11.2 一元一次不等式（第2课时）教案 　2024—2025学年人教版 数学七年级下册

11.2　一元一次不等式（第2课时） 教学目标 　　1．熟练掌握一元一次不等式的解法，能准确地求出不等式的解集． 　　2．会求不等式的特殊解，体会数形结合的思想． 　　3．会解一元一次不等式的综合应用问题，发展分析问题和解决问题的能力． 教学重点 　　一元一次不等式解法的综合运用． 教学难点 　　一元一次不等式综合问题解题方法探究． 教学过程 知识回顾 　　1．已知－9a＋4＞0是关于x的一元一次不等式，则a＝_________． 　　【师生活动】学生独立思考作答． 　　【答案】2 　　【解析】因为－9a＋4＞0是关于x的一元一次不等式， 　　所以2a－3＝1，且a≠0． 　　解得a＝2． 　　2．解不等式1－≤． 　　【师生活动】学生独立思考作答，教师引导学生复习解一元一次不等式的步骤． 　　【答案】解：方法1：原不等式可化为：1－≤． 　　去分母，得6－3(5x－1)≤2(10x－2)． 　　去括号，得6－15x＋3≤20x－4． 　　移项，得－15x－20x≤－3－4－6． 　　合并同类项，得－35x≤－13． 　　系数化为1，得x≥． 　　方法2：去分母，得0.6－3(0.5x－0.1)≤2(x－0.2)． 　　去括号，得0.6－1.5x＋0.3≤2x－0.4． 　　移项，得－1.5x－2x≤－0.3－0.4－0.6． 　　合并同类项，得－3.5x≤－1.3． 　　系数化为1，得x≥． 　　【设计意图】复习一元一次不等式的概念和解法，巩固基础，为本节课学习“一元一次不等式的应用”做准备． 新知探究 类型一　根据题意构造不等式解决问题 　　【问题】1．当x或y满足什么条件时，下列关系成立？ 　　（1）x与1的和的2倍不小于1； 　　（2）3y与7的和的四分之一小于－2． 　　【师生活动】学生小组讨论，尝试回答，教师给予指导． 　　【答案】解：（1）根据题意，得2(x＋1)≥1． 　　去括号，得2x＋2≥1． 　　移项，得2x≥1－2． 　　合并同类项，得2x≥－1． 　　系数化为1，得x≥－． 　　（2）根据题意，得(3y＋7)＜－2． 　　去分母，得3y＋7＜－8． 　　移项，得3y＜－8－7． 　　合并同类项，得3y＜－15． 　　系数化为1，得y＜－5． 　　【归纳】解有关不等关系的文字题时，首先要读懂题意，理解表示不等关系的关键词，列出不等式，然后根据不等式的性质求解．其中，根据题意列出不等式是解题的关键． 　　【设计意图】通过具体的题目，让学生能根据题意构造不等式解决问题，巩固对一元一次不等式的解法的掌握． 　　【问题】2．当x为何值时，代数式－的值不大于1？ 　　【师生活动】学生独立思考，完成作答，教师讲评． 　　【答案】解：根据题意，得－≤1． 　　去分母，得x＋1－2(x－1)≤4． 　　去括号，得x＋1－2x＋2≤4． 　　移项，得x－2x≤4－1－2． 　　合并同类项，得－x≤1． 　　系数化为1，得x≥－1． 　　故当x≥－1时，代数式－的值不大于1． 类型二　求一元一次不等式的特殊解 　　【问题】3．不等式＞－1的正整数解的个数是（　　）． 　　A．1 B．2 C．3 D．4 　　【师生活动】学生小组讨论，教师提示：先求出一元一次不等式的解集，再从解集中找出满足条件的不等式的特殊解．学生根据提示完成作答，教师讲评． 　　【答案】D 　　【解析】去分母，得3(x＋1)＞2(2x＋2)－6． 　　去括号，得3x＋3＞4x＋4－6． 　　移项，得3x－4x＞4－6－3． 　　合并同类项，得－x＞－5． 　　系数化为1，得x＜5． 　　这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 　　由图可知，原不等式的正整数解为1，2，3，4，共4个． 　　【归纳】求不等式特殊解的步骤： 　　第1步：求出不等式的解集； 　　第2步：在数轴上表示不等式的解集； 　　第3步：借助数轴找出特殊解． 　　【设计意图】通过具体的题目，让学生学会利用数轴求不等式的特殊解，体会数形结合的思想． 　　【问题】4．解不等式≤，并求出它的非负整数解． 　　【师生活动】学生独立完成作答，请一名学生代表板演，教师讲评． 　　【答案】解：去分母，得3(x－2)≤2(7－x)． 　　去括号，得3x－6≤14－2x． 　　移项，得3x＋2x≤14＋6． 　　合并同类项，得5x≤20． 　　系数化为1，得x≤4． 　　这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 　　由图可知，原不等式的非负整数解为0，1，2，3，4． 类型三　根据不等式的解集求字母的取值（范围） 　　【问题】5．已知关于x的不等式2x－m≤0的正整数解只有4个，求m的取值范围． 　　【师生活动】教师引导学生先求出不等式的解集，再结合数轴进行分析． 　　【答案】解：解关于x的不等式2x－m≤0，得x≤． 　　因为正整数解只有4个， 　　所以结合数轴可知，4≤＜5，即8≤m＜10． 　　【归纳】已知一个不等式的解集满足特定要求，求字母的取值范围时，我们可先解这个含字母的不等式，再根据题意列出一个关于字母的不等式，从而可求出字母的取值范围． 　　【设计意图】通过具体的题目，让学生能根据不等式的解集求字母的取值（范围），进一步体会数形结合的思想． 　　【问题】6．已知关于x的不等式4x－3a＞－1与不等式2(x－1)＋3＞5的解集相同，求a的值． 　　【师生活动】学生独立思考，尝试作答，请一名学生代表板演，教师讲评． 　　【答案】解：由4x－3a＞－1，得x＞． 　　由2(x－1)＋3＞5，得x＞2． 　　由题意，得＝2． 　　解得a＝3． 类型四　一元一次不等式与方程（组）的综合应用 　　【问题】7．已知关于x的方程3(x－2a)＋2＝x－a＋1的解满足不等式2(x－5)≥8a，求a的取值范围． 　　【师生活动】教师引导学生分析解题思路：先解方程，将解用含a的代数式表示，再将其代入不等式中，得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围． 　　【答案】解：解方程，得x＝． 　　将x＝代入不等式，得2≥8a， 　　去括号，得5a－1－10≥8a． 　　移项，得5a－8a≥1＋10． 　　合并同类项，得－3a≥11． 　　系数化为1，得a≤－． 　　【归纳】关于一元一次不等式与一元一次方程的综合应用问题，一般先求出其中一个的解或解集，再根据它们的解之间的关系，求出字母的值或取值范围． 　　【设计意图】通过本题，让学生学会解决一元一次不等式与方程的综合应用问题． 　　【问题】8．已知关于x，y的方程组的解满足x＋y＜0，求k的取值范围． 　　【师生活动】学生独立完成作答，请一名学生代表板演，教师讲评． 　　【答案】解：方法1： 　　①×3－②，得8x＝2k＋4， 　　所以x＝＋． 　　②×3－①，得8y＝2k－4， 　　所以y＝－． 　　因为x＋y＜0， 　　所以＋＋－＜0． 　　所以k＜0，即k的取值范围为k＜0． 　　方法2： 　　①＋②，得4x＋4y＝2k． 　　所以x＋y＝＝． 　　因为x＋y＜0， 　　所以＜0． 　　所以k＜0，即k的取值范围为k＜0． 　　【归纳】解决一元一次不等式与二元一次方程组的综合应用问题的一般方法：先将所求字母看成已知数，解关于x，y的二元一次方程组，用含有所求字母的式子表示x，y，再根据x与y之间的不等关系，列出关于所求字母的不等式，依据不等式的性质求出解集，从而确定所求字母的取值范围． 　　【设计意图】通过本题，让学生能解决一元一次不等式与二元一次方程组的综合应用问题，同时引导学生使用多种方法解决问题． 课堂小结 课后任务 　　完成教材第133页练习第2题． 学科网（北京）股份有限公司 $$