11.1 不等式（第3课时）教案 2024--2025学年人教版七年级数学下册

11.1　不等式（第3课时） 教学目标 　　1．能用不等式的性质对不等式进行变形，会用不等式的性质解决简单的实际问题． 　　2．进一步了解不等式的概念，知道含“≤”“≥”的不等式，并会在数轴上表示不等式的解集． 　　3．经历在数轴上表示不等式的解集的过程，发展文字语言、符号语言与图形语言之间的转化能力；通过不等式的性质对不等式进行变形，体会类比和化归的思想． 教学重点 　　会用不等式的性质解简单不等式． 教学难点 　　会用不等式解决简单的实际问题． 教学过程 知识回顾 　　不等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？ 　　【师生活动】学生独立思考作答． 　　【答案】不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 　　符号语言：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 　　不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 　　符号语言：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc． 　　不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 　　符号语言：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc． 　　【设计意图】复习不等式的性质，巩固基础，建立新旧知识之间的联系，为本节课学习“不等式的性质的应用”做准备． 新知探究 一、探究学习 　　【问题】利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集： 　　（1）x－7＞26； （2）3x＜2x＋1； 　　（3）x＞50； （4）－4x＞3． 　　【师生活动】教师提示：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为x＞m或x＜m（m为常数）的形式． 　　学生根据提示，小组讨论，完成第（1）题，教师讲评后独立完成（2）（3）（4）题． 　　【答案】解：（1）根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变， 　　所以x－7＋7＞26＋7，x＞33． 　　这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 　　（2）根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变， 　　所以3x－2x＜2x＋1－2x，x＜1． 　　这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 　　（3）根据不等式的性质2，不等式两边乘，不等号的方向不变， 　　所以×x＞×50，x＞75． 　　这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 　　（4）根据不等式的性质3，不等式两边除以－4，不等号的方向改变， 　　所以＜，x＜． 　　这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 　　【归纳】利用不等式的性质1可简化为“移项”；利用不等式的性质2或性质3就是把未知数的系数化为1，要注意不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向． 　　【设计意图】通过具体的例子，让学生巩固不等式的性质，学会利用不等式的性质对不等式进行变形，能解简单的不等式． 　　【问题】（1）一辆轿车在一条规定车速不低于60 km/h，且不高于100 km/h的高速公路上行驶，如何用式子来表示轿车在该高速公路上行驶的路程s（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的关系呢？ 　　（2）铁路部门对随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高之和不得超过160 cm．设行李的长、宽、高分别为a cm，b cm，c cm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式． 　　【师生活动】学生小组讨论，完成作答，教师根据作答情况进行补充指导． 　　【答案】（1）根据路程与速度、时间之间的关系可得：s≥60x，且s≤100x． 　　（2）根据题意可得：a＋b＋c≤160，且a＋b＋c＞0． 　　【思考】观察式子：s≥60x，s≤100x，a＋b＋c≤160．它们有什么共同特点？ 　　【师生活动】学生自由发言，教师补充总结． 　　【新知】像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式． 　　符号“≥”读作“大于或等于”，也可以说是“不小于”；符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”． 　　【思考】符号“≥”与“＞”的含义有什么区别？“≤”与“＜”呢？ 　　【师生活动】学生小组讨论，得出答案，师生一起总结． 　　【归纳】x≥a表示x＞a或者x＝a；x≤a表示x＜a或者x＝a．“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”多了一层“等于”的含义． 　　此外，a≥b或a≤b形式的不等式，具有与前面所说的不等式的性质类似的性质． 　　如果a≥b，那么 　　（1）a＋c≥b＋c，a－c≥b－c； 　　（2）ac≥bc（c＞0）； 　　（3）ac≤bc（c＜0）． 　　【设计意图】通过两个具体的实际问题，引导学生从实际问题抽象出不等式模型，初步了解含“≤”“≥”的不等式． 　　【问题】如何在数轴上表示x＜－1与x≥3？ 　　【师生活动】教师提示：在数轴上表示不等式的解集时，无等号的画空心圆圈，有等号的画实心圆点． 　　学生根据提示，小组讨论作答． 　　【答案】如图所示． 　　【归纳】在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定“方向”． 　　（1）确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点；若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈． 　　（2）确定“方向”：对表示数m的边界点而言，x＞m或x≥m向右画，x＜m或x≤m向左画． 　　【设计意图】通过两个具体的问题，引导学生总结在数轴上表示不等式的解集的方法． 　　【问题】如图，一个长方体形状的鱼缸长10 dm，宽3.5 dm，高7 dm．若鱼缸内已有水的高度为1 dm，现准备向鱼缸内继续注水．用V（单位：dm3）表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示． 　　【师生活动】学生小组讨论，尝试总结，教师进行讲解总结． 　　【答案】解：因为“已有水的体积＋新注入水的体积V≤鱼缸的容积”，所以 　　10×3.5×1＋V≤10×3.5×7， 　　解得V≤210． 　　又由于新注入水的体积V不能是负数，所以V的取值范围是0≤V≤210． 　　在数轴上表示V的取值范围如图所示． 　　【设计意图】通过解决一个具体的问题，帮助学生学会用不等式解决简单的实际问题． 二、典例分析 　　【例1】用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集： 　　（1）x＋5≥12； 　　（2）－3x≤1－4x． 　　【师生活动】学生独立完成，请两名学生代表板演，教师讲评． 　　【答案】解：（1）根据不等式的性质1，不等式两边减5，不等号的方向不变， 　　所以x＋5－5≥12－5，x≥7． 　　这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 　　（2）根据不等式的性质1，不等式两边加4x，不等号的方向不变， 　　所以－3x＋4x≤1－4x＋4x，x≤1． 　　这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 　　【归纳】（1）在运用不等式的性质将不等式变形时，首先要注意每一步变形的依据，然后由不等式的性质判断不等号的方向是否改变； 　　（2）在数轴上表示不等式的解集，定边界点时，要注意是实心圆点还是空心圆圈． 　　【设计意图】借助例1，巩固学生对利用不等式的性质解不等式的掌握． 　　【例2】某品牌服装2022年1月份的售价是每件a元，3月份的售价上涨10％，6月份又比3月份下降10％． 　　（1）用含有a的式子分别表示该品牌服装3月份和6月份的售价； 　　（2）几月份去购买该品牌服装最便宜？为什么？ 　　【师生活动】学生独立思考完成，教师讲评． 　　【答案】解：（1）该品牌服装3月份的售价为每件(1＋10％)a＝1.1a（元）， 　　6月份的售价为每件(1－10％)×1.1a＝0.99a（元）； 　　（2）6月份去购买该品牌服装最便宜． 　　因为0.99＜1＜1.1，且a＞0，所以0.99a＜a＜1.1a． 　　所以6月份去购买该品牌服装最便宜． 　　【设计意图】借助例2，巩固学生对用不等式解决简单的实际问题的掌握． 课堂小结 课后任务 　　完成教材第128页练习第1～3题． 学科网（北京）股份有限公司 $$