷调查的方式调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分）进行统计，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，图中，则满意度计分的第一四分位数约为（   ） A．87.5 B．85 C．70 D．62.5 【答案】C 【分析】由频率分布直方图的性质可得的值，再由百分位数的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，解得，且第一个小矩形面积为，第二个小矩形面积为，则第一四分位数即第百分位数为.故选：C 3．（多选）（2025·广东揭阳·二模）洛阳是我国著名的牡丹之乡，以“洛阳地脉花最宜，牡丹尤为天下奇”流传于世.某种植基地通过植株高度研究牡丹的生长情况，从同一批次牡丹中随机抽取100株的植株高度（单位：）作为样本，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（   ）    A．基地牡丹植株高度的极差的估计值大于50 B．基地牡丹植株高度不高于70的频率估计值为30% C．基地牡丹植株高度的众数与中位数的估计值相等 D．基地牡丹植株高度的第75百分位数的估计值小于80 【答案】BC 【分析】根据频率分布直方图中的数据可得出极差，判断A项；计算各小组频率可判断B项；分析可知中位数位于，列方程计算即可得出中位数，根据频率分布直方图可直接估算众数；根据各小组的概率可知基地牡丹植株高度的第75百分位数的估计值应在内. 【详解】对于A项，由图象可知，基地牡丹植株高度范围在之间，所以极差的估计值应不大于50，故A错误；对于B项，基地牡丹植株高度不高于70的频率为.故B正确；对于C项，由频率分布直方图可知，基地牡丹植株高度不高于70的频率为，不高于的频率为，所以中位数位于，设为， 则应有，计算可得.众数估计为的中点，也是，与中位数相同.故C正确；对于D项，基地牡丹植株高度不高于的频率为，不高于的频率为， 所以，基地牡丹植株高度的第75百分位数的估计值应在内.故D错误.故选：BC. 4．（多选）（2025·四川省自贡市·三模）为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对、两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、.则下列判断正确的有（    ）. A．且. B．且. C．且. D．. 【答案】ABD 【分析】根据频率分布直方图的中位数，平均数公式，众数公式，可判断结果，标准差是衡量数据的离散程度，数据越集中，标准差越小，从而可判断标准差. 【详解】中位数的计算与比较：由图甲可判断甲组数据的中位数在[7，10.5)内，第一组[0，3.5)的数据的频率为0.01×3.5=0.035，第二组[3.5，7)频率为0.10×3.5=0.35， 则，解得，由图乙可判断乙组数据的中位数在[10.5，14)内，则，解得，所以<.平均数的计算与比较：甲组平均数 ： .乙组平均数： . 所以.众数的计算与比较：由图甲可得甲组众数​；由图乙可得乙组众数，所以 .标准差的比较：因甲组数据分布相对分散，乙组数据相对集中在中间区间，所以.对于A，由前面计算可知<且，故A 正确；对于B，因且，故B正确；对于C，由前分析得，，，，，，故C错误；对于D ，因，，，则 ，故D正确 .故答案选 ABD. 5．（2025年河北石家庄三模）某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如下频率分布直方图. (1)估计这100名志愿者年龄的中位数（结果精确到0.01）和平均数； (2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量表示代表年龄在的志愿者人数，求的分布列及期望. 【答案】(1)估计这100名志愿者年龄的中位数和平均数分别为和 (2)的分布列为： 【分析】（1）根据中位数和平均数的计算公式即可求解； （2）根据分层抽样计算出年龄在的人数，和年龄在的人数.由题知年龄在的志愿者人数服从超几何分布，的所有可能取值为，，，，根据超几何分布的概率分布列公式求出取每个值对应的概率，即可求解的分布列，根据离散型随机变量的期望公式即可求出的期望. 【详解】（1）由频率分布直方图可知：因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，所以中位数位于区间中，中位数的估计值为；由频率分布直方图可知：样本平均数的估计值为.故估计这100名志愿者年龄的中位数和平均数分别为和. （2）由题可知从中选取的20名志愿者中，年龄在的有人，其中年龄在的有人.由题知年龄在的志愿者人数服从超几何分布，的所有可能取值为，，，，，， ，，所以的分布列为： 的期望. 6．（2025年广东省广州市天河区三模）为减少环境污染，保护生态环境，某校进行了“垃圾分类知识普及活动”，并对高一、高二全体学生进行了相关知识测试．现从高一、高二各随机抽取了20名学生，对他们的成绩（百分制）进行了整理和分析后得到如下信息： 高一年级成绩分布表 成绩 人数 1 2 3 4 10 高二年级成绩频率分布直方图 (1)从高一和高二样本中各抽取一人，求这两人成绩都不低于90分的概率； (2)用频率估计概率，分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取两人，随机变量表示这三人中成绩不低于90分的人数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)；(2)分布列见解析；. 【分析】（1）首先求出高一年级成绩不低于90分的概率，然后求出高二年级成绩不低于90分的概率，最后根据独立事件概率公式求出高一年级高二年级各抽取1人成绩都不低于90分的概率. （2）首先确定的可能取值，然后对每个取值情况下求取概率值，最后根据数学期望的公式求出的期望. 【详解】（1）从高一年级成绩分布表可以看出，成绩不低于90分的概率为. 从高二年级成绩频率分布直方图中可以看出，成绩不低于90分的概率为. 所以从高一和高二样本中各抽取1人，这两人的成绩都不低于90分的概率为： . （2）根据题意可知，的可能取值为0，1，2，3.当时，即这三个人中成绩都低于90分，此时概率为：.当时，即这三个人中成绩只有1人的成绩是不低于90分的，此时概率为：.当时，即这三个人中成绩只有2人的成绩是不低于90分的，此时概率为：. 当时，即这三个人的成绩都是不低于90分的，此时概率为：. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为. ( 题型0 2 )样本的数字特征 1．（2025·河北省张家口·三模）某同学记录了自己升入高三以来8次的数学考试成绩，分别为125，117，129，132，115，119，126，130，则该同学这8次的数学考试成绩的第40百分位数为（    ） A．119 B．122 C．125 D．132 【答案】C 【分析】由百分位数的计算公式即可求解. 【详解】从小到大排序：115,117,119,125,126,129,130,132，，所以第40百分位数为第四个数，即125.故选：C 2．（2025·湖南省郴州市·三模）马拉松爱好者小丽月份每个月的跑步里程（单位：公里）如下表所示，则小丽7月份每个月的跑步里程的分位数为（    ） 月份 7月 8月 9月 10月 11月 12月 跑步里程 310 254 220 210 248 300 A．210公里 B．251公里 C．254公里 D．248公里 【答案】C 【分析】根据百分位数的公式计算即可. 【详解】将小丽月份每个月的跑步里程从小到大排列：. 因为6，所以小丽月份每个月的跑步里程的分位数为254公里.故选：C. 3．（2025·陕西省安康市·三模）有一组样本数据，其平均数为，方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据样本平均数和方差的性质，即可求解. 【详解】根据样本数据平均数公式可知，，方差.故选：C 4．（2025年山东省泰安市三模）在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学第一个解答题的得分情况如下：7，9，5，8，4，1，则这组数据的平均数和极差分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均数，极差的定义求解. 【详解】根据题意，这组数据的平均数，极差为.故选：A. 5．（2025年江苏如皋市三模）已知9个数据：，，，，的均值为，方差为2，现将加入，则新数据的方差为（   ） A． B．2 C． D．18 【答案】A 【分析】由题意得，由方差公式即可求解. 【详解】由题意得，，则新数据的方差 ，故选：A． 6．（多选）（2025·浙江省金华市义乌市·三模）有两组数据，数据A：1，3，5，7，9和数据B：1，2，4，8，16，则（    ） A．数据A的平均数小于数据B的平均数 B．数据A的方差小于数据B的方差 C．数据A的极差小于数据B的极差 D．数据A的中位数小于数据B的中位数 【答案】ABC 【分析】依次算出两组数据的平均数，方差，极差，中位数即可比较大小. 【详解】设数据A：1，3，5，7，9的平均数，方差，极差，中位数依次为，数据B：1，2，4，8，16的平均数，方差，极差，中位数依次为，对于A，，故A正确；对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：ABC. 7．（2025·四川省绵阳市·三模）某家电公司生产了两种不同型号的空调，公司统计了某地区2024年的前6个月这两种型号空调的销售情况，得到销售量的折线统计图如图所示，分析这6个月的销售数据，下列说法不正确的是（    ） A．型号空调月销售量的极差比型号空调月销售量的极差大 B．型号空调月平均销售量比型号空调月平均销售量大 C．型号空调月销售量的上四分位数比型号空调销售量的上四分位数大 D．型号空调月销售量的方差比型号空调月销售量的方差小 【答案】D 【分析】结合题中数据，根据极差、平均数、上四分位数、方差的定义求解判断即可. 【详解】由图可知，型号空调月销售量的极差为，型号空调月销售量的极差为，故A正确；型号空调月平均销售量为，型号空调月平均销售量为，故B正确；将型号空调月销售量数据从小到大排列为：25，27，28，38，42，50，由，则型号空调月销售量的上四分位数为42，将型号空调月销售量数据从小到大排列为：22，25，30，37，40，45，由，则型号空调月销售量的上四分位数为40，故C正确；型号空调月销售量的方差为，型号空调月销售量的方差为， 故D错误.故选：D. 8．（多选）（2025·湖南省永州市·三模）下列说法中，正确的有（   ） A．具有相关关系的两个变量x，y的相关系数r越大，则x，y之间的线性相关程度越强 B．已知随机变量服从正态分布，且，则 C．数据27，30，37，39，40，50的第30百分位数是30 D．若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 【答案】BCD 【分析】根据相关系数的性质判断A；根据正态分布的对称性求解即可判断B；根据百分位数的概念求解第30百分位数即可判断C；利用频率分布直方图的性质可判断D. 【详解】对于A，具有相关关系的两个变量x，y的相关系数越大，则x，y之间的线性相关程度越强，故A不正确；对于B，随机变量服从正态分布，又， 所以，则，故B正确；对于C，因为，所以数据27，30，37，39，40，50的第30百分位数是30，故C正确；对于D，由对称性知若频率分布直方图左右对称，则平均数等于中位数，而若频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数，故D正确.故选：BCD. 9．（多选）（2025年广东省广州市天河区三模）某次测验中，高三（1）班m位同学参加考试，平均分为，方差为，高三（2）班n位同学参加考试，平均分为，方差为，两个班总的平均分为，方差为，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据平均数的公式和方差的公式对每个选项进行推导即可判断正确性. 【详解】根据题意可知，两个班的平均分，方差对于选项A：若，则，所以选项A正确. 对于选项B：若，则，选项B正确.对于选项C：若，则，那么. 而，因为正负不确定，所以不等式不一定成立，选项C不正确.对于选项D：若，则，那么 ，故选项D正确.故选：ABD. 10．（2025年湖北武汉市武昌区三模）某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的下四分位数为 ． 【答案】88 【详解】10个数据从小到大为80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，则，故这组数据的下四分位数为88.故答案为：88. ( 题型0 3 )一元线性回归模型 1．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）已知变量x，y线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（   ） A． B． C．0.1 D．0.2 【答案】B 【分析】根据已知求原数据的样本中心，再确定增加数据后的样本中心，进而得到修正后的回归直线方程，估计的对应值，最后由残差的定义求解即可. 【详解】由题设，则，增加数据后，，，且回归直线为，所以，则， 所以时，有，故残差为，故选：B． 2．（2025年山西省吕梁市三模）已知变量x和变量y，根据最小二乘法估计得到成对数据组的经验回归方程，成对数据组的经验回归方程，记，则（   ） （参考公式，对于一组成对数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：） A．直线经过点 B．直线不经过点 C． D． 【答案】A 【分析】根据回归方程的性质判断选择即可. 【详解】根据回归方程的性质得出直线经过点样本中心点，A选项正确；直线直线经过点样本中心点，B选项错误；回归直线，，不能确定，的大小关系，C，D选项错误；故选：A. 3．（2025年山东省泰安市三模）对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.将某公司新产品自上市起的月份与该月的对应销量（单位：万件）整理成如下表格： 月份x 1 2 3 4 5 销量y 0.5 1 1.4 建立y与x的线性回归方程为，则第2个月和第4个月的残差和为（   ） A．-0.919 B．-0.1 C．0.1 D．0.919 【答案】C 【分析】先求平均值，将其代入回归方程，故，将2，4代入线性回归方程，根据残差概念计算即可. 【详解】由题意可得，，将其代入回归方程，得，故，将2，4代入线性回归方程，则第2，4个月的预测值分别为，，故第2个月和第4个月的残差和为.故选：C. 4．（多选）（2025·四川省攀枝花·三模）小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了右表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为，若成等差数列，则（   ） x 4 6 8 10 12 y a 2 b c 6 A．变量x与y的样本相关系数 B． C．当时，残差为 D．当时，y的预测值为 【答案】BCD 【详解】由表格中的数据可计算平均数：，， 又因为成等差数列，所以，则，根据经验回归方程为必过点，则，解得,故B正确；由于经验回归方程为是递增的一次函数，所以两个变量是正相关，则样本相关系数，故A错误；当时，，所以残差为，故C正确；当时，，所以y的预测值为，故D正确；故选：BCD． 5．（2025·四川省成都市·三模）随着粤港澳大湾区建设、黄河流域生态保护和高质量发展等区域重大战略实施取得新成效，城乡融合和区域协调发展继续推进，年末全国常住人口城镇化率增长至.下图为年年末常住人口城镇化率的折线图. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合常住人口城镇化率与年份代码的关系.请建立关于的回归方程； (2)从这年中任取年，记常住人口城镇化率超过的年数为，求的分布列与数学期望. 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为：，. 【答案】(1)；(2)分布列见解析， 【分析】（1）求出、的值，将样本数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出回归直线方程； （2）由题意可知，随机变量的取值可能为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）设年份代码的平均数为，则.设常住人口城镇化率的平均数为，则.因为， ， 所以.所以.所以关于的回归方程为. （2）由图可知，第、、年常住人口城镇化率超过，由题意可知，的取值可能为、、，因为；；.所以的分布列为： 所以的数学期望为. ( 题型0 4 )列联表与独立性检验 1．（2025·湖南省郴州市·三模）某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时. (1)根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？ 单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 每周的锻炼时间不超过5小时 合计 (2)正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率. 参考公式与数据：，其中. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)表格见解析，有关 (2). 【分析】（1）分析数据，填入表格，计算出卡方，与7.879比较后得到结论； （2）设出事件，利用全概率公式进行计算，得到答案. 【详解】（1）表格如下： 单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45 每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55 合计 60 40 100 零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立.根据表中的数据，可得根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关. （2）由（1）的列联表可知，短跑成绩不合格的学生共有40名，其每周锻炼时间超过5小时的有10人，不超过5小时的有30人.从短跑成绩不合格的40名学生中随机抽取一名学生，记为甲， 设事件“甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，事件“甲每周的锻炼时间超过5小时”， “甲每周的锻炼时间不超过5小时”，用连列表中的数据计算频率并替代概率后得又已知，由全概率公式可得，所以学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格的概率为. 2．（2025·四川省自贡市·三模）2025年4月24日，搭载“神舟二十号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“航天爱好者”，否则称为“非航天爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取200人进行分析，得到下表（单位：人）： 航天爱好者 非航天爱好者 合计 女 40 60 100 男 70 30 100 合计 110 90 200 (1)能否有99%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关？ (2)现从这100名男生与100名女生中，按“航天爱好者”和“非航天爱好者”这两种类型分别进行分层抽样抽取男生10人，女生5人.将这15人中航天爱好者记为A组，非航天爱好者记为B组.现从这两组中各任意选取一人进行交换，求经过一次交换后，A组中女生人数的分布列和数学期望. 附：，其中， 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有99.9%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）由列联表计算出卡方，与参考数值比较，即可判断； （2）按分层抽样得到A、B组的男女生人数，则A组中女生人数的可能值为1，2，3，从而求出取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望. 【详解】（1） 所以有99.9%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关. （2）按分层抽样，100名男生中，抽取“航天爱好者”有7人，“非航天爱好者”有3人，100名女生中，抽取“航天爱好者”有2人，“非航天爱好者”有3人.故A组有男生7人，女生2人，B组有男生3人，女生3人.从这两组中各任意选取一人进行交换，经过一次交换后，A组中女生人数为，则的可能值为1，2，3. ，，. X的分布列如下表： 1 2 3 . 3．（2025·四川省攀枝花·三模）一家调查机构在某地随机抽查800名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下列联表： 倾向于购买新能源车 倾向于购买燃油车 合计 女性居民 80 男性居民 400 合计 800 已知从这800名居民中随机抽取1人，这个人倾向于购买燃油车的概率为0.8 (1)完成列联表； (2)依据小概率值的独立性检验，分析对新能源车与燃油车的购买倾向是否存在性别差异； (3)从上述倾向于购买燃油车的居民中用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中抽取3人调查其倾向于购买燃油车的原因，用表示3人中女性居民的人数，求的分布列及数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)分布列见解析， 【分析】（1）利用概率计算出倾向于购买燃油车的人数，则可列出二联表； （2）利用独立性检验规则，即可作出判断； （3）利用超几何分布概率公式可得概率分布列，从而可求期望. 【详解】（1）由从这800名居民中随机抽取1人，这个人倾向于购买燃油车的概率为0.8， 可知道倾向于购买燃油车的人数为人      倾向于购买新能源车 倾向于购买燃油车 合计 女性居民 80 240 320 男性居民 80 400 480 合计 160 640 800 （2）零假设：对新能源车与燃油车的购买倾向相互独立，不存在性别差异， 则 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异，且该推断犯错误的概率不超过； （3）从上述倾向于购买燃油车的居民中用分层随机抽样的方法抽取8人，则女性居民有3人，男性居民有5人，再从这8人中抽取3人调查其倾向于购买燃油车的原因，用表示3人中女性居民的人数，则的可能取值有，，，，，则的分布列为： 0 1 2 3 所以. 4．（2025·重庆市·三模）随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果： 职业 买食品时是否看营养说明 合计 不看营养说明 看营养说明 从事与医疗相关行业 12 28 40 从事与医疗无关行业 18 22 40 合计 30 50 80 (1)从这80名受访者中随机抽出1人，已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业的概率； (2)依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？参考公式： 独立性检验中常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)；(2)无差异 【分析】（1）根据条件概率及古典概型计算即可；（2）代入公式计算的值，结合临界值判断即可. 【详解】（1）用A表示事件“受访者在购买食品是要看营养说明”，B表示事件“受访者从事医疗无关行业”，“已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业”的概率就是在“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为，，，所以； （2）零假设为：职业与看营养说明相互独立，即两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异， 根据表中数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，所以可以认为成立，即认为两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异. 5．（2025年四川宜宾市三模）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行小白鼠试验.现将300只小白鼠分为甲、乙两组，甲组200只，乙组100只.研究人员将疫苗注射到甲组的200只小白鼠体内，一段时间后检测小白鼠的某项指标值.检测发现有150只小白鼠体内产生抗体，其中该项指标值不小于60的占；没有产生抗体的小白鼠中该项指标值不小于60的占.假设各小白鼠注射疫苗后是否产生抗体是相互独立的. (1)填写如下列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关； 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 (2)用甲组中小白鼠产生抗体的频率估计概率，记乙组小白鼠在注射疫苗后产生抗体的只数为，当取最大值时，求. 参考公式：（其中为样本容量） 参考数据： 0.1 0.05 0.005 0.001 2.706 3.841 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有关；(2) 【分析】（1）根据已知填表格，计算卡方，再比较临界值判断求解； （2）根据二项分布写出概率，再列不等式计算求解. 【详解】（1）由题可得，列联表如下： 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 25 125 150 没有抗体 20 30 50 合计 45 155 200 假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.根据列联表中的数据，得：，根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.001. （2）由题知每只小白鼠在注射疫苗后产生抗体的概率的估计值为，所以随机变量， 所以，要使最大，则解得：，所以. 6．（2025·河南省安阳市·三模）某工厂引进两条智能化生产线，从这两条生产线生产的产品中各随机抽取100件进行检验，得到的数据如下表： 优质品 合格品 总计 A生产线 90 10 100 B生产线 80 20 100 总计 170 30 200 (1)依据小概率值的独立性检验，分析A，B两条智能化生产线的优质品率是否存在差异； (2)用样本的频率估计概率，若B生产线的生产效率是A生产线的2倍，现从A，B两条生产线同一时间段内生产的均匀混合放置的产品里任取一件产品，求其是优质品的概率； (3)用样本的频率估计概率，若从B生产线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中优质品的件数，求X的分布列和数学期望． 附． α 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)是；(2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）根据全概率公式计算即可； （3）由题意得，即可列出分布列，进而得出数学期望． 【详解】（1）零假设：A，B两条智能化生产线的优质品率是不存在差异 .依据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立，可以认为两条智能化生产线的优质品率存在差异． （2）设“生产线生产的产品”为事件，“生产线生产的产品”为事件，“任取一件产品是优质品”为事件，由题可知，， 则，所以任取一件产品是优质品的概率为． （3）的所有可能取值为0，1，2，3，由题意得， ， .所以的分布列为： 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 所以的数学期望． ( 题型0 5 )古典概型、条件概率及全概率公式 1．（2025·河南省安阳市·三模）某校从2名女生和4名男生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型利用组合进行求解公式. 【详解】.故选：C. 2．（2025年江西省萍乡市三模）从双不同品牌的筷子中任取两根，若其中一根为品牌的筷子，则另一根筷子也属于品牌的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设事件为“从所有筷子中任取两根均为品牌”，设事件为“任取的两根筷子中有品牌”，求出、的值，结合条件概率公式可求得的值. 【详解】设事件为“从所有筷子中任取两根均为品牌”，则.设事件为“任取的两根筷子中有品牌”，则.所求概率即为. 3．（2025年河北石家庄三模）已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（    ） A．事件A与B一定是对立事件 B． C． D．若事件A、B相互独立，则 【答案】D 【分析】举例判断AB，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解，即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解判断D. 【详解】对于AB，一个密封的盒子中有标号为1,2，3,4,5的5个小球从中任取1球，记事件A：从中取出球的标号为1,2，事件：从中取出球的标号为1,2,3，则，满足，但不是对立事件，故A错误；由上例可知，故B错误； 对于C，仅在事件A、B相互独立时才成立，而不知道事件A、B的关系，故不确定的值，错误.对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，正确.故选：D 4．（多选）（2025·河南省焦作市·三模）如图，一个圆形仓鼠笼被分为A，B，C，D四个区域，相邻区域之间用通道相连，开始时将一只仓鼠放入区域，仓鼠每次随机选择一个通道进入相邻的区域，设经过次随机选择后仓鼠在区域的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据全概率公式、概率的乘法公式可得数列的递推关系，结合等比数列的定义与通项公式求出数列的通项公式，再结合等比中项的定义、以及指数函数的性质，对选项中的结论逐一判断即可. 【详解】对于A，因为仓鼠一开始在区域，经过1次选择后不可能在区域，所以，故A正确；对于B，记仓鼠经过次随机选择后在B，C，D区域的概率分别为，， 则有所以，进一步得，因为，所以，所以，所以不成等比数列，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确；对于D，因为， 所以，故D正确．故选：ACD 5．（2025年广东省广州市天河区三模）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件A：，事件B：，事件C：，则（    ） A．A，B互斥 B． C． D．A，B，C两两独立 【答案】D 【分析】利用互斥事件的定义即可判断A，根据并事件的定义即可判断B，利用独立事件的定义即可判断CD. 【详解】对于A：，即事件同时发生，所以，故A错误；对于B：事件发生，不一定发生，故B错误；对于C：根据题意，， 所以，，故C错误；对于D：由，，所以A，B，C两两独立，故D正确，故选：D. 6．（多选）（2025·山东省枣庄市·三模）已知，为随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ） A．若，互斥，则 B．若，相互独立，则 C．若，相互独立，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式以及条件概率公式逐个计算，分别对每个选项进行分析判断. 【详解】对于选项，若，互斥，根据互斥事件的概率加法公式. 已知，，则，所以选项正确. 对于选项，若，相互独立，则与也相互独立.因为，所以，所以选项错误. 对于选项，若，相互独立，则.根据概率的加法公式，将，，代入可得：，所以选项正确. 对于选项，已知，，则. ，.根据条件概率公式，所以选项正确.故选：ACD. 7．（2025年江西九江市三模）某校选拔乒乓球队队员，选拔时选手与教练对局．若选手连胜两局则成功入选，若连负两局则落选．已知某选手每局测试中（无平局）获胜的概率为，则该选手成功入选的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题通过定义不同状态下成功入选的概率，利用状态转移的思想建立方程组来求解选手成功入选的概率.先根据不同状态下获胜和失败的概率建立关于和的方程组，求解出和后，再根据初始状态与、的关系求出. 【详解】定义状态(最近一局赢)，(最近一局输)，成功入选的概率分别为和，初始状态成功入选的概率为.建立方程组，将第二个方程代入第一个方程可得：，把代入可得：又因为，将，代入可得：该选手成功入选的概率是，故选：A. 8．（多选）（2025·安徽省安庆市·三模）一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（    ） A．事件，为互斥事件 B．事件B，C为独立事件 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB，由组合知识求得判断C，根据条件概率的定义求得判断D． 【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确； 由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，，事件不发生，则两球一白一红，，不独立，B错；，C正确；事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以，D正确．故选：ACD． 9．（多选）（2025年湖北武汉市武昌区三模）某乒乓球比赛采用单淘汰制，即参赛选手按照随机组合方式逐轮进行比赛，每场比赛负方淘汰，胜方晋级到下一轮，直到最终决出冠亚军．现有运动员（且）名，随机编号到对阵位置，且所有运动员在任何一场比赛中获胜的概率均为．若甲、乙是其中的两名运动员，则下列结论中正确的有（   ） A．若，则甲、乙在第1轮比赛中相遇的概率为 B．若，则甲、乙在第2轮比赛中相遇的概率为 C．若（且），则甲、乙两人在第4轮比赛中相遇的概率为 D．若，则甲、乙两人在比赛中相遇的概率为 【答案】ACD 【分析】根据题意甲确定后，乙还有7个位置选择然后可计算相遇概率确定A选项；同理甲乙在第2轮相遇，首先甲乙不能同组并同时晋级，再在第二轮相遇可确定B选项；根据题意甲、乙两人在第m轮比赛中相遇的概率为即可确定C选项；利用等比数列求和公式可求甲、乙两人在比赛中相遇的概率. 【详解】对于A，时，甲的位置确定后，乙需在剩余7个位置中选择同一组的1个位置，概率为，故A正确；对于B，当时，甲、乙在第2轮相遇，则甲、乙需在第一轮均晋级概率为，又在第2轮同一组的概率为，故所求概率为，故B错误；对于C，当时，甲、乙两人在第m轮比赛中相遇的概率为，所以甲、乙两人在第4轮比赛中相遇的概率为，故C正确；对于D，当时，甲、乙两人在比赛中相遇的概率为，故D正确；故选：ACD. 10．（多选）（2025·陕西省安康市·三模）在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上､下､左､右四个方向移动1个单位长度，移动6次，则（    ） A．蚂蚁始终未远离原点超过1个单位长度的概率是 B．蚂蚁移动到点的概率为 C．蚂蚁回到原点的概率为 D．蚂蚁移动到直线上的概率为 【答案】ACD 【分析】对于A，由题意可知蚂蚁每一步的位置只能是或原点的上下左右四个点，第一次从坐标原点出发，有上下左右4种走法，第二次移动只能回到原点，即只有1种走法，同理可得后面四次的走法，利用分步乘法计数原理可得符合题意的路径数，而总路径数易得为种，利用古典概型可算得其概率；对于B，蚂蚁移动到点，则需恰好右移3次，上移3次，路径数为种，利用古典概型可算得其概率；对于C，要回到原点，则左右移动次数相等，需要分类讨论，求出符合题意的路径数，再除以总路径数即可求得其概率；对于D，可设净移动的概念，则满足题意的净移动取值有，类似C选项的分析，进行分类讨论， 同时可以考虑问题的对称性，可求得符合题意的路径总数，再除以总路径数即可求得其概率. 【详解】对于A，蚂蚁始终未远离原点超过1个单位长度，则每一步的位置只能是或原点的上下左右四个点，最开始蚂蚁在原点，第一次移动有上下左右4种走法，第二次移动只能回到原点，即只有1种走法，同理，第三次移动有上下左右4种走法，第四次移动只能回到原点，即只有1种走法，第五次移动有上下左右4种走法，第六次移动只能回到原点，即只有1种走法，所以满足题意的共有种路径，而移动6次，每次有4种走法，即总路径数为，由古典概型可知蚂蚁始终未远离原点超过1个单位长度的概率为，故A正确；对于B，蚂蚁移动到点，则需恰好右移3次，上移3次，路径数为种，所以蚂蚁移动到点的概率为，故B错误；对于C，要回到原点，则左右移动次数相等，均为次；上下移动次数相等，均为次，总次数满足，即，可能的组合有： ①，即左右都3次，路径数为种； ②，即左右均2次，上下均1次，路径数为种； ③，即左右均1次，上下均2次，路径数为种； ④，即上下都3次，路径数为种； 所以路径总数为种，故蚂蚁移动到点的概率为，故C正确； 对于D，蚂蚁要移动到直线上，则水平净移动（向右移动次数减去向左移动次数）要等于 垂直净移动（向上移动次数减去向下移动次数），例如，向右移动3次，向左移动1次，则水平净移动为， 向上移动2次，向下移动0次，则垂直净移动为次，此时蚂蚁位于，符合题意， 设水平净移动为，则垂直净移动也为， 当时，水平和垂直净移动均为0，即回到坐标原点，也即C选项所考虑的结果，共400种； 当时，水平和垂直净移动均为1，设向左次数为，则向右次数为；设向下次数为，则向上次数为， 总移动次数，所以可能的组合有： ①，此时向右1次，向左0次，向上3次，向下2次，路径数为种； ②，此时向右2次，向左1次，向上2次，向下1次，路径数为种； ③，此时向右3次，向左2次，向上1次，向下0次，路径数为种； 所以当时，路径总数为种；由对称性，可知当时，路径总数也为种； 当时，水平和垂直净移动均为2，设向左次数为，则向右次数为；设向下次数为，则向上次数为， 总移动次数，所以可能的组合有： ①，此时向右2次，向左0次，向上3次，向下1次，路径数为种； ②，此时向右3次，向左1次，向上2次，向下0次，路径数为种； 所以当时，路径总数为种；由对称性，可知当时，路径总数也为种； 当时，水平和垂直净移动均为3，设向左次数为，则向右次数为；设向下次数为，则向上次数为， 总移动次数，所以可能的组合只有： ，此时向右3次，向左0次，向上3次，向下0次，路径数为种； 由对称性，可知当时，路径总数也为种； 当或绝对值更大时，总移动次数会超过6次，不符合题意， 故蚂蚁移动到直线上的总路径数为种， 所以概率为，故D正确；故选：ACD. 11．（2025年四川宜宾市三模）从集合中任取4个不同的数，组成无重复数字的四位数.若该四位数能被3整除的概率为；若取出的4个数按从小到大排列，中间两个数的和为7的概率为，则 . 【答案】 【详解】从集合中任取4个不同的数，可得无重复数字的四位数共，四位数能被3整除，即四个数的和是3的倍数，共有5种情况，故共有种，若取出的4个数按从小到大排列，共有种，中间两个数的和为7，只能时或，若中间为，两端只能为，一种情况，若中间为，第一个数可以从选，第四个数可以从选，有,故共有种，所以，， 所以。 12．（2025年山东威海市三模）有甲、乙两袋，甲袋中有4个白球，1个红球；乙袋中有2个白球，2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为 ． 【答案】/0.4 【分析】将问题拆分为两步，先从甲袋中取球，再从乙袋中取球，然后根据从甲袋中取出球的颜色情况，分情况计算乙袋中取出红球的概率，再根据全概率公式，用两种情况发生的概率乘以取到红球的概率，再相加即可得解. 【详解】由题意可知从甲袋中任取2个球有两种情况，2个白球或1个白球1个红球. ①从甲袋中取出2个白球的概率为，放入乙袋后，乙袋此时有4个白球，2个红球，取到红球的概率为； ②从甲袋中取出1个白球1个红球的概率为，放入乙袋后，乙袋此时有3个白球，3个红球，取到红球的概率为，综上两种情况可知，从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球为红球的概率为. 13．（2025·四川省德阳市·三模）根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅皆为阴数”意为九官格中5位于居中位置，四个顶角填偶数，其余位置填奇数（用完1到9九个数字）.按洛书的填写方法，记事件“满足图案中每行、每列及对角线上的三个数字和都相等，且”，则 .     5 【答案】 【分析】根据排列求解总情况，然后利用列举法列举出符合条件的情况，即可利用古典概型概率公式求解. 【详解】 九宫格的中间填5，①③⑤⑦位置填偶数，②④⑥⑧位置填奇数，故总的情况共有种情况，要使每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于，则和为15，所以①⑤、③⑦位置填或；满足，则③处填的数字不大于6，故符合条件的情况有以下类型： 8 1 6 3 5 7 4 9 2 8 3 4 1 5 9 6 7 2 2 7 6 9 5 1 4 3 8 2 9 4 7 5 3 6 1 8 4 3 8 9 5 1 2 7 6 6 1 8 7 5 3 2 9 4 因此，符合条件的有6种情况，故概率为. 14．（2025·山东省枣庄市·三模）箱子中装有4个红球，2个黄球（除颜色外完全相同），掷一枚质地均匀的骰子1次，如果点数为，则从该箱子中一次性取出个球.规定：依据个球中红球的个数，判定甲的得分，每一个红球记1分；依据个球中黄球的个数，判定乙的得分，每一个黄球记2分.比如：若一次性取出了2个红球，2个黄球，则判定甲得分，乙得分.则在1次掷骰子取球的游戏中， . 【答案】 【分析】利用条件概率和乘法公式分类讨论，最后利用全概率公式即可求解. 【详解】设掷骰子得到的点数的概率为，则，当时，的概率为，若，则需取出的1个球是红球的概率为， 所以，当时，的概率为，若，则需取出的2个球都是红球的概率为，所以，当时，的概率为，若，则需取出的3个球都是红球的概率为，所以，当时，的概率为，若，则有两种可能的情况：第一种情况为取出的4个球都是红球有种，第二种情况为取出的4个球种有3个红球，1个黄球，有种，所以概率为， 所以，当时，的概率为，若，则需取出全部4个红球，1个黄球，所以，所以， 当时，不满足题意，所以综上.故答案为：. 15．（2025年山东省泰安市三模）乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜.在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球乙同学得分的概率为，且对以后的每一球，若乙同学在本球中得分，则他在下一球的得分概率为，若乙同学在本球中未得分，则他在下一球的得分概率为. (1)求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率； (2)求乙同学最终获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件概率的计算公式求解； （2）设事件为“乙赢了本局”，事件为“乙赢了上一局”， 设事件为“当前乙同学分数与甲同学分数之差为时，最终乙同学获胜”，由于初始，故乙同学最终获胜的概率等价于，分，，三种情况讨论求出概率的表达式，解方程组求出得解. 【详解】（1）在打了两个球后结束，则甲连胜两球或乙连胜两球， 设事件为“再打两球后结束”，事件为“乙赢得比赛”， 则，，故. （2）设事件为“乙赢了本局”，事件为“乙赢了上一局”， 设事件为“当前乙同学分数与甲同学分数之差为时，最终乙同学获胜”， 当时，乙肯定赢了上一局，此时，若赢球则乙直接赢得比赛，若输球则乙获胜的概率为，所以， 同理，当时，乙肯定输了上一局，此时，若输球则输掉比赛，若赢球则获胜的概率为，所以， 当时，若乙赢了上一局，此时，若赢球则获胜的概率为， 若输球则获胜的概率为，所以， 若乙输了上一局，，同理可得， 又初始，故乙同学最终获胜的概率等价于， 所以，解得.所以乙同学最终获胜的概率为. ( 题型0 6 )离散型随机变量期望、方差及其分布列 1．（多选）（2025·四川省成都市·三模）已知某地社交媒体用户的日活跃时长（单位：小时）服从正态分布，则（   ） A．， B．若，则 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据正态分布知识和对称性分别求解. 【详解】因为（单位：小时）服从正态分布，，根据正态分布知识，，，A正确；若，则，得，B错误； ，根据原则，可得，C正确； ， ，由对称性可知，所以，D正确.故选：ACD 2．（多选）（2025年江西九江市三模）已知随机变量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用二项分布概率公式，通过等式关系求解参数，判断A;计算二项分布的方差判断B;根据正态分布的对称性，判断均值右侧的概率是否超过 判断C;利用正态分布的对称性，验证对称区间概率是否相等判断D. 【详解】，由，等式化简为：，故A正确；二项分布方差为：，当时，，此时.对于其他，，故B错误；，均值，因此，故C错误；由正态分布的对称性，2和6关于对称，根据对称性，，故D正确.故选：AD 3．（2025年山西省吕梁市三模）某企业为了提高生产效率，采用智能监测器对企业的生产设备进行监测．已知该企业的生产设备正常的概率，在生产设备异常的情况下，每台智能监测器出现预警信号的概率为；在生产设备正常的情况下，每台智能监测器出现预警信号的概率为． (1)如果用2台智能监测器进行监测，且每台智能监测器相互独立，已知，在生产设备异常的情况下，求智能监测器出现预警信号的台数X的分布列及数学期望； (2)如果用1台智能监测器进行监测，要使在智能监测器出现预警信号的条件下，生产设备异常的概率超过95%，求的范围． 【答案】(1)分布列见解析，；(2) 【分析】（1）结合题意得到，再求出对应取值的概率，进而得到分布列和数学期望即可. （2）设出基本事件并求出概率，再利用全概率公式求得，然后结合对立事件的概率公式，利用条件概率公式求得，列不等式求解即可. 【详解】（1）智能监测器出现预警信号的台数X的所有可能取值为，则， 则，，， 则X的分布列为 X 0 1 2 P 故X的数学期望为. （2）设生产设备正常为事件，生产设备异常为事件，智能监测器出现预警信号为事件， 则，，，，由全概率公式知，，所以，解得，又因为，所以的范围是. 4．（2025·陕西省安康市·三模）现有一堆除颜色外其他都相同的小球在甲、乙两个袋子中，其中甲袋中有3个红色小球和3个白色小球，乙袋中有2个红色小球和3个白色小球．小明先从甲袋中任取2个球不放回，若这2个球的颜色相同，则再从乙袋中取1个球；若这2个球的颜色不相同，则再从甲袋中取1个球． (1)求小明第二次取到的球是红球的概率； (2)记为小明取到的红球个数，求的分布列及期望值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用全概率公式求解即可； （2）随机变量的值为，分别求得对应的概率，可得分布列，进而可求得期望值. 【详解】（1）记小明从甲袋中取2个球的颜色相同为事件，记小明从甲袋中取2个球的颜色不相同为事件，记小明第二次取到的球是红球为事件， 则，，，， 所以由全概率公式，得； （2）随机变量的值为，小明先从甲袋中取2个白球，再从乙袋中取1个白球时，则，小明先从甲袋中取2个球的颜色不相同，则再从甲袋中取1个白球或小明先从甲袋中取2个白球，再从乙袋中取1个红球时，则， 小明先从甲袋中任取2个红球，再从乙袋中取1个白球或小明先从甲袋中取2个球的颜色不相同，再从甲袋中取1个红球时，则，小明先从甲袋中任取2个红球，则再从乙袋中取1个红球时，则，所以的分布列如下： 0 1 2 3 . 5．（2025·辽宁沈阳·三模）甲、乙两个箱子中，各装有个球，其中甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，则从甲箱中随机摸出个球；如果点数为、、、，则从乙箱中随机摸出个球．已知掷次骰子后，摸出的球都是红球的概率是． (1)求的值； (2)记摸到红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， 【分析】（1）设事件为“掷出骰子的点数为或”，则事件为“掷出骰子的点数为、、、”，设事件为“摸出的球都是红球”，利用全概率公式可得出关于的等式，即可解得的值； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有：、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）设事件为“掷出骰子的点数为或”，则事件为“掷出骰子的点数为、、、”， 则，，设事件为“摸出的球都是红球”，则，，由全概率公式可得， 整理可得，解得或（舍去），故. （2）由题意可知，随机变量的可能取值有：、、，则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 则. 6．（2025年江苏如皋市三模）已知一个黑色袋子里装有2个红球，4个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为X． (1)求甲同学取球两次即终止的概率； (2)求随机变量X的分布列及期望． 【答案】(1)；(2)分布列见解析，． 【分析】（1）甲同学取球两次即终止即两次都取红球，结合题意由古典概率计算可得； （2）求出X的可能取值，由题意求出相应的概率，列出分布列，利用期望公式求解可得. 【详解】（1）设甲同学取球两次即终止为事件A，． （2）X的可能取值为0，1，2，3，4 ，； 随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 答：甲同学取球两次即终止的概率为，随机变量X的期望为． 7．（2025·浙江省金华市义乌市·三模）某手机厂对屏幕进行两项独立检测：亮度检测通过率，色准检测通过率.产品需通过两项检测才算合格.随机抽取3件产品，设合格品数为X. (1)求单件产品为合格品的概率； (2)求X的分布列及数学期望； (3)已知合格品利润100元/件，若改进工艺能使亮度检测通过率提升至，但每件成本增加1元.是否值得改进？ 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)值得改进 【分析】（1）根据概率的乘法公式，可得答案； （2）根据离散型随机变量的分布列以及数学期望的计算，可得答案； （3）由（2）所求的期望，结合题意，可得改进前的利润，利用二项分布的期望，结合题意，可得改进后的利润，通过比较，可得答案. 【详解】（1）设合格的概率为，则：（亮度通过）（色准通过）. （2），易知，， ，， ，所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 数学期望. （3）改进前： 每件产品的合格概率.对于3件产品，期望合格数.总期望利润元. 改进后： 每件产品的合格概率，对于3件产品，新的期望合格数.总期望利润元.净期望利润元.改进前的期望利润是210元，改进后是213元，改进后利润增加了3元. 8．（2025·湖南省永州市·三模）某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了20位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分4个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示： 等级 不及格 及格 良 优 分数 1 2 3 4 人数 3 9 5 3 (1)若从样本中随机选取2位学生，求所选的2位学生分数不同的概率； (2)用样本估计总体，以频率代替概率.若从高三年级学生中随机抽取n位学生，记所选学生分数不小于3的人数为X. （ⅰ）若，求X的分布列与数学期望； （ⅱ）若，当k为何值时，最大？ 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）时，最大 【分析】（1）设事件“选取的2位学生分数不同”，根据对立事件结合古典概型计算即可得概率； （2）（ⅰ）时，，结合二项分布求解概率分布列与数学期望；（ⅱ）时，，由于最大，结合二项分布的概率计算可得解不等式可得符合的的值. 【详解】（1）设事件“选取的2位学生分数不同”，则， 故所选的2位学生分数不同的概率为； （2）设“学生分数不小于3”，则， （ⅰ）若，的可能取值为，由题意可得, 又，， ，， 所以的分布列为： 由于，则； （ⅱ）若，则，所以， 由于最大，所以， 即，因为，，所以时，最大. 9．（2025年江西省萍乡市三模）某数学研究小组对一家商铺进行了研究分析，发现每日客流量X服从正态分布，其密度函数峰值为，均值为100，且商铺规定消费一次可以获得不同数量的积分：获得1分的概率为，获得2分的概率为，获得3分的概率为.每次消费获取积分相互独立. (1)求； (2)记某顾客消费两次累计获得的积分为Z，求Z的分布列与期望. 附：正态密度函数，其中为均值，为标准差.，，. 【答案】(1) (2) 分布列见解析， 【分析】（1）先求出，结合特定区间上的概率可求； （2）利用独立事件的概率公式求出的分布列后可求其期望. 【详解】（1）由于，所以，所以. 那么. （2）依题意，所有可能的取值为2，3，4，5，6.，， ，，. 所以的分布列如下. 2 3 4 5 6 . 10．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． (1)若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望； (3)如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得出什么结论． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)答案见解析 【分析】（1）设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”，利用独立事件的概率乘法公式，即可求解； （2）根据题意，得到比赛的局数为X的所有可能取值为3，4，5，求得相应的概率，列出随机变量的分布列，结合期望的公式，求得数学期望； （3）分别求得三局二胜制进行比赛甲获胜的概率和五局三胜制进行比赛甲获胜的概率，结合作差比较法，以及函数的性质，即可得到结论. 【详解】（1）设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”，则． （2）比赛的局数为X的所有可能取值为3，4，5， 可得，， ．           所以随机变量的分布列为： X 3 4 5 P 所以期望为． （3）采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率，         采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率：．           令，因为，所以．    当时，；当时，；当时，．           所以当时，选择三局两胜制对甲有利；当时，选择五局三胜对甲有利； 当时，选择五局三胜制和三局两胜制对甲没有影响．           由此可以得出，比赛局数越多，对实力较强者越有利. 11．（2025·河南省焦作市·三模）小王参加某机构的招聘面试，要从6道简答题和4道论述题中任意抽取3道进行回答． (1)求小王抽取的3道题中两种题型都有的概率； (2)每道简答题答对得10分，每道论述题答对得20分，假设小王每道题都能答对，记小王答完3道题的总得分为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为42 【分析】（1）根据对立事件的概率公式结合古典概率的概率公式求解； （2）求出的所有可能取值，再求出相应的概率，列出分布列求得期望. 【详解】（1）所求概率为. （2）的所有可能取值为，，， ，．所以的分布列为 X 30 40 50 60 P 的数学期望. 12．（2025·河北省张家口·三模）为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下：       类别科室 志愿者 医生 护士 A科室 2 3 B科室 3 3 (1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率； (2)设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式即可求解； （2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室， 有种情况，从11人中抽4人有种情况， 所以所求的概率为. （2）随机变量的所有可能取值为、、、、， ，， ，，， 所以随机变量的分布列为 所以. 13．（2025·安徽省安庆市·三模）已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局． (1)如果约定先净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率； (2)如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局．设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为． ①求甲获胜的概率；②求． 【答案】(1)；(2)①；②． 【分析】（1）利用互斥事件的概率及独立重复试验的概率公式，列式计算即得.（2）①利用全概率公式列出的关系等式，再利用消元法求出；②列出的关系等式，利用消元法求出. 【详解】（1）4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲乙各胜一局，并且第3，4局甲胜， 概率为；4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲乙各胜一局，并且第3，4局乙胜，概率为，所以恰好4局结束比赛的概率为． （2）①在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局： 若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛获胜的概率为； 若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，根据全概率公式，，同理，，，，由，，得，与联立消去，得，又，，得，与联立消去，得，所以甲获胜的概率为． ②在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局： 若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛至结束，还需要局，共进行了局； 若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，共进行了1局，则，即，同理， 即，， 即，， 即，，即 联立与，得， 联立与，得， 代入，得，所以． 14．（2025年江西九江市三模）箱子中有个小球，标号为1，2，…，，现从中摸2次球，每次摸一个小球，记录标号后放回．已知每次摸出小球的标号服从概率分布，其中，．当不全为0时，该箱子中的小球是不均匀的，否则是均匀的． (1)记第一次摸出的小球标号为，第二次摸出的小球标号为． （i）当时，设事件“”的概率为，试比较与的大小，并说明理由； （ii）设事件“”的概率为，证明：． (2)证明：对于任意的，其中，都有． 【答案】(1)（i），理由见解析；（ii）证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（i）事件“”的概率为 ，由，即可得解； （ii）证明：事件“”的概率：，结合，即可求解； （2）设，则，令，得到，转化为证明，设为从装有个小球的箱子中抽出标号为的小球的概率，得到，结合（ii），即可得证. 【详解】（1）（i）事件“”的概率为 ，因为，可得，当且仅当小球均匀时取等号． （ii）证明：事件“”的概率： ，因为，则，当且仅当小球均匀时取等号，根据概率的对称性，事件“”的概率等于事件“”的概率，所以．所以，当且仅当小球均匀时取等号． （2）设，则，令，则， 要证，即证 即证，设为从装有个小球的箱子中抽出标号为的小球的概率，则可看成是第一次摸出号球， 第二次摸出的球号小于的概率，由（ii）知，， 所以，证毕． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$