专题01：正数和负数（4大知识点+8大题型+真题检验） 2025年新六年级暑假班预修提升课程（沪教版2024）

2025年新六年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题01 正数和负数 知识点一、具有相反意义的量 1、具有相反意义的量 如零上5℃,与零下2℃.具有相反意义的量.海平面以上高度和海平面以下高度也是具有相反意义的量. 生活中表示相反意义的词语，如下表： 收入 盈利 上升 零上 增加 向东 …… 支出 亏损 下降 零下 减少 向西 …… 2、用正负数表示具有相反意义的量 表示法：为了表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正，把另一种与之意义相反的量规定为负． 如在表示温度时，为了区别零上温度和零下温度，通常规定在零上温度的前面添上符号“+”(读作“正”),而在零下温度的前面添上符号“-”(读作“负”)。零上5℃,就记作+5℃,读作“正五摄氏度”;零下2℃,就记作-2℃,读作“负二摄氏度” 如在表示某地的海拔高度时，通常在高于海平面的高度前面添上符号“+”,而在低于海平面的高度前面添上符号“一”。珠穆朗玛峰的海拔高度是+8848.86 m,吐鲁番盆地的艾丁湖底海拔高度-154.31m. 【判断相反意义的量的方法】 (1)成对出现：具有相反意义的量是成对出现的,且必须是同类量． (2)单位一致：两个具有相反意义的量在数量上可以不相等，但单位必须一致． 【注意】 除百分数外，用正数和负数表示具有相反意义的量时，要写上单位，这一点极易被忽略。 知识点二、正数与负数的概念 1、像+5、+8848.86、+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数； 像－2、-154.31、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 要点： （1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略. （2）一般地，我们可以用正数和负数来表示一个问题中出现的具有相反意义的量。但哪种为正可任意选择，我们习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负． （3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线． 2、判断正数、负数的方法 判断一个数是正数还是负数，首先要确定它不为零；其次看它的“＋”“－”号的呈现形式：若不含“＋”、“－”号，或只含“＋”号，或“－”号的个数为偶数，则均为正数，否则为负数． 3、非正数与非负数 非正数包含0和负数，非负数包含0和正数； 即非正数小于等于0，非负数大于等于0； 4 、0的意义 ①0是正数、负数的分界； ②0表示没有，例如，0个苹果； ③0表示某种量的基准，例如0℃表示水结冰的温度； 知识点三、有理数的概念 1.整数和分数 (1)正整数、负整数、0统称为整数. (2)正分数、负分数统称为分数. 2.有理数：整数和分数统称为有理数. 3.有理数的另一个概念:形如—(为整数，且n≠0)的数是有理数,整数可以看作分母为1的数,有限小数和无限循环小数都可以化为分数,所以所有有理数都可以写成分数的形式. 【注意】 (1)有限小数和无限循环小数都可以化成分数,所以把有限小数和无限循环小数看成分数.但无限不循环小数不是分数，例如． (2)引入负数后,对数的认识扩充到有理数,不要忘记整数和分数中都有负数. 知识点四、有理数的分类 （1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：　 　　　 　　 【注意】 (1)有理数分类,分类的标准不同,分类的结果就不同,所以要按统一标准分类. (2)要想分类结果不重复、无遗漏,必须掌握两种分类标准,“整数”和“分数”对应, “正”与“负”对应;0既不是正数也不是负数,它是整数也是有理数. （3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数； 非正整数:负整数和0;非负数:正数和0;非负有理数:正有理数和0. 题型1：具有相反意义的量 【名师点拨】一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 1. 具有相反意义的量的正负性是相对的，没有硬性规定，是可以任意选择的. 2. 具有相反意义的量中的两个量表示的意义相反，且必须是同类量。 3. 具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不是具有相反意义的量. 4. 用正数、负数表示具有相反意义的量时不要忽略了量的单位 【例1】南、北为两个相反方向，如果+5m表示一个物体向北移动5m，那么﹣3m表示一个物体（　　） A．向北移动3m B．向南移动3m C．向北移动8m D．向南运动8m 【例2】如果收入100元记作+100元，则﹣55元表示 　　． 【例3】仔细思考以下各对量：①胜二局与负三局；②气温升高与气温为；③盈利万元与亏损万元；④两场篮球比赛，甲、乙两队的比分分别为：与：．其中具有相反意义的量有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 ． 【跟踪训练】 1．下列选项中具有相反意义的量是（　　） A．气温升高6℃与气温零下8℃ B．向东行驶5km与向北行驶10km C．运进6kg苹果与卖完5kg苹果 D．水位上升0.6米与水位下降1米 2．下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（　　） A．收入200元与支出20元 B．超过与不足 C．增大与减少 D．上升和下降 3．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（　　） A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃ 4．某天的温度上升了℃的意义是（    ） A．上升了2℃ B．没有变化 C．下降了℃ D．下降了2℃ 5．下列说法错误的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．零上4摄氏度可以写成+4°C，也可以写成4°C C．若盈利100元记作+100元，则﹣20元表示亏损20元 D．向正北走一定用正数表示，向正南走一定用负数表示 6．（1）如果零上记作，那么零下记作什么？ （2）东、西为两个相反方向，如果表示一个物体向西运动，那么表示什么？物体原地不动记作什么？ （3）某仓库运进面粉记作，那么运出面粉应记作什么？ 题型2：正数、负数的概念 【名师点拨】大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数 判断一个数是正数还是负数，不能简单地理解为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，如-（）不是负数，因为它是在负数前面加了“-”号得到的数，不符合负数的定义. 具有相反意义的两个量,若一个量规定为正,用正数表示,则另个量就为负，用负数表示。 【例4】下列各数中：，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例5】把下面有理数填在相应的大括号里：20，-52，，-14，，0，-99，5.6， 正数：{               …}； 负数：{         【例6】下列说法正确的是（ ） A．零是正数不是负数 B．零既不是正数也不是负数 C．零既是正数也是负数 D．不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数 【跟踪训练】 1．下列各数中：，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2022秋·贵州贵阳·七年级校考阶段练习）在，，，0，4.5，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．有下列各数：1，，，0，+6，，其中负分数有 ___个． 4．任意写出 个正数和 个负数，并分别把它们填入相应的集合里． 题型3：正负数的实际应用 【名师点拨】用正、负数表示相反意义的量时，要抓住基准，比基准量多多少记为“＋”的多少，少多少记为“－”的多少．另外，通常把“零上、上升、前进、收入、运进、增产”等规定为正，与它们意义相反的量表示为负． 【例7】一批大米，每个包装袋上标有：（20±0.1）kg，则任意两袋大米最多相差　　kg． 【例8】某超市销售一种精制面粉，袋上标明质量为千克，如果某袋面粉重5.02千克，那么它的质量　　_________标准．（填“符合”或“不符合”） 【例9】某班同学的标准身高为170cm，如果用正数表示身高高于标准身高的高度．那么： (1)5cm和cm各表示什么？ (2)身高低于标准身高10cm和高于标准身高8cm各怎么表示？ (3)既不高于标准身高，也不低于标准身高怎么表示？ 【跟踪训练】 1．一袋食品的包装袋上标有的字样，它的含义是______． 2．一种零件，标明的要求是，这种零件的合格品的最大直径是________，最小直径是_______，若直径是9.96， 3.伦敦与我们北京时间的时差是小时，我们今天上午七点半开始考试，此刻伦敦的时间为________ 4．某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名同学中， (1)最高分是多少？ (2)最低分是多少？ (3)10名同学的平均成绩是多少？ 题型4：有理数的概念 【名师点拨】正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数； 整数和分数统称有理数 1分数都可以化为有限小数或无限不循环系数的形式，也就是说，有限小数和无限循环小数可以用分数表示. 2无限不循环小数不能用分数的形式表示。 【例10】（24-25六年级上·上海·期中）能够写成分数（，是整数，）的数叫做 ． 【例11】下列各数：0，，101001001，，，4.2，，其中有理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【例12】下面的说法中，正确的是（　　） A．正有理数和负有理数统称有理数 B．整数和小数统称有理数 C．整数和分数统称有理数 D．整数、零和分数统称有理数 【跟踪训练】 1.在有理数中，整数一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列说法中正确的是（    ） A．没有最小的有理数 B．既是正数也是负数 C．整数只包括正整数和负整数 D．是最小的负整数 3.下列说法：①整数包括正整数和负整数；②分数包括正分数和负分数；③﹣7既是负数也是整数，但不是自然数；④O既是正整数也是负整数；⑤非负分数就是正分数．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型5：有理数的分类 【名师点拨】①按整数和分数的关系分类；②按正有理数、零和负有理数的关系分类． 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 有理数的两种分类不能混淆,要特别注意避免因忽略0而引起 【例13】下列结论正确的是（    ） A．有理数包括正数和负数 B．有理数包括整数和分数 C．是最小的整数 D．两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数也相等 【例14】把下列各数填入相应的集合内．，8，，，，，2，0，，，，，， 正数集合{　　　　　　　　　　　…}； 负数集合{　　　　　　　　　　　…}； 整数集合{　　　　　　　　　　　…}； 分数集合{　　　　　　　　　　　…}． 【例15】将下列各数填入表示它所在的数集的圈里：+6，﹣18，2022，﹣3.14，0，95%，，﹣1.8，﹣． 【跟踪训练】 1．把下列各数填在相应的集合里∶1，，0.5，，，，0，． (1)整数集合∶{             …}； (2)正分数集合∶{          …}； (3)非负数集合∶{                    …}； (4)负有理数集合∶{        …}． 2．如图，两个圈分别表示正数集和整数集，请你从，9，0，，3.14，，1300这些数中，选择适当的数填入图中相应的位置． 题型6：对数“0”的再认识 【名师点拨】0既不是正数，也不是负数。 1. 表示没有. 2.表示数时起到占位的作用 3. 表示某种量的基准 4. 表示某些数量的分界 5. 表示起点. 要做到标准一致,不重不漏.你在分类时,请不要忽略0,0是整数，不是分数,0既不是正数,也不是负数. 2不要把非负整数理解成正整数,非负整数包括正整数和0;也不要把非正整数理解成负整数,非正整数包括负整数和 0. 小学阶段开始学习数的时候,0表示没有,学习了负数后,0除了表示“没有”外,还是正数与负数的分界 【例16】下列说法正确的是（　　） A．0既是正数又是负数 B．0是最小的正数 C．0既不是正数也不是负数 D．0是最大的负数 【例17】下列说法不正确的是（    ） A．是自然数 B．是整数 C．表示没有 D．既不是正数也不是负数 【跟踪训练】 1.下面关于0的说法： （1）0是最小的正数；（2）0是最小的非负数；（3）0既不是正数也不是负数； （4）0既不是奇数也不是偶数；（5）0是最小的自然数；（6）海拔0m就是没有海拔． 其中正确说法的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列关于“0”的说法正确的有（  ） ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3.关于“0”的说法，正确的是（    ） A．是整数，也是正数 B．是整数，但不是正数 C．不是整数，是正数 D．是整数，但不是有理数 题型7：带“非”字的有理数 【名师点拨】几个常用数学名词的含义 （1）正整数:既是正数，又是整数的数. （2）负整数:既是负数，又是整数的数. （3）正分数:既是正数，又是分数的数. （4）负分数:既是负数，又是分数的数. （5）非负数:正数和0. （6）非正数:负数和0. （7）非负整数（也叫自然数）:在整数范围内的非负的数，即正整数和0. （8）非正整数:在整数范围内的非正的数，即负整数和0. （9）正有理数:正整数和正分数. （10）负有理数:负整数和负分数. （11）非正有理数:0、负整数和负分数. （12）非负有理数:0、正整数和正分数. （13）奇数、偶数:引入负数后，小学学的奇数、偶数的范围也相应扩大了，奇数和偶数也可以有负数，如-1，-3，-5，…都是奇数，-2，-4，-6，…都是偶数. 【例18】在0，1，，，这五个数中，是非负整数的有_， ． 【例19】写出所有适合条件的数：小于的非负整数：_______ 【跟踪训练】 1.在，，，，，，，中2．把下列各数的序号填到相应的括号中： ①；②3.1415；③；④0.28；⑤；⑥18；⑦0；⑧；⑨. (1)整数集合：{ …}； (2)负数集合：{ …}； (3)非正数集合：{ …}； (4)分数集合：{ …}； (5)非负整数集合：{ …}. 题型8：综合应用 【名师点拨】培养理解能力和辨析能力，熟练掌握有理数的分类及有关概念是解决问题的关键． 【例20】今年的“十•一”黄金周是7天的长假，徐州市吕梁风景区在7天假期中每天旅游人数变化如表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 单位：万人 +1.1 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.4 ﹣0.2 +0.4 ﹣0.5 若9月30日的游客人数为0.1万人，问： （1）10月4日的旅客人数为 　　万人； （2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多 　　万人？ （3）如果每万人带来的经济收入为50万元，则黄金周七天的旅游总收入为多少万元？ ． 【例21】已知有A，B，C三个数的“家族”： A：{－1,3.1，－4,6,2.1}，B：，C：{2.1，－4.2,8,6}． (1)请把每个“家族”中所含的数填入图中的相应部分． (2)把A，B，C三个数的“家族”中的负数写在横线上：__________. (3)有没有同时属于A，B，C三个数的“家族”的数？若有，请指出． 【例22】把几个不相等的数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：{﹣2，7，0，2022}，以这种形式的表述的，我们称之为集合，其中大括号中的每一个数我们称之为此集合的元素，如集合{﹣2，7，0，2022}中就有﹣2，7，0，2022这4个元素． 如果一个集合满足：当有理数a是集合中的元素时，有理数6﹣a也必是这个集合中的元素，那么这样的集合我们称为“好集合”，例如集合{6，0}就是一个“好集合”． （1）判断：集合{2，1}　　“好集合”；集合{8，5，3，1，﹣2}　　“好集合”（填“是”或“不是”）；． （2）请你写出满足条件的两个“好集合”的例子：　　； 　　； （3）在所有“好集合”中，请你写出元素个数最少的集合为 　　 【例23】如图，灰太狼和喜羊羊、美羊羊、沸羊羊、懒羊羊在5×5的方格（每个小方格的边长表示10米距离）图上沿着网格线运动．灰太狼从点A处出发去寻找点B，C，D，E处的某只羊，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从点A到点B记为A→B（+1，+3），从点B到点A记为B→A（﹣1，﹣3），其中第一个数表示左右方向的移动情况，第二个数表示上下方向的移动情况． ​（1）填空：从点C到点D记为C→D　　． （2）若灰太狼从点A处出发去找点E处的喜羊羊，行走路线依次为（+3，+2），（+1，+2），（﹣3，﹣1），（+1，﹣1），请在图中标出喜羊羊的位置点E． （3）在（2）中，若灰太狼每走1米消耗0.5焦耳的能量，则灰太狼寻找喜羊羊的过程共消耗多少焦耳的能量？ 一、选择题 1．（2024闵行区期末）若盈余60万元记作+60万元，则﹣60万元表示（　　） A．盈余60万元 B．亏损60万元 C．亏损﹣60万元 D．不盈余也不亏损 2．（2024浦东新区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．“向东10米”与“向西10米”不是相反意义的量 B．如果气球上升25米记作+25米，那么﹣15米的意义就是下降﹣15米 C．如果气温下降6℃，记为﹣6℃，那么+8℃的意义就是下降8℃ D．若将高1米设为标准0，高1.20米记作+0.20米，那么﹣0.05米所表示的高是0.95米 3．（24-25六年级上·上海·期中）在5，，1.4，，0，这六个数中，正数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个A． 4．（23-24六年级下·上海·期末）在，，0，，，，，7中，非负数有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 5．（2024宝山区六年级期末）某中学进行立定跳远测试，男生成绩合格标准定为1.85米，体育老师记录了甲、乙、丙、丁四位男生成绩如下表：（超出标准的部分记为“+”，不足标准的部分记为“-”），你认为立定跳远成绩最好的是（    ） 学生 甲 乙 丙 丁 成绩／米 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．（24-25六年级上·上海闵行·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．0既不是正数也不是负数 B．只要能够写成分数形式（、是整数，）的数都是有理数 C．0是自然数，也是整数，还是有理数 D．有理数可分为正有理数和负有理数 二、填空题 7．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如果某商场盈利2万元，记作万元．那么亏损万元，应记作 万元． 8．（24-25六年级上·上海松江·期中）杜甫出生于公元712年，表示为年，则孔子出生于公元前551年，表示为_____年． 9.（2023秋·浙江绍兴·七年级统考期末）如果温度上升，记作，那么温度下降记作___________ ． 10．（2023秋·广东深圳·七年级校联考期末）如果把顺时针方向转记为，那么逆时针方向转记为 _____． 11.（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图，记录了三个城市某年一月份的平均气温，其中平均气温最低的城市是 ． 城市 北京 上海 天津 平均气温 12．（2024大同中学期中）一种产品的质量标识为“25千克”，则下列产品中合格的有_______ 13．（24-25六年级上·上海·期中）下列数字中，，，0，，，，，有理数有_____个 14．（2024徐汇中学月考）有下列两个判断：①正整数和负整数统称为整数；②整数和分数统称为有理数．其中正确的是_____ 15．（24-25六年级上·上海普陀·期中）课堂上老师要求就数“”发表自己的意见，四位同学共说了下列四句话： ①是整数，但不是自然数；②既不是正数，也不是负数；③不是整数，是自然数；④没有实际意义． 其中正确的是____________ 16．（2022秋·全国·七年级专题练习）下列关于零的说法中，正确的是________ ①零是正数 ②零是负数 ③零既不是正数，也不是负数 ④零仅表示没有 17．（2022秋·河南商丘·七年级统考期中）在，，，，，，，中，非负数的个数为______． 18．（2024宝山区校级期中）月考成绩出来后，组长记录了她们组6名同学的数学成绩，她以80分作为计分标准，超过的部分计为正数，不足的部分计为负数，若她们组6名同学的成绩为+16，﹣10，0，+18，﹣4，﹣8，则这6名同学的实际成绩最高分数是 　　分． 三、解答题 19．（2024上海课时练习）下面各数哪些是正数，哪些是负数？ ． 20．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，0，，，     正有理数：{__________________________…} 负分数：{__________________________…} 整数：{__________________________…}． 21．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）把这六个数分别填入相应的圈里． 22．（24-25六年级上·上海闵行·期中）将下列各数填在相应的横线上． ，，，，，，，，． (1)整数：________________________________________； (2)负数：________________________________________； (3)正分数：______________________________________； (4)正有理数：____________________________________； (5)非正整数：____________________________________； (6)非负数：______________________________________． 23．（2022秋·全国·七年级专题练习）图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中A→C（________，________），B→C（________，________），C→________（+1，﹣2）； （2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程． （4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新六年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题01 正数和负数 知识点一、具有相反意义的量 1、具有相反意义的量 如零上5℃,与零下2℃.具有相反意义的量.海平面以上高度和海平面以下高度也是具有相反意义的量. 生活中表示相反意义的词语，如下表： 收入 盈利 上升 零上 增加 向东 …… 支出 亏损 下降 零下 减少 向西 …… 2、用正负数表示具有相反意义的量 表示法：为了表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正，把另一种与之意义相反的量规定为负． 如在表示温度时，为了区别零上温度和零下温度，通常规定在零上温度的前面添上符号“+”(读作“正”),而在零下温度的前面添上符号“-”(读作“负”)。零上5℃,就记作+5℃,读作“正五摄氏度”;零下2℃,就记作-2℃,读作“负二摄氏度” 如在表示某地的海拔高度时，通常在高于海平面的高度前面添上符号“+”,而在低于海平面的高度前面添上符号“一”。珠穆朗玛峰的海拔高度是+8848.86 m,吐鲁番盆地的艾丁湖底海拔高度-154.31m. 【判断相反意义的量的方法】 (1)成对出现：具有相反意义的量是成对出现的,且必须是同类量． (2)单位一致：两个具有相反意义的量在数量上可以不相等，但单位必须一致． 【注意】 除百分数外，用正数和负数表示具有相反意义的量时，要写上单位，这一点极易被忽略。 知识点二、正数与负数的概念 1、像+5、+8848.86、+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数； 像－2、-154.31、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 要点： （1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略. （2）一般地，我们可以用正数和负数来表示一个问题中出现的具有相反意义的量。但哪种为正可任意选择，我们习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负． （3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线． 2、判断正数、负数的方法 判断一个数是正数还是负数，首先要确定它不为零；其次看它的“＋”“－”号的呈现形式：若不含“＋”、“－”号，或只含“＋”号，或“－”号的个数为偶数，则均为正数，否则为负数． 3、非正数与非负数 非正数包含0和负数，非负数包含0和正数； 即非正数小于等于0，非负数大于等于0； 4 、0的意义 ①0是正数、负数的分界； ②0表示没有，例如，0个苹果； ③0表示某种量的基准，例如0℃表示水结冰的温度； 知识点三、有理数的概念 1.整数和分数 (1)正整数、负整数、0统称为整数. (2)正分数、负分数统称为分数. 2.有理数：整数和分数统称为有理数. 3.有理数的另一个概念:形如—(为整数，且n≠0)的数是有理数,整数可以看作分母为1的数,有限小数和无限循环小数都可以化为分数,所以所有有理数都可以写成分数的形式. 【注意】 (1)有限小数和无限循环小数都可以化成分数,所以把有限小数和无限循环小数看成分数.但无限不循环小数不是分数，例如． (2)引入负数后,对数的认识扩充到有理数,不要忘记整数和分数中都有负数. 知识点四、有理数的分类 （1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：　 　　　 　　 【注意】 (1)有理数分类,分类的标准不同,分类的结果就不同,所以要按统一标准分类. (2)要想分类结果不重复、无遗漏,必须掌握两种分类标准,“整数”和“分数”对应, “正”与“负”对应;0既不是正数也不是负数,它是整数也是有理数. （3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数； 非正整数:负整数和0;非负数:正数和0;非负有理数:正有理数和0. 题型1：具有相反意义的量 【名师点拨】一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 1. 具有相反意义的量的正负性是相对的，没有硬性规定，是可以任意选择的. 2. 具有相反意义的量中的两个量表示的意义相反，且必须是同类量。 3. 具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不是具有相反意义的量. 4. 用正数、负数表示具有相反意义的量时不要忽略了量的单位 【例1】南、北为两个相反方向，如果+5m表示一个物体向北移动5m，那么﹣3m表示一个物体（　　） A．向北移动3m B．向南移动3m C．向北移动8m D．向南运动8m 【分析】根据正数和负数的意义解答即可． 【解答】解：南、北为两个相反方向，如果+5m表示一个物体向北移动5m， 那么﹣3m表示一个物体向南移动3m． 故选：B． 【例2】如果收入100元记作+100元，则﹣55元表示 　　． 【分析】根据正数与负数的意义可求解． 【解答】解：收入100元记作+100元，那么﹣55元表示支出55元． 故答案为：支出55元． 【例3】仔细思考以下各对量：①胜二局与负三局；②气温升高与气温为；③盈利万元与亏损万元；④两场篮球比赛，甲、乙两队的比分分别为：与：．其中具有相反意义的量有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】B 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，根据题意逐项分析判断即可求解． 【解析】解：①胜二局与负三局；胜与负具有相反意义，故①符合题意； ②气温升高与气温为，升高与零下不具有相反意义，故②不合题意 ③盈利万元与亏损万元；盈利与亏损具有相反意义，故③符合题意 ④两场篮球比赛，甲、乙两队的比分分别为：与：．比分不具有相反意义，故④不合题意 其中具有相反意义的量有①③． 故选：B． 【点睛】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【跟踪训练】 1．下列选项中具有相反意义的量是（　　） A．气温升高6℃与气温零下8℃ B．向东行驶5km与向北行驶10km C．运进6kg苹果与卖完5kg苹果 D．水位上升0.6米与水位下降1米 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：A、气温升高6℃与气温零下8℃不具有相反意义的量，故选项不合题意； B、向东行驶5km与向北行驶10km是不具有相反意义的量，故选项不合题意； C、运进6kg苹果与卖完5kg苹果不具有相反意义的量，故选项不合题意； D、水位上升0.6米与水位下降1米是一对意义相反的量，故选项符合题意． 故选：D． 2．下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（　　） A．收入200元与支出20元 B．超过与不足 C．增大与减少 D．上升和下降 【答案】C 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．据此对各选项进行判断即可． 【详解】解；A、收入200元与支出20元，是一组互为相反意义的量，故A不符合题意； B、超过与不足，是一组互为相反意义的量，故B不符合题意； C、增加与减少，不是相反意义的量，故C符合题意； D、上升与下降，是一组互为相反意义的量，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 3．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（　　） A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃ 【答案】B 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可． 【详解】：解：若气温为零上10℃记作＋10℃， 则−3℃表示气温为零下3℃． 故选：B． 【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 4．某天的温度上升了℃的意义是（    ） A．上升了2℃ B．没有变化 C．下降了℃ D．下降了2℃ 【答案】D 【分析】根据正负数表示的意义解答即可. 【详解】解：某天的温度上升了－2℃的意义是下降了2℃； 故选：D. 【点睛】本题考查了正负数的实际应用，属于应知应会题目，掌握正负数表示的意义是关键. 5．下列说法错误的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．零上4摄氏度可以写成+4°C，也可以写成4°C C．若盈利100元记作+100元，则﹣20元表示亏损20元 D．向正北走一定用正数表示，向正南走一定用负数表示 【分析】根据0的特征、正负数的意义和相反意义的量进行判断即可． 【解答】解：A．0既不是正数，也不是负数，正确，故不符合题意； B．零上4摄氏度可以写成+4°C，也可以写成4°C，正确，故不符合题意； C．若盈利100元记作+100元，则﹣20元表示亏损20元，正确，故不符合题意； D．规定向正北走用正数表示，则向正南走才用负数表示，原说法错误，故符合题意． 故选：D． 6．（1）如果零上记作，那么零下记作什么？ （2）东、西为两个相反方向，如果表示一个物体向西运动，那么表示什么？物体原地不动记作什么？ （3）某仓库运进面粉记作，那么运出面粉应记作什么？ 【答案】（1）零下记作；（2）表示向东运动，物体原地不动记为；（3）运出记作 【分析】根据正数和负数的意义解答： （1）零上记为正，则零下记为负； （2）向西为负，则向东为正，原地不动记作零； （3）运进记为正，则运出记为负． 【详解】解：（1）零上记作，那么零下记作； （2）表示一个物体向西运动， 则表示向东运动，物体原地不动记为； （3）仓库运进面粉记作，那么运出记作． 【点睛】本题考查了正数和负数，明确正数和负数表示的相反意义的两个量是解题的关键． 题型2：正数、负数的概念 【名师点拨】大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数 判断一个数是正数还是负数，不能简单地理解为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，如-（）不是负数，因为它是在负数前面加了“-”号得到的数，不符合负数的定义. 具有相反意义的两个量,若一个量规定为正,用正数表示,则另个量就为负，用负数表示 【例4】下列各数中：，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【详解】解：，是正数； ，是负数； ，是负数； 0既不是正数，也不是负数； ，是负数； ，是正数； 负数有，，，共3个． 故选：C． 【例5】把下面有理数填在相应的大括号里：20，-52，，-14，，0，-99，5.6， 正数：{               …}； 负数：{               …}； 【答案】正数：20， ，，5.6；负数：-52，-14，-99，. 【分析】根据正数和负数的定义进行判断即可． 【解析】解：根据正数、负数、正整数、负分数的定义可得： 正数有：20， ，，5.6； 负数有：-52，-14，-99，； 故答案为正数：20， ，，5.6；负数：-52，-14，-99，. 【点拨】本题主要考查了对正数、负数定义的理解，负数是指小于0的数，0既不是正数又不是负数．对这些概念的理解是解决本题的关键． 【例6】下列说法正确的是（ ） A．零是正数不是负数 B．零既不是正数也不是负数 C．零既是正数也是负数 D．不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数 【答案】B 【分析】根据正、负数的定义即可解答． 【详解】零既不是正数也不是负数，故A、C错误，B正确， 而不是正数的数是0和负数，不是负数的数是0和正数，故D错误， 故选B． 【点睛】本题考查的是正、负数的意义，掌握正、负数的意义是解题的关键． 【跟踪训练】 1．下列各数中：，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【详解】解：，是正数； ，是负数； ，是负数； 0既不是正数，也不是负数； ，是负数； ，是正数； 负数有，，，共3个． 故选：C． 2．（2022秋·贵州贵阳·七年级校考阶段练习）在，，，0，4.5，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据正数前面加上负号的数是负数判断即可． 【详解】解：在，，，0，4.5，中，负数有，，共三个， 故选：C． 【点睛】本题考查了负数的定义，解题关键是熟记正数前面加上负号的数是负数． 3．有下列各数：1，，，0，+6，，其中负分数有 ___个． 【答案】2 【分析】小于0的分数即是负分数，据此即可作答． 【详解】下列各数：1，，，0，+6，， 其中，， 即负分数的个数为2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了负分数的归类，掌握小于0的分数即是负分数，有限小数也是分数，是解答本题的关键． 4．任意写出 个正数和 个负数，并分别把它们填入相应的集合里． 【详解】5个正数：1、2、3、4、5；5个负数：-1、-2、-3、-4、-5； 【点睛】本题主要考查了正数和负数的分类，熟练地掌握正数和负数的定义是解题的关键． 题型3：正负数的实际应用 【名师点拨】用正、负数表示相反意义的量时，要抓住基准，比基准量多多少记为“＋”的多少，少多少记为“－”的多少．另外，通常把“零上、上升、前进、收入、运进、增产”等规定为正，与它们意义相反的量表示为负． 【例7】一批大米，每个包装袋上标有：（20±0.1）kg，则任意两袋大米最多相差　　kg． 【分析】根据有理数的减法，可得答案． 【解答】解：两袋大米的质量最多相差0.1﹣（﹣0.1）＝0.1+0.1＝0.2（kg）， 故答案为：0.2． 【点评】本题考查了正数和负数，利用最大数减最小数是解题关键． 【例8】某超市销售一种精制面粉，袋上标明质量为千克，如果某袋面粉重5.02千克，那么它的质量　　_________标准．（填“符合”或“不符合”） 【分析】根据题意可知，大于标准质量0.03千克以上或小于标准质量0.03千克以下的为不符合标准，据此判断即可． 【解答】解：∵5.02﹣0.03＜5.02＜5+0.03， ∴它的质量符合标准， 故答案为：符合． 【点评】本题考查了正数和负数．明确正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示是解题的关键． 【例9】某班同学的标准身高为170cm，如果用正数表示身高高于标准身高的高度．那么： (1)5cm和cm各表示什么？ (2)身高低于标准身高10cm和高于标准身高8cm各怎么表示？ (3)既不高于标准身高，也不低于标准身高怎么表示？ 【答案】(1)5cm表示比标准身高高5cm；cm表示比标准身高低13cm (2)身高低于标准身高10cm表示为cm；身高高于标准身高8cm表示为cm (3)既不高于标准身高，也不低于标准身高表示为0 【分析】（1）用正数表示身高高于标准身高的高度，则用负数表示身高低于标准身高的高度，据此作答即可； （2）用正数表示身高高于标准身高的高度，则用负数表示身高低于标准身高的高度，据此作答即可； （3）根据题意作答即可． 【详解】（1）5cm表示比标准身高高5cm；cm表示比标准身高低13cm； （2）身高低于标准身高10cm表示为cm；身高高于标准身高8cm表示为cm； （3）既不高于标准身高，也不低于标准身高表示为0． 【点睛】本题考查了用正负数表示具有相反意义的量，准确理解题意是解题的关键． 【跟踪训练】 1．一袋食品的包装袋上标有的字样，它的含义是______． 【答案】这袋食品的质量与标准质量相比，超重不超过，不足也不超过 【分析】利用生活中的数学知识，利用表示比标准质量可能多也可能少解决本题即可． 【解析】解：表示比超重不超过，不足也不超过． 故答案为：这袋食品的质量与标准质量相比，超重不超过，不足也不超过． 【点睛】本题考查了有理数中正负数的实际应用，把正数和负数与日常生活相联系是解答本题的关键． 2．一种零件，标明的要求是，这种零件的合格品的最大直径是________，最小直径是_______，若直径是9.96，此零件为________（选填“合格品”或“不合格品”）． 【答案】 10.04 9.97 不合格品 【分析】首先要弄清标明的要求是的含义，根据具体的直径要求不难求得最大直径和最小直径，然后检验直径是9.96是否在要求的范围内，在就是合格，否则不合格． 【解析】解：∵一种零件，标明直径的要求是， ∴这种零件的合格品最大的直径是：10＋0.04＝10.04；最小的直径是：10−0.03＝9.97， ∵9.96＜9.97， ∴直径是9.96，此零件为不合格品， 故答案为：10.04，9.97，不合格品． 【点睛】本题考查实际生活中符号与数学知识的联系，理解“正”和“负”的相对性，确定合格品的直径范围是解决问题的关键． 3.伦敦与我们北京时间的时差是小时，我们今天上午七点半开始考试，此刻伦敦的时间为________． 【答案】前一天的 【分析】伦敦与我们北京时间的时差是小时，即伦敦的时间比北京的时间早8小时． 【解析】解：北京时间是七点半，伦敦时间再加上8个小时是今天．伦敦时间为前一天的， 故答案为：前一天的． 【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际． 4．某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名同学中， (1)最高分是多少？ (2)最低分是多少？ (3)10名同学的平均成绩是多少？ 【答案】(1)92分 (2)70分 (3)分 【分析】（1）根据正负数的意义，可得答案； （2）根据正负数的意义，可得答案； （3）根据平均数的意义，可得答案． 【解析】（1）最高分是分； （2）最低分是分； （3）10名同学的平均成绩是分． 【点睛】本题考查了正数和负数，利用正负数的意义超出的分数记为正数，不足的分数记为负数是解题关键． 题型4：有理数的概念 【名师点拨】正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数； 整数和分数统称有理数 1分数都可以化为有限小数或无限不循环系数的形式，也就是说，有限小数和无限循环小数可以用分数表示. 2无限不循环小数不能用分数的形式表示。 【例10】（24-25六年级上·上海·期中）能够写成分数（，是整数，）的数叫做 ． 【答案】有理数 【分析】此题主要考查了有理数的概念，有理数分为整数和分数，而整数和分数都可以写出分数（，是整数，）的形式，据此可得答案． 【详解】解：能够写成分数（，是整数，）的数叫做有理数， 故答案为：有理数． 【例11】下列各数：0，，101001001，，，4.2，，其中有理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据有理数的概念解答即可． 【详解】解：0，，101001001，，，4.2，，其中有理数有0，，101001001，，4.2，共5个， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的概念是解题的关键． 【例12】下面的说法中，正确的是（　　） A．正有理数和负有理数统称有理数 B．整数和小数统称有理数 C．整数和分数统称有理数 D．整数、零和分数统称有理数 【分析】根据有理数的分类进行判断即可． 【解答】解：A．正有理数、0和负有理数统称为有理数，故不符合题意； B．无限不循环小数是无理数，故不符合题意； C．整数和分数统称为有理数，故符合题意； D．整数包括零，故不符合题意． 故选：C． 【跟踪训练】 1.在有理数中，整数一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据整数的定义，即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：属于整数， 整数一共有4个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数，利用整数的定义是解题的关键． 2．下列说法中正确的是（    ） A．没有最小的有理数 B．既是正数也是负数 C．整数只包括正整数和负整数 D．是最小的负整数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数，根据有理数的分类和意义，逐一分析即可判断求解，掌握有理数的分类和意义是解题的关键． 【详解】解：、没有最小的有理数，该选项正确，符合题意； 、既不是正数也不是负数，该选项错误，不合题意； 、整数包括了正整数、负整数和，该选项错误，不合题意； 、是最大的负整数，该选项错误，不合题意； 故选：． 3.下列说法：①整数包括正整数和负整数；②分数包括正分数和负分数；③﹣7既是负数也是整数，但不是自然数；④O既是正整数也是负整数；⑤非负分数就是正分数．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据有理数的概念解答即可． 【解答】解：①整数包括正整数、负整数和0，故原说法错误，不符合题意； ②分数包括正分数和负分数，正确，符合题意； ③﹣7既是负数也是整数，但不是自然数，正确，符合题意； ④0既不是正数也不是负数，故原说法错误，不符合题意； ⑤非负分数就是正分数，正确，符合题意． 所以正确的个数是3个． 故选：C． 题型5：有理数的分类 【名师点拨】①按整数和分数的关系分类；②按正有理数、零和负有理数的关系分类． 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 有理数的两种分类不能混淆,要特别注意避免因忽略0而引起 【例13】下列结论正确的是（    ） A．有理数包括正数和负数 B．有理数包括整数和分数 C．是最小的整数 D．两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数也相等 【答案】B 【分析】根据有理数的相关联的知识点分析判断即可． 【详解】∵有理数包括正有理数，零和负有理数， ∴A错误，不符合题意； ∵有理数包括整数和分数， ∴B正确，符合题意； ∵没有最小的整数， ∴C错误，不符合题意； ∵两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数相等或互为相反数， ∴D错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了有理数的相关概念，正确理解相关概念是解题的关键． 【例14】把下列各数填入相应的集合内．，8，，，，，2，0，，，，，， 正数集合{　　　　　　　　　　　…}； 负数集合{　　　　　　　　　　　…}； 整数集合{　　　　　　　　　　　…}； 分数集合{　　　　　　　　　　　…}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类：有理数分为整数和分数；有理数分为正有理数、0、负有理数；整数分为正整数、0、负整数．根据有理数的分类在所给的数中分别找出正数、负数、整数、分数． 【详解】正数集合{8，，，2，，，，　…}； 负数集合{，，，， …}； 整数集合{，8，2，0，， …}； 分数集合{，，，，，， …}． 【例15】将下列各数填入表示它所在的数集的圈里：+6，﹣18，2022，﹣3.14，0，95%，，﹣1.8，﹣． 【分析】根据有理数的分类，可得答案． 【解答】解：如图所示： 【解题方法】 巧填数集两方法 (1)逐个考察给出的数，看它是什么数，即是否属于某一集合，如某数属于正整数集合、自然数集合、非负整数集合和非负数集合，所以要分别填入对应集合中. (2)逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数. 【跟踪训练】 1．把下列各数填在相应的集合里∶1，，0.5，，，，0，． (1)整数集合∶{             …}； (2)正分数集合∶{          …}； (3)非负数集合∶{                    …}； (4)负有理数集合∶{        …}． 【答案】(1)1，，0 (2)0.5，， (3)1，0.5，，0， (4)，， 【分析】本题考查了有理数的分类，按有理数的分类结合相关数的集合的概念进行分析解答即可．熟悉“有理数的分类和相关数的集合的概念”是解答本题的关键． 【详解】（1）整数集合∶{1，，0}； （2）正分数集合∶{0.5，，}； （3）非负数集合∶{1，0.5，，0，}； （4）负有理数集合∶{，，}． 2．如图，两个圈分别表示正数集和整数集，请你从，9，0，，3.14，，1300这些数中，选择适当的数填入图中相应的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类．正数集合与整数集合的交集是正整数集合．注意数字0，它不属于正数和负数，是整数．根据正数及整数的概念进行区分判断，两个集合里都含有的数就是符合条件的数． 【详解】解：，9，0，，，，1300中， 属于正数的有：9，3.14，，1300； 属于整数的有：，9，0，1300． 所以既是正数也是整数的是9，1300． 填入数字如下图所示： 题型6：对数“0”的再认识 【名师点拨】0既不是正数，也不是负数。 1. 表示没有. 表示数时起到占位的作用 3. 表示某种量的基准 4. 表示某些数量的分界 5. 表示起点. 要做到标准一致,不重不漏.你在分类时,请不要忽略0,0是整数，不是分数,0既不是正数,也不是负数. 2不要把非负整数理解成正整数,非负整数包括正整数和0;也不要把非正整数理解成负整数,非正整数包括负整数和 0. 小学阶段开始学习数的时候,0表示没有,学习了负数后,0除了表示“没有”外,还是正数与负数的分界 【例16】下列说法正确的是（　　） A．0既是正数又是负数 B．0是最小的正数 C．0既不是正数也不是负数 D．0是最大的负数 【答案】C 【分析】根据有理数的分类判断即可． 【解析】∵0既不是正数也不是负数， 故选C． 【点睛】本题考查了零的属性，熟练掌握0既不是正数也不是负数是解题的关键． 【例17】下列说法不正确的是（    ） A．是自然数 B．是整数 C．表示没有 D．既不是正数也不是负数 【答案】C 【分析】根据有理数的基本定义判断即可． 【解析】解：0是自然数，也是整数，它既不是正数也不是负数， 0不仅可表示没有，也可以表示有，例如温度为0℃，不代表没有温度， 故选：C． 【点睛】本题考查有理数0的理解，熟记基本定义是解题关键． 【跟踪训练】 1.下面关于0的说法： （1）0是最小的正数； （2）0是最小的非负数； （3）0既不是正数也不是负数； （4）0既不是奇数也不是偶数； （5）0是最小的自然数； （6）海拔0m就是没有海拔． 其中正确说法的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】0既不是正数也不是负数，是最小的非负数，最小的自然数，是偶数，判断即可得到结果． 【详解】解：（1）0是最小的正数，错误，0不是正数也不是负数； （2）0是最小的非负数，正确，非负数即为正数与0； （3）0既不是正数也不是负数，正确； （4）0既不是奇数也不是偶数，错误，0是偶数； （5）0是最小的自然数，正确； （6）海拔0m就是没有海拔，错误，海拔0m就是与海平面高度相同； 则正确的说法有3个． 故选：D． 【点评】此题考查了有理数的分类和意义，掌握有理数的分类和0的意义是解本题的关键． 2．下列关于“0”的说法正确的有（  ） ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查0的意义，正确理解0的意义是解题的关键． 【详解】0是正数和负数的分界点，故①正确； 0既不是正数，也不是负数，故②错误，⑥正确； 0是自然数，故③正确； 存在既不是正数也不是负数的数，即0，故④错误； 0既是整数也是偶数，故⑤正确； 故选：C． 3.关于“0”的说法，正确的是（    ） A．是整数，也是正数 B．是整数，但不是正数 C．不是整数，是正数 D．是整数，但不是有理数 【答案】B 【分析】根据0既不是正数也不是负数，0是有理数也是整数，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．0是整数，不是正数，则A选项错误，故A选项不符合题意； B．0是整数，不是正数，则B选项正确，故B选项符合题意； C．0是整数，不是正数，则C选项错误，故C选项不符合题意； D．0是整数，也是有理数，则D选项错误，故D选项不符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数的概念，0的特殊规定：0既不是正数也不是负数，0是有理数也是整数．熟练记忆是解决本题的关键． 题型7：带“非”字的有理数 【名师点拨】几个常用数学名词的含义 （1）正整数:既是正数，又是整数的数. （2）负整数:既是负数，又是整数的数. （3）正分数:既是正数，又是分数的数. （4）负分数:既是负数，又是分数的数. （5）非负数:正数和0. （6）非正数:负数和0. （7）非负整数（也叫自然数）:在整数范围内的非负的数，即正整数和0. （8）非正整数:在整数范围内的非正的数，即负整数和0. （9）正有理数:正整数和正分数. （10）负有理数:负整数和负分数. （11）非正有理数:0、负整数和负分数. （12）非负有理数:0、正整数和正分数. （13）奇数、偶数:引入负数后，小学学的奇数、偶数的范围也相应扩大了，奇数和偶数也可以有负数，如-1，-3，-5，…都是奇数，-2，-4，-6，…都是偶数. 【例18】在0，1，，，这五个数中，是非负整数的有_____． 【答案】， 【分析】找出不是负数的整数即可求解． 【解析】在0，1，，，这五个数中，0，1是非负整数， 故答案为：， 【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键． 【例19】写出所有适合条件的数：小于的非负整数：__________________ ． 【答案】0，1，2，3 【分析】利用非负整数是指零和正整数，即可确定答案． 【解析】解：小于的非负整数是：0，1，2，3 故答案为：0，1，2，3 【点睛】本题主要考查了有理数中非负整数的定义，熟练掌握定义是解本题的关键． 【跟踪训练】 1.在，，，，，，，中，非负数的个数为______． 【答案】 【分析】根据非负数包括正数和判断即可． 【解析】解：在，，，，，，，中，非负数有，，，，，，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的分类．正确掌握有理数的分类标准是解题的关键． 2．把下列各数的序号填到相应的括号中： ①；②3.1415；③；④0.28；⑤；⑥18；⑦0；⑧；⑨. (1)整数集合：{ …}； (2)负数集合：{ …}； (3)非正数集合：{ …}； (4)分数集合：{ …}； (5)非负整数集合：{ …}. 【答案】(1)③⑥⑦ (2)①③⑤⑧ (3)①③⑤⑦⑧ (4)①②④⑤⑧⑨ (5)⑥⑦ 【分析】(1)根据有理数的分类进行判断即可； (2)根据有理数的分类进行判断即可； (3)根据有理数的分类进行判断即可； (4)根据有理数的分类进行判断即可； (5)根据有理数的分类进行判断即可． 【详解】（1）解：整数集合：{，18，0，…}； 故答案为：③⑥⑦； （2）解：负数集合：{，，，，…}； 故答案为：①③⑤⑧； （3）解：非正数集合：{，，，0，，…}； 故答案为：①③⑤⑦⑧； （4）解：分数集合：{，3.1415，0.28，，，，…}； 故答案为：①②④⑤⑧⑨； （5）解：非负整数集合：{18，0，…}. 故答案为：⑥⑦． 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，解题时注意：整数和分数统称为有理数；整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数． 题型8：综合应用 【名师点拨】培养理解能力和辨析能力，熟练掌握有理数的分类及有关概念是解决问题的关键． 【例20】今年的“十•一”黄金周是7天的长假，徐州市吕梁风景区在7天假期中每天旅游人数变化如表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 单位：万人 +1.1 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.4 ﹣0.2 +0.4 ﹣0.5 若9月30日的游客人数为0.1万人，问： （1）10月4日的旅客人数为 　　万人； （2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多 　　万人？ （3）如果每万人带来的经济收入为50万元，则黄金周七天的旅游总收入为多少万元？ 【解答】解：（1）根据题意列得：0.1+（+1.1﹣0.6+0.2﹣0.4）＝0.4； 故答案是：0.4； （2）10月1日有游客：0.1+1.1＝1.2 （万）， 10月2日有游客：1.2﹣0.6＝0.6（万）， 10月3日有游客：0.6+0.2＝0.8（万）， 10月4日有游客：0.8﹣0.4＝0.4 （万）， 10月5日有游客：0.4﹣0.2＝0.2 （万）， 10月6日有游客：0.2+0.4＝0.6 （万）， 10月7日有游客：0.6﹣0.5＝0.1 （万）； 7天中旅客最多的是1日为1.2万人，最少的是7日为0.1万人， 则七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多1.2﹣0.1＝1.1（万人）； 故答案为：1.1； （3）黄金周七天游客：1.2+0.6+0.8+0.4+0.2+0.6+0.1＝3.9（万人）， 3.9×50＝195（万元）， 答：黄金周七天的旅游总收入约为195万元． 【例21】已知有A，B，C三个数的“家族”： A：{－1,3.1，－4,6,2.1}，B：，C：{2.1，－4.2,8,6}． (1)请把每个“家族”中所含的数填入图中的相应部分． (2)把A，B，C三个数的“家族”中的负数写在横线上：__________. (3)有没有同时属于A，B，C三个数的“家族”的数？若有，请指出． 【答案】(1)见解析;(2) －1，－4，－4.2，;(3)见解析. 【分析】（1）根据数集的包含关系进行分类（2）选出负数；（3）根据观察易得. 【详解】解：(1)如图所示． (2)－1，－4，－4.2， (3)有，是2.1. 故答案为(2)－1，－4，－4;2，;(3)有，是2.1. 【点睛】本题考核知识点：有理数分类. 解题关键点：分析各有理数的关系. 【例22】把几个不相等的数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：{﹣2，7，0，2022}，以这种形式的表述的，我们称之为集合，其中大括号中的每一个数我们称之为此集合的元素，如集合{﹣2，7，0，2022}中就有﹣2，7，0，2022这4个元素． 如果一个集合满足：当有理数a是集合中的元素时，有理数6﹣a也必是这个集合中的元素，那么这样的集合我们称为“好集合”，例如集合{6，0}就是一个“好集合”． （1）判断：集合{2，1}　　“好集合”；集合{8，5，3，1，﹣2}　　“好集合”（填“是”或“不是”）；． （2）请你写出满足条件的两个“好集合”的例子：　　； 　　； （3）在所有“好集合”中，请你写出元素个数最少的集合为 　　 【分析】（1）当有理数a是集合中的元素时，有理数6﹣a也必是这个集合中的元素，那么这样的集合我们称为“好集合”，计算后验证一下即可判断； （2）根据有理数a是集合中的元素时，有理数6﹣a也必是这个集合中的元素这个条件尽量写元素少的集合； （3）在所有的集合中，元素个数最少就是一个，此时a＝6﹣a，由此可求出a，也就求出了元素个数最少的集合 【解答】（1）解：∵6﹣2＝4，4不是集合中的元素， ∴集合{2，1}不是“好集合”， ∵6﹣8＝﹣2，6﹣5＝1，6﹣3＝3，6﹣1＝5，6﹣（﹣2）＝8，而8，5，3，1，﹣2都是该集合的元素， ∴集合{8，5，3，1，﹣2}是“好集合”； 故答案为：不是，是； （2）解：例如{1，5}，{2，4}（合理即可）． 故答案为：{1，5}，{2，4}； （3）解：元素个数最少的集合就是只有一个元素的集合，设其元素为x， 则有6﹣x＝x，解得x＝3， 故元素个数最少的集合{3}． 故答案为：{3}． 【点评】本题考查了有理数的减法、解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． 【例23】如图，灰太狼和喜羊羊、美羊羊、沸羊羊、懒羊羊在5×5的方格（每个小方格的边长表示10米距离）图上沿着网格线运动．灰太狼从点A处出发去寻找点B，C，D，E处的某只羊，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从点A到点B记为A→B（+1，+3），从点B到点A记为B→A（﹣1，﹣3），其中第一个数表示左右方向的移动情况，第二个数表示上下方向的移动情况． ​（1）填空：从点C到点D记为C→D　　． （2）若灰太狼从点A处出发去找点E处的喜羊羊，行走路线依次为（+3，+2），（+1，+2），（﹣3，﹣1），（+1，﹣1），请在图中标出喜羊羊的位置点E． （3）在（2）中，若灰太狼每走1米消耗0.5焦耳的能量，则灰太狼寻找喜羊羊的过程共消耗多少焦耳的能量？ 【分析】（1）根据题干向右为正，向上为正，则C到D为先向右1格再向下2格，故应该是（1，﹣2）； （2）按照正为向右，负为向左，正为向上，负为向下，按照路线行进； （3）走1格消耗0.5焦耳，把所有的绝对值相加就是总路线． 【解答】解：（1）故答案为：（+1，﹣2）； （2）如图： ； （3）（3+2+1+2+3+1+1+1）×0.5＝7（焦耳）， 故灰太狼共消耗了7焦耳能量． 一、选择题 1．（2024闵行区期末）若盈余60万元记作+60万元，则﹣60万元表示（　　） A．盈余60万元 B．亏损60万元 C．亏损﹣60万元 D．不盈余也不亏损 【分析】正负数表示具有相反意义的量，盈余为正，亏损为负，由此解答即可． 【解答】解：若盈余60万元记作+60万元，则﹣60万元表示亏损60万元， 故选：B． 【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 2．（2024浦东新区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．“向东10米”与“向西10米”不是相反意义的量 B．如果气球上升25米记作+25米，那么﹣15米的意义就是下降﹣15米 C．如果气温下降6℃，记为﹣6℃，那么+8℃的意义就是下降8℃ D．若将高1米设为标准0，高1.20米记作+0.20米，那么﹣0.05米所表示的高是0.95米 【分析】根据正数与负数的意义逐项判定可求解． 【解答】解：A．“向东10米”与“向西10米”是相反意义的量，故不符合题意； B．如果气球上升25米记作+25米，那么﹣15米的意义就是下降15米，故不符合题意； C．如果气温下降6℃，记为﹣6℃，那么+8℃的意义就是上升8℃，故不符合题意； D．若将高1米设为标准0，高1.20米记作+0.20米，那么﹣0.05米所表示的高是0.95米，故符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查正数与负数，理解正数与负数的意义是解题的关键． 3．（24-25六年级上·上海·期中）在5，，1.4，，0，这六个数中，正数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类．根据“大于0的数都是正数”进行分析判断即可． 【详解】解：在5，，1.4，，0，这六个数中，属于正数的有5，1.4，共2个． 故选：A． 4．（23-24六年级下·上海·期末）在，，0，，，，，7中，非负数有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【知识点】正负数的定义、带“非”字的有理数 【分析】本题考查了正负数的分类，熟悉掌握有理数的概念是解题的关键．根据非负数的定义逐一判断即可． 【详解】解：在，，0，，，，，7中， 非负数有，0，，，7共5个， 故选：B． 5．（2024宝山区六年级期末）某中学进行立定跳远测试，男生成绩合格标准定为1.85米，体育老师记录了甲、乙、丙、丁四位男生成绩如下表：（超出标准的部分记为“+”，不足标准的部分记为“-”），你认为立定跳远成绩最好的是（    ） 学生 甲 乙 丙 丁 成绩／米 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据正负数的意义解答即可． 【详解】解：∵， ∴四位男同学成绩最好的是乙； 故选：B． 【点睛】本题考查学生对正数和负数的认识，弄清题意是解题的关键． 6．（24-25六年级上·上海闵行·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．0既不是正数也不是负数 B．只要能够写成分数形式（、是整数，）的数都是有理数 C．0是自然数，也是整数，还是有理数 D．有理数可分为正有理数和负有理数 【答案】D 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是自然数，也是整数，还是有理数，但不是正数也不是负数． 根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）． 【详解】解：A、0既不是正数也不是负数，正确，故此选项不符合题意； B、只要能够写成分数形式（、是整数，）的数都是有理数，正确，故此选项不符合题意； C、0是自然数，也是整数，还是有理数，正确，故此选项不符合题意； D、有理数可分为正有理数、0、负有理数，原就法错误，故选项符合题意． 故选：D． 二、填空题 7．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如果某商场盈利2万元，记作万元．那么亏损万元，应记作 万元． 【答案】 【详解】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示即可． 【解答】“正”和“负”相对， 且商场盈利2万元，记作万元， 亏损万元，应记作万元． 故答案为：． 8．（24-25六年级上·上海松江·期中）杜甫出生于公元712年，表示为年，则孔子出生于公元前551年，表示为_____年． 【答案】 【分析】根据年表示李白出生于公元712年，可以表示出孔子出生于公元前551年，从而可以解答本题． 【详解】∵用年表示李白出生于公元712年， ∴孔子出生于公元前551年表示为：年， 故答案为． 【点睛】此题考查正数和负数，解题关键在于掌握正数和负数的实际意义． 9.（2023秋·浙江绍兴·七年级统考期末）如果温度上升，记作，那么温度下降记作___________ ． 【答案】 【分析】根据正负数的意义即可求解． 【详解】解：如果温度上升，记作，那么温度下降记作 故答案为：． 【点睛】本题考查了正负数的意义，理解题意是解题的关键． 10．（2023秋·广东深圳·七年级校联考期末）如果把顺时针方向转记为，那么逆时针方向转记为 _____． 【答案】 【分析】根据用正负数表示具有相反意义的量的表示方法进行即可． 【详解】解：“正”和“负”相对， ∵顺时针方向转40°记为， ∴逆时针方向转记为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用正负数表示具有相反意义的量，当具有相反意义的一个量用正数表示时，另一个具有相反意义的量则用负数表示，理解这一点是解题的关键． 11.（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图，记录了三个城市某年一月份的平均气温，其中平均气温最低的城市是 ． 城市 北京 上海 天津 平均气温 【答案】天津 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的比较大小，先比较三个城市的平均气温，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴平均气温最低的是天津， 故答案为：天津． 12．（2024大同中学期中）一种产品的质量标识为“25千克”，则下列产品中合格的有（　　） A．25.30千克 B．25.51千克 C．24.80千克 D．24.70千克 【分析】根据一种面粉的质量标识为“千克”，可以求出合格面粉的质量的取值范围，从而可以解答本题． 【解答】解：∵一种面粉的质量标识为“千克”， ∴合格面粉的质量的取值范围是：（25﹣0.1）千克～（25+0.3）千克， 即合格面粉的质量的取值范围是：24.9千克～25.3千克， 故选项A合格，选项B不合格，选项C不合格，选项D不合格． 故选：A． 【点评】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正负数在题目中的实际意义． 13．（24-25六年级上·上海·期中）下列数字中，，，0，，，，，有理数有_____个 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，整数和分数统称为有理数，解题的关键是注意不是有理数．根据有理数的概念即可得出答案． 【详解】有理数有，，0，，，，，， 共有个， 14．（2024徐汇中学月考）有下列两个判断：①正整数和负整数统称为整数；②整数和分数统称为有理数．其中正确的是_____ 【分析】根据整数的分类和有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：①整数包括正整数、负整数和零，故①错误； ②整数和分数统称为有理数，故②正确； 综上分析可知，①错，②对，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整数的分类和有理数的定义，熟练掌握整数包括正整数、负整数和零，是解题的关键． 15．（24-25六年级上·上海普陀·期中）课堂上老师要求就数“”发表自己的意见，四位同学共说了下列四句话： ①是整数，但不是自然数；②既不是正数，也不是负数；③不是整数，是自然数；④没有实际意义． 其中正确的是____________ 【分析】分别依据整数的定义、0的性质、和0的意义进行判断即可． 【详解】解：自然数中包括0，当然0也是整数，所以①③都不正确； 0既不是正数也不是负数，所以②正确； 而在实际生活中0具有实际的意义，如0℃，所以④不正确； 故正确的只有②， 【点睛】本题主要考查对0的理解，解题的关键是知道0是整数，也是自然数；0既不是正数也不是负数；0具有实际的意义． 16．（2022秋·全国·七年级专题练习）下列关于零的说法中，正确的是________ ①零是正数 ②零是负数 ③零既不是正数，也不是负数 ④零仅表示没有 【答案】③ 【分析】根据零既不是正数也不是负数以及不同情形下零表示的意义不同进行逐一判断即可． 【详解】解：①零不是正数，说法错误； ②零不是负数，说法错误； ③零既不是正数，也不是负数，说法正确； ④零不仅仅表示没有，不同情形下，零表示的意义不同，说法错误； 故答案为：③． 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知零表示的意义是解题的关键． 17．（2022秋·河南商丘·七年级统考期中）在，，，，，，，中，非负数的个数为______． 【答案】 【分析】根据非负数包括正数和判断即可． 【详解】解：在，，，，，，，中，非负数有，，，，，，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的分类．正确掌握有理数的分类标准是解题的关键． 18．（2024宝山区校级期中）月考成绩出来后，组长记录了她们组6名同学的数学成绩，她以80分作为计分标准，超过的部分计为正数，不足的部分计为负数，若她们组6名同学的成绩为+16，﹣10，0，+18，﹣4，﹣8，则这6名同学的实际成绩最高分数是 　　分． 【分析】这列数字中的最大数加上80就是实际的最高分． 【解答】解：80+18＝98（分）， 故答案为：98． 【点评】本题考查了有理数，有理数的比较是解题的关键． 三、解答题 19．（2024上海课时练习）下面各数哪些是正数，哪些是负数？ ． 【答案】正数：5，0.56，，；负数：． 【分析】根据正数和负数的定义进行判断即可． 【详解】解：正数：5，0.56，，； 负数：． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是熟记概念． 20．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，0，，，     正有理数：{__________________________…} 负分数：{__________________________…} 整数：{__________________________…}． 【答案】；，，；，0 【分析】本题主要考查了有理数的分类，正有理数是大于等于0的整数和分数，负分数是小于0的分数，再结合整数和分数的定义即可得到答案． 【详解】解：正有理数：{}； 负分数：{，，} ； 整数：{，0 }． 21．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）把这六个数分别填入相应的圈里． 【答案】见详解 【分析】本题考查了有理数的概念与分类，整数和分数统称为有理数，大于0的有理数为正有理数，自然数是指0和正整数，据此即可作答． 【详解】解：依题意，如图： 22．（24-25六年级上·上海闵行·期中）将下列各数填在相应的横线上． ，，，，，，，，． (1)整数：________________________________________； (2)负数：________________________________________； (3)正分数：______________________________________； (4)正有理数：____________________________________； (5)非正整数：____________________________________； (6)非负数：______________________________________． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据有理数的分类即可解答． 【详解】（1）解：整数： （2）解：负数： （3）解：正分数： （4）解：正有理数： （5）解：非正整数： （6）解：非负数： 【点睛】本题考查的是有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 23．（2022秋·全国·七年级专题练习）图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中A→C（________，________），B→C（________，________），C→________（+1，﹣2）； （2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程． （4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？ 【答案】（1）（+3，+4），（+2，0），D；（2）见解析；（3）10；（4）（﹣2，﹣2） 【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负分别写出各点的坐标即可； （2）根据题意：A→M→N→Q→P，如图1； （3）分别根据各点的坐标计算总长即可； （4）令M→A与M→N对应的横纵坐标相减即可得出． 【详解】：（1）图中A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，-2）； 故答案为：（+3，+4），（+2，0），D； （2）解：P点位置如图1所示； （3）解：如图2， 根据已知条件可知： A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2）； 则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10； （4）解：由M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2）， 所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2， 所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N， 所以，N→A应记为（﹣2，﹣2） 【点睛】本题考查了正数和负数表示的意义，认真理解“向上向右走均为正，向下向左走均为负；第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向”这几句话是关键，明确每一个坐标代表的含义，从而找到对应的点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$